Hulknurga nurkade summa 7. klass Eneli Oeselg Valtu Põhikool Rapla maakond Koolitaja: Peeter Linnamäe Tuletame meelde, et · hulknurga iga kaks lähiskülge moodustavad hulknurga nurga; · hulknurgal on samapalju nurki, kuipalju tal on tippe või külgi; · kolmnurga nurkade summa on 180°. Nelinurk Jaotame nelinurga ühest tipust lähtuvate diagonaalidega 1 kolmnurkadeks. Tekib 2 kolmnurka. 2 Kuna ühe kolmnurga nurkade summa on 180°, siis nelinurga nurkade summa saab arvutada 2 · 180° = 360° Viisnurk Jaotame viisnurga kolmnurkadeks, nii nagu enne nelinurga. Tekib 3 kolmnurka. Viisnurga nurkade summa saame arvutada 3 · 180° = 540° Kuusnurk Jaotame kuusnurga kolmnurkadeks. Tekib 4 kolmnurka
4 S ( x ) =F ( x )−F ( a ) . Selle kohaselt kõverjoonse trapetsi abBA pindala (2) võrdub S abBA =F ( b )−F (a) Järelduseks võib teha, et kõverjoonse trapetsi pindala võrdub funktsiooni y=f ( x) vabalt valitud algfunktsiooni väärtuste vahega kohtadel x=a ja x=b . Määratud integraali mõiste Vastavalt joonisele 1, jaotame funktsioon y=f ( x ) lõigu [a ; b] vabalt valitud viisil n - osalõiguks punktidega x 1 , x 2 , x 3 , … x n−1 , seejuures a=x 0< x 1 <…< x k−1 < x k < x k+1 <…< x n =b . Selliselt tekkinud osalõigud on [ x k−1 ; x k ], kus k =1,2, 3,... , n ning nende osalõikude hulka nimetatakse lõigu [a ; b] tükelduseks. (I. Tammeraid) Tähistame k -osalõigu pikkuse järgnevalt ∆ x k =x k −x k −1 .
1 1 2 S F 1 F 1 13 1 3 3 3 3 . 1.3. Määratud integraali mõiste Arvutame kõverjoonse trapetsi abBA pindala teisel teel. a, b x1 , x2 , , xn Jaotame lõigu n-osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame . Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. xi 1, xi i Valime igal osalõigul vabalt ühe punkti . 1 , 2 , , n Saame .
1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja geomeetriline sisu. · Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks S1,S2,...,Sn.Tähistagu Si samaaegselt nii i-ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= (P1) S1 + (P2) S2+...+ (Pn) Sn Seda summat Vn nim funktsiooni integraalsummaks piirkonnas D · Olgu (x,y) 0. siis saab integraalsummas olevat korrutist (P i) Si tõlgendada kui
1. Kahekordne integraal: põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma definitsioon jne). Vaatleme xy-tasandil joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jaotame piirkonna D mingite joontega n osaks: s1, s2, s3,..., sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas osapiirkonnas s1 (selle sees või rajajoonel) mingi punkti P1, saades nii n punkti: P1, P2, P3,..., Pn.
Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) (5.3) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = '(u)du (5.4) Kasutades valemeid (5.3) ja (5.4) asendame x ja dx integraali (5.2) all. Saame avaldise Ositi integreerimine. Avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 32. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust
14 MATEMAATILINE ANALÜÜS I O-ga saame Q O O. Kasutades eelnevaid valemeid saame avaldise 5 5 0Q O 1Q O O. Ositi integreerimis valem: 5 O T OT 5T O 29) Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Olgu antud funktsioon , mis on pidev lõigul 0 , 1. Jaotame lõigu 0 , 1 osalõiguks punktidega U, , , ... , , kusjuures U " " "" . Tähistame järjekorras B-nda osalõigu pikkuse sümboliga J , st J J JW . Valime igal osalõigul 0 JW , J 1 ühe punkti XJ . Moodustame summa Y X X X Z XJ J J[ Seda summat nimetatakse funktsiooni integraalsummaks lõigul 0 , 1.
