Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult palju elemente? Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve. Mis on loendamine? Objektide arvu tuvastamiseks nendele naturaalarvude omistamine on loendamine. Lõpmatu mitteloenduv ja lõpmatu loenduv hulk. Loenduv {0,1,2,.......} Mitteloenduv {7.16646...,7,16646..., ...... } kuna iga elemendi vahel on veel lõpmatult elemente. Millised hulgaaritmeetilised tehted on olemas? 1 unaarne ja 4 binaarset. Binaarsed Hulkade ühend ehk hulgaaritmeetiline liitmine, Hulkade ühisosa ehk hulgaaritmeetiline korrutamine. Hulkade vahe ehk hulgaaritmeetiline lahutamine. Hulkade sümmeetriline vahe. Unaarne on hulga täiend. Sümboleid vt lk 35-36. Millised elemendid kuuluvad ühendisse, millised ühisosasse? Ühendisse kuuluvad elemendid, mis kuuluvad kas hulka A või hulka B ehk mõlema hulga elemendid.
tähistamiseks spetsiaalseid tähiseid. 1. Lihtsaim loogikaelement on invertor ehk EI-element (NOT). Invertor teostab loogikamuutuja inversioonitehet ehk eitust: Kuna inversioon on ainus unaarne loogikatehe, siis invertor on ainus ühe sisendiga loogikaelement. Ülejäänud loogikaelemendid omavad 2 või enam sisendit. 2. JA-element teeb sisendite loogilist korrutamist ehk konjunktsiooni. (AND) 3. VÕI-element teeb oma sisendite loogilist liitmist ehk disjunktsiooni
LAUSEARVUTUS 4 sidumiskonstruktsiooni seovad igaüks kahte lauset ( binaarsed loogikatehted) ja 1 tehe viiest on rakendatav üksikule lausele ( unaarne Ü loogikatehe) T Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. T Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne (ehk lingvistilises keeles verbaalne esitus formaalne tähistus
Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne väide, millele saame omistada tõeväärtuse – tõene või vale. Lihtlause on lihtsaim võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI- tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷↔𝑸 on nagu 𝑃→𝑄 ja samal ajal ka 𝑄→𝑃. Tehted inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed loogikatehted – nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka
Mis on loogikaavaldis? Loogikaavaldise definitsioon loogikaavaldis on loogikamuutuja xi, konstante 0 1 ja tehtemärke sisaldav kooslus, mis tema muutujate xi väärtustamisel omandab samuti loogikaväärtuse 0 või 1 definitsiooni vaata lk 154 Millist loogikatehet tähendab tehtemärgi puudumine operandide vahel? On samaväärne tehtega konjuktsioon. Mitu loogikatehet on olemas? Mitu operandi nendest igalühel on? 3, konjuktsioon, disjunktsioon ja inversioon. Esimesel kahel 2, inversioonil 1, unaarne. Millisel tingimusel on kaks loogikaavaldist omavahel võrdsed? Kaks erinevat loogikaavaldist on võrdväärsed ehk võrdset, kui nad mõlemad omandavad muutujate samade väärtuskombinatsioonide korral sama loogikaväärtuse 1 või 0 Kuidas saadakse mingi loogikaavaldise jaoks tema duaalne kuju? Konjuktsioon disjunktsiooniks, disjunktsioon konjuktsiooniks, konstandid 0 konstandiks 1 ja konstandid 1 konstandiks 0. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral?
