Normaaljaotus (0)

NORMAALJAOTUS
Normaaljaotus on nii teoorias kui praktikas kõige sagedamini esinev jaotus. See jaotus eeldab, et nähtusel on mingi keskmine tase, mille ümbruses varieerub suurem osa väärtustest. Suuri kõrvalekaldeid esineb harva ja need toimuvad võrdvõimalikult mõlemale poole. Normaal -jaotus on määratud ja täielikult kirjeldatav kahe parameetriga – keskväärtuse ja standardhälbe ehk dispersiooniga. Normaalajotust kujutav graafik on kellukese kujuline ja sümmeetriline keskväärtuse suhtes. Jaotust nimetatakse ka Gaussi-Laplaci kõveraks. Joonis 1.
Normaaljaotus tekib siis, kui tunnuse väärtust mõjutavad väga paljud juhuslikud tegurid ja neist igaühe mõju on väga väike. Normaaljaotus on teoreetiline abstraktsioon. Eluslooduses ei ole ükski asi täpselt normaaljaotusega, kuid paljud tunnused on looduses normaaljaotusele väga lähedase jaotusega.
Joonis 1. Normaaljaotuse graafik
Normaaljaotusega tunnuse väärtuste ulatust saab iseloomustada standardhälbe kaudu. Kolme sigma reegli kohaselt asub 99,7% normaaljaotuse väärtustest arvude x ± 3 σ vahel.
95,5% väärtustest paikneb kahe standardhälbe ulatuses keskväärtusest ühes ja teises suunas. 68,3% väärtustest asub ühe standardhälbe kaugusel. Joonis 1.
Normaaljaotuse keskväärtus, mood ja meridiaan on võrdsed. Joonis 4. Ebasümmeetrilise jaotuse korral on aga mood, meridiaan ja standardhälve erinevad. Joonis 6.1 ja 6.2. Kvantiil määrab, et mitu protsenti inimesi said antud tulemusi. Mediaan on järjestatud tulemuste keskmine tulemus. Hajuvusaste näitab tulemuste haaret. Standarthälve iseloomustab rea elementide paiknevust keskväärtuse suhtes. Kui on tegemist normaaljaotusega siis jaotuse proportsioonidest teame seda, et keskväärtus, mood ja mediaan on võrdsed (vt Joonis 2). Arvuliselt kõige enam esinenud tulemus on ka loendamise tulemusena keskel ning on sama, mis määrab ära graafiku raskuskeskme.
Joonis 4. Normaaljaotuse keskväärtus, mood ja meridiaan on võrdsed.
Mitte kõik sarnase kujuga jaotused pole normaaljaotused. Normaaljaotuse tihedusfunktsioon on konkreetne matemaatiline funktsioon. Kvalitatiivselt sarnase kujuga võivad olla ka paljude teiste funktsioonide graafikud . Mõnikord saab mittenormaalset tunnust teisendada nii, et tema jaotus muutub ligikaudu normaalseks.

Normaaljaotuse kuju sõltub standardhälbest

Graafiku kuju sõltub jaotusparameetrite väärtustest. Keskväärtus määrab jaotuse raskuskeskme asukoha ja standardhälve tiheduskõvera kuju. Mida suurem on standardhälve, seda väiksema järskusastmega on tiheduskõver. Standardhälbe σ suurendamine muudab normaaljaotuse graafikut laiemaks. Väikese σ korral on graafik kitsam ja teravam . Joonis 2. Keskväärtuse muutmine nihutav graafikut vasakule või paremale. Joonis 3.
Joonis 2. Võrdsed keskväärtused, erinev standardhälve
Joonis 3. Võrdsed standardhälbed, erinev keskväärtus

Kahetipuline normaaljaotus

Normaaljaotus võib olla ka kahetipuline, kui kaks normaaljaotusele alluva suuruste (nt meeste ja naiste jalanumber pikkus jne) vastavad väärtused ühendatakse üheks jaotuseks. Joonis 5.
Joonis 5. Kahetipuline normaaljaotus.