m m m
i =1
jaotame lõigu [a,b] osalõikudeks punktidega a=x0
3 000,00 kr 1500 40,00 kr 60 000,00 kr 10 4690 4,30 kr 20 167,00 kr 35 6380 4,20 kr 26 796,00 kr 40 12400 4,00 kr 49 600,00 kr 10000 24,00 kr 240 000,00 kr 177 968,00 kr 62 032,00 kr 15 508,00 kr 0 Söödakulu arvutused ostusööda kasutamisest lähtudes jaotame üleskasvatusaja neljaks perioodiks järgmiselt: periood perioodi alguskaal perioodi lõpukaal juurdekasv söödakulu juurdekasvule kg/kg I periood 1 sea kohta 15 25 10 3,2 kogu grupi kohta sigade arv 100 1000 kaaluvahemiku saavutamiseks vajamineva sööda hulk 3200 kaaluvahemiku saavutamiseks kuluv päevade arv 24,61538 25
{ Kusjuures on rangelt monotoonne ja pidevalt diferentseeruv funktsioon lõigul .Kui ja siis joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub kujul ∫ Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) ≥ 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Tuletame valemi pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . .. . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [ , ] ühe punkti pi. Tähistame: Vaatleme osalõigule [xi−1, xi] toetuvat kõvertrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle küljed tõmmatud katkendliku joonega). Kui xi on väike, siis muutub pidev funktsioon f osalõigul [ , ] vähe. Seega võib ta sellel osalõigul lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga f(pi) ehk f(x) ≈ f(pi) kui x [ , ]
ulatuses. 1 Üks algfunktsioon funktsioonile y = x 2 on F ( x ) = x 3 3 Valemi (3) kohaselt on pindala 1 3 1 2 S = F (1) - F ( - 1) = 1 - ( - 1) = 3 3 3 3 MÄÄRATUD INTEGRAALI MÕISTE Arvutame trapetsi abBA pindala teisel teel. Jaotame lõigu [a, b ] n osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame x1 , x2 , , xn Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. Valime igal osalõigul [ xi -1 , xi ] vabalt ühe punkti i Saame 1 , 2 , , n Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis vastavalt f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( n ) Nende ristkülikute pindalad on f (1 ) x1 , f (2 ) x2 , , f (n ) xn .
ulatuses. 1 Üks algfunktsioon funktsioonile y = x 2 on F ( x ) = x 3 3 Valemi (3) kohaselt on pindala 1 3 1 2 S = F (1) - F ( - 1) = 1 - ( - 1) = 3 3 3 3 MÄÄRATUD INTEGRAALI MÕISTE Arvutame kõverjoonse trapetsi abBA pindala teisel teel. Jaotame lõigu [a, b ] n osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame x1 , x2 , , xn Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. Valime igal osalõigul [ xi -1 , xi ] vabalt ühe punkti i Saame 1 , 2 , , n Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis vastavalt f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( n ) Nende ristkülikute pindalad on f (1 ) x1 , f (2 ) x2 , , f (n ) xn .
ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj ϵ Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = ƒ (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks ∆S1,∆S2,…,∆Sn.Tähistagu ∆Si samaaegselt nii i- ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= ƒ (P1) ∆S1 + ƒ (P2) ∆S2+…+ ƒ (Pn) ∆Sn Seda summat Vn nim funktsiooni ƒ integraalsummaks piirkonnas D Kahekordse integraali geomeetriline sisu : Olgu ƒ(x,y)≥0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt
Integreerime seda avaldist. Saame: Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalidudv javdu sisaldavad juba määramata konstante. Viiesvdu võrduseteisele poolele saame Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust
konstante. Viiesvdu võrduseteisele poolele saame Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime 36Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa:
Kriitilised punktid: x1 = 0; x 2 = 4; x3 = 6 24 x-4 f ' ( x) = Funktsiooni uurimine 3 x( x - 6) 2 Kriitiliste punktide abil jaotame funktsiooni määramispiirkonna neljaks vahemikuks ja sobivalt valitud punktide abil määrame igal osal tuletise märgi. testpunkt -1 testpunkt 1 testpunkt 5 testpunkt 7 y ' (-1) > 0 0 y ' (1) < 0 4 y ' (5) > 0 6 y ' (7 ) > 0 f´ märk + - + + f käik kasvab 0 kahaneb 4 kasvab 6 kasvab
kujudest, kusjuures on arvestatud ka tahkude omavahelist paigutust. Pinnalaotuste tuletamine: * 1) Kõik tahud, mis pole kolmnurgad, tükeldame diagonaalidega kolmnurkadeks, siis koosneb keha pind kolmnurkades * 2) Leiame kõikide kolmnurkade külgede tõelised pikkused * 3) Kontsrueerime kolmnurkade tõelised kujud üksteise selles järjestuses, milles kolmnurgad ise asetsevad tahukal, tulemuse väljajoonestamisel jaotame tahkude diagonaalid muidugi ära 87. Milliseid jooni võib saada pöördsilindri lõikamisel tasapinnaga olenevalt viimase asendist? *Ringjoone, kaks parallelset sirget või ellipsi 88. Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust ellipsit mööda? * Kui tasand läbib kõiki moodustajaid kuid ei läbi tippu 89. Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust parabooli mööda?
