Seega kannab voolujoon informatsiooni voolu suuna, mitte aga selle kiiruse kohta. Samakiirusjoonteks ehk isotahhideks nimetatakse jooni, mis ühendavad punkte, kus voolukiirus omab sama väärtust. isotahhid ei anna informatsiooni kiiruse suuna kohta Gaasi voolamise kirjeldamiseks on vaja kaks eeltingimust: 1. Gaas on mitte kokkusurtav 2. Voolamisel puudub takistusjõud - p - - l nimetatakse üldjuhul rõhu gradiendiks. - grad p = p*a EULERI VÕRRAND Pidevuse võrrand: BERNOULLI VÕRRAND - dünaamiline rõhk Ja bernoulli võrrand - Kui voolamine toimub nii, et voolava keskkonna kihid omavahel ei segune, nimetatakse taolist voolamist laminaarseks. turbulentse voolamisega, kus tekkinud keeriste tõttu leiab aset erinevate vooluse paralleelsete kihtide intensiivne segunemine Üldine seaduspärasus on, et väiksemate voolukiiruste juures on voolamine
See moodustub erinevate energiaallikate, s.o. Maa pöörlemisest tekkiva rotatsioonienergia, kosmilise energia ja radioaktiivsete elementide lagunemisel vabaneva energia summast. 32. Mis on maasisesed protsessid ? Maasisesteks protsessideks on: - kivimite metamorfism (moone) - magmatisminähted - vulkanisminähted - maakihtide kurrutumine - maakoore kõikuvliikumised - maavärinad 33. Mida nimetatakse geotermiliseks gradiendiks ja kui suur on ta keskmine väärtus ? Temperatuuri tõusu iga 100 m kohta nimetatakse geotermiliseks gradiendiks. Keskmiselt arvestatakse, et 100 m sügavuse kasvuga kasvab temperatuur 3 kraadi. 34. Mis põhjustab maavärinaid ? Maavärinaid võivad põhjustada: - Maa vahevöös või maakoores esinevad sisepinged tektoonilised maavärinad - Vulkaanipursked - vulkaanilised maavärinad - Maapinna sisselanged - langatusvärinad - Inimtegevus - tehnogeensed
Filtratsioonimoodul on kiiruse dimensioon, mõõdetakse cm /sek või m / ööp., ja osaleb praktiliselt kõigis põhjavee voolamist käsitlevates arvutusvalemites. 16. Mille määrab ära Darcy valem? vee liikumise kiirus on võrdeline veetulba kõrgusega ja pöördvõrdeline liivakihi paksusega filtris. Seega, vee voolukiirus (v) ei ole midagi muud, kui veetulba kõrgus (h) jagatult filtri paksusele (l) ja korrutatud filtratsioonimooduliga (k). 17. Millist suhet nimetatakse hüdrauliliseks gradiendiks? Suhet h / l nimetatakse surve- ehk hüdrauliliseks gradiendiks. 18. Kuidas määratakse filtratsioonimoodulit? 19. Mida loetakse depressioooni lehtriks? Depressioonilehter on lehtrikujuline veetaseme alanemine veevõtu tagajärjel. tema suurim tihedus on + 4° juures 1. Millised on puhta vee omadused? puudub lõhn ja maitse, vesi on läbipaistev ja suure kihis veidi sinaka varjundiga. 2. Kuidas muutub vee keemistemperatuur mägedes
Seega kannab voolujoon informatsiooni voolu suuna, mitte aga selle kiiruse kohta. Samakiirusjoonteks ehk isotahhideks nimetatakse jooni, mis ühendavad punkte, kus voolukiirus omab sama väärtust. isotahhid ei anna informatsiooni kiiruse suuna kohta Gaasi voolamise kirjeldamiseks on vaja kaks eeltingimust: 1. Gaas on mitte kokkusurtav 2. Voolamisel puudub takistusjõud - p - - l nimetatakse üldjuhul rõhu gradiendiks. - grad p = p*a EULERI VÕRRAND Pidevuse võrrand: BERNOULLI VÕRRAND - dünaamiline rõhk Ja bernoulli võrrand - Kui voolamine toimub nii, et voolava keskkonna kihid omavahel ei segune, nimetatakse taolist voolamist laminaarseks. turbulentse voolamisega, kus tekkinud keeriste tõttu leiab aset erinevate vooluse paralleelsete kihtide intensiivne segunemine Üldine seaduspärasus on, et väiksemate voolukiiruste juures on voolamine
.. seast üks vastavalt muutuja (ülejäänud konstandid). Olgu antud funktsioonid w = f ( u , v,...) , u = u ( x, y , z ,...) , v = v( x, y , z ,...) , ... Siis wx = wu u x + wv v x + ... w y = wu u y + wv v y +... wz = wu u z + wv v z + ... ... wu, wv, ... leidmisel on u, v, ... seast üks vastavalt muutuja (ülejäänud konstandid). Gradient Olgu antud funktsioon u = u ( x, y, z ) . ( Funktsiooni u gradiendiks grad u nim. vektorit grad u = u x , u y , u z . ) Funktsiooni u gradiendiks punktis P0 nim. vektorit grad u ( P0 ) = ( u x ( P0 ); u y ( P0 ); u z ( P0 ) ) . Tuletis antud suunas Olgu antud funktsioon u = u ( x, y, z ) ja ruumivektor s . s