Ebasümmeetriline normaaljaotus

Joonis 6.1 Ebasümmeetriline normaaljaotus.
Vasakule ebasümmeetriline e. Vasakkaldeline rida.
Joonis 6.2 Ebasümmeetriline normaaljaotus. Paremale ebasümmeetriline e. paremkaldeline rida.
Kui uuritakse küllalt suuri kogumeid ja kui nähtuse väärtus sõltub täiesti juhuslikest
asjaoludest, siis tunnuse väärtused jaotuvad harilikult sümmeetriliselt, kuid sagedamini on nad ühele või teisele poole välja venitatud. Tüüpilisteks näideteks on palkade, ettevõtte käibe jaotumus jne. Üldjoontes püütakse vahet teha mõõduka ja täieliku ebasümmeetrilisuse vahel.
Ebasümmeetrilisi variatsioonridu eristatakse vastavalt sellele, kummale poole kaldub nende maksimum. Kui rida iseloomustab väiksema väärtusega variantide rohkus , mis avaldub sageduste kiires kasvus ja sellele järgnevas aeglases kahanemises, siis nimetatakse rida vasakule poole ebasümmeetriliseks ehk vasakkaldeliseks. Vasakkaldelistes ridades on keskmistest kõige väiksem mood, sest maksimum on vasakule "nihutatud". Vasakule poole ebasümmeetrilistele ridadele on iseloomulik väiksema väärtusega variantide rohkus. See avaldub sageduste kiires kasvus ja sellele järgnevas aeglases vähenemises. Joonis 6.1.
Paremkaldelistes ridades kasvavad variantide sagedused suhteliselt aeglaselt, langevad
aga järsult. Joonis 6.2.
Lihtsaim võimalus jaotuse asümmeetrilisuse iseloomustamiseks on moodi ja aritmeetilise keskmise erinevus. Ridade asümmeetrilisuse absoluutseks mõõduks (A) kasutatakse
aritmeetilise keskmise ja moodi vahet – A = x − Mo. Kui hälve on plussmärgiga, siis on rida vasakule poole ebasümmeetriline, kui miinusmärgiga, siis paremale poole. Selle näitarvu kasutamisel tuleb arvestada, et eespool toodud seosed keskmiste vahel kehtivad ainult suhteliselt siledatejaotuste korral ning keerulisema struktuuriga jaotuste korral võib moodi ja aritmeetilise keskmise erinevus viia eksitavatele järeldustele.