väärtus. · Tähistame funktsiooni f(x) suurima väärtuse tähega M ja väikseima väärtuse tähega m · Funktsiooni väärtusi näitab graafiliselt y-telg (alati!) N2 B A xn=b · Nüüd jaotame selle lõigu [a, b] mitmeteks osadeks, alamlõikudeks... kuna pole lõplik otsus, mitmeks, siis ütleme, et jaotame selle lõigu n osaks. · Tähistame lõigu [a, b] iga osa alguse väärtuse punktidega: a=xo , x1 , x2 , x3, ..... xn-1 , xn=b algus määramatu lõpp hulk punkte
mida nimetame funktsiooni f(x,y) kaksikintegraaliks üle piirkonna D. Teoreem: Pideva funktsiooni f(x,y) kahekordne integraal üle regulaarse piirkonna D võrdub selle funktsiooni kaksikintegraaliga üle sama piirkonna D (eeldame, et piirkond D on piiratud joontega y = 1 x , y = 2 x , x=a ja x=b) s.t. b 2 ( x) f ( x, y )dy dx .Tõestus. Jaotame piirkonna D koordinaat D f ( x , y ) dxdy = a ( x ) 1 telgedega paralleelsete sirgete abil n regulaarseks (täisnurkseks) piirkonnaks n s1 , s 2 ,...s n . Omasuse 1 põhjal: I D = I s1 + I 2 + ... + I sn = I si (2). Teisendame i =1
McCluskey' minimeerimismeetod Sellise laiendatud 1-de piirkonna ( 0, 2, 6, 7, 8, 10, 3*, 14* ) 1 jaotame Ü Karnaugh' kaart on visuaalheuristiline minimeerimismeetod. lahtritesse vastavalt arvude indeksile (ehk alustame kleepimistabelit) : T ( vajalike kontuuride otsene vahetu väljavalimine pole algoritmina kirjeldatav ) index laiend. 1de pk. 2-sed interv. vahe 4-sed interv. vahe T
palgutust. Pinnalaotustetuletamine: * 1) Koik tahud, mis pole kolmnurgad, tOkeldamedlagonaalidega kolmnurkadeks, sils koosnebkeha pind kolmnurkades 2) leiame koikide kolmnurkadekOlgedetoelised pikkused 3) Kontsrueerlmekolmnurkadetoellsed kujud Okstelseselles jarjestuses, milles kolmnurgad ise asetsevadtahukal, tulemuse viiljajoonestamisel jaotame tahkude diagonaalldmuldugl ara 67. Mille poolest erineb tasakover ruumlkoverast? *Tasakover asub tervenlstl tasandll, ruumikover aga mitte. 68. Mis on algebrallse koverjoonejark? * Aigebraline koverjoonejark tahendab selle joone ja sirge lolkepunktide arv. Seejuures loikepunktlde hulka tuleb arvutada nli reaalsete kui ka imaglnaarsete koordlnaaatidegapunktld 69. Sonastagelause teist jarku joonte paralleelprojektsioonidekohta.
määramata integraal. Et , siis eksisteerib ka ja saame tulemuseks , kusjuures suvalise konstandi C
võtame kokku teise liidetavaga, st kahe suvalise konstandi summa on suvaline konstant. Kuna dv =
v'dx ja du = u'dx, siis eelnev seos on esitatav kujul .
