x + x 2 + ... + x n x= 1 n = (0,2+0,3+1*4+1,5*3+1,8+2+2,5+3*2+5+6+9*3+10*2+20*3+24)/26=6,6 6) Mediaan- variatsioonrea keskmine liige Me= (3+3)/2=3 7) Mood- variatsioonrea kõige suurema esinemissagedusega liige Mo= 1 8) xmin ja xmax variatsioonrea kahe äärmise liikme väärtused xmin = 0,2 xmax = 24 9) Variatsioonrea ulatuse määrab maksimaalse ja minimaalse elemendi väärtuse vahe R = x max - x min . R= xmax - xmin= 24- 0,2= 23,8 10) Standardhälve- ruutjuur dispersioonist ( x1 - x) 2 f 1 + ( x 2 - x) 2 f 2 + .. + ( x n - x) 2 f n = 2 = N =7 11) Väärtused lõigus Väärtused lõigus 6,6-7= -0,4 ja 6,6+7=13,6 [-0,4; 13,6] Neid väärtusi on 22 12) Variatsioonikordaja on standardhälbe ja keskväärtuse suhe (esitatakse tavaliselt protsendina) v= 100 x v= 7/6,6*100= 106,1 (%)
ULATUS-maksimaalse ja minimaalse elemendi vaheALUMINE KVARTIIL-tunnuse väärtus, millest väiksemaid liikmeid variatsioonireas on 25%ÜLEMINE KVARTIIL-tunnuse väärtus, millest suuremaid liikmeid on variatsioonireas 25%DETSIILID-nende abil jaotatakse variatsioonirida kümneks osaks DISPERSIOON- juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub STANDARDHÄLVE-ruutjuur dispersioonist, iseloomustab tunnuse hajuvustVARIATSIOONIKORDAJA-standardhälbe ja keskväärtuse suhe
12 2 37,8225 75,645 13 1 51,1225 51,1225 14 1 66,4225 66,4225 Kokku: 30 387,575 Leian dispersiooni: 2 = 12,919 Leian standardhälbe: Kuna hälve on ruutjuur dispersioonist, siis = 3,594 13) Leian variatsioonikordaja(standardhälbe ja keskväärtuse suhe): Seega V = 100 % 61,4 % 9 3. Internetis veedetav aeg 1) Kirjutan tunnuse statistilise rea 3; 12; 2; 2; 1; 3; 2; 2; 2; 3; 1,5; 10; 2; 3; 2; 3; 10; 2; 3; 2,5; 1; 8; 5; 0,5; 6; 4; 2; 2; 3; 2,5 2) Kirjutan variatsioonrea
2) normaaljaotuse tihedusfunktsioonil on kaks käänupunkti, mis asuvad mõlemal pool keskväärtust kaugusel 3) normaaljaotuse asümmeetriakordaja ja ekstsess on nullid (A=0, E=0). 12. Missugused on juhusliku suuruse hajuvuse karakteristikud (nimeta vähemalt 4). Definitsioonid. Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest. Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Mõõdetava suuruse standardhälbe ühikuks on selle sama mõõdetava suuruse ühik. Variatsioonikordaja on hajuvusmõõt, mis seisneb kogumi standardhälbe ja keskväärtuse suhtes. Variatsioonikordaja on ühikuta suurus ja ta esitatakse tavaliselt protsentides. Kvartiilhälve iseloomustab lühimat võimaliku intervalli pikkust, kuhu satub pool kogu valimi mahust. Kvartiilide x0,75 ja x0,25 vahe. 13. Missugused karakteristikud iseloomustavad tihedusfunktsiooni kuju (nimeta 2)
Newton järeldas oma katsest, et see pole õige. Prisma ei muuda valget valgust, vaid lahutab selle koostisosadeks, mille liitmisel saab taastada valge valguse. Lahutatud valguse taastamine valgeks valguseks. Valges valguses olevad erineva lainepikkusega lained langevad prismale kõik ühesuguse nurga all (päikesekiirte paralleelne kimp). Prismast väljuvad aga erineva lainepikkusega (värvusega) lained erinevais suundades. See on põhjustatud prisma dispersioonist, s.t. et prisma aine (klaasi) murdumisnäitaja oleneb valguse lainepikkusest. Katse skeemilt on näha, et prismast läbi minnes kalduvad oma esialgsest suunast rohkem kõrvale valguslained, millel on lühem lainepikkus. Aine murdumisnäitaja on seda suurem, mida väiksem on valguse lainepikkus. Dispersioon esineb ka siis, kui valgus läheb näiteks läbi klaasplaadi. Kuid sel juhul väljuvad plaadist erivärvilised valguslained kõik ühes suunas ja meie silm ei suuda neid eristada
Dispersioon ja standardhälve Variatsioonrida: x1; x2; x3....xn Variatsioonreas oleva arvu ja keskväärtuse vahet nimetatakse selle arvu hälbeks. Dispersioon - juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Näiteks kui katseseerias on kõigi katsete tulemus sama, siis katsete dispersioon on null. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest. Standardhälve ruutjuur dispersioonist. Variatsioonkordaja Kui uuritavate tunnuste mõõtühikud on erinevad, ei saa nende hajuvust hinnata standardhälbega. Sellisel juhul kasutatakse variatsioonkordajat. V= standardhälve jagatud keskväärtusega Korrelatsioon Korrelatsiooniväli koordinaattasandile kantud punkthulk, kus iga punkti x- koordinaadiks on mingi objekti esimese tunnuse väärtus. Y-koordinaadiks on sama objekti teise tunnuse väärtus.