gradu = i+ j+ k x y z u = u ( x, y, z ) määramispiirkonna D nimetatakse funktsiooni igas punktis vektorit, mille projektsioonideks koordinaattelgedel u ( x, y, z ) gradiendiks. Öeldakse, et on selle funktsiooni osatuletiste piirkonnas D on määratud gradiendi vektorväli. 9. Taylori valem kahe muutuja funktsiooni f ( x , y ) = f ( a , b ) + f x ( a , b )( x - a ) + f y ( a , b )( y - a ) + puhul (juhul n=2, koos jääkliikmega, tuletamiseta). +
T/T1= (P/P1)0,288 T/T1- lõpp ja algtemperatuuri absoluutse skaala järgi P- lõpprõhk P1 – algrõhk 4. iseloomusta temperatuuri kuiv- ja märgadiabaatilist gradienti. Adibiaatilisel tõusmisel õhutemperatuur nii kuivas kui ka küllastumata niiskes õhus langeb peaaegu 1 kraadi võrra 100m kohta- seda t muutust nim kuivadibiaatiliseks gradiendiks. Kirjeldatud t langus leiab aset, kui õhk on veeaurust küllastamata. Märgadibiaatiline gradient- selle all mõistetakse t langust 100m kohta küllastunud õhus. 5. kirjelda ja põhjenda õhutemperatuuri ööpäevast käiku parasvööndis. 6. millised on temperatuuri aperioodilised muutused? Mõõtmised näitavad, et sageli esineb teistsuguseid t käike, milles ilmneb korrapäratud häireid, mis ei kordu kindlate ajavahemike tagant- aperioodid. 7
ehk skalaari. Igale määramispiirkonna punktile vastab skalaar. Seega saab kahe muutuja funktsioonist kõneleda kui skalaarväljast. Kolme muutuja funktsiooni u=(x,y,z) seab igale ruumi punktile M(x,y,z) funktsiooni määramispiirkonnast V vastavusse skalaari, st. piirkonnas V tekitab kolme muutuja funktsioon skalaarvälja. Skalaarvälja z=f(x,y) gradientvektoriks ehk gradiendiks nim. vektorit Skalaarvälja u=f(x,y,z) gradientvektoriks ehk gradiendiks nim. vektorit Esimesel juhul tekib tasandi mingis punktihulgas ja teisel juhul ruumi punktihulgas vektorväli, mida nim. gradientide väljaks. Teoreem 13.1. Funktsiooni z=f(x,y) tuletis vektori s suunas võrdub gradientvektori projektsiooniga vekroti s suunale. Järeldus 1. Tuletis gradiendiga ristuvas suunas võrdub nulliga. Järeldus 1 on ilmne, sest antud juhul =/2. Järeldus 2. Tuletis on suurim gradiendi suunas ja arvuliselt võrdne gradiendi pikkusega
Kui funktsioonid x = x(u; v) ja y = y(u; v) on diferentseeruvad punktis P(u; v) ning funktsioon z = z(x; y) on diferentseeruv punktis (x(P); y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P); y(P)) = z(u; v) osatuletised avalduvad kujul zu = zxxu + zyyu; zv = zxxv + zyyv 8) Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. Funktsiooni u = f (x1; ... ; xn) gradiendiks punktis P(x1; ... ; xn) nimet selle funktsiooni osatuletistest koosnevat vektorit 9. Olgu ühemuutuja funktsioon y=f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2)
dz= z x x + z y y = z x dx + z y dy . Täisdiferentsiaali kasutatakse näiteks ' ' ' ' ligikaudsel arvutamisel. Osatuletise kasutamine ligikaudsel arvutamisel- asendan ligikaudsed arvud arvudega, millega on kergem tehteid teostada ning erinevused panen kirja muuduna. Seejärel kasutan valemit. z x' x + z 'y y = z x' dx + z 'y dy . Ja võtan arvesse asjaolu , et xdx ja ydy. Gradiendi mõiste, tema tähendus- Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetatakse vektorit ' ' grad z = ( z x ; z y ) . Kehtib analoogselt ka kolme ja enama sõltumatu muutuja korral. Konkreetses punktis saame gradiendiks arvvektori, mis näitab funktsiooni kõige kiirema kasvu suunda(mis suunas liikudes jõuame nn. paremale nivoojoonele), gradient on risti nivoojoonega. Funktsiooni tuletis ühikvektori suunas- Funktsiooni z = f(x, y) tuletiseks ühikvektori
1 kg kütuse põlemisel saadakse mootoris soojust 45MJ, sellest hajub keskkonda mootori soojenemise, väljuvate heitgaaside näol 30 MJ. 15 MJ moodustab auto mootori poolt tehtav mehaaniline töö. 101. Millise suuruse abil iseloomustatakse soojusülekannet arvuliselt? 1J/1s=1W 102. Nim soojusülekande liigid. Soojusjuhtivus Soojuskiirgus Konvektsioon 103. Kuidas toimub soojusjuhtivus tahketes ainetes? Osakeste võnkumisega 104. Mida nim temperatuuri gradiendiks? Temperatuuri muutus pikusühiku kohta grad T = T/l ühik: 1K/m Cº/m 105. Mida nim soojusvooks? Soojusvool ühe pinnaühiku kohta 106. Mis on soojusvoo ühik? 1J/1s=1W 107. Mida näitab õhu soojusjuhtivustegur k=0,024 W/m · K? Tegur k näitab, et kuubist, mille külg on 1m, läbib soojusvoog 0,024 W, kui temperatuuride vahe on 1 K 108. Mida näitab tegur U = 1,1 W / m2 · K? Tegur U näitab, kui suur on soojusvoog 1,1 W läbi piirde, mis 1m2, kui sise- ja ka välistemperatuuride vahe on 1K.
Looduslikud jagunevad: · Mehaanilisteks, kus migratsiooni intensiivsus väheneb järsult. · Füüsikalis-keemilisteks, kus temperatuur, rõhk, Eh, pH jt muutuvad järsult. · Biogeokeemilised, kus biogeense migratsiooni intensiivsus väheneb kivisüsi, turvas, elementide kontsentreerumine organismides. Ka tehnogeensete barjääride seas saab eristada mehhaanilisi, füüsikalis-keemilisi ja biokeemilisi. Geokeemiliste näitajate muutust migratsiooni suunas nimetatakse barjääri gradiendiks G: m2 - m1 G= l kus m1 ja m2 on näitaja väärtus enne ja pärast barjääri ning l on barjääri laius. 15. Maakoore enamlevinumad elemendid? Peaaegu pool, 47% maakoorest koosneb hapnikust, teisel kohal on räni 29,5% ja kolmas on alumiinium, 8,05% - kokku moodustavad nad 84,55%. Kui neile lisada veel Fe (4,65%), Ca (2,96%), Na (2,50%), K /2,50%), Mg (1,87%) ja Ti (0,45%), siis saame kokku 99,48%. Ülejäänud elementidele jääb siis 0,52%. Enamiku elementide
..,an) on funktsioonil u=f(x1,...,xn) tinglik lokaalne maksimum F1( x1,..., xn) = 0 lisatingimusel Fm( x1,..., xn) = 0 kui leidub punkti A selline ümbrus U, et PU korral F1(P)=...=Fm(P)=0 ja PAf(A)>f(P) Hulka nim sidusaks, kui selle hulga iga kaks punkti saab ühendada selles hulgas sisalduva joonega Väljateooria põhimõisted: u=f(x,y,z)-skalaarväli; F=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))-vektorväli Vektorit f/x(P), f/y(P), f/z(P), nim skalaarvälja f gradiendiks punktis P(x,y,z) ja tähistatakse (grad f)(P)= f/x(P), f/y(P), f/z(P) X Y Z ( P) + ( P) + ( P) Skalaari x y z nim vektorvälja F divigradientsiks punktis P ja X Y Z ( P) + ( P) + ( P) tähistatakse (div f)(P)= x y z Z Y X Z Y X
loetakse atmosfääri ülapiiri kõrguseks 1000 1200 km Päikesekiirgus Päikeselt lähtuv elektromagnetlainete ja aineosakeste voog Õhurõhk rõhk, mida avaldab pinnaühikule selle kohal asuv õhusamba kaal ; normaalseks õhurõhuks loetakse 760 mmHg (1013,25 mbar = 1atm) ; õhurõhk on üks tähtsamaid ilma kujundavaid tegureid ; õhurõhk väheneb koha üldkõrguse suurenedes keskmiselt 10 mm 100 m kohta, mida nimetatakse õhurõhu vertikaalseks gradiendiks Kõrgrõhuala piirkond, kus õhurõhk on kõrgem kui ümbritsevatel aladel. Madalrõhuala piirkond, kus õhurõhk on madalam kui ümbritsevatel aladel Passaadid 30. laiuskraadidelt ekvaatori suunas puhuvad püsivad tuuled, mis maakera pöörlemise tõttu ümber oma telje (Coriolisi jõu mõju) kalduvad põhjapoolkeral meridiaanisuunast paremale (kirdepassaadid) ja lõunapoolkeral vasakule (kagupassaadid) Läänetuuled 60
L ( x , y )=f ( x 0 ; y 0 ) +f x ( x0 ; y 0 ) ( x−x 0 ) + f y (x 0 ; y 0 )( y− y 0 ) nimetatakse orginaalse funktsiooni f(x,y) lineariseerimiseks punktis ( x0 ; y0 ; z0 ) IDEE: 12.Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi df =f x dx + f y dy+ f z dz Rakendusi: veahinnang, kujundi ruumala 13.Gradient(definitsioon, omadused ja tähistused) DEF: Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetatakse n- mõõtmelist vektorit, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised grad f =(f x , f y , f z) , ∇ f =grad f OMADUSED: Funktsiooni tuletis on maksimaalne gradiendi suunas ja võrdub gradiendi pikkusega ∥ grad f ∥=√ f 2x +f 2y + f 2z . Gradient on funktisooni nivoopinna normaaliks(risti nivoopinnaga) ja
konservatiivne jõud peab olema risti ekvipotentsiaalpinnaga tehtud töö on W = C1 -C1 = 0 Konservatiivne jõud on alati risti ekvipotentsiaalpinnaga ja on suunatud seejuures potentsiaalse energia kahanemise suunas. 113. Millega võrdub konservatiivse jõu töö üle kinnise kontuuri? Üle lahtise kontuuri punktist A punkti B? Konservatiivse jõu töö üle kinnise trajektoori on alati null. WAB=VA VB -=(++) 114. Millise skalaarfunktsiooni gradiendiks on potentsiaalne energia? Konservatiivne jõud on skalaarfunktsiooni -V(x, y, z) gradiendiks 115. Kuidas avaldub tehtud töö potentsiaalsete energiate kaudu? Kineetiliste energiate kaudu? konservatiivse jõu poolt tehtud töö avaldub potentsiaalse energia väärtuste vahena, kusjuures algasendi potentsiaalsest energiast tuleb ära võtta lõppasendi potentsiaalne energia. Masspunkti kineetilise energia muut masspunkti liikumisel algasendist lõppasendisse on võrdne punktile
(x,y,...,)=f(x,y,...)+g(x,y,...), kus on mingi kordaja, ja lahendame süsteemi x=0, y=0, ..., =g(x,y,...)=0 Funktsiooni tuletis Olgu u=(,) ühikvektor. Funktsiooni f(x,y) tuletiseks punktis (a,b) suunas u antud suunas nimetatakse suurust Duf(a,b) ¿ fx ( a , b )+ fy ( a , b ) Gradient du du du Gradiendiks nimetatakse vektorit u= i+ j+ k dx dy dz Kahekordne integraal Funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D nimetatakse tema integraalsumma piirväärtust, kui suurim osapiirkondade diameeter läheneb nullile, kui see piirväärtus eksisteerib ja ei sõltu piirkonna D osadeks jaotamise
Mõiste tuleneb sellest, et taoline funktsioon seab etteantud vektorile vastavusse reaalarvu ehk skalaari. Olgu antud 2n muutuvat suurust x1, . . . , xn ja u1, . . . un. Kujutist, mis seab igale vektorile x = (x1, . . . , xn) teatud hulgast X ⊆ Rn vastavusse ühe kindla vektori u = (u1, . . . , un) nimetatakse n- mõõtmeliseks vektorväljaks. 19. Defineerida skalaarvälja gradient. Mis on nabla? Olgu antud skalaarväli u = F(x). Skalaarvälja F gradiendiks kohal x nimetatakse järgmist vektorit: gradF ( ⃗x )=¿) Gradiendi tähistamiseks kasutatakse ka sümbolit ⃗ ∇ (või ∇), mis kannab nime nabla. 20. Milline vektorväli on potentsiaalne? Mis on vektorvälja potentsiaal? Vektorvälja ⃗f nimetatakse potentsiaalseks ehk konservatiivseks, kui leidub skalaarväli F nii, et ⃗f = gradF. Seejuures nimetatakse skaalarvälja F vektorvälja ⃗f potentsiaaliks. 21
(x-xo)/x*(to)= (y-yo)/y*(to)=(z-zo)(z*(to) Tasand, mis läbib punkti M on risti puutujaga, on normaaltasand: x*(to)(x-xo)-y*(to)(y-yo)+z*(to)(z-zo)=0 10. Skalaarväli. Funktsiooni suunatuletis (Margus) 11. Skalaarvälja gradient Funktsiooni gradiendi mõiste ja omadused Olgu u=f(x,y,z) kolmemuutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et osatuletised f'x, f'y ja f'z eksisteerivad piirkonnas D. Vektorit gradf(P)=(f'x(P),f'y(P),f'z(P)) nimetatakse skalaarvälja f gradiendiks punktis P. gradf ( P ) × s 3 1. Olgu s vektor ruumis R . Siis kehtib valem s f ' ( P ) = |s|
ränist ja magneesiumist. Selle vöö paksuseks loetakse umbes 900 km. Selles sügavuses ilmneb aine elastsus (Mohhorovitshi pind). Vööd 900 km kuni 2900 km-ni nimetatakse vahevööks, sügavamal asub nn. tuum, kus 5100 km sügavusel asub välistuuma ja sisetuuma vaheline eralduspind mida nimetatakse tuuma piiriks. Temeratuur Keskmiselt iga 100 m kohta tõuseb temperatuur umbes 3 kraadi võrra. Sellist temperatuuri tõusu nimetatakse geotermiliseks gradiendiks. Tegelikkuses on geotermiline gradient muutuv suurus ja sõltub ala geoloogilisest ehitusest, kõikudes 0-25° 100 m kohta. Suurim on see tegutsevate vulkaanide alal, suhteliselt väiksem rahuliku geoloogilise ehitusega piirkondades. Samuti väheneb geotermiline gradient sügavuse suunas pidevalt, kuni muutub nulliks. Maakoore alumisel piiril on temperatuur ca 900-1000°C piires. Maa tuuma piiril - 2000 2500 kraadi. Maa südamikus ei ületa igal juhul 10 000 kraadi.
E p = -Fx , x (5.31) konservatiivse jõu komponendi vastandväärtus võrdub potentsiaalse energia osatuletisega vastava koordinaadi järgi. Seega konservatiivne jõud kui vektor avaldub järgmiselt E p E p E p F =- i - j- k = -grad E p . (5.32) x y z Konservatiivne jõud võrdub potentsiaalse energia gradiendiga. Skalaarse suuruse gradiendiks nimetatakse niisugust vektorit, mille komponentideks on selle skalaari osatuletised vastava koordinaadi järgi. Skalaarse suuruse gradient näitab selle suuruse kõige kiirema kasvu suunda. Näidata, et homogeenses raskusjõu väljas, kus potentsiaalne energia on E p = mgz , saame grad E p = -k mg = -Fg . kx 2 Elastsusjõu väljas, kus E p = , vastavalt 2
kraadi võrra, nimetatakse geotermiliseks astmeks. Kasutatakse ka mõistet geotermiline gradient, mis näitab, mitu kraadi tõuseb maakoore temperatuur sügavamale minnes iga 100 m kohta. Geotermilise gradiendi keskmine väärtus on umbes 3 ºC 100 m kohta. -6- Põhjavee liikumine Põhjavesi liigub kõrgema veetasemega toitealadelt madalamatele, järgides veepinna kallet, mida nimetatakse ka gradiendiks. JÕEHÜRDOLOOGIA Hüdrograaf võrk, jõe valgla: Mingil maa-alal paikn jõed, ojad, järved, tehisveekogud (kraavid, kanalid, veehoidlad) ja sood mood hüdrog võrgu. Jõgi saab alguse jõelähtest (allikast, järvest soost, liustikust) ning suubub teise jõkke (peajõkke), järve, merre või ookeani. Teise jõkke suubuv jõgi on lisajõgi. Jõgi jaguneb ülem-, kesk- ja alamjooksuks.
Osatuletise kasutamine ligikaudsel arvutamisel. Kasutame sama võtet, mida ühe ühe muutuja funktsiooni väärtuste ligikaudsel arvutamisel: Diferentsiaal on (väikeste x ja y korral) ligikaudu võrdne funktsiooni muuduga z dz . ' ' z(x+x;y+y) = z(x;y) +z z(x;y) +dz = z(x;y) + z x ( x; y )x +z y ( x; y )y Gradiendi mõite ja tema tähendus Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetakse vektorit gradz=(Z´x;Z´y) Kehtib sama moodi ka kolme ja enama muutuja korral. Gradieniks saab arvvektori, mis näitab funktsiooni kiireima kasvu suuna, gradient on risti nivoojoonega. Funktsiooni tuletis ühikvektori suunas Funktsiooni Z=f(x,y) tuletiseks ühikvektori r0=(a,b) suunas nimetatakse selle ühikvektori ja gradiendi skalaarkorrutist grad* r0 z=a* Z´x + b* Z´y Osatuletise kasutamine kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite uurimisel
kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse ühe kindla vektori ruumis R (astmes m), nimetatakse piirkonnas D antud vektorväljaks. · Skalaarvälja gradient olgu u= (x1, x2,...,xm) m-muutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et funktsioonil on olemas kõik osatuletised piirkonnas D. Vektorit grad (P)=( 'x1(P), 'x2(P),..., 'xm(P)) nimetatakse skalaarvälja funktsiooni gradiendiks punktis P. [kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse vektori grad (P), nim.. Skalaarvälja gradientväljaks] · Gradiendi omadused: 1) suunatuletis: Olgu s vektor ruumis Rm Siis kehtib valem ' s (P)= grad (P)·s/|s|. Erijuhul |s|=1 taandub eelnev valem kujule 's (P)= grad (P) · s. 2) tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui s on gradiendisuunaline. Sellisel juhul 's(P)=| grad (P)|.
kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse ühe kindla vektori ruumis R (astmes m), nimetatakse piirkonnas D antud vektorväljaks. · Skalaarvälja gradient olgu u= (x1, x2,...,xm) m-muutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et funktsioonil on olemas kõik osatuletised piirkonnas D. Vektorit grad (P)=( 'x1(P), 'x2(P),..., 'xm(P)) nimetatakse skalaarvälja funktsiooni gradiendiks punktis P. [kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse vektori grad (P), nim.. Skalaarvälja gradientväljaks] · Gradiendi omadused: 1) suunatuletis: Olgu s vektor ruumis Rm Siis kehtib valem ' s (P)= grad (P)·s/|s|. Erijuhul |s|=1 taandub eelnev valem kujule 's (P)= grad (P) · s. 2) tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui s on gradiendisuunaline. Sellisel juhul 's(P)=| grad (P)|.
suurem on õhu tihedus. (Normaalne samba pikkus 760mm).Õhk on seda raskem, mida rohkem ta on kokku surutud., st mida suurem on õhurõhk. 1m3 õhku kaalub normaaltingimustes 1,3kg. Õhu tiheduse vähenemine kõrgusega. Kõrgusega väheneb õhu tihedus, seega ka rõhk. Maakera lähedased õhukihid on ülemistest tihedamad, sest üleval pool asuv ühk surub alumised õhukihid kokku. Seega mida kõrgemale tõusta, seda väiksemaks muutub õhu tihedus. Õhurõhu vertikaalseks gradiendiks nimetatakse õhurõhu langust millibaarides iga 100m kõrguse kohta. Gradient oleneb õhurõhu suurusest ja temperatuurist. Kui tõusta 100m, siis vheneb õhurõhk 12.5 mb. Suurem osa atmosfääri massist on koondunud maapinna lähedusse. ( 5km kõrguseni on 50% atmosfääri massist ja 10km kõrguseni 95%).Sellepärast vähenebki õhurõhk kiiresti kõrguse kasvades. Baromeetriline kõrgusaste näitab, mitu meetrit tuleb kõrgemale tõusta või madalamale
siseenergia arvelt). Mida kõrgemaks õhumass läheb, seda madalamaks läheb temperatuur. Tõusvas õhuvoolus temperatuur langeb, laskuvas tõuseb. Temperatuuri adiabaatiline gradient näitab temperatuuri muutust k/100m kohta vertikaalses suunas. Kuivadiabaatiline kui õhutemperatuur langeb adiabaatilisel tõusmisel nii kuivas kui ka küllastumata niiskes õhus peaaegu 1 kraadi võrra 100m kohta, siis seda temp muutust nimetataksegi kuivadiabaatiliseks gradiendiks. See leiab aset, seni kuni õhk on veeaurust küllastumata. Märgadiabaatiline gradient kui veeaur on küllastunud ja adiabaatiline tõusmine kestab edasi siis langeb temperatuur. Kuna adiabaatilisel tõusmisel küllastunud õhus leiab aset kaks omavahel vastandlikku protsessi : 1)õhu paisumine, 2)veeauru kondensatsioon, ...ja esimene on neist suurema osatähtsusega, kui
kehad kiirgavad natuke(päike rohkem, kapp vähem). 60. Soojusjuhtivus. Temperatuuri väli ja temperatuuri gradient. Fourier' seadus. Soojusjuhtivus Soojuse leviku protsess kehade sees, mis on tingitud selle aine elementaarosakeste liikumisest temperatuuride vahe olemasolul. Keha temperatuuriväljaks - nimetatakse selle keha temperatuuride väärtuste kogumit selle ruumi või keha kõikides vaadeldavates punktides. Temperatuuri gradiendiks nimetatakse mingisuguses punktis temperatuuuri juurdekasvu piirväärtust isotermide vahelise ristlõigu pikkusele [ lim(dt/dn) ] joonis. Vihikus Temperatuuri muutus on maksimaalne ja temp.muutumise kiirus on max. Normaali suunas. Fourier seadus Soojusvoog kehades on võrdeline temperatuuri gradiendiga : q = - × grad (t ) [W/m²] , kus lambda on soojusjuhtivustegur. 61. Soojusjuhtivusteguri mõiste. Millest oleneb materjalide ja ainete soojusjuhtivustegur ja kuida
Spektri ül on erineva lainepikkusega kiired üksteisest eraldada. Kiired Kuivadiabaatiline – kui õhutemperatuur langeb adiabaatilisel tõusmisel nii kuivas kui ka küllastumata niiskes õhus peaaegu 1 kraadi võrra murduvad seal, kõige vähem murdub punane, rohkem violetne .Solaarkonstant S 0 iseloomustab päikesekiirguse hulka atmosfääri ülemisel 100m kohta, siis seda temp muutust nimetataksegi kuivadiabaatiliseks gradiendiks. See leiab aset, seni kuni õhk on veeaurust küllastumata. piiril. Solaarkonstandiks nimetatakse päikesekiirgusehulka kalorites, mis läbib atmosfääri ülemisel piiril kiirtega risti asetatud 1 cm2 suurust Märgadiabaatiline gradient – kui veeaur on küllastunud ja adiabaatiline tõusmine kestab edasi siis langeb temperatuur. Kuna adiabaatilisel pinda 1 minutis eeldusel, et Maa asub Päikesest keskmisel kaugusel
km/sek) (Igal kirgusel on omaette kindel lainepikkuste diapasoon, soojuskiirguse all mõistetakse põhiliselt infrapunast, e nähtamatut kiirgust) 18 39. Soojus juhtivus ( temperatuuri väli, gradient ja Fourier'i seadus ja soojusjuhtivustegur). Temperatuuri väärtusi mingi süsteemi või keha kõikides punktides nimetatakse selle süsteemi või keha temperatuuri väljaks. Temperatuuri gradiendiks mingis meelevaldse keha punktis A nimetatakse selle punkti A juures oleva temperatuuri muutuse t ja sellele muutusele vastavate isotermilist ristlõigu n pikkuse suhte piirväärtust. t lim n = gradt n 0 (K/m) gradient on maksimaalne ristisuunas (n-i suunas) kuna teepikkus on seal minimaalne.(joonis) Fourier´i seadus: Soojusvoog Q kehades on võrdeline temperatuuri gradiendiga.
kehad kiirgavad natuke(päike rohkem, kapp vähem). 60. Soojusjuhtivus. Temperatuuri väli ja temperatuuri gradient. Fourier' seadus. Soojusjuhtivus Soojuse leviku protsess kehade sees, mis on tingitud selle aine elementaarosakeste liikumisest temperatuuride vahe olemasolul. Keha temperatuuriväljaks - nimetatakse selle keha temperatuuride väärtuste kogumit selle ruumi või keha kõikides vaadeldavates punktides. Temperatuuri gradiendiks nimetatakse mingisuguses punktis temperatuuuri juurdekasvu piirväärtust isotermide vahelise ristlõigu pikkusele [ lim(dt/dn) ] joonis. Vihikus Temperatuuri muutus on maksimaalne ja temp.muutumise kiirus on max. Normaali suunas. Fourier seadus Soojusvoog kehades on võrdeline temperatuuri gradiendiga : q grad (t ) [W/m²] , kus lambda on soojusjuhtivustegur. 61. Soojusjuhtivusteguri mõiste. Millest oleneb materjalide ja ainete soojusjuhtivustegur ja kuida
paisumisel tööd. Laskuv õhuosake surutakse kokku ning seetõttu soojeneb ning muutub väiksemaks. Mõlemal juhul eeldatakse adiabaatilist protsessi see tähendab, et õhuosake ei vaheta ümbritseva õhuga soojust. Kuni õhuosakeses on niiskus küllastumata, on adiabaatilise soojenemise/jahtumise kiirus jääv = 9,8oC/1km on kuivadiabaatiline gradient. Kui õhu soojenemisel/jahtumisel leiab aset kondensatsioon, siis nimetatakse seda märgadiabaatiliseks gradiendiks. Adiabaatilised gradiendid ei ole konstantsed, need sõltuvad temperatuurist, õhurõhust ja niiskusest. See tõttu edaspidistes arvutustes kasutame väärtust 6oC/1km. Kui tõusev õhk jahtub, siis tema suhteline niiskus kasvab, sest temperatuur läheneb kastepunktile. Kui õhk jahtub kastepunktini, siis on tegu küllastusega ning edaspidisel tõusul algab kondensatsioon. Kondensatsioonil vabaneb varjatud soojus (latentne), tänu millele õhk jahtub vähem kui kuiv õhk samades tingimustes.
Konservatiivne jõud peab olema risti ekvipotentsiaalpinnaga ja on suunatud potentsiaalse energia kahanemise suunas. 308. Millega võrdub konservatiivse jõu töö üle kinnise kontuuri? Üle lahtise kontuuri punktist A punkti B? Konservatiivse jõu töö üle kinnise trajektoori on alati null. Konservatiise jõu töö üle avatud trajektoori punktist A punkti B on WAB = VA - VB 309. Millise skalaarfunktsiooni gradiendiks on potentsiaalne energia? Konservatiivne jõud on skalaarfunktsiooni - V(x, y, z) gradiendiks F = - grad V 310. Kuidas avaldub tehtud töö potentsiaalsete energiate kaudu? Kineetiliste energiate kaudu? Tehtud töö avaldub potentsiaalsete energiate kaudu W = V1 V2 Tehtud töö avaldub kineetiliste energiate kaudu W = T1 T0 311. Millega on võrdne antud jõuvälja punktis asetseva punktmassi potentsiaalne energia? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus?
Olgu D piirkond ruumis Rm . Kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse u ¨he kindla vektori ruumis Rm , nimetatakse piirkonnas D antud vektorv¨aljaks. Olgu u = f (x1 , x2 , . . . , xm ) m-muutuja funktsioon ehk skalaarv¨ ali piirkonnas D. Eeldame et funktsioonil f on olemas k~oik osatuletised piirkonnas D. Vektorit gradf (P ) = ( fx1 (P ), fx2 (P ), . . . , fxm (P ) ) nimetatakse skalaarv¨alja ehk funktsiooni f gradiendiks punktis P . Kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse vektori gradf (P ), nimetatakse skalaarv¨ alja f gradientv¨ aljaks. Omadus 1. Olgu s vektor ruumis Rm . Siis kehtib valem gradf (P ) · s fs (P ) = . (6.38) |s| Erijuhul |s| = 1 taandub valem (6.38) kujule
muutust,mille juures vaadeldaval gaasil puudub soojusvahetus ümbrusega. Temperatuuri kuiv- ja märgadiabaatiline gradient:Õhu jahtumist adiabaatilisel tõusmisel iseloomustab temp.adiabaatiline gradient.Selle all mõistetakse temp.langust ühe pikkusühiku kohta vertikaalis.Tavaliselt võetakse vertikaalsihis pikkusühikuks 100m.Adiabaatilisel tõusmisel langeb nii kuivas kui ka küllastamata niiskes õhus temp.ca 1kraadiC võrra 100m kohta.seda temp. muutust nim. Kuivadiabaatiliseks gradiendiks ja tähistatakse a (=1kraad/100m).Temp. langust adiabaatilisel tõusmisel veeaurust küllastunud õhus iseloomustab märgadiabaatiline gradient a`. Selle all mõistetakse temp.langust 100m kohta niiskusest küllastunud õhus.See sõltub rõhust ja temp.Madalamates õhukihtides valitseva rõhu ja temp.juures a`=0,5-0,6 kraad/100m. Veekogude kohal (jõgedel, järvedel) võivad esineda ka nn auramisudud. Põhjuseks on siin vee auramine soojemalt veepinnalt külmemasse õhku
284. Mis on ekvipotentsiaalpind? 285. Mis on potentsiaalne energia (selgitada oma sõnadega)? 286. Kuidas on seotud elementaartöö ja elementaar-potentsiaalne energia? 287. Kuidas asetseb konservatiivne jõud ekvipotentsiaalpinna suhtes? 288. Millega võrdub konservatiivse jõu töö üle kinnise kontuuri? Üle lahtise kontuuri punktist A punkti B? 289. Millise skalaarfunktsiooni gradiendiks on potentsiaalne energia? 290. Kuidas avaldub tehtud töö potentsiaalsete energiate kaudu? Kineetiliste energiate kaudu? 291. Millega on võrdne antud jõuvälja punktis asetseva punktmassi potentsiaalne energia? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? 292. Millega on võrdne punktmasside süsteemi potentsiaalne energia? 293. Millega võrdub punktmassi kineetine energia? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus?