Polünoomid
P(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ... + b
Määratud integraal
Olgu lõigul [a; b] määratud funktsioon f(x). Vaatleme esiteks juhtu b > a. Jaotame selle lõigu punktidega xi
( i = 0; 1; 2; ...; n ) osalõikudeks [ xn-1, xi] ( i = 1; 2; ...; n ), kusjuures
a = x0 < x1 < x2 < ...
kus katusega yi funktsiooni kirjeldava võrrandi abil arvutatud vaatlusest saadud x väärtusele vastavad y väärtused yi samale vaadeldud x väärtusele vastav vaadeldud y väärtus Korrelatiivset seost iseloomustavat joont, mille geomeetriline koht korrelatsiooniväljal leitakse vähimruutude meetodil, nimetatakse regressioonijooneks. 3. Kahekordsed integraalid Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tähendus o Olgu piirkonnas Dantud pidev funktsioon z= f(x;y):Jaotame piirkonna Dmingite joontega nosaks: s1;s2;sn;mida nimetatakse osapiirkondadeks.Edaspidi mõistame sümbolite s1;s2;sn ka nende pindalasid. Võtame igas piirkonnas si mingi punkti Pi;saades nii npunkti: P1;P2;Pn:Olgu funktsiooni z= f(x;y) väärtused valitud punktides f(P1);f(P2);f(Pn):Moodustame summa Vn = n f (P1) × s i Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x;y) integraalsummaks i=1
üldiselt sõltub kordinaadist x, st F=F(x). Eesmärgiks on leida valem töö A
arvutamiseks, mille jõud F teeb vaadelda objekti liikumisel punktist a punkti b.
a.i. Kui F on konstantne siis: A=F(b-a)
a.ii. Kui F ei ole konstantne, siis tuleb töö arvutamisel kasutada
integreerimiseks.
a.ii.1. Eeldame, et funktsioon F(x) on pidev.
a.ii.2. Jaotame lõigu [a,b]n osalõiguks punktidega x0,x1,x2...xn
kusjuures:
a.ii.3. a= x0
seetõttu vastupäeva. Termiline baar isoleerib madalad veed, kuhu suubub maismaalt pärinev voog, ja sügavamad järve keskosa veed. Sooja sesooni edenedes termiline baar liigub järve keskosa poole, kuni juuni lõpuks on kogu järv kihistunud. http://www.msi.ttu.ee/~elken/OceanLim_Notes_Lakes.pdf Kokkuvõte Järvenõgudeks nimetame maapinna lohke millesse on järved tekkinud. Järvenõo tekkimise järgi jaotame järvi seitsmeks: Tehisjärved, looduslikud paisjärved, mandrijäätekkelised järved, laugasjärved ehk rabajärved, rannajärved ehk merelahtedest tekkinud järved, karstijärved ja meteoriidijärved. Järvi saab eristada ka toitelisuse ehk troofsuse alusel. Näiteks oligotroofsed, düstroofsed ja eutroofsed järved. Troofsus on veekogu aineringes liikuvad orgaanilised ja anorgaanilised ained, mis ringlevad nii veesambas kui veekogu settes, kusjuures see väljendab nende
on tegelikult tekkinud. Standardkulu- see mis läheb ühe toote valmistamiseks, eeldatavasti.. spetsialist määrab need kulud Kuluhälbed- Kulu eelarved- Vara võtame lattu arvele. Läheb tootmisse, tegu kuluga. Kulutus- soetamise hetkel, enne otsustamist, kas tegu varu või kuluga Kulu arvestus- äriidee hakata tootma pehmet mööblit; 1- kulueelarve koostamine, kus kalkuleerib plaanilised kulud;2-kulude tekkimise hetk, reaalsed kulutehingud; 3- toodete kulude kogumine, töötleme kulusid (jaotame kulud vastavalt, kasumiaruanne, kululiigid, jne), kontrolli ja analüüsi protsess (võrrelda eelarveliste kuludega,) Kaizen- teeme hästi palju ja hästi väikseid muudatusi. 20 võtme meetod- 1) Puhastamine ehk korrastamine- mida puhtam ja korralikum on töökoht, seda efektiivsem on töö tegemine 2) Süsteemi mõtestamine, eesmärkide ühitamine 3) Rühmatöö Tõhususe, efektiivsuse kontroll KULUOBJEKT Selle määrab ettevõte ise
Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx du = (u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = (u)du . Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus.
lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 15. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega , kusjuures 1. Fikseerime igal osalõgiul ühe punkti tähistades selle 2. Kui on väike muutub pidev funktsioon f osalõigul vähe, seega võib ta lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga e , kui Järelikult on ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrugse ja aluse korruisena 3. Terve kõvatrapetsi pindala saame, kui summerime osapiirkondade pindalad: 4
5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n
uv − ʃvdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale ʃ xn sin(ax)dx, ʃ xn cos(ax)dx, ʃ xneaxdx, ʃ (lnx)ndx, kus n on positiivne täisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda võtet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga ∆xi , st ∆xi = xi − xi−1. Valime igal osalõigul [xi−1, xi ] ühe punkti pi . Moodustame summa Sn = f(p1)∆x1 + f(p2)∆x2 + . . . + f(pn)∆xn = Xn i=1 f(pi)∆xi Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga %n, st %n = max{∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn}
Korrapärase hulknurga siseringiraadius ehk apoteem on külje kaugus siseringi keskpunktist. Korrapärase hulknurga ümberringjoone raadius on hulknurga tipu kaugus keskpunktist. r – siseringi raadius R – ümberringi raadius 27. Korrapärase hulknurga sisenurkade summa, ümbermõõdu ja pindala leidmine. n=6 α =(6-2)180° : 6 4×180° 720° 720° : 6 = 120° Vastus: α =120° n=6 a = 8 cm P = na = 6 × 8 = 48 (cm) Vastus : P = 48 cm. Jaotame n-nurga n võrdseks kolmnurgaks, mille alus on a ja kõrgus r. Iga sellise kolmnurga pindala on ar:2 ja n korda suurema hulknurga pindala : S = nar : 2 S = Pr : 2 S = pr, kus P = na on n-nurga ümbermõõt ja p = P : 2 on pool ümbermõõtu r - hulknurga apoteem (siseringjoone raadius) 28. Kolmnurga ümber- ja siseringjoone leidmine. Hulknurga küljed on ümberringjoone kõõlud. - Kõõlhulknurk Siseringjoon puudutab hulknurga külgi. - Puutujahulknurk
Neid saab pikka aega säilitada ja kaugele transportida. Ka tulevad lõhna- ja maitseomadused esile just kuivatamisel. Erinevalt klassikalistest vürtsidest tarvitatakse kohalikke maitseaineid nende kasvualal või selle lähedal ja enamasti värskelt. MAITSEKÖÖGIVILJAD on nii geograafiliselt kui ka kulinaarselt märksa ulatuslikumalt levinud kui maitseroheline. Maitseköögiviljad on kultuurtaimed. Vastavalt kasutatavale taimeorganile jaotame nad juurviljadeks (maitsejuurikad) ja sibulviljadeks, kuigi paljudel juhtudel leiavad kasutamist ka maapealsed taimeosad. MAITSEROHELISTEL kasutatakse maapealset osa - ürti, enamasti selle ülemist kolmandikku, noori lehti ja õisi. Maitserohelist saadakse nii kultuurtaimedelt kui ka looduslikelt taimeliikidelt. Paljudel kultuurtaimedel on olemas looduslikud analoogid. Need erinevad kultiveerivatest tavaliselt tugevama ja teravama lõhna poolest.