14. Tunnuse minimaalne väärtus esineva tunnuse vähim väärtus. Tähis MIN. 15. Tunnuse maksimaalne väärtus esineva tunnuse suurim väärtus. Tähis MAX. 16. Variatsioonirea ulatus tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahe. Tähis U. 17. Hälve variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuse vahe. Kogu variatsioonirea hälvete summa on 0. 18. Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis ². 19. Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Tähis . 20. Variatsioonikordaja standardhälve ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. Tähis V. 21. Korrelatsioon - nähtuste vastastikune sõltuvus ehk suhe, mille tõttu muutused ühes nähtuses kutsuvad esile ka muutused teises nähtuses. 22. Korrelatsiooniväli on kordinaattasandile kantud punktihulk, kus iga punkti x- koordinaadiks on uuritava objekti esimese tunnuse väärtus ja y- kooridnaadiks sama objekti teise tunnuse väärtus.
xi x -3 -2 -1 0 1 2 3 x x 9 4 1 0 1 4 9 2 i 2 0,159 0, 2 4 0,11 0, 080 0,111 0, 234 0,139 4, 45 Kuna dispersioon on ruutühikutes, siis ei saa teda otseselt võrrelda keskväärtusega. Sellepärast leitakse leitud suurusest ruutjuur. Ruutjuurt dispersioonist nimetatakse standardhälbeks. Tähistus: Standardhälbe arvutamise eeskiri: f1 (x1 x)2 f2 (x2 x)2 ... fn (xn x)2 N Esimese valimi jaoks on standardhälve 1,86 1,36 teise valimi standardhälve on 4, 45 2,11 Valimite võrdlemisel võib öelda, et teine valim hajub rohkem
siis mood puudub. Statistilisel real võib olla ka mitu moodi. Hajuvuse karakteristikud näitavad, mil määral erinevad tunnuse väärtused üksteisest, hajuvad keskmise ümber. Variatsioonrea ulatus tunnuse suurima ja väikseima väärtuse vahe, xmax-xmin. Hälve tunnuse väärtuse ja aritmeetilise keskmise vahe (d=) Keskmine hälve hälvete aritmeetiline keskmine. Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Standardhälve ruutjuur dispersioonist, iseloomustab tunnuse hajuvust. Mida suurem on standardhälve, seda suurem on hajuvus. Üldkogum ehk populatsioon, selle all mõeldakse kõiki juhtumeid või situatsioone, mille kohta meie poolt püstitatud järeldused, oletused või prognoosid kehtivad. Valim väike objektide grupp, mis valitakse üldkogumist, et selle põhjal teha järeldus kogu üldkogumi kohta. Nõuded valimile peab olema küllalt arvukas, igal üldkogumi objektil peab olema võrdne võimalus valimisse sattuda.
Mediaan on arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsoonreas ühepalju. Me= 55 Kvartiilid Alumine kvartiil on tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonireas 25%. Kv= 52 Ülemine kvartiil on tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) liikmeid on variatsoonreas 25%. _ Kv= 62 Standarthälve Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Mõõdetava suuruse standardhälbe ühikuks on selle sama mõõdetava suuruse ühik. = 6,75 Max-Min= 80 42= 38 Variatsioonikordaja Variatsioonikordaja on standarthälbe ja keskväärtuse suhe. V= 0,119 Diagramm 10 9 8 7 6 5 Tüdrukute 4
- Tsentraalne tendents e keskmine – näitab skooride keskmist suurust erinevatel viisidel nt mood, mediaan, aritmeetiline keskmine - Variatiivsus – näitab mil määral tulemused keskmise ümber varieeruvad. Saame konkreetse arvulise näitaja iga indiviidi jaoks (keskmise häbe suhtes) mille abil hiljem inimesi võrrelda. Karakteristikud on: ulatus, dispersioon (tulemuste hälvete ruutude keskmine) ning standardhälve (ruutjuur dispersioonist). Z-ühik – standardhälve teisendatuna näitab milline on indiviidi hälbe suhe teiste grupi liikmete tulemusse z = (X-x)/σx , kus:x , kus: 1) (X-x) on individuaalse skoori hälve grupi keskmise skoori suhtes; 2) σx , kus:x on grupi st.hälve. 3) z näitab standardhälbe ühikutes, kui kaugel on antud isiku tulemus grupi keskmisest. - Korrelatsioon – näitab seoseid mitme mõõtmise (skooride kogum) vahel. Olulisim
4) aretuslooma ja aretusmaterjali aretuseks sobivaks tunnistamise kord; 5) emaslooma seemendusandmete registreerimise kord; 6) põllumajanduslooma, keda soovitakse tõuraamatusse või aretusregistrisse kanda, identifitseerimise ja selle üle arvestuse pidamise kord; 7) seemendamise koolitusprogrammid ning seemendaja tunnistuse saamise nõuded ja tunnistuse väljastamise kord. Selektsiooniedu sõltuvus päritavusest, selekteeritavate loomade proportsioonist, varieeruvusest (dispersioonist). Kui igal indiviidil on mõõdetud vaid üks selektsiooni aluseks oleva tunnuse väärtus, on indiviidi aretusväärtus selektsiooniindeksi definitsioonist. sõltub see, kui täpselt indiviidi enese fenotüübiväärtus tema aretusväärtust kirjeldab, vaid uuritava tunnuse päritavusest vaadeldavas populatsioonis. Aretusväärtuse hinnangu varieeruvus sõltub lisaks ka uuritava tunnuse dispersioonist. Mida ja miks püütakse säilitada ohustatud tõugude säilitamise raames?