Milline lause on lihtlause? Lihtlaused on lihtsaimad lausearvutusvalemid.Neid ei saa jagada enam veelgi lihtsamateks lauseteks. Kuidas lausearvutuslauseid tavaliselt tähistatakse? Lausearvutus lauseid tähistame formaalselt suurtähtedega A,B,P,Q..... . Mis on liitlause?Kuidas ja millest neid moodustatakse? Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loogiliste konstruktsioonide abil liitlauseid. Lihtlaused seotakse liitlauseks 5 loogikatehte abil, millest 4 on binaarsed, 1 on unaarne ja selleks on eitus. Millised on lausearvutuse loogikatehted? Nende tähistused ja verbaalsed tähendused? Verbaalne esitus: Formaalne tähistus: Eitus: Mitte P, pole õige, et P. ~P, on ka teisi alternatiive. Ühe alternatiivi kehtimise nõue: PvQ P või Q Tingimuste samaaegse kehtimise nõue: P &Q P ja Q Järeldumine: P->Q Kui P siis Q Samaväärsus: P<->Q
Vastus 2 Arvutipoest ostetav valmisprodukt Riiulitoode Vastus 3 Küsimus 7 Seos kolme erineva tüübi olemite vahel Ternaalne seos Vastus 1 Seos kahe olemi vahel, mõlemad olemi tüübid on samad Unaarne seos Vastus 2 Seos kahe erineva tüübi olemite vahel Binaarne seos Vastus 3 Küsimus 8 Konkreetsest situatsioonist lähtuvalt valitud lähenemisviis infosüsteemi arendamiseks kirjeldab Vali üks: a. disaini strateegia b. tootmissüsteem c. disaini spetsifikatsioon d. rakendamise meetodid Küsimus 9
Selliseid funktsioone nimetatakse algebralisteks teheteks või ka lihtsalt teheteks(operation). Tehte tulemid kuuluvad võimalike argumentide hulka A. Tehte argumente nimetatakse operandideks. LOOGIKAALGEBRA TEHE on tõeväärtuste hulgal(tõene, väär) defineeritud tehe. Neid arve, millega tehet sooritatakse nimetatakse OPERANTIDEKS. Kui tehtes on kaks operanti, siis on tegemist BINAARSE tehtega. Kui tehtel on üks operant, nt ruutu tõstmise tehe, siis on see UNAARNE tehe. Lauseloogikas on kasutusel KAKS ALGEBRAT, mis kuuluvad BOOLE’I algebra klassi: tõeväärtuste algebra ja lausearvutuse algebra. Boole’i algebra lihtsat erijuhtu, mida esindab kahe kahe tõeväärtusega Boole’i algebra, nimetatakse ka loogikaalgebraks. Lausearvutuse Boole’i algebra kandvat hulka võiks nimetada FORMAALSETE LAUSETE hulgaks, need esinevad sümbolkujul, neil pole iseenesest ei tõeväärtust ega tavakeelset kuju.
Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne väide, millele saame omistada tõeväärtuse – tõene või vale. Lihtlause on lihtsaim võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI-tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷 ↔ 𝑸 on nagu 𝑃 → 𝑄 ja samal ajal ka 𝑄 → 𝑃. Tehted inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed loogikatehted – nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted
Loogikaalgebra ( { 0 , 1 } ; ¯¯ , , ) koosneb loogikaväärtuste hulgast a teiste sõnadega: loogikaavaldised / loogikafunktsioonid on teineteisega k { 0 , 1 } , millel on defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe i loogiliselt võrdsed, kui nende tõeväärtustabelid on täpselt samasugused n inversioon ja binaarsed tehted konjunktsioon ja disjunktsioon. h näide: x1 x
Loogika harjutuseksami küsimused-vastused 1. Hägusloogikas võib lause tõesusaste olla: 0,25 2. Kui unaarne predikaat ei ole samaselt väär, siis on see kindlasti: Kehtestatav 3. Milline traditsioonilise loogika põhireegel ei ole otseselt ega kaudselt kasutusel klassikalise loogika põhialuste fikseerimisel: Küllaldase aluse seadus 4. Kuidas jagunevad küsimused vastuste hulga alusel? Õiged ja ebaõiged. 5. Atributiivse lihtväitena termin on alati piiritletud, kui ta esineb… Eitava väite predikaadina 6. Disjunktsioonitehte eitus on …
Lausearvutuse lauseid tähistatakse suutre tähtedega A, B, C. Liitlause koosneb lihtlausetest ning neid siduvatest konstruktisoonidest ja sidesõnadest. Lausearvutuse loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Binaarsed tehted on need tehted, mida saab teha kahe argumendi korral(konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents). Unaarne tehe on tehe, mida saab rakendada üksikule argumendile/operandile(inversioon). Ekvivalents on kahepoolne implikatsioon. Elementaarsed loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, kuna nende abil saab esitada kõik teised tehted. Lausearvutus valem on lausearvutuslause tähis ja üksik tõeväärtus. Prioriteedijärjestus loogikatehetele on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents.