loetakse konstantseks. Integreerides saadakse argumendi x pidev funktsioon: . Seda funktsiooni integreerime x järgi rajast a kuni rajani b: . Tulemuseks saame mingi arvu. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abil: Pideva funktsiooni f(x,y) kahekordne integraal üle regulaarse piirkonna D võrdub selle funktsiooni kaksikintegraaliga üle sama piirkonna D (eeldame, et piirkond D on piiratud joontega Tõestus. Jaotame piirkonna D koordinaattelgedega paralleelsete sirgete abil n regulaarseks (täisnurkseks) piirkonnaks (2) Teisendame seda summat, rakendades iga liidetava suhtes kaksikintegraali kohta käivat keskväärtuse teoreemi . Võrdus (2) saab kuju , (3) Kus Pj on osapiirkonna sj mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui
surmavad + nt predaatorite hulka arvatakse ka seemnetoidulised (karpofaagid) ja üherakulistest vetikatest toituvad loomad; 4) taimtoidulised e herbivoorid e fütofaagid ( grazers) elusaist taimeosadest ja seentest toituvad loomad, algo-, mütseto-, lihheno-, ksülofaagid (e lignivoorid), füllofaagid ning fruktivoorid. Lähtume traditsioonist, mida on järginud ka Eesti ökoloogid, ja jaotame heterotroofid järgmiselt: lagundajad, nugilised, taimtoidulised, loomtoidulised ja omnivoorid. Omnivoor loom, kes sööb nii taimset kui ka loomset toitu. Karnivoor lihatoiduline; kitsas tähenduses kiskjaliste seltsi (Carnivora) kuuluv loom 13. Heterotroofe mõjutavad abiootilised tegurid ja nende toime. Heterotroofide puhul -( Loomad, seened, enamusbaktereid)
Integreerime seda avaldist. Saame Kuna integraalide tabeli vaheli 1 põhjal, siis Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, ses mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante. Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted a. Funktsiooni integraalsumma Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a,b]. Jaotame lõigu osalõiguks punktidega , kusjuures Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga , st Valime igal osalõigul [] ühe punkti . Moodustame summa Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a,b] b. Määratud integraali mõiste Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga , st . Muudame lõigu [a,b]
dx tuletise diferentsiaalide jagatisena: du = ψ’(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Saame avaldise ∫ f ( x) dx = ∫ f [ψ (u)]ψ ’(u) du . ∫ udv=uv −∫ vdu 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i- nda osalõigu pikkuse sümboliga ∆xi, st ∆xi = xi – xi−1. Valime igal osalõigul [xi−1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa Sn = f(p1)∆x1 n + f(p2)∆x2 + . . . + f(pn)∆xn = ∑ f ( pi ) ∆x1 i=1
Näide 2. Lahendame võrrandi z - 27 = 0. y mida nimetatakse Kochi lumehelbeks. Kochi lumehelbe saame järgmisel viisil: B Kujutame ette võrdkülgset kolmnurka küljepikkusega 1 ühik. Selle kolmnurga Et z3 - 27 = (z - 3)(z2 +3z +9), siis iga külje jaotame kolmeks osaks. Keskmistele neist osadest kujundame z3 - 27 = 0 z - 3 = 0 z2 +3z +9 = 0, kust võrdkülgse kolmnurga. Saame tähtkuusnurga. Selle kujundi iga serva jaotame 3 3 3 3 3 3 A kolmeks osaks. Keskmisele neist osadest kujundame võrdkülgse kolmnurga. z1 = 3, z2 = - 2 + 2 i, z3 = - 2 - 2 i. x
ning erinevate vabatahtlike tööde tõttu ülikoolis on ka kontaktvõrgustik tudengiorganisatsioonides väga laiaulatuslik. Oleme otsustanud, et kuna töötajad on samaaegselt ka omanikud, siis eraldi töötasu me projektide läbiviimise ajal välja ei maksa. Küll korraldame meeskonna motiveerimiseks erinevaid motivatsiooniüritusi ning käime võimalusel tiimiga koos oma vaba aega sisusamas. Projektide lõppedes jaotame tekkinud vabad vahendid võimalusel meeskonna vahel. Erinevate projektide tasuvuse hindamiseks ning optimaalsete tootmiskoguste leidmiseks kasutame turu-uuringuid. Seejuures eelkõige kasutame uuringute teostamiseks oma liikmeid, kuid vajadusel oleme valmis kasutama ka väliseid abilisi. Tasuta abi oleme valmis siiski vastu võtma. Kuna TTÜ-s avati uus innovatsiooni ja ettevõtluskeskus Mektory, siis prognoosime, et saaksime ka nende abiga oma ideid arendada. Vajadusel kasutaksime ka