Variatsioonirea ulatus=Xmax-Xmin. Alumine kvartiil - tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonreas 25% Kv . Ülemine kvartiil - tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsoonnreas 25% Kv . Detsiilide abil jaotatakse variatsioonrida kümneks osaks. Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus ( ) . Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. = ( ) = ( ) n k n 2 2 2 xi -x f i xi - x xi - x varieerub.2 = i= 1 i =1 i =1
Prismat iseloomustavad murdev nurk ja alus. Murdes nurk- nurk prisma tahkude vahel, kuhu valgus langeb ja kust väljub. Alus- tahk murdva nurga vastas. Kontrollküsimused: 1.Olgu esimese keskkonna suhteline murdumisnäitaja teise suhtes n12. Mis on teise keskkonna suhteline murdumisnäitaja esimese suhtes? Vastus: 1/n12 Valguse dispersioon Värviliste valguste eraldumine üksteisest on tingitud dispersioonist, milleks nimetatakse aine absoluutse murdumisnäitaja sültuvust valguse sagedusest või lainepikkusest. Dispersioon on erinevates ainetes erineva suurusega. Dispersioonikõver- tüüpiline murdumisnäitaja sõltuvus valguse lainepikkusest. Dispersioon läätsedes põhjustab kujutise moonutusi. Looduses on dispersiooniga seletuv ilus taevane värvidemänguks vikerkaar. Kontrollküsimused: 1.Valgus lainepikkusega 500 nm langeb vee pinnale 35,0° nurga all ja murdub. Kasutades vee
variatsioonireas 25%. Tähis Kv 3 · Ülemine kvartiil tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Hälve variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuse vahe. Kogu variatsioonirea hälvete summa on 0. · Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis ² · Standardhälve ruutjuur dispersioonist. Tähis · Variatsioonikordaja standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. Tähis V. 4 1. Hinnete tabel küsitluse põhjal Mitu aastat Jrk Nimi tantsinud 1 Silvia 11 2 Birgit 12 3 Kristel L. 14 4 Kristel R. 13 5 Marilys 8
( esitatud
valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X).
kus xi tähistab diskreetse juhusliku suuruse x väärtust ja p i selle
tõenäosust. Keskväärtus on juhusest sõltumatu suurus, mis paikneb väikseima ja suurima
väärtuse vahel
dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2=
standardhälve - Standardhälve on ruutjuur dispersioonist
7. Jaotusfunktsioon. - Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on funktsioon, mis seob väärtusega
x vastavusse tõenäosuse, et Xx. Tähistame F-ga
F(x )=P(Xx ) tõenäosus, et JS kuulub paljude väärtuste korral
0 0
teatavasse piirkonda P(a
truudusvannet;see oli religiooni vastane) Üsna kiiresti sai ta tööd Pikkuste Büroos Andis mitteametlikult loenguid Sorbonne'is. Cauchy suurimad saavutused · Cauchyle kompleksmuutuja funktsioonide teooria · Rangus matemaatilises analüüsis · elastsusteooria ja valguse dispersiooniteooria matemaatilise käsitluse loomine · Alates 29. detsembrist 1831 oli Cauchy Peterburi Teaduste Akadeemia välismaine auliige. · Pikk traktaat valguse dispersioonist. Cauchy teosed ja ka tööd/kirjutised, mis jäid välja ilmumata ,,Memuaar imaginaarsete radadega määratud integraalidest" (Memoire sur les integrales definies,prises entre des limites imaginaires, 1825). ,, Määramata sügavustega raske vedeliku pinnal levivate lainete teooria" (Etablir la theorie de la propagation des ondes a la surface d'un fluide pesant d'une profondeur infefunie). ,,Infinitesimaalarvutuste loengute kokkuvõte" (Resume des locons sur le calcul infitesimal),
murdunud lainete puhul on nurk . nS=v1/v2=sin alfa/sin. Absoluutne(ehk vaakumis) murdumisnäitaja na=c/v. (murdumisnäitaja n on tabeliväärtusena) õhk-1,0003 vesi-1,33 klaas-1,5 rubiin- 1,76 teemant-2,4 Murdumisnäitaja sõltuvus valguse lainepikkusest: [dispersioon on aine absoluutne murdumisnäitaja sõltuvust valguse lainepikkusest (või sagedusest)] Aine murdumisnäitaja on seda suurem, mida väiksem on valguse lainepikkus. Dispersioonist näide klaasplaadis: rohkem murdub lühemalaineline valgus ja vähem pikemaajaline valgus. Spektrid: SAADAKSE SPEKTRAALAPARAADIGA 1)pidevspekter on selline, kus on esindatud kõik lainepikkused. Kuju oleneb aine temperatuurist. Nt spektor on päikese või hõõglambi valgusel. 2)Joonspekter koosneb erivärvilistest joontest tumedal taustal. (kiirgusjooned) joonspekter on aine nn sõrmejälg. Seda saab gaasilistest ainetest madalal rõhul.