Mittevõrreldavad vektorid on 10 ja 01. 12. Kas erinevate pikkustega kahendvektorid võivad olla võrreldavad? Omavahel saab võrrelda ainult võrdsete pikkustega vektoreid. Loogikafunktsioonid ja loogikaavaldised 1. Mis on loogikaalgebra? Loogikaalgebra on Boole’i algebra erijuht, kus alushulgaks on kaheelemendiline hulk {0,1}. 2. Millest loogikaalgebra koosneb? Loogikaalgebra koosneb loogikaväärtuste hulgast {0,1}, millele on defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe inversioon (¯) ja binaarsed tehted konjunktsioon (∧) ja disjunktsioon (∨). 3. Mis on loogikamuutuja? Muutuja x on loogikamuutuja, kui ta saab omandada üksnes väärtusi {0 1} 4. Kuidas nimetatakse numbrimärkidega 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi? Konstant. 5. Mis on loogikaavaldis? Loogikaavaldise definitsioon. Loogikaavaldis on loogikamuutujatest, konstantidest ja tehtemärke sisaldav kooslus, mis muutujate väärtustamisel omandab samuti väärtuse 0 või 1. 6
4. Implikatsioon (ing k material conditional) – järeldusseos A B või A B (A implitseerib Bd) ’kui …, siis …’ 5. Ekvivalents (ing k material biconditional) A B või A B ’parajasti siis’ Tehete prioriteet määratakse sulgudega, va eituse puhul, mis tehakse alati esimesena. T – true, F – false 1) eitus – muudab tõese vääraks ja väära tõeseks; eitus nõuab, et tõe väärtus peab muutuma eitus unaarne teha, rakendub millelegi ühele; teised binaarne, seob kahte lauset 4) implikatsioon – deduktiivne kehtivus. Tõesest eeldusest väära tegemine 5) ekvivalents – mõlemad tõesed või väärad, loetakse ekvivalentseks; kui üks tõene teine väär, loetakse mitteekvivalentseks Truth A sentence P of SL (sentential logic) is truth-functionally true if and only if P is true on every truth-value assignment. Falsity
" ülemus on kohal ainult siis, kui tema auto on maja ees" Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise JA-tehte märgina kasutatakse ka sümbolit 'ampersand ' : & ( & ≡ ∧) konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. 4 sidumiskonstruktsiooni seovad igaüks kahte lauset (binaarsed Ekvivalentsitehte märgina kasutatakse ka sümbolit ~ (~ ≡ ↔) loogikatehted) ja 1 tehe on rakendatav üksikule lausele (unaarne loogikatehe) VÕI-tehte märgina kasutatakse ka sümbolit + (+ ≡ ∨) LOOGIKATEHTED lausearvutuses ülesanded: Olgu antud järgnevad lihtlaused (väited): S — on suvi tehtemärk tehte nimi ja selgitus