" "Emal on vahk. Ravi pohjustab kiire surma, ravimata jatmine pi- kendab elu." "Ka minul oli vahk. Mind raviti." "Elasid kauem?" "Ma ei tea. Ma olen sumud." Kaks nadalat elame ilma kellata. Arvestame aega ise. Ka teine koolitadi ei ilmu solidaarsusest t661e. ]6ukamatel on kaekellad. M6nel isegi mitu, TOOMAS RAUOAM kirikuopetaja pojal naiteks. Need on sumute kellad, mille leinajad on tanutaheks jutluse ja matusetalituse eest opetajale jatnud. Me jaotame kellad omavahel ara, igas klassis peab olema vahemalt iiks kell. Kui see iiks pingist touseb, on tund loppenud. Loomulikult on kellad ka opetajatel, kuid nende aega me ei usalda, vahel satuvad nad hoogu ja raagivad iile aja. Me teeme enda aega ise, seeon helmi-helin, mis meie korvus kolab. Vahetundidega on veidi raskem,klid me pole enam endised; me pole enam lapsed ja kontrollime vabadust, mille surm meile on kinkinud. Viieteistkiirnnendal paeval juhtub see, mis on ootusparane lugejale,
Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Tuletame valemi pindala S jaoks. Selleks ( + ) - () = jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . .. . . , xn, kusjuures a = x0 < + + x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [-1, ] ühe punkti pi. Tähistame:
Magnetilise meridiaani suhtes- magnetiline asimuut, kompassi abil Deklinatsioon e magnetvälja kääne Kui palju erineb mingis punktis tõeline ja magnetmeridiaan- Tartus 7 kraadi, Eestis üldjuhul 5-8 kraadi. Direktsiooninurk(alfa)- nurk päripäeva telgmeridiaanist või sellega paralleelse joonega kuni meid huvitava jooneni. Telgmediaan ehk x telje suhtes Direktsioonunurga suurim väärtus 359 kraadi 59 minutit 59sekundit RUMB(0-90 kraadi) Jaotame koordinaattelje 4ks Teodoliitkäik, arvutused Mõõdistuskäik, mille maamõõtja rajab ise. On murdjoonte süsteem, kus mõõdetakse murdjoonte pikkused ja arvutatakse joonte vahelised horisontaalnurgad. Kinnine teodoliitkäik - lõppeb samas kindelpunktis kust algas Lahtine teodoliitkäik - lõppeb erinevas kindelpuntkis Rippuv teodoliitkäik - ei lõppe kindelpuntkiga(ei ole täpne) suhteline/suvaline teodoliitkäik Geodeetiline otse- ja vastuülesanne
Kui funktsioon on positiivne, on ka integraal positiivne: f(x,y) 0 ,
P( x, y ) D f ( x, y )dxdy 0
D
Kahekordse integraali geomeetriline tõlgendus
Antud kahe muutuja funktsioon w=f(x,y), integreeruv piikonnas D.
Def: funk. on pos vaadeldavas piikonnas, siis keha, mis on piiratud pealt antud funktsiooni
graafikuga, alt selle piirkonnaga D ja silindriga, mille moodustajad on paral w teljega ja
juhtjooneks on piikonna D rajajoon, niisugust keha nim. kõversilindriks.
Kui jaotame piirkonna D n osaks ja mõõdame pindala Si ning valime punkti Pi ja arvutame fun.
väärtuse selles punktis Pi, siis Vi=f(Pi)Si
Vk = lim Vi = lim f ( Pi )S i = f ( x, y )dxdy
n n
D
Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
Def: olgu tasandilise piirkonna D jaoks teada, et D x = [a,b]. Öeldakse, et D on regulaarne y-telje
sihis, kui iga sirge x=x0, a
ʃABf(x,y,z)ds=ʃαß:f(ρcosφ;ρsinφ)sqrt[ρ2+(ρ’)2]dφ OMADUSED: 1)Joonintegraal ei sõltu integreerimistee läbimise suunast. ʃABf(x,y,z)ds=ʃBAf(x,y,z)ds 2)Joonintegraal on aditiivne. ʃABf(x,y,z)ds=ʃACf(x,y,z)ds + ʃCBf(x,y,z)ds 3)Joonintegraal on lineaarne, iga arvu k ja l korral VALEM 12. II liiki joonintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu xyz-ruumis antud joon AB ning sellel joonel kolmemuutuja funktsioon f(x,y,z). Jaotame AB n osaks punktiga Pi(0; 1; …; n), kus A=P0 ja B=Pn. Valime igal osakaarel punkti QiЄ[Pi-1;Pi] ning moodustame summa: VALEM DEF. Kui sellel summal on maxΔxi→0 korral olemas piirväärtus sõltumata joone osadeks jaotamise viisist ega punktide Qi valikust, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni teist liiki jooneintegraaliks ehk joonintegraaliks koordinaadi x järgi üle joone AB ja tähistatakse VALEM!! Kui joon asub x-teljel, siis on see integraal määramatu DEF