4 variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Ülemine kvartiil tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Hälve variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuse vahe. Kogu variatsioonirea hälvete summa on 0. · Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis ² · Standardhälve ruutjuur dispersioonist. Tähis · Variatsioonikordaja standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. Tähis V. · Hajuvusvahemik selle abil saab teada keskväärtuse standardvea. 5 3. Koondtabel sõiduaegade kohta Üldkogumiks on bussi sõiduajad, samuti kuuluvad need valimisse. Kuupäev Sõiduks kulunud aeg (minutites) 12.09.2011 hommik 10 12.09.2011 õhtu 11 13.09.2011 hommik 10 13.09.2011 õhtu 12 14
variatsioonras 25%. Detsiilide abil jaotatakse variatsioonrida 10-ks osaks. 22. Mis on dispersioon, mis standardhälve? Dispersioon juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Näiteks kui katseseerias on kõigi katsete tulemus sama, siis katsete dispersioon on null. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest. Standardhälve ruutjuur dispersioonist. 23. Kuidas leitakse standardhälve a) Variatsioonreast? b) Sagedustabelist? 24. Mis on variatsioonkordaja? Milleks läheb seda vaja? - Standardhälbe ja keskväärtuse suhe: V=sh/ksv. 25. Millist jaotust nimetatakse normaaljaotuseks? Milliste tingimiuste korral tekib normaaljaotus? Normaaljaotus kirjeldab tunnust, mille keskmise taseme lähedased väärtused esinevad tihti, aga suuri kõrvalekaldeid keskmisest väärtusest on harva
mõõtühikutes mõõdetud andmehulki. Suhtelised näitajad arvutatakse kas osatähtsustena või protsentuaalselt ning nad võimaldavad võrdlusi ka erinevates mõõtühikutes väljendatud andmekogumite puhul. Dispersioon ehk keskmine ruuthälve- on variantide individuaalväärtuste ja nende aritmeetiliste keskmiste vaheliste hälvete ruutkeskmine. Dispersiooni tõlgendusraskused on hõlpsasti ületatavad dispersioonist ruutjuure leidmise teel. Dispersiooni ruuthälve annab standardhälbe ehk keskmise ruuthälbe s. Kõige lihtsamini mõistetavamaks ja hajuvuskarekteristikuks on variatsiooniamplituud, mis näitab andmete varieeruvuse ulatust ja sõltub ainult variatsioonirea minimaalsest ja maksimaalsest väärtusest. Seoseks nähtuste vahel nimetatakse olenevust, mille puhul ühtede objektide olemasolu, puudumine või muutumine on teiste objektide olemasolu, puudumise või muutumise eelduseks
(x 1−¯x ) f 1 +( x2− ¯x ) f 2 σ2 = N ¿ N – kõikide nimede arv kokku (vastavalt kas poiste või tüdrukute) Poiste dispersioon (σ2): 20,23+1,47 +0,81+10,58+21,78 σ2 = 23 σ2 ≈ 2,39 Tüdrukute dispersioon (σ2): 24 +4 +2+12+9+25 2 σ = 20 σ2 = 3,8 6.2 Leian poiste ja tüdrukute eesnimede tähtede standardhälve σ, lähtuvalt dispersioonist, sest standardhälve võrdub dispersiooni ruutjuurega (σ = √σ2 ): Poiste standardhälve (σ): σ= √ 2,39 ≈ 1,5 Tüdrukute standardhälve (σ): σ= √ 3,8 ≈ 1,9 6.3 Kasutades eelnevat informatsiooni leian poiste ja tüdrukute eesnimede tähtede variatsioonikordajad (v) ehk suhtelise hajuvuse. Kasutan järgmist valemit: σ v= xx Poiste variatsioonikordaja (v): 1,5 v= 5,7 ≈ 0,26 = 26% Tüdrukute variatsioonikordaja (v): 1,9
Kvartiilid on iseenesest asendik Kvartiilid on variatsioonrea alumise ja ülemise poole mediaanid. Kvartiilid on iseenesest asendik 3.4 Mood Mo - variatsioonrea kõige suurema esinemissagedusega liige 3.5 Dispersioon Dispersioon - hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis 2 ( kreeka täht sigma).(dispersio - lad. keeles 3.6 Standardhälve Standardhälve - ruutjuur dispersioonist. Mida suurem on standardhälve, seda suurem on tunnuse väärtuste ha 4. Leida arvuliste tunnuste X2, X4 ja X8 punktis 3 nimetatud karakteristikud Tunnus x Me X Kv Kv Mo 2 X2 29,815789 28 26 32 28 27,09665 X4 0,9487179 1 0 2 0 0,971729