sihthulgas on elemente, mis ei kuulu funktsiooni muutumispiirkonda (nt ei saa naturaalarvulise ruutfunktsiooni väärtusteks olla naturaalarv 7.) Funktsioonil võib olla mitu sisendit, nt liitmisfunktsioonil on kaks sisendit, funktsiooni väärtuse saamiseks peame sisestama kaks argumendi väärtust. Öeldakse, et funktsiooni sisendite arv määrab funktsiooni aarsuse (arity). Kui funktsioonil on üks sisend, on see ühe muutuja funktsioon ehk ühekohaline funktsioon ehk unaarne funktsioon (nt ruutfunktsioon). Liitmisfunktsioon oli näide kahe muutuja funktsioonist ehk kahekohalisest funktsioonist ehk binaarsest funktsioonist. Kolme muutuja ehk ternaarse funktsiooni näiteks võiks olla ristkülikukujulise anuma ruumala funktsioon, mille väärtus on määratud kolme muutuja (pikkuse, laiuse ja kõrguse) väärtuste korrutisega. Mitmekohalise funktsiooni puhul on sageli oluline, mis järjekorras argumentide väärtused antakse
· laiemaks automaatselt · kitsamaks tuleb ilmutatult näidata double f = 4; double d = 6.4; int i = (int) d; // d ise ei muutu, i on 6 Sõne · Ei ole Javas algtüüp, hiljem käsitleme põhjalikumalt String s1 = "On"; String s2 = "september"; String s3 = s1 + " " + s2; 2. Loeng Avaldised Loogilised avaldised Java Python Selgitus ! Not Loogiline eitus (unaarne) && And Loogiline Ja (binaarne) || Or Loogiline VÕI (binaarne) Operatsioonide prioriteedid a++ ; a-- (Täidetakse kõige varem) ++a --a +a -a ~ ! * / % ; + - ; << >> >>> ; < > <= >= instanceof ; == != ; & ; ^ ; | ; && ; || ; ? : = += -= *= /= %= &= ^= |= <<= >>= >>>= (Täidetakse kõige hiljem) Tingimusdirektiivid
sihthulgas on elemente, mis ei kuulu funktsiooni muutumispiirkonda (nt ei saa naturaalarvulise ruutfunktsiooni väärtusteks olla naturaalarv 7.) Funktsioonil võib olla mitu sisendit, nt liitmisfunktsioonil on kaks sisendit, funktsiooni väärtuse saamiseks peame sisestama kaks argumendi väärtust. Öeldakse, et funktsiooni sisendite arv määrab funktsiooni aarsuse (arity). Kui funktsioonil on üks sisend, on see ühe muutuja funktsioon ehk ühekohaline funktsioon ehk unaarne funktsioon (nt ruutfunktsioon). Liitmisfunktsioon oli näide kahe muutuja funktsioonist ehk kahekohalisest funktsioonist ehk binaarsest funktsioonist. Kolme muutuja ehk ternaarse funktsiooni näiteks võiks olla ristkülikukujulise anuma ruumala funktsioon, mille väärtus on määratud kolme muutuja (pikkuse, laiuse ja kõrguse) väärtuste korrutisega. Mitmekohalise funktsiooni puhul on sageli oluline, mis järjekorras argumentide väärtused antakse
Tähistused: ¬p ~p p not p Eituse tõeväärtustabel (kahel samaväärsel kujul): p ¬p p ¬p t v 1 0 v t 0 1 Välistatud kolmanda seadusest (Iga lause on kas tõene või väär, kolmandat võimalust ei ole), saame järeldada, et ¬¬p = p Eitus on unaarne (ühe operandiga) tehe ning lausearvutuses kõige kõrgema prioriteediga. Järgnevad teheted on kõik binaarsed (kahe operandiga). KONJUNKTSIOON (conjunction): Lausete p ja q konjunktsiooniks nimetatakse lauset, mis on tõene parajasti siis, kui mõlemad komponentlaused on tõesed. Konjunktsioon sisaldab enamasti seost ja või ning. Nt: Kass näub ja koer haugub. Kass näub ja tiiger näub. Konjunktsiooni sisaldava lause saab alati ümber sõnastada seosele: nii ... kui ka ...
annaabi.ee 