Käänupunktid

Normaaljaotuse tõenäosuse tihedusfunktsioonil on Gaussi kõvera kuju, mille maksimum on
kohal m ja käänupunktid (s.t. punktid kus joone kumerus muutub kõveruseks) asuvad
kohtades x ± σ . Mida suurem on s väärtus, seda laiem ja madalam on graafik, ning
mida väiksem on s väärtus, seda kitsam ja kõrgem on graafik.
Joonis 6. Käänupunktid.
Kirjandus:
http://web.zone.ee/veelmaaallar/sisu1/normaaljaotus.html
Haldna, Marina . www.e-ope.ee/_download/euni_repository/file/47/Loeng_2.pdf
Haak, Heldur. http://www.lr.ttu.ee/oppetoo/hhaak/TKM%206-08.pdf
Tooding, Liina-Mai.Andmete analüüs ja tõlgendamine sotsiaalteadustes.
Philips , Kaia. Loeng 2. Kirjeldav statistika, 193.40.33.19/doc/STloeng2.pdf
2. Andmefail 800
Valimi suurus on 100 õpilast – tüdrukuid 42, poisse 58. Õpilaste keskmine vanus testi sooritamise ajal oli 15,8118. Poiste keskmine vanus 15,7917 ja tüdrukute keskmine15,8264.
Õpilased sooritasid teste loodusteadustes, matemaatikas ja keeles.Valimi keskmiseks hindeks tuli 8,76. Valimi madalaim hinne oli 7 ja kõrgeim hinne 10.
Testide keskmine tulemus kokku oli 500,8654. Standarthälve 72,8 ja dispersioon 5302,633. Minimaalne tulemus oli 303,42 ja maksimaalne tulemus on 672,99. Lugemise keskmine tulemus oli 486,3075. Standarthälve 81,27 ja dispersioon 6604,456. Minimaalne tulemus oli 256,91 ja maksimaalne tulemus 669,63. Loodusteaduste keskmine tulemus kokku oli 520,3243. Standarthälve 79,67 ja dispersioon 6348,164. Minimaalne tulemus oli 300,57 ja maksimaalne tulemus on 708,06. Matemaatika keskmine tulemus kokku oli 495,9643. Standarthälve 66,02 ja dispersioon 4359,804. Minimaalne tulemus oli 350,90 ja maksimaalne tulemus on 650,17.
Tüdrukute tulemused olid järgmised:
Keel: keskmine – 515,9296, maksimum skoor 669,63, miinimum 256,91
Loodusteadused : keskmine – 529,002, maksimum 687,46, miinimum 300,57
Matemaatika: keskmine – 499,602, maksimum 626,49, miinimum 350,90.
Tüdrukute tulemused olid järgmised:
Keel: keskmine – 464,8571, maksimum skoor 660,72, miinimum 305,88
Loodusteadused: keskmine – 514,0396, maksimum 708,06, miinimum 394,47
Matemaatika: keskmine – 493,3296, maksimum 650,17, miinimum 380,81.
Joonis 1. Testide tulemused graafikuna.
Graafik joonisel 2 näitab, et tüdrukute tulemused edestasid poiste tulemusi kõigis testides. Õpilaste tulemused kokku olid kõrgemad loodusteadustes, järgnes matemaatika ja kõige nõrgemad tulemused saadi keele testis.
Joonis 2. Tüdrukute ja poiste testi tulemuste võrdlus.
Loodusteaduste õppimiseks kulutasid õpilased nädalas keskmiselt tunde järgmiselt: tundide arv koolis – 2 kuni 4 tundi, tundide arv väljaspool kooli – vähem kui 2 tundi, õppimine iseseisvalt – jääb vahemikku vähem kui 2 ja kuni 2-4 tundi. Matemaatika tundide arv koolis – jäi vahemikku 2-4 kuni 4-6 tundi, tundide arv väljaspool kooli – vähem kui 2 tundi ja iseseisvalt õpiti alla 2 kuni 2-4 tundi nädalas. Keele tundide arv koolis jäi vahemikku 2-4 kuni 4-6 tundi, tundide arv väljaspool kooli – alla 2 tunni, õppimine iseseisvalt ulatus kahest nelja tunnini.
Joonis 3. Tüdrukuteja poiste keskmine hinne.
Poiste keskmine hinne 8,72 - madalam saadud keskmine hinne 7, kõrgeim hinne 10. Tüdrukute - keskmine hinne 8,81- madalam saadud keskmine hinne 8, kõrgeim hinne 10. Joonis 3.
Poiste tunnid :
Loodusteadused - tundide arv väljaspool kooli – 1,67, - õppimine iseseisvalt – 2,03
Matemaatika - tundide arv väljaspool kooli – 1,81 - õppimine iseseisvalt – 2,38
Keel - tundide arv väljaspool kooli – 1,72 - õppimine iseseisvalt – 2,05
Tüdrukute tunnid:
Loodusteadused - tundide arv väljaspool kooli – 1,46 - õppimine iseseisvalt – 2,22
Matemaatika - tundide arv väljaspool kooli – 1,74 - õppimine iseseisvalt – 2,63
Keel - tundide arv väljaspool kooli – 1,85 - õppimine iseseisvalt – 2,34
Joonis 4, joonis 5
Joonis 4. Tüdrukute ja poiste iseseisva õppimise võrdlus.
Joonis 5. Tüdrukute ja poiste muu väljaspool kooli õppimisele kulunud aeg.
Poiste vanemad
- Ema karjäär teadusega seotud – 7% emadest, kokku 4 indiviidi
- Isa karjäär teadusega seotud – 2% isadest, kokku 1 indiviid valimist
- Vähemalt ühe vanema karjäär teadusega seotud – 7% poiste vanematest
- Iseendal näeb teadusega seotud karjääri – 17% poistest, kokku 10 poissi
Tüdrukute vanemadanemad
- Ema karjäär teadusega seotud – 20% emadest, kokku 8 indiviidi
- Isa karjäär teadusega seotud – 3% isadest, kokku 1 indiviid valimist
- Vähemalt ühe vanema karjäär teadusega seotud – 21% tüdrukute vanematest
- Iseendal näeb teadusega seotud karjääri – 29% tüdrukutest, kokku 12 tüdrukut
Joonis 3.1. Soov tegeleda loodusteadustega tulevikus.
Joonis 6. Tüdrukute ja poiste vanemate teadusega seotud karjäär.
Vanemad
- Ema karjäär teadusega seotud – 12 ema valimi peale, protsent 13
- Isa karjäär teadusega seotud – 2 isa valimi peale, protsent 2
- Ühe või mõlema vanema karjäär teadusega seotud – 13 vanemat
- Teadusega seotud karjääri tulevikus soovib 22 õpilast.
Vanemate haridus (1 tähistab madalaimat haridustaset 6 kõrgemat)
- Emade keskmine haritustase 4,64
- Isade keskmine haritustase 4,34
- 37 paaril vanematest oli kõrgeim haridustase – 6. Neist 37 olid emad, 33 isad
- Väiksem haridustase 0-3 oli 5% vanematest. Neist 2 ema 3 isa.
- Vanemate õpinguaastate keskmine – 13,91 aastat. Väikseim õpinguaastate arv ühe vanema kohta oli 4 aastat, suurim 16.
Joonis 6. Tüdrukute ja poiste vanemate keskmine haridustase.
Tüdrukud kulutasid iseseisvale õppimisele rohkem aega kui poisid.
Nii poisid kui tüdrukud kulutasid iseseisval õppimisel vähem aega loodusteadustele, järgnes keel ja kõige rohkem aega kulus matemaatika õppimisele.
Tüdrukud näevad oma karjääri teadusega seotuna rohkem kui poisid.
Tüdrukute vanematest omas kõrgeimat haridust suurem protsent kui poistel.
Tüdrukute vanemate karjäär oli teadusega seotud tunduvalt sagedamini kui poistel.
Ema karjäär oli teadusega seotud sagedamini kui isadel.
Emadel esines kõrgeim haridustase sagedamini kui isadel.