näiteks raadio, kojamehed jne. Mõõtmine Esmalt võtame multimeetri ja amperatngid, mis tuleb kalibreerida. Seejärel ühendame ampertangid ümber generaatori peajuhtme ja loeme multimeetrilt või võimalusel ampertangidelt saadud tulemuse. Pinge leidmiseks ühendame voltmeetri generaatori plussahela poldiga ning miinus klemmi ühendame generaatori kerega. Seejärel tuleb käivitada auto ja lasta pöörded 2500 peale. Maksimaalse voolutugevuse ja pinge fikseerime. Maksimum võimsuse arvutamine Selleks kasutame valemit P(W)= U(V)* I(A), kus P on võimsus, U on pinge ja I on voolutugevus. Lõppsõna Kui saadud tulemus ühildub generaatoril kirjas olevaga, on generaator töökorras. Kui saadud tulem ei ühildu kirjasolevaga, võib viga olla selles, et aku polnud piisavalt tühjendatud, mis ei võimaldanud generaatoril maksimum määral tööd teha. On ka võimalus, et generaatori sisekomponendid ei tööta korrektselt ja vajavad remonti/vahetuset.
Z elektrolüüsi elementaaraktist osalevate elektronide arv , katoodil =ioonilaeng F Farady arv - 1 molelektronide kogulaengu absoluutväärtusF = 96500 C/mol C = kulon = amper*sekund R universaalne gaasikonstant R=8,31 J/mol*K = p0Vm/T0 =0,082 atm*dm3/mol*K I voolutugevusAmprites Ülesandeid võib muidugi mitut moodi lahendada. Kasulik on 4-ja astmeline tegutsemisjärjekord (võite sellist eeskirja ka algoritmiks sõimata) 1. Kirjutame välja andmed ja fikseerime otsitavad suurused 2. Valime sobivad matemaatilised seosed ja avaldame otsitavad suurused 3. Täiendame andmeid füüsikaliste konstantide, molaarmasside ja muu taolisega 4. teostame arvutused (ka ühikutega) Näide 1. Kui suur on 112 liitri H2S mass 1 . V = 112 l m=? 2. m / M = V / Vm siit m = (V / Vm) M 3. Vm = 22,4 l / mol M = 34 g / mol 4. { l *( mol / l) * g / mol } = { g} m = (112 / 22,4 )* 34 = 170 g Näide 2
Tegemist ei pruugi olla üldsegi millegi kriminaalsega aga isegi lihtsalt kliendi vaatevinklist võib see palju muuta. Ka kliendisuhetes pole dokumenditöös vähemtähtsat rolli. Kliendi andmebaasid, maksed, maksetähtajad, klientidega suhtlus peab olema korrastatud ning lihtsalt arusaadav. Loomulikult peab olema info ka kiiresti leitav, tagamaks klienditeeninduse kiirust. Hea töö selles vallas on eelduseks olemaks kliendisõbralik ja usaldusväärne partner. Samuti fikseerime korrektse tööga meie enda kohustused klientide või teise osapoole suhtes. Kui keegi tahab meilt infot, siis ei oleks ju väga viisakas kui vastame talle mitme kuu jooksul, kui situatsiooni arvestades oleks pidanud tegema päevadega. Arvestades tänapäeva organisatsioonide mitmetahulisust ja suurust on ülevaate saamiseks asutuses toimuvast eksistentsiaalse tähtsusega. On öeldud, et dokumendid on ettevõtte mälu.
10. Kuidas jaotatakse sensoreid ärritaja iseloomu järgi? fotoretseptorid (valgus), mehhanoretseptorid (kuulmis, tasakaal, kompimis), baroretseptorid (rõhk), termoretseptorid (nahas, limaskestas), kemoretseptorid (haistmis, maitsmis, siseelundites), osmoretseptorid(koevedelike rõhk) 11.Millise kahe väärtusega on ruumis määratud objekti asukoht? Objekti suuna ja suhtelise kaugusega. 12. Mille poolest erinevad nägemistelg ja optiline telg? Kui fikseerime objekti foveaga, on see esmane nägemisjoon ehk nägemistelg. Optiline telg läheb läbi silma pöörlemispunkti. 13. Kirjelda erinevaid nägemisjooni! Kust algavad, kuhu lähevad. foveaga fikseeritud objektist pupilli keskele esmane nägemisjoon; teised ei lähe foveasse. 14. Mis on esmane (peamine)nägemissuund? Objektist fooveani. 15. Mis on teisene nägemissuund? Kõikide mitte-foveaalsete reetina retseptorite nägemissuunad. 16. Kus on silmakeskse suuna 0-referents? Foveas
Kui ja siis joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub kujul ∫ Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) ≥ 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Tuletame valemi pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . .. . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [ , ] ühe punkti pi. Tähistame: Vaatleme osalõigule [xi−1, xi] toetuvat kõvertrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle küljed tõmmatud katkendliku joonega). Kui xi on väike, siis muutub pidev funktsioon f osalõigul [ , ] vähe. Seega võib ta sellel osalõigul lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga f(pi) ehk f(x) ≈ f(pi) kui x [ , ] . (5.18) Järelikult on Si ligikaudselt ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrguse ja aluse korrutisena:
saharoosatsetaatpuhvris pH=4.8). Katseklaas asetataske 5-10 minutiks vesitermostaati 30C juurde. · Võtame 3 koonilist 250 ml kolbi, kuhu pipiteerimime 10 ml komplekslahust.Pärast kolbidesse viiakse reaktsioonisegust võetud proovid. · Võtame termostaadist 50 ml katseklaas substraadiga ja lisame 1ml ensüümilahust. Loksutame. Kohe võetme reaktsioonisegust 1ml lahust ja lisame esimesse 250 ml kolbi. (See on null proov). Fikseerime aega ja paneme reakstioonisegu tagasi termostaati. · 10ndal ja 20ndal minutitel võtame ka teine ja kolmas proov ja lisame neid 250 kolbidese. · Selle tulemusena mneil on 3 250 ml-list kolbi kus asuvad erineval ajal proovid ja komplekslahus. Komplekslahus neutraliseerib invertaasi. Reaktsiooniproduktide sisalduse määramine ja aktiivsuse arvutamine. · Cu(II) ioonide taandavate suhkrute poolt redutseerumine Cu2O-ks ja vaba Triloon B
Vahele võib pihustada kerget aerosoollakki. 23. Samamoodi kujundame ka kõrvapealsed ja meelekohad. 24. Töökäigus paneme valmis kohtadele lakki. 25. Teeme pealae ja ühendame tukaga. 26. Soengu kujundamise käigus tuleb klienti peeglist koguaeg jälgida ja vajadusel ka eemalt. 17 27. Lõpuks kui kogu soeng on kujundatud fikseerime tugeva lakiga ja kontrollime, et kogu soeng oleks kaunis ja püsiv. 28. Veendume, et klient on rahul ja seda peaks vahepeal soengu tegemise käigus ka küsima, et lõpptulemusega jäädaks rahule. Pikajuukse föönisoeng 1. Kliendi soovi välja selgitamine 2. Pea pesemine (soeng tehakse äsja pestud juustesse.) 3. Juuste lahti kammimine 4. Liigse vee kuivatamine rätikuga 5. Kanname viimistlusvahendi ühtlaselt juustesse, harjame kõik läbi 6
a=b. *Tõestus: Valime , seega U(a) ja U(b) ei lõiku. Vastavalt piirväärtuse def. Leiduvad arvud n1, n2 N nii, et: n > n1 Xn U(a) n > n2 Xn U(b) *Kui N= max(n1; n2),siis: n > N Xn U(a) n > N Xn U(b) *Saame vastuolu, kuna vastavalt eeldustele U(a) U(b) = 6* (Näidata et kui ja , ning Xn < Zn < Yn, siis ) Lause: Kui ja ning Xn < Zn < Yn, siis . *Tõestus: Fikseerime . Vastavalt piirväärtuse def. Leiduvad arvud n1, n2 N nii, et: n > N1 Xn U(a) - < Xn < a+ n > N2 Yn U(a) - < Yn < a+ Kui N= max(n1; n2),siis vastavalt eeldusele n>N korral - < Xn < Zn < Yn < a + Zn U(a), mis vastavalt piirväärtuse def. annab 7*(Jada tõkestatus. Koonduva jada tõkestatuse tõestus) Jada {Xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0). *Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud. *Tõestus: a)
= (1 1 + 2 2 + + ) + (1 1 + 2 2 + + ) = 0 + 0 = 0, s.o + Vabavektorite liitmine on assotsiatiivne. (14.3) Viimase tõestamiseks saame kasutada ainult vektorite liitmise definitsiooni, sest hulga E ehituse kohta midagi muud me veel ei tea. Fikseerime mingi punkti AE (vt.joonis) Leiduvad punktid B,C,D E nii, et = , = , = Valemi (14.2 + : = ) abil saame millest paremate poolte võrduse tõttu saame vasakute poolte võrduse. Sellega oleme valemi tõestanud. Omadus 15.1. (15.2) Asendades siia valemist (15.3), saame valemi (15.2). Seega omadus 15.1 on tõestatud Omadus 15.4. Omadus 17.2.
Z elektrolüüsi elementaaraktist osalevate elektronide arv , katoodil =ioonilaeng F Farady arv - 1 molelektronide kogulaengu absoluutväärtusF = 96500 C/mol C = kulon = amper*sekund R universaalne gaasikonstant R=8,31 J/mol*K = p0Vm/T0 =0,082 atm*dm3/mol*K I voolutugevusAmprites Ülesandeid võib muidugi mitut moodi lahendada. Kasulik on 4-ja astmeline tegutsemisjärjekord (võite sellist eeskirja ka algoritmiks sõimata) 1. Kirjutame välja andmed ja fikseerime otsitavad suurused 2. Valime sobivad matemaatilised seosed ja avaldame otsitavad suurused 3. Täiendame andmeid füüsikaliste konstantide, molaarmasside ja muu taolisega 4. teostame arvutused (ka ühikutega) Näide 1. Kui suur on 112 liitri H2S mass 1 . V = 112 l 2. m / M = V / Vm siit m = (V / Vm) M m=? 3. Vm = 22,4 l / mol 4. { l *( mol / l) * g / mol } = { g} M = 34 g / mol m = (112 / 22,4 )* 34 = 170 g
Tarvilik ja piisav tingimus: M(x,y)/y=N(x,y)/x V(x,y)D Teõstus: Tarvilikkus: u/x=M(x,y)| /y * 2u/yx(pidev)= M(x,y)/y (<=pidev)** u/y=N(x,y)| /x * 2u/xy (pidev)= N(x,y)/x (<=pidev)*Kuna 2u/yx=2u/xy => M(x,y)/y= N(x,y)/x ja sellega on tarvilikus näidatud. Piisavus: N/x=M/y Konstrueerime u=u(x,y) nii, et see rahuldaks M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 see tähendab, et u/x=M(x,y) ja u/y=N(x,y) * u/x=M(x,y) *u/y=N(x,y) }>>u=u(x,y) Oma valiku järgi fikseerime näiteks y. u(x,y)u(x) u/x=du/dx * =>du/dx=M(x,y)=>du=M(x,y)dx * du = M(x,y)dx + C(y)* u= M(x,y)dx + C(y) * Saadud u jaoks kehtib u/y=N(x,y) => /y[M(x,y)dx + C(y)]=N(x,y) * /y[M(x,y)dx] + C`(y)=N(x,y)*C`(y)= N(x,y)- /yM(x,y)dx Näitame, et N(x,y)- /yM(x,y)dx ei sisalda suurust x: Tähistame (x,y)=N(x,y)-(/y)M(x,y)dy*(/x) (x,y)=/x[N(x,y)-/yM(x,y)dx]=/xN(x,y)- (/x)(/y)M(x,y)dx=(/x)N(x,y)-(/y)(/x)M(x,y)dx=(/x)N(x,y)-(/y)M(x,y)=0 => (/x)
Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 15. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega , kusjuures 1. Fikseerime igal osalõgiul ühe punkti tähistades selle 2. Kui on väike muutub pidev funktsioon f osalõigul vähe, seega võib ta lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga e , kui Järelikult on ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrugse ja aluse korruisena 3. Terve kõvatrapetsi pindala saame, kui summerime osapiirkondade pindalad: 4. Valemi teisel poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b], järelikult kui
Käivitame mudeli, testime ajasammu ja muudame viimast senikaua kuni tulemused ei erine oluliselt (nt. kaks korda). Varieerime parameetreid ekstreemsete väärtusteni, täiustame mudelit. Võimalusel võrdleme tulemust eksperimendiga. Muudame parameetreid ja ka mudelit, et saada suuremat kompleksust ja vähendada erinevusi eksperimentaalsete tulemustega. Püstitame uued küsimused, probleemi; kordame skeemi uuesti. Mudeli koostamise põhimõtted: 1. Fikseerime protsessi võtmeelemendid ja vaatlustulemused; 2. Määrame põhimuutujad abstraktse versiooni koostamiseks; 3. Määrame seosed põhimuutujate vahel; 4. Käivitame mudeli. 5. Hindame tulemusi. Modelleerimine on lõputu protsess, me võrdleme saadud tulemusi tegelikkusega, parandame ja täiendame mudelit, käivitame uuesti jne. Kui mudel on simuleeritud arvutiga, siis on iga mudeli element määratud algtingimustega ja arvuti leiab vastuseid probleemidele
15 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Tähistame selle kujundi pindala sümboliga Y. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu 0 , 1 osalõiguks punktidega U , , , ... , , kusjuures = U< < << = . Fikseerime igal osalõigul 0 JW , J 1 ühe punkti XJ . Tähistame J = J - JW . Vaatleme osalõigule 0 JW , J 1 tõetuvat kõvertrapetsi osa YJ . Kui J on liiga väike, siis muutub pidev funktsioon osalõigul 0 JW , J 1 vähe. Seega võib ta sellel osalõigul lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga XJ ehk = XJ kui 0 JW , J 1. Järelikult on YJ ligikaudselt ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrguse ja aluse korrutisena: YJ XJ J
Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on joone käänupunkt. Põhjendus: Leiame funktsiooni kumerus- ja nõgususpiirkonnad ja käänupunktid. Antud funktsiooni määramispiirkond on . Avaldame teist järku tuletise: Teist järku kriitilised punktid on ja . Kanname need teljele: (JOONIS) Vaadeldava funktsiooni teine tuletis saab märki muuta vaid teist järku kriitilistes punktides. Seega säilitab märki vahemikes . Fikseerime kontrollpunktid neil intervallides ja teeme kontrollpuntkides kindlaks märgid: Kasutades diagrammi paneme kirja kumeruspiirkonna ja nõgususpiirkonna . Argumendi väärtusel asendub kumerus nõgususega. Seega on vastav punkt käänupunkt. Väärtusel käänupunkti pole. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge joone vertikaalasümptoot? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada
(a − ε, a], kus ε > 0. ning Xn < Zn < Yn, siis n →∞ ) *Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ε), kus ε > 0. *Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M , ∞), kus M > 0. *Tõestus: Fikseerime ε. Vastavalt piirväärtuse def. Leiduvad arvud N1, N2 ∈ N nii, et: *Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞, −M ), kus M > 0. 3*(Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. ∀ n > N1 Xn ∈ Uε(a) ↔a - ε < Xn < a+ ε Määramispiirkond, muutumispiirkond. Paaris ja paaritud funkt)
..+BAn. Sündmused BA1+BA2+...+BAn on niisamuti üksteist välistavad. P(B)=P(BA1+BA2+...+BAn)= P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn) Tõenäosuste korrutamise lause järgi: P(B)= P(BA1+BA2+...+BAn)= P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)= =P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...+P(An)P(B/An) Bayesi valem tõestusega P( Ai ) P( B / Ai ) P( Ai / B) = P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 ) + ... + P( An ) P( B / An ) Tõestus: Fikseerime i ja leiame P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai ) P( Ai / B) = = P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 ) + ... + P( An ) P( B / An ) P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai ) Erijuhul kui n=2 saame P( Ai / B) = = P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 ) i=1,2 7
3) Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 4) Geomeetriline mudel – arvsirge (üksühene vastavus reaalarvude ja arvsirge punktide vahel) – Arvsirge on reaalarvude hea geomeetriline mudel. Positiivsele arvule a seame arvsirge positiivsel poolel vastavusse punkti, mille kaugus nullpunktist on a, negatiivse a puhul fikseerime arvtelje negatiivsel poolel punkti kaugusel −a. Pidevuse aksioom (P) garanteerib selle, et igale arvsirge punktile vastab mingi üheselt määratud reaalarv. 5) Igast mittenegatiivsest arvust saab võtta n-da juure – Igast mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määratud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn=b 6) Alamhulk N ei ole ülalt tõkestatud (Archimedese printsiip) – Alamhulk N ⊂ R ei ole ülalt tõkestatud, s. t
2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks. Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu r > 0 . { } Def. Hulka B( A, r ) = P R m : d (P, A) < r nimetatakse lahtiseks keraks ruumis R m . Def. Hulka B ( A, r ) = {P R m : d (P, A) r} nimetatakse kinniseks keraks ruumis R m .
..+ P(An)P(B/An). Erijuhul, kui n=2, saame
P(B)=P(BA1+BA2)=P(BA1)+P(BA2)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2).
Kui on ilmunud sündmus B ja on teada, et see sai toimuda ainult koos ühega sündmustest A 1, A2, ..., An, siis küsime tõenäosust, et
toimus i-s sündmus A1. Bayesi valem. P(Ai/B)=(P(Ai)P(B/Ai))/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2,...,n Tõestus!!!
P(AiB)=P(B)P(Ai/B). Fikseerime i ja leiame P(Ai/B)=P(AiB)/P(B)= P(Ai)P(B/Ai)/( P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An).
Erijuhul, kui n=2 saame P(Ai/B)= P(AiB)/P(B)=P(Ai)P(B/Ai)/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2.
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R maaratud funktsiooni F(x)=P(X
Sellest suhtest kirjutame välja võrdused, võrdustest leiame joone horisontaalprojektsiooni kauguse punktist A esimese horisontaalini, ning punktist A teise horisontaalini. 15. Horisontaalide graafilisel interpoleerimisel kasutatakse ruudulist paberilehte (mm- paberit) või kilet paralleelsete joontega (intervalliga 5 mm). Tähistame joonpaletil jooned nende ,,kõrgustega". Asetame joonpaleti suvaliselt joonele, seame esimese punkti õigele ,,kõrgusele". Fikseerime sirkliga läbi esimese punkti kui pooluse. Pöörame paletti ümber pooluse, seni kuni ka teine punkt jõuab õigele ,,kõrgusele". Torkame läbi joone ja paralleeljoonte lõikepunktid ning kirjutame punktidele juurde nende ,,kõrgused". 16. Trigonomeetrilise nivelleerimise kõrguskasv arvutakse valemist: hAB=a*sin v+i-v; kus a=viseerimiskiire pikkus, sinv=viseerimiskiire siinus kaldenurk, i=instrumendi kõrgus ja v=viseeritud punkti kõrgus teise punkti kohal
baromeetrit. Kolvi kaelale tehakse vildikaga märge korgi alumise serva kohale. Siis kaalume kolvi koos korgiga. Siis laseme kolbi 7-8 minutit CO2. Sulgeme kolbi kiiresti korgiga ja kaalume jälle. Kordame CO2 lisamist ja kaalumist kuni kaalumisel tuleb samasugune mass. Siis tuleb kolvi maht määrata, täites see veega viltpliiatsi märkeni ning mõõta vee ruumala mõõtesilindriga. Termomeetri ja baromeetri abil fikseerime temperatuuri ja õhurõhu laboris. Seejärel leiame gaasi mahu kolvis V0=P*V*T0/P0*T, õhu tihedus normaaltingimustel 1,29g/dm3, mass mõhk = põhk * V0, kolvi ja korgi mass m3=m1-mõhk, CO2 mass mCO2=m2-m3, CO2 suhteline tihedus õhu suhtes D=mCO2/mõhk. 40. Millised parameetrid ja miks tuleb alati üles märkida, kui mõõdetakse gaaside mahtu? Õhutemperatuur ja õhurõhk kuna hilisemate arvutuste tegemisel mõõdetud gaasi
34. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Tähistame xi = xi - xi-1 . Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad: Saame ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: Oma geomeetrilise sisu tõttu nimetatakse seda valemit ristkülikvalemiks. 35. Määratud integraali omadused 36. Teoreem muutuva ulemise rajaga integraalist ilma tõestuseta
olulisus*toote A funktsionaalsusväärtus+... Parim valik sai kõige kõrgema hinde. 3. STELLA muutujate tüübid+kirjeldus (Mudeli elementide põhitüübid)- 1. põhimuutujad (energia, populatsioon, hind, temp...); 2. juhtimised (elemendid, mis kirjeldavad põhimuutujate muutumist. Kui mudel töötab ajas, siis nad muudavad põhimuutujaid iga ajasammu järel); 3. juhtimismuutujad; 4. Viitmuutujad mudeli komponendi? 4. Mudeli koostamise põhietapid- 1. variant: 1. fikseerime protsessi võtmeelemendid ja vaatlustulemused; 2. määrame põhimuutujad abstraktse versiooni koostamiseks; 3. määrame seosed põhimuutujate vahel; 4. käivitame mudeli; 5. vaatleme tulemusi 2. variant: 1. Reaalsed sündmused 2. Reaalsete sündmuste abstraktne versioon 3. Mudel 4. Tulemused, kokkuvõtted, ennustused 5. Dünaamiline mudel- protsessi mudel, kirjeldab muutusi reaalses või simuleeritud ajas, nt. Migratsioon, populatsioon, reostus jne. Eesmärgiks on välja tuua mitmeid
Ellipsi kanooniline võrrand Joone sümmeetriateljed Kui tasandiline joon on sümmeetriline mingi sirge suhtes, siis vastavat sirget nimetatakse joone sümmeetriateljeks. Ellipsi sümmeetriateljed Esimene sümmeetriatelg on fookuseid F1, F2 läbiv sirge ja teine on sellega risti. Keskpunkt punkt, mille suhtes on ellips sümmeetriline (Punkt O) Tipud Joone lõikepunkte sümmeetriateljega nimetatakse joone tipudeks. Ellipsi fookused Fikseerime tasandil kaks erinevat punkti F1, F2 ja sellise positiivse reaalarvu a, et a > c, kus 2c = |F1F2| ja |F1F2| on lõigu F1F2 pikkus. Punkte F1, F2 nimetatakse ellipsi fookusteks Ellipsi ekstsentrilisus Ellipsi ekstsentrilisuseks nimetatakse arvu e = c/a (0 < e < 1). Eellipsi fokaalparameeter Ellipsi fokaalraadiused Ellipsi juhtsirged Sirgeid l1, l2, mis on paralleelsed y-koordinaatteljega ja on määratud võrranditega nimetatakse ellipsi juhtsirgeteks.
Tuletame valemi pindala S jaoks. Selleks ( + ) - () = jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . .. . . , xn, kusjuures a = x0 < + + x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [-1, ] ühe punkti pi. Tähistame: () - () = (). = () , ( + ) - () +
l l l l M M M M n n n n Järgmise omaduse saamiseks fikseerime determinandis D mingi rea, näiteks k-nda rea ak1 , ak 2 , ... , akn , ja vaatleme determinandi definitsioonis antud summat a11 L a1n M O M D = ak 1 L akn = M O M
5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos 5. Sõnastada jada piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. jada koonduvusega. 6. Naidata, et kui limn→∞xn = a ja limn→∞yn = a ning xn < zn < yn, siis limn→∞ zn = a. Öeldakse, et{xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga ε > 0 korral leidub N ∈ N, et iga Toestus: Fikseerime ε. Vastavalt piirväärtuse definitsioonile leiduvad arvud N1, N2 ∈ N, nii et naturaalarvu n > N ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus ∀n > N1 xn ∈ Uε(a) ⇔ a − ε < xn < a + ε Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas umbruses on lopmata palju vaadeldava jada ∀n > N2 yn ∈ Uε(a) ⇔ a − ε < yn < a + ε liikmeid
F(x). Keele signatuur: konstant-, funktsionaal- ja predikaatsümbolid. Signatuur fikseerib termides ja valemites lubatud mitteloogiliste sümbolite hulgad. 5 predikaatarvutuse... 8 Väidete tüübist sõltumatud sümboled (lausearvutuse tehtemärgid, kvantorid, sulud, indiviidmuutujad) võivad esineda kõikides valemites. Fikseerime sümbolite klassid. · Indiviidmuutujad, mida märgime tavaliselt tähtedega u,v,w,x,y,z. Iga indiviidmuutuja võib tähistada vaadeldava hulga ükskõik millist elementi (indiviidi) · C-sümbolid a,b,c,d jne. C-sümbol tähistab vaadeldava hulga mingit kindlat elementi. · Funktsionaalsümbolid f,g,h jne. Need tähistavad vaadeldaval hulgal määratud f-oone. Pannes mitmesugused väiteid kirja pvalemiga, võivad väidete tüübist sõltumatud sümbolid, nagu
nurka, s.t. (s, ) := (s, s). ' ELLIPS: Ellips Punktihulka {X} nim ellipsiks tasandil E2, kui selle hulga iga punkt X rahuldab võrrandit |F1X| + |F2X|=2a Ellipsi kanooniline reeper ristreeper {O;e1 ,e2} Ellipsi kanooniline võrrand: Punkte F1 ja F2 nimetame ellipsi fookusteks. Meie esimeseks ülesandeks on kirjeldada ära kõik ellipsi punktid. Selleks tuletame võrrandi, mida peavad rahuldama suvalise ellipsi punkti koordinaadid. Fikseerime ühe ellipsiga tihedalt seotud ristreeperi {O;e1 ,e2} järgmisel viisil: Ristreeperi alguspunkti ehk pooluse O paigutame lõigu F1F2 keskpunkti. Ühikvektori e1 valime selliselt, et ta oleks samasuunaline vektoriga F1F2. Ühikvektori e2 valime selliselt, et e1 e2 ning et {O;e1 ,e2} oleks parema käe ristbaas (siis {O;e1 ,e2} on parema käe ristreeper). Eelpool valitud ristreeperit nimetatakse ellipsi kanooniliseks reeperiks. Reeperi valikuga tekivad ka kõigi punktide koordinaadid
Vaatleme funktsiooni y= f(x), x X. Definitsioon 6. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim xa f(x) = f(a) (1) Pidevus hulgal X pidevus selle hulga igas punktis. Anname pidevuse definitsioonile teise kuju. Selge, et (1) lim xa [f(x) - f(a)] = 0. Tähistame: x = x - a - argumendi muut, ning y = f(x) - f(a) funktsiooni muut, siis (1) lim x 0 y = 0 (2) Näide. Olgu y = x2, fikseerime suvalise a, siis limx0 y = limx 0 [(a+ x)2 - a2) = lim x 0 (2ax + x2) = 0, seega antud funktsioon on pidev hulgal X = ( -, ), st pidev kõikjal. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas (vt teoreem 6). Funktsiooni f katkevuspunktid selle funktsiooni määramispiirkonna kuhjumispunk- tid, milles funktsioon ei ole pidev. Näide. Funktsiooni f (x) = tan x katkevuspunktid on x = ± /2, ± 3/2, ... § 3 FUNKTSIOONI TULETIS JA DIFERENTSIAAL. 1
0 1 -3 -2 0 1 -3 -2 2 =2 = 2. 0 0 -1 -3 0 0 -1 -3 0 0 1 2 0 0 0 -1 33 4. LAPLACE'I TEOREEM. DETERMINANDI ¨ ARENDAMINE REA JA VEERU JARGI Fikseerime n-j¨arku maatriksis x11 x12 . . . x1n x x22 . . . x2n X = 21 ................... xn1 xn2 . . . xnn mingi arv ridu ja veerge. Olgu fikseeritud ridade ja veergude arv m Nn . T¨ahistame fikseeritud rea- ja veeruindekseid kasvavas j¨arjekorras vastavalt i1 , i2 , . .
0 1 −3 −2 0 1 −3 −2 2 =2 = 2. 0 0 −1 −3 0 0 −1 −3 0 0 1 2 0 0 0 −1 33 4. LAPLACE’I TEOREEM. DETERMINANDI ¨ ARENDAMINE REA JA VEERU JARGI Fikseerime n-j¨arku maatriksis x11 x12 . . . x1n x x22 . . . x2n X = 21 ................... xn1 xn2 . . . xnn mingi arv ridu ja veerge. Olgu fikseeritud ridade ja veergude arv m ∈ Nn . T¨ahistame fikseeritud rea- ja veeruindekseid kasvavas j¨arjekorras vastavalt i1 , i2 , .
argumendist P = (x1 , x2 , . . . , xm ) s~oltuvad m-muutuja funktsioonid ja z = F (u1 , u2 , . . . , un ) argumendist (u1 , u2 , . . . , un ) s~oltuv n-muutuja funktsioon. Vaatleme liitfunktsiooni z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) = F 1 (x1 , x2 , . . . , xm ), 2 (x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , n (x1 , x2 , . . . , xm ) . Eeldame et liitfunktsiooni f komponentidel 1 , . . . , n ja F eksisteerivad osat- uletised k~oigi argumentide suhtes mingis vaadeldavas punktis. Fikseerime funktsiooni f argumendi xi ja vaatleme f osatuletist selle argu- f mendi suhtes, st x i . Selle osatuletise jaoks kehtib j¨argmine valem komponen- tide 1 , . . . , n ja F osatuletiste kaudu: n f F 1 F 2 F n F j = + + ..
Antud funktsiooni määramispiirkond on X =R . Avaldame teist järku tuletise: f ' ( x )=15 x 4-20 x 3 , f ' ' ( x )=60 x3 -60 x2 =60 x 2 ( x-1 ) Teist järku kriitilised punktid on x=0 ja x=1 . Kanname need teljele: (JOONIS) Vaadeldava funktsiooni teine tuletis saab märki muuta vaid teist järku kriitilistes punktides. Seega säilitab f ' ' ( x ) märki vahemikes (-; 0 ) , ( 0,1 ) ja ( 1, ) . Fikseerime kontrollpunktid neil intervallides ja teeme kontrollpuntkides kindlaks f ' ' ( x ) märgid: f ' ' (-1 )=60 (-1 )2 (-1-1 ) <0 f ' ' ( 0,5 )=600,5 2 ( 0,5-1 )< 0 f ' ' ( 2 )=6022 ( 2-1 ) >0 Kasutade ^ X =(- ,1) ja nõgususpiirkonna =(1, ) X
Seega ülemine raja Saame vastuolu kuna vastavalt eeldusele U(a) U(b) = . (null /-ga) saavutatakse. Analoogselt saavutatakse ka alumine rada: {xn} on tõkestatud ja {xnj} lim njXnj = 6. Näidata, et kui lim nyn = a ning xn < zn < yn, siis lim nzn = a. f(xn) +1/n f()=inf x[a,b] Tõestus. Fikseerime . Vastavalt piirväärtuse definitsioonile leiduvad arvud C 1, C2 N, nii et n > C1 xn U(a) a < xn < a + 18. Tõestada Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest. n > C2 yn U(a) a < yn < a + Kui C = max { C1, C2}, siisvastavalt eeldusele n > C korral A < xn < zn < yn < a + zn U(a), Mis vastavalt piirväärtuse definitsioonile annab lim/n zn = a. 7. Näidata, et koonduv jada on Cauchy jada.
18. Kirjeldada funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni vastastikust kompenseerimist. Esitada vastavad valemid. (lk 9) näiteks funktsiooni y = x3 pöördfunktsioon on x = 3√y, funktsiooni y = x2 , x ∈ [0, ∞), pöördfunktsioon on x = √y, funktsiooni y = 1/x pöördfunktsioon on x = 1/y . Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. Fikseerime mingi x väärtuse ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena saame esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] saame y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . 19. Mis on logaritmfunktsioon? Millised on logaritmfunktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafikud ning kuidas on need seotud eksponentfunktsiooni määramispiirkonna, väärtuste hulga ja graafikutega? (lk 10, 14)
Teoreem 8.1. (Funktsiooni pidevuseks tarvilik ja piisav tingi- mus) Funktsioon on pidev punktis x parajasti siis, kui funktsiooni muudu piirv¨a¨artus argumendi muudu l¨ahenemisel 0-le v~ordub 0-ga, st lim y = 0 (1.7) x0 1.2.9 Elementaarfunktsioonide pidevus Tingimuse (1.7) abil saab kontrollida p~ohiliste elementaarfunktsioonide pi- devust. Alustame funktsioonist y = x2 . Fikseerime suvalise argumendi v¨a¨artuse x R ja anname argumendile muudu x. Funktsiooni muut, mis vastab sellele argumendi muudule, on y = (x + x)2 - x2 = 2xx + x2 ja lim y = lim (2xx + x2 ) = 0, x0 x0 st pidevuseks tarvillik ja piisav tingimus on t¨aidetud, u ¨ksk~oik milline argu- mendi x R v¨a¨artus fikseerida. J¨arelikult on funktsioon y = x2 pidev kogu
sup (X · Y ) = sup X · sup Y. Tõestus. (a) Kuna hulgad X ja Y on ülalt tõkestatud, siis pidevuse aksioomi kohaselt leiduvad ülemised rajad a := sup X ja b := sup Y. Suvaliste x ∈ X ning y ∈ Y puhul kehtib võrratus x + y 6 a + b (vrd. (1.5)), tähendab, hulk X + Y on ülalt tõkestatud ja a + b on tema ülemine tõke. Näitame, et kehtib võrdus (1.7). Olgu ε ∈ F suvaline positiivne element. Vastavalt lausele 1.3(a) fikseerime x′ ∈ X ning y ∈ Y nii, et a − 2ε < x′ ja b − 2ε < y ′ , siis ′ a + b − ε < x′ + y ′ (vrd. (1.5)). Sama lause kohaselt a + b = sup (X + Y ) (selgitada!)z. Väide (b) tõestatakse analoogiliselt väitega (a) (iseseisvalt!)z. (c) Kuna Y on alt tõkestatud hulk, siis hulk {−y | y ∈ Y } on ülalt tõkestatud (selgitada!)z ning pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib ülemine raja sup {−y | y ∈ Y } = − inf Y
Maatriksis peab olema kahe 1 ristumiskohas ka 1, graafis, kui pääseb kahe servaga ühest tippu teise, siis peab pääsema ka ühe servaga. 23) a. Relatsiooni, mis on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne, nimetatakse ekvivalentsiks. Nt samasusrelatsioon; olgu X kõigi lausearvutusevalemite hulk. Loeme, et kaks valemit on relatsioonis R parajasti siis, kui nad on samaväärsed. Niisugune relatsioon on ekvivalents; fikseerime täisarvu n, olgu täisarvude hulgal määratud relatsioon R, mis kehtib kahe täisarvu a ja b puhul parajasti siis, kui need arvud on annavad arvuga n jagades sama jäägi. b. Defineerime hulga X iga elemendi x X jaoks tema ekvivalentsiklassi relatsiooni R järgi: [x]R = {y X | xRy}. Näide: Olgu X lausemuutujatest A ja B moodustatud lausearvutuse valemite hulk ja FRK tähendagu valemite F ja G samaväärsust
avaldise kogu lõigul[a,b]: a.ii.8. )* xi a.ii.9. Mida väiksem on osalõigu pikkuse, seda vähem muutub jõud sellel osalõigul ja seda täpsem on valem. Täpne valem: 16. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. a. Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega , kusjuures b. Fikseerime igal osalõigul ühe punkti tähistades selle c. Kui on väike muutub pidev funktsioon f osalõigul vähe, seega võib ta lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga e , kui d. Järelikult on ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrugse ja aluse korrutisena e. f. Terve kõvatrapetsi pindala saame, kui summerime osapiirkondade pindalad: Valemi teisel poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b], järelikult kui pikima
saadakse TIN mudel horisontaalide interpoleerimiseks. Kolmnurkade saamiseks kasutatakse vaid neid punkte mille kõrgus vastab maapinna kõrgusele (pole teepinna, kaevu kaane vms ümbritsevast maapinnast madalamal või kõrgemal oleva objekti kõrgus). Horisontaalid interpoleeritakse graafilisel meetodil (joonpaleti abil). Selleks asetame joonpaleti suvaliselt joonele, seame esimese punkti õigele "kõrgusele" ja fikseerime sirkliga läbi esimese punkti kui pooluse. Pöörame paletti ümber pooluse, seni kui ka teine punkt jõuab õigele "kõrgusele". Torkame läbi joone ja paralleeljoonte lõikepunktid ja kirjutame punktidele juurde nende "kõrgused". Hiljem sama kõrgusega punktid ühendatakse. 18. Mõõdistamisvõrgu rajamise, situatsiooni ja reljeefi mõõdistamise, hoonete mõõdistamise, topograafilise plaani koostamise ja töö aruande koostamise nõuded
moodustame hulga X alamhulga U (f ; x1 , . . . , xn ; ) = { g ∈ X | |f (xi ) − g(xi )| < iga i = 1, . . . , n korral}. (3.3) T¨ahistagu A k˜oigi selliste kujutuste f ∈ X hulka, mille korral f ([0; 1]) ⊂ {0; 1} ja f (x) = 0 ainult l˜opliku arvu x v¨a¨artuste korral l˜oigult [0; 1]. N¨aidata, et: 34 3 SISEMUS JA SULUND a) hulgad (3.3) moodustavad hulga X punktide u ¨mbruste baasi mingi topoloogia T suhtes (fikseerime selle topoloogia); b) f0 kuulub hulga A sulundisse cl(A) topoloogia T suhtes; c) f0 pole u ¨hegi hulka A kuuluva jada piirv¨a¨artus topoloogia T suhtes. 3.6 N¨aidata, et kui topoloogiline ruum X rahuldab esimest loenduvuse aksioomi ja A ⊂ X, siis x ∈ cl(A) parajasti siis, kui leidub jada {xn }n∈N hulga A elementidest nii, et limn→∞ xn = x. 4 PIDEVUS 4.1 Pidev kujutus Olgu X ja Y mis tahes topoloogilised ruumid. Definitsioon 4.1 Kujutust f : X −→ Y nimetatakse
on y ja sõltuvaks muutujaks x. Samuti vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk.Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos: Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. Fikseerime mingi x väärtuse ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena saame esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] saame y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . Kui g of funktsiooni f pöördfunktsiooni, siis f on g pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f(x) ja tema pöördfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellepärast, et
Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 38. Kõvertrapetsi leidmine Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega , kusjuures 1. Fikseerime igal osalõgiul ühe punkti tähistades selle 2. Kui on väike muutub pidev funktsioon f osalõigul vähe, seega võib ta lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga e , kui Järelikult on ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrugse ja aluse korruisena 3. Terve kõvatrapetsi pindala saame, kui summerime osapiirkondade pindalad: 4. Valemi teisel poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b], järelikult kui pikima
Tõestus: Tõestame selle väite esimese poole, so: kui on lõpmatult kahanev, siis on lõpmatult kasvav (vastupidine väide tõestatakse analoogiliselt). Olgu lõpmatult kahanev, . Peame tõestama, et suurus on lõpmatult kasvav, . Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile tuleb meil näidata et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse väärtus nii, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad . Fikseerime mingi pos. arvu M ja kasutame eeldust . Vastavalt piirprotsessi definitsioonile eksisteerib suvalise kuitahes väikese pos. arvu korral selline suuruse väärtus nii, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust . Kuna viimases lauses võib olla suvaline positiivne arv, saame me valida . Siis kehtivad kõigi -le järgnevate väärtuste korral järgmised seosed: . Seega defineerides näeme, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust
pikkus saadakse vektori pikkuse korrutamisel arvu absoluutväärtusega e. Teoreem. Vektorite liitmine ja skalaariga korrutamine kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmised omadused: V5. )= , V6. , V7. = , V8. 1 = 19. Aritmeetilised vektorid Vektoreid saab esitada ka koordinaatide kaudu. Näiteks kolmemõõtmelises ruumis Lihtne on üldistada, võttes kolme koordinaadi asemel rohkem koordinaate. Fikseerime naturaalarvu Definitsioon. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n koosnevat arvude jada Aritmeetiliste vektorite elemente nimetatakse vektori koordinaatideks ehk komponentideks. Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulka nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks ruumiks ja tähistatakse e. Definitsioon. Aritmeetiliste vektorite ja summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit Näide:
täpse valemi töö jaoks: 38. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). / Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Tähistame xi = xi - xi-1 . Vaatleme osalõigule [xi-1, xi] toetuvat kõvertrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle küljed tõmmatud katkendliku joonega). Kui xi on väike, siis muutub pidev funktsioon f osalõigul [xi-1, xi] vähe. Seega võib ta sellel osalõigul lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga f(pi) ehk f(x) f(pi) kui x [xi-1, xi] . (5.18) Järelikult on Si ligikaudselt ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrguse
jaoks: 38. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). / Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Tähistame xi = xi - xi-1 . Vaatleme osalõigule [xi-1, xi] toetuvat kõvertrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle küljed tõmmatud katkendliku joonega). Kui xi on väike, siis muutub pidev funktsioon f osalõigul [xi-1, xi] vähe. Seega võib ta sellel osalõigul lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga f(pi) ehk f(x) f(pi) kui x [xi-1, xi] . (5.18)
(p.2.2.1). Seega ei saa otsitavaks muutuvaks suuruseks olla magnetinduktsioon B. Vajalik suurus tuleb meil alles määratleda. Järgnevas katseseerias uurime, millest sõltub induktsiooni elektromotoorjõud. Ühendame juhtmepooli külge voolutundliku mõõteriista. Kinnitame pooli sisse mahtuva raudpoldi otsa tugeva püsimagneti, muutes niiviisi ka poldi magnetiks. Pistame nüüd poldi pooli sisse, tehes seda ligikaudu ühe sekundi jooksul ja fikseerime poolis tekkiva induktsioonivoolu väärtuse. Esimesest katsest võime järeldada, et suurem elektromotoorjõud tekib poolis siis, kui magnetinduktsioon pooli asukohas rohkem muutub. Täpsemad mõõtmised näitavad, et induktsiooni elektromotoorjõud on võrdeline suuruse B muutusega. Järelikult on elektromagnetilise induktsiooni nähtuse kirjeldamiseks vajalik suurus võrdeline magnetinduktsiooniga B.
annaabi.ee 