liikmeid on variatsioonireas ehk 25% Ülemine kvartiil tähis Kv on tunnuse väärtus, millest suuremaid liikmeid on variatsioonireas ehk 75% 31 Leia mediaan, mood, alumine ja ülemine kvartiil Number 36 37 38 39 40 41 42 sagedu 3 4 7 8 2 3 1 s 32 Dispersioon on hälvete ruutude keskväärtus 2 Dispersioon = standarthälbe ruut Standarthälve on ruutjuur dispersioonist 33 Mida suurem on standarthälve, seda suurem on hajuvus. Standarthälve iseloomustab rea elementide paiknevust keskväärtuse suhtes. Kui A-klassi testitulemuste standarthälve on 1,09 ja B-klassil 0,76, siis võime öelda, ..... 34 Enamiku tunnuste puhul võib öelda, et suurem osa tunnuse väärtustest erineb keskväärtusest vähem kui standardhälve. St paikneb lõigus
3 on alati aritmeetilisest suurem (seaduspärasus puudub) 4 kasutatakse aegrea tasandamisel (ÕIGE) 5 ei ükski Keskmine esindusviga 1 on vale keskmise valiku tulemus (me ei pea alguses valima, millist keskmist kasutame) 2 on väljavõtukeskmiste lineaarhälve (standardhälve) 3 vahe ühe valimi keskmise ja üldkogumi keskmise vahel (see on lihtsalt esindusviga, mitte ühe, vaid kõigi) 4 on ruutjuur valimite keskmiste dispersioonist (ÕIGE) 5 ei ükski Keskmise esindusvea tekkepõhjus? eksponentkeskmist kasutatakse õige variant: aegridade puhul nende tasandamiseks Normaaljaotuse puhul standardhälve +- 1 annab kogu kõverast a 99,97% b 99% c 90% d 64,..% on antud kolme aasta jooksul, esialgne 100 pärast 200. Leida keskmine juurdekasvutempo a 10 ühiku b 20% c 41,4% d mitte ükski neist õige tuleb 41,4% selle kasvutempo valemiga 1,414-1=41,4%
Standarthälve 33,84 21,00 17,16 Variatsioonikordaja 62,3% 59,3% 90,6% Rea ulatus on maksimaalse ja minimaalse näitaja vahe, kuna antud uurimustöös on suurim ja vähim näitaja väga erinevad on ka rea ulatus suhteliselt suur. Dispersioon näitab uuritava suuruse varieeruvust ning standarthälve on ruutjuur dispersioonist. Variatsioonikordaja alusel saab öelda, et kulu joogile varieerub kõige rohkem lausa 90,6%, arve maksumus varieerub 62,3% ning kulu söögile 59,3%. 4. Variatsioonread ja nende põhjal arvutatud statistilised näitajad a. Arve maksumuse variatsioonrida Arve kokku, Laudade arv xi xifi xi-x (xi-x)2fi 15 45 18 30 540 -6 648
prilliklaase kasutati ainult presbüoopia korrigeerimiseks. Liikuva trükipressi leiutamine sakslase Johannes Guttenbergi poolt 1440 aastal populariseeris suuresti lugemist ja andis hoogu prillide valmistamisele. Vajadus kõrgekvaliteediliste läätsede järgi ilmnes aga alles seoses teleskoobi leiutamisega Galileo poolt 1608 aastal. Fraunhoferi päikese spektraalanalüüsi eksperimendid, tema kirjeldus valguse dispersioonist ja valguskiirte murdumisest klaasil, termin "kindlad jooned spektril" ning huvi värvide korrektsioonist teleskoobi läätsedega, kõik see tiivustas inglast John Dollandit 1757 aastal välja mõtlema akromaatilist läätse, mis valmistati kroon- ja flintklaasi komponentidest. Omadussõna "kroon" oli 17 ja 18 sajandil kasutuses Inglismaa kodudes, tähendades aknaklaasi. Samuti öeldi enne optiliste klaaside arengut ka prilliklaaside kohta krooni lääts
· Alumine kvartiil tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Ülemine kvartiil tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Hälve variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuse vahe. Kogu variatsioonirea hälvete summa on 0. · Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis ² · Standardhälve ruutjuur dispersioonist. Tähis · Variatsioonikordaja standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. Tähis V. 1. Hinnete tabel küsitluse põhjal Üldkogumiks on XII B klassi õpilased, samuti kuuluvad ka valimisse. Jrk Bioloogia Geograafia nr Nimi hinne hinne 1 Karin 3 4 2 Liis 4 4 3 Jaanika 4 4 4 Maria N 4 3