284. Mis on ekvipotentsiaalpind? 285. Mis on potentsiaalne energia (selgitada oma sõnadega)? 286. Kuidas on seotud elementaartöö ja elementaar-potentsiaalne energia? 287. Kuidas asetseb konservatiivne jõud ekvipotentsiaalpinna suhtes? 288. Millega võrdub konservatiivse jõu töö üle kinnise kontuuri? Üle lahtise kontuuri punktist A punkti B? 289. Millise skalaarfunktsiooni gradiendiks on potentsiaalne energia? 290. Kuidas avaldub tehtud töö potentsiaalsete energiate kaudu? Kineetiliste energiate kaudu? 291. Millega on võrdne antud jõuvälja punktis asetseva punktmassi potentsiaalne energia? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? 292. Millega on võrdne punktmasside süsteemi potentsiaalne energia? 293. Millega võrdub punktmassi kineetine energia? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus?
..,n) muudu xi. Tähistame muutu t(s/s2)-f(a))/t = du/dt(0) = (k=1, n) fxk(a) Sk/s2 = (k=1, n)fxk (a)cosk. (xj)u:=f(x1,...,xj-1,xj +xj,xj+1,...,xn)- f(x1,...,xj-1,xj,xj+1,...,xn) . Funktsiooni u=f(x1, ..., xn) gradiendiks punktis P(x1, ..., xn) nimetatakse selle funktsiooni osatuletistest koosnevad vektorit (grad f) Kui eksisteerib piirväärtus lim ((xj)-->0) (xj)u / xj ,siis seda piirväärtust (P) = (f/x1(P), f/x2(P), ..., f/xn(P)). Hamiltoni operaatoriks ehk nablaoperaatoriks nimetatakse operaatorit := (/x1, nimetatakse funktsiooni u = f (x1 , . .
u u = s z Märkus. ? Kahe muutuja funktsiooni u = f ( x, y ) ja vektori s = { s1 , s 2 } korral saab leida seose suunakoosinuste vahel = - cos = cos - = sin 2 2 Järelikult z z z = cos + sin (10.2') s x y s s cos = 1 , cos = sin = 2 s? = s12 + s 22 s s Def 10.2. Mitme muutuja funktsiooni u gradiendiks nimetatakse vektorit mille koordinaatideks on selle funktsiooni osatuletised. u u z = f ( x, y ) , grad z = , x y u u u u = f ( x, y, z ) , grad u = , , x y z u u u u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) , grad u = , ,..., x1 x 2 x n Vaatleme veelkord valemit (10.2)
Materjal/aine Kalju Lott 5.) Difusioonikonstandi ja difusiooni sügavuse avaldise tuletamine. Difusioonikonstandi tuletus Olgu meil süsteem, mis on mõtteliselt silinder x-telje ümber pindalaga S. Olgu selles vedelik, milles on mingi aine heterogeense kontsentratsiooniga. Liikudes mööda silindrit pikkuse dX võrra muutub konts. dC võrra. dC/dX nimetatakse kontsentratsiooni gradiendiks. Kontsentratsioon üritab end võrdsustada kogu silindris (et oleks tasakaal). .) Gradiendi kohta kehtib järgmine seadus nn. Ficki I seadus. See seadus tähendab, et ainekoguse liikumiskiirus, mis liigub kontsentratsiooni tasakaalustamiseks on võrdeline kontsentratsiooni gradiendiga. Samas kirjeldab ainekoguse liikumiskiirust ka järgmine seadus Paneme selle kokku ülaloleva valemiga. Siis saame, et
Funktsiooni f diferentseeruvuse tõttu 1 , 2 0 kui x, y 0 . x y f (Q ) - f (P ) Seega 1 +2 0 , kui 0 ning lim = f x (P ) cos + f y (P ) cos . 0 6 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) Def. Funktsiooni z = f ( x, y ) gradiendiks punktis P = ( x, y ) nimetatakse vektorit f (P ) = grad f (P ) = ( f x (P ), f y (P )) . r Seega võime funktsiooni f tuletise vektori s suunas punktis P arvutada skalaarkorrutise abil: r f (P ) s r = grad f (P ) s e , kus s e = r .
mehaaniline koguenergia muutumatu. §24. Jõu ja potentsiaalse energia vaheline seos. Et leida seos peame välja arvutama elementaartöö A, mille sooritavad välja jõud suvaliselt valitud suunas toimunud keha nihkel s. See töö A=fss, kus fs on jõu f projektsioon s sihil. A= -U. fss= -U, fs= - U/s. fs= - lims0U/s. fs= - U/s. fx= - U/x, fy= - U/y, } f= - (U/x i + U/y j + U/z k ). fz= - U/z. Vektorit a/x i + a/y j + a/z k, Kus a on x,y,z skalaarne funkt., nim. selle skalaari gradiendiks ning tähist. grad a. Järelikult on jõud võrdne vastandmärgiga võetud pot. en. gradiendiga: f= - grad U. §25. Absoluutselt elastne ja mitteelastne põrge. Absoluutselt elastseks nim. põrget, mille korral ei esine kehade meh. en. muun-dumist teisteks, mittemehaanilisteks en. vormideks. Niisugusel põr-kel muundub kehade kin. en. kas osaliselt või täielikult elastse de-formatsiooni pot. en.-ks. Pärast seda kehade kuju taastub ning nad tõukuvad. Selle tulemusena muundub elastse defor
Potsensiaalse energia gradient. Jõud, mille väljas keha liigutamisel tehtud töö ei sõltu trajektoori kujust, vaid ainult keha potentsiaalsete energiate vahest trajektoori alg- ja lõpp-punktis nim konseravtiivseteks jõududeks. Samapotentsiaalipindadeks nimetatakse selliseid pindu, mille igas punktis on vaadeldava proovikeha potentsiaalne energia ühesugune. Konservatiivne jõud võrdub potensiaalse energia gradiendiga. Skalaarse suuruse gradiendiks nimetatakse niisugust vektorit, mille komponentideks on selle skalaari osatuletised vastava koordinaadi järgi. Skalaarse suuruse gradient näitab selle suuruse kõige kiirema kasvu suunda. 13. Põrge. Absoluutselt mitteelastne põrge. Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga. Absoluutselt elastne põrge on selline, mille käigus kehade summaarne kineetiline energia ei muutu: kogu kineetiline energia muutub deformatsiooni potentsiaalseks
Rõhk poorivees suureneb ja efektiivpinge väheneb h1wvõrra. Efektiivpinge vähenemine vähendab ka pinnase tugevust. Kui 11 h1on piisavalt suur, kaob pinnaseosakeste vaheline efektiivpinge täielikult ja pinnas muutub tugevuseta vedelikuks, milles pinnaseosakesed heljuvad. Tekib niinimetatud ebavesiliiv. Ilmselt tekib selline olukord siis, kui mida nimetatakse kriitiliseks gradiendiks. Nagu selgub, sõltub I krainult pinnase mahukaalust. Järelikult võib "vesiliivaks" muutuda tõusva veevoolu puhul igasuguse terajämedusega liiv-vi kruuspinnas, mitte ainult tolmliiv nagu tavaliselt arvatakse. Piisab kui hüdrauliline gradient saavutab kriitilise väärtuse. Peenemas materjalis on vaid selleks vajalik veehulk väiksem. Jämedamateralises liivas, kui vee juurdevool ei ole küllaldane, langeb rõhkude vahe ja kriitilist gradienti ei tarvitse tekkida
valguskvantide arvu vähenemine). 172. Diferentsiaalvõrrand seob suuruste muutusi. Integreerimine dif.pöördf. Ja tuletise kaudu f-i otsimine. Vektorid on samad: kui sama siht suund pikkus. 173. Skalaarkorrutis: tulemuseks skalaar. Skal.korrutis on kommutatiivne. Ristiolevate vektorite skalaarkorrutis on 0. 174. Vektorkorrutiseks on vektor, mis on korrutatavate vektoritega ristuvas tasapinnas. Suuna määramiseks kruvireegel. 175. Gradiendiks nim: mitme muutuja f-i korral nim f-i kiireima kasvamise suunda ja kiirust antud punktis isel-vat vektorit. Ernest Ratherford – orbitaalmudeli „isa“. Orbitaalmudel vastuolud: *aatomite seletamatu stabiilsus. *aatomite eristamatus. *karakteristlik joonsperkter. Sünkrotonkiirgus- kiirgavad kiirendusega liikuvad laengud, spekter pidev. Elementaarlaenugt e kandev osake kiirgal igal oma meetril energia: ΔE=9,6*10a-16 (E/mRc2)4. Bohri aatommudel: aatomid on stabiilsed,
teisendus on pööratav, st F −1F f = f . Fourier’ teisenduse omadusi: • F f(t + t0) = e i ωt0 fb(ω) • F f(αt) = 1 /α fb( ω/ α ) , α . , xn) gradiendiks punktis P(x1, . . . , xn) nimetatkse selle funktsiooni osatuletistest koosnevat vektorit (grad f)(P) = (
ja pinnas muutub tugevuseta vedelikuks, milles pinnaseosakesed heljuvad. Tekib niinimetatud ebavesiliiv. Ilmselt tekib selline olukord siis, kui = - u = h - h1 w = 0 ehk h1 = = - w I kr = (3.15) h w w mida nimetatakse kriitiliseks gradiendiks. Nagu selgub, sõltub Ikr ainult pinnase mahukaalust. Järelikult võib "vesiliivaks" muutuda tõusva veevoolu puhul igasuguse terajämedusega liiv- vi kruuspinnas, mitte ainult tolmliiv nagu tavaliselt arvatakse. Piisab kui hüdrauliline gradient saavutab kriitilise väärtuse. Peenemas materjalis on vaid selleks vajalik veehulk väiksem. Jämedamateralises liivas, kui vee juurdevool ei ole küllaldane, langeb rõhkude vahe ja kriitilist gradienti ei tarvitse tekkida. Veeküllastatud
Konvektsioonipilv Kondensatsioon: on auru muutumine aidata. Suurte osakeste pind on temp. muutust nim. Kuivadiabaatiliseks saab tekkida vaid siis kui gaasilisest olekust veeks.Mida väiksem on tasasem maksimaalne veeauru gradiendiks ja tähistatakse a kondensatsiooninivoo on allpool piisk,seda kumeram on ta pind. Kumerama rõhk väiksem kui väikeste osakeste (=1kraad/100m).Temp. langust adiabaatilisel konvektsiooninivood. Mida suurem on nende pinna kohal on veeauru rõhk suurem.
peeneteralisem on skelett, seda suurem on vee mõju pinnase omadustele. pinnase vibreerimise ja tampimisega kindla mahuga silindris kui selle kaal '= -u=h-h1w=0. ehk ikr=h1/h=´/w=(-w)/ w, mida nim kriitiliseks 1.2.2 Pinnaseosakeste suurus ja kuju Väga erinev kividest (O 10-neid cm- enam ei suurene. Id mahumasside kaudu: Id=max/*(-min)/ max-min). gradiendiks. See sõltub ainult pinnase mahukaalust. Tõusva veevoolu puhul eid kuni kolloidosakesteni suurus alla 0,001 mm)Pinnaseosakesed: kruusa, liiva, Tihendamisel õhkkuivana on võimalik saavutada liiva max tihedus. Tihedus on võib ,,vesiliivaks" muutuda igasuguse terajämedusega liiv- või kruuspinnas, mölli ja saue terad
31) ∂x konservatiivse jõu komponendi vastandväärtus võrdub potentsiaalse energia osatuletisega vastava koordinaadi järgi. Seega konservatiivne jõud kui vektor avaldub järgmiselt r ∂E p r ∂E p r ∂E p r F =− i− j− k = −grad E p . (5.32) ∂x ∂y ∂z Konservatiivne jõud võrdub potentsiaalse energia gradiendiga. Skalaarse suuruse gradiendiks nimetatakse niisugust vektorit, mille komponentideks on selle skalaari osatuletised vastava koordinaadi järgi. Skalaarse suuruse gradient näitab selle suuruse kõige kiirema kasvu suunda. Näiteks homogeenses raskusjõu väljas, kus potentsiaalne energia on E p = mgz , saame ∂E r r grad E p = − p k = − k mg . ∂z See on vertikaalselt allapoole suunatud vektor, mille moodul on mg, järelikult on tegemist raskusjõuga.
annaabi.ee 