s t 4ndsüsteem ei ole oluline arvusüsteem ja praktikas teda ei kasutata. 111111112 I n 16ndsüsteemi tähtsus Arvutimälus hoitakse andmeid baitides, mis on 8-järgulised kahendkoodid. 16ndsüsteem võimaldab esitada (näidata) baitide sisu ( ja üldse igasuguseid kahendkoode) palju kompaktsemalt võrreldes nende "vahetu" esitamisega kahendkujul. jaotame baidi kõrgemaks ja madalamaks poolbaidiks : . Ü 000000002 . T 000000012 25310 = 111111012 = FD16 = 25310 T 000000102 111111102 = FE16
Teoreem 2: Igal funktsioonil, mis on pidev lõigus [a, b], on olemas algfunktsioon selles lõigus. 31. Kõvertrapetsi pindala leidmise ülesanne. Määratud integraali mõiste. Tähistus. Geomeetriline tähendus. Kõvertrapetsi pindala leidmine: Vaatleme lõigus [a, b] pidevat funktsiooni y = f(x), kusjuures eeldame, et f(x) ≥ 0. Lähendame kõvertrapetsi pindala ristkülikute pindalade summaga. Üldistame: Olgu antud lõigus [a, b] pidev funktsioon f(x). Jaotame lõigu [a, b] punktidega x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn−1 < b = xn n osaks, kus osalõikude pikkused tähistame ∆xi = xi − xi−1. Valime igas osalõigus punkti x∗i (selleks punktiks võib olla osalõigu vasakpoolne otspunkt, parempoolne otspunkt, maksimum või miinimumpunkt või igasugune muu punkt). Vastavale osalõigule ehitatud ristküliku alus on ∆xi ja kõrgus on f(x∗i) ning seega i-nda
andmeid indiviiditi. kroonilise B hep ja kontrollideks maksavähi vahel sobivad isikud koostame kohordi sama pop hulgast. inimestest, kel pole 3)võrdleme kr B maksavähki. hep Jaotame kohordi esinemissagedust liikmed kroonilise juhtudel ja B hep olemasolu kontrollidel. järgi 2 rühma. Jälgime Võrdleme tekkesagedust neil,
17. Kahekordse integraali geomeetriline tähendus
Pinnaga z=f(x,y), tasandiga z=0 ja silindriga, mille z-teljega paralleelsete moodustajate juhtjooneks on piirkonna D rajajoon, piiratud keha Q
ruumala
VQ = limVn = f ( P ) dS
n 0
D
18. kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletatud vastav valem
Olgu ristkülikukujuline piirkond D antud võrratustega axb ja cyd. jaotame lõigu
[a,b] osalõikudeks punktidega a=x0
¿ Kuna d ( uv )=uv +C integraalide tabeli vaheli 1 põhjal, siis uv+ C= vdu+ udv Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, ses mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante. udv=uv - vdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Funktsiooni integraalsumma Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a,b]. Jaotame lõigu osalõiguks punktidega x 0 , x 1 , x 2 , ... x n , kusjuures a=x 0< x 1 < x 2< ...< x n=b Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga x i , st x i=x i-x i-1 Valime igal osalõigul [ x i-1 ; x i ] ühe punkti pi . Moodustame summa n S n=f ( p 1 ) x1 + f ( p 2 ) x2 +...+ f ( pn ) x n= f ( pi ) x i Seda summat nimetatakse funktsiooni f i=1
on positiivne ja laengu poole, kui laeng on negatiivne
Tasandi elektrivali E=/20
Erinimeliselt laetud tasandi elektrivali E=/0
Sfääri elektrivali kui r>R(kogu valja tekitav laeng q jaab pinna sisemusse), kus r kaugus
keskpunktist ja R sfaari raadius, siis E(r) = 1/(40)*q/r2 kui r=R, siis E(R) = /0 kui r
Tasandi elektrivali E=/20
Erinimeliselt laetud tasandi elektrivali E=/0
Sfääri elektrivali kui r>R(kogu valja tekitav laeng q jaab
pinna sisemusse), kus r kaugus
keskpunktist ja R sfaari raadius, siis E(r) = 1/(40)*q/r2 kui
r=R, siis E(R) = /0 kui r
annaabi.ee 