(13) 0,0490=4,90% (26) 1,7144=171,44% (39) müügi (52) 94,25% 2. osa Väljavõte AS Tallinna Sadama tulude kohta 2006 2007 2008 2009 2010 1. Selleks, et leida variatsioonikoefitsiente, pean kõigepealt leidma aritmeetilise keskmise, amplituudi, keskmise lineaarhälbe ning standardhälbe (sh dispersiooni). Aritmeetiline keskmine on . Amplituud on . Keskmine lineaarhälve on . Dispersioon on . Standardhälve on ruutjuur dispersioonist, seega . Variatsioonikoefitsientide leidmine: Amplituudi koefitsient on . Keskmise lineaarhälbe koefitsient on . Standardhälbe koefitsient on . Dispersiooni koefitsient on . 2. Tulude 2-sammu (ehk 2 aasta kaupa) tasandus. Selleks leian iga 2 aasta keskmise, seejuures asetan keskmise aastate keskele, tegelikkuses aastate vahele. Hiljem tsentreerin, et saaks teatud aasta juurde märkida. Tsentreeritult:
võimalikule väärtusele xi vastavusse tõenäosusega pi (ehk P(xi)). Kui juhusliku suuruse tõenäoususfunktsioon on leitud , on ka leitud juhusliku suuruse jaotus. 14. Juhusliku suuruse krakteristikud. EX = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn. Juhusliku suuruse X dispersiooniks nimetatakse keskväärtuse suhtes arvutatud hälvete ruutude keskväärtust DX = E(X EX)2 DX = p1(x1 EX)2 + p2(x2 EX)2 + ... + pn(xn EX)2. Juhusliku suuruse X standardhälbeks nimetatakse ruutjuurt dispersioonist, = DX . DX = EX2 (EX)2 = EX2-(EX)2 . 15. Bernoulli jaotus 1. Ühtlane jaotus. Diskreetne ühtlane jaotus defineeritakse tõenäosusfunktsiooniga P(X = i)=1/n, kui i = 1, 2, ..., n. See tähendab, et juhusliku suuruse X võimalikele väärtustele 1, 2, ..., n vastavad tõenäosused on võrdsed ja võrduvad arvuga 1/n 2. Bernoulli1 jaotus*. Olgu sündmuse A tõenäosus P(A) = p. Bernoulli jaotusega juhuslik suurus on niisugune suurus X, mille väärtus on 1, kui sündmus A
· Alumine kvartiil tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Ülemine kvartiil tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Hälve variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuse vahe. Kogu variatsioonirea hälvete summa on 0. · Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis ² · Standardhälve ruutjuur dispersioonist. Tähis · Variatsioonikordaja standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. Tähis V. 1. Hinnete tabel küsitluse põhjal Üldkogumiks on XII B klassi õpilased, samuti kuuluvad ka valimisse. Jrk Bioloogia Geograafia nr Nimi hinne hinne 1 Karin 3 4 2 Liis 4 4 3 Jaanika 4 4 4 Maria N 4 3
aritmeetiline keskmine. Tähis Me. · Aritmeetiline keskmine ehk tunnuse keskväärtus. Tähisx. · Tunnuse minimaalne väärtus esinev tunnuse vähim väärtus. Tähis Min · Tunnuse maksimaalne väärtus esinev tunnuse suurim väärtus. Tähis Max · Variatsioonirea ulatus tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahe. Tähis U · Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis² · Standardhälve ruutjuur dispersioonist. Tähis 2.Sissejuhatus Valisin teemaks ,, 12. Klassi reisimisharjumised, kuna tahtsin teada saada, kus mu klassikaaslased reisimas on käinud ning kuhu nad sooviksid veel reisima minna. Küsitluse tulemuseks võiks oodata, et klassikaaslased on käinud reisimas paljudes Euroopa riikides. 3. Andmetabel Sugu Kus oled reisil käinud? Kuhu tahaksid minna reisima? M/N 1 M Rootsi Holland
Korrelatsioon stohhastilise ehk statistilise sõltuvuse üks eriliik (nt kaalu suurenedes suureneb ka pikkus). Maksimaalne väärtus - suurim väärtus tunnuste väärtuste hulgast. Minimaalne väärtus väikseim väärtus tunnuste väärtuste hulgast. Mediaan arv, millest väiksemaid ja suuremaid väärtusi variatsioonreas on ühepalju. ( x1 - x ) 2 + ( x2 - x ) 2 + ... + ( xn - x ) 2 = n -1 Standarhälve ruutjuur dispersioonist. Üldandmed Kui tihti Kui vanalt esmalt Kui Kas tarbid ka tarbitakse Keskmine Sugu Klass alkoholi tihti pidudel alkoholi? kodus hinne proovisid? tarbid?
Valimi sobiva suuruse arvutamisel: kasutatakse üldkogumi suurust kordumisteta väljavõtu puhul Indeksite arvutamisel: hinnaindeks leitakse mikroandmete puhul kokkuleppeliselt Paasche indeksina Standardhälbe arvutamise juures: kasutatakse ruutkeskmist Varieeriumise hindamisel: ei ükski eelpool nimetatud valikutest Keskmine esindusviga on oma sisult: väljavõtukeskmiste standardhälve on ruutjuur valimite keskmiste dispersioonist I tüüpi viga saab tekkida: ainult siis, kui lükkame tagasi õige nulllhüpoteesi Piiresindusviga on oma sisult: keskmine esindusviga teatud usaldatavuse juures Usaldatavuse kontrollimisel dispersioonanalüüsi abil: Võrreldakse empiirilistel andmetel leitud statistikut kontrollstatistikuga kasutatakse dispersioonde suhet (leitakse Femp) Aegrea tasandamised: Leitakse trendijoone parameetrite hinnangud vähimruutude meetodil
4. Populatsioon ja valim, standardviga Populatsioon on kõigi objektide, isendite, esemete, nähtuste või seisundite kogum, mille kohta soovitakse järeldusi teha Populatsiooni neid objekte, mida on vaadeldud või uurimiseks välja valitud, kutsutakse valimiks Valimit, kus uuritava tunnuse jaotus on samasugune kui populatsioonis, nimetatakse esindavaks valimiks Standardhälve- ruutjuur dispersioonist (dispersioon pt.2) standardviga = uuritava tunnuse standardhälve / ruutjuur valimi suurusest Populatsioon Valim keskväärtus (EX, ) keskmine (x) pop. dispersioon (DX,2) valimi dispersioon (s2) pop. mediaani valimi mediaan 3 5
Statistiline rida - tunnuse väärtuste järjestamata rida Variatsioonirida - tunnuse väärtuste rida kasvavas või kahanevas järjekorras Mood - variatsioonirea kõige suurema esinemissagedusega liige (Mo) Mediaan - variatsioonirea keskmine liige (Me) Aritmeetiline keskmine - tunnuse keskväärtus ( x ) Hälve - variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuste vahe Dispersioon - hälvete ruutude aritmeetiline keskmine ( 2) Standardhälve - ruutjuur dispersioonist ( ) Variatsioonikordaja - standardhälbe ja keskväärtuse suhe (V) Arvutusteks kasutan järgnevaid valemeid: N valemi suurus ( vaadluse all olevate objektide arv) N vahemike arv X max suurim väärtus X min väikseim väärtus X = X max - X min suurima ja väiksema väärtuse vahe 3 Mo tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus - mood N Me = tunnuse väärtus, millest suurimaid või väiksemaid liikmeid on 2
paariarvulise valimi korral kahe keskmise elemendi poolsumma. 4. Dispersioon ja standardhälve ( DX ja ( X ) ). Dispersiooni ja standardhälbe punkthinnangud ( s 2 ja s ). Dispersioon (DX) juhusliku suuruse ja tema keskväärtuse vahe ruudu keskväärtus DX=E(X-EX)². Praktikas kasutatava binoomjaotuse dispersioon on arvutatav lihtsama valemiga D(x)=npq Standardhälve on ruutjuur dispersioonist - (X)= ruutjuur DX. Dispersiooni punkthinnang on valiku uuringu korral. Dispersiooni hindamiseks kasutatud kõikse uuringu andmetel põhinevat üldkogumi dispersiooni arvutus: ( ²* ²) Standardhälve punkthinnang on praktilise kasutamise vajadusi rahuldav väga väikese nihkega hinnang 5. Bernoulli valem. Binoomjaotus (definitsioon, jaotusrida, keskväärtus EX ja dispersioon DX ). Poissoni jaotus. Bernouli valem
- Mood: variatsiooniteas kõige sagedamini esinev väärtus - Miinimum - Maksimum - Variatsiooniamplituud (max-min) - Kvartiilid Kirjeldav statistika -variatsiooni tunnused: - Hälve - tunnuse üksikväärtuse erinevus väärtuste aritmeetilisest keskmisest (võib olla neg. või pos.) - Keskmine lineaarhälve – üksikute hälvete absoluutväärtuste keskmine - Dispersioon (VARP)– keskmine ruuthälve ehk ruuthälvete aritmeetiline keskmine - Standard hälve (STDEV) – ruutjuur dispersioonist – mõõtühik sama, mis mõõdetaval parameetril - Variatiivsuse koefitsent – hälbivuse suhtnäitaja (standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhe), aitab võrrelda erineva suuruse ja skaalaga parameetreid 3) Andmete võrdlemine ja üldistamine – hinnatakse erinevuse eksisteerimise tõenäosust 4) Andmete seostamine Korrelatsiooni analüüs: korrelatsioonikordaja (r) näitab kuivõrd ühe näitaja muutus seostub teise näitaja muutusega
kui neid arve on paaris arv (Me) · Aritmeetiline keskmine Suuruse kõigi väärtuste summa ja rea mahu jagatis Hajvusmöödud: · Minimaalne ja maksimaalne element · Variatsioonirea ulatus · Hälve e lemendi erinevus aritmeetiliselst keskmisest (d=|x-x|) · Keskmine hälve kõigi hälvete summa ja reamahu jagatis · Dispersioon hälvete ruutude keskmine · Standard hälve ruutjuur dispersioonist Sirge tõus on tõusunurga tangens. Siis kui x kordaja on +, siis sirge tõuseb. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1 x-x1/v1=y-y1/y2 y=ax+b (a sirge tõus; b algordinaat) y-y1=a(x-x1) Ax+By+C=0 üldvõrrand Sirged kattuvad s=t (võrrandid on samad) A1/A2=B1/B=C1/C2 Sirged on paralleelsed s||t (tõusud on võrdsed) A1/A2=B1/BC1/C2 Sirged lõikuvad (tõusud erinevad, risti on kui tõusude korrutis on 1) a1a2 Vektor on suunaga lõik, millel on alguspunkt (rakenduspunkt) ja lõpppunkt.
Saadud variats.koefitsient on nimetu suurus, ta on võrreldav mistahes teise nähtuse kohta arvutatud variats.koef.ga. Dispersioon – selle arvutamisel tõstetakse individuaalväärtused ja nende aritmeetiliste keskmiste vahelised hälved ruutu. See omadus ongi teinud disp. Kõige rohkem kasutatava variatsiooninäitarvu. Puuduseks on see, et tema mõõtühikuks on variandi mõõtühiku ruut. Nimetatud puudusest ülesaamiseks kasutatakse standardhälvet, mis on ruutjuur dispersioonist. Standardhälve on alati samades mõõtühikutes, milles variandidki. Variatsioonikoefitsienti standardhälve järgi kasutatakse siis kui on vaja võrrelda niisuguste tunnuste hajuvust, mis on mõõdetud erinevates mõõtühikutes. Nt mis varieerub rohkem, kas inimese pikkus v kaal. 9. Asümmeetria koefitsient (asümmeetria kordaja) – vasakkaldeline siis on väiksema väärtusega variante rohkem. Paremkaldeline siis on suurema väärtusega variante rohkem.
5. ei ükski Eksponentkeskmine 1. kasutatakse keskmise kasvutempo leidmisel 2. ei arvesta rea kõiki väärtusi 3. on alati aritmeetilisest suurem 4. kasutatakse aegrea tasandamisel 5. ei ükski Keskmine esindusviga 1. on vale keskmise valiku tulemus 2. on väljavõtukeskmiste lineaarhälve 3. vahe ühe valimi keskmise ja üldkogumi keskmise vahel 4. on ruutjuur valimite keskmiste dispersioonist 5. ei ükski Keskmise taseme arvutamise juures 1. ruutkeskmine annab võrreldes aritm. keskmisega 1,253 korda väiksema tulemuse 2. kronoloogiline keskmine sobib kasutamiseks ainult aegridade korral 3. mediaani ei kasutata kunagi paarituarvulistes ridades 4. ....harmooniline keskmine... Kronoloogilist keskmist kasutatakse kui on tegemist: 1. periodreaga ja perioodid on võrdsed 2. perioodreaga ja perioodid ei ole võrdsed 3
maht ja k mudeli parameetrite arv) ja olulisuse nivool a2, siis saab vastu võtta sisuka (alternatiivse hüpoteesi) H1, mille kohaselt parameetri hinnang erineb statistiliselt oluliselt nullist (või cst). Kui hüpoteesi H1 vastu võtta ei saa (jäädakse 0hüpoteesi juurde), siis etteantud olulisuse nivool puudub statistiliselt oluline seos muutujate Y ja X vahel . 38. Standardhälve so ruutjuur dispersioonist. Mida suurem on standardhälve, seda suurem on tunnuse kui juhusliku suuruse hajuvus. Seda suurem on tunnuse erinevus keskväärtusest. 39. Statistilistel seostel baseeruv modelleerimine, hõlmab üldiselt üksikule lähenemist. Lähenemine kehtib aegridade jaoks. Teooriat ei püüta ümber lükata, vaid analüüsitakse teooria ja andmete kooskõla. 40. Tjaotus, lk 2728. Üks kasutatavamaid jaotusi. Sümmeetriline jaotus
2 ) 2 ( - x + x2 - x + + xn + x ) 2 Dispersioon hälvete ruutude keskväärtus. Valem: n Standardhälve ruutjuur dispersioonist. Iseloomustab hajuvust keskväärtusest mida suurem standardhälve, seda hajuvamad on tunnuse väärtused. Variatsioonkordaja et võrrelda standardhälbeid. Standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhe protsentides. Näitab suhtelist hajuvust mida väiksem on variatsioonkordaja, seda ühtlasem on kogum. Sissejuhatus Tegin oma uurimustöö reisimise kohta NRG õpilaste seas. Küsitlesin kokku 67-t õpilast, kellest 36 olid naised ja 31 mehed
ka 2, Tervisega seotud andmed: kogumine ja analüüs *Sotsiaalministeerium juurde.Standardimine- Enamuse haiguste korral on haigestumus Var, D) Dispersioon võrdub ligikaudu keskmise ruuterinevusega *Tervise Arengu Instituut *Tervisekaitse inspektsioon. sõltuv vanusest. Seetõttu ei saa mitte kunagi võrrelda haigestumuse keskmisest. Standardhälvet, mis leitakse kui ruutjuur dispersioonist., 3. Rahvastiku teadus e demograafia uurib rahvastikku tema üldkordajaid erineva vanusestruktuuriga rahvastikurühmades ilma iseloomustab keskmist erinevust keskmisest. Ligikaudu 2/3 valimist arvu, koostise ja arengu seisukohalt, samuti rahvastiku kvantitatiivselt ( vanuse erinevust arvestamata · Selle asemel kasutatakse haigestumus jääb vahemikku keskmine±SD, ligikaudu 95% valimist jääb
nähtuses kutsuvad esile ka muutused teises nähtuses. Positiivne korrelatsioon ühe suuruse kasvades teine suurus samuti kasvab. Negatiivne korrelatsioon ühe suuruse kasvades teine suurus kahaneb. Korrelatsioonikordaja r - kahe tunnuse vahelise seose tugevust iseloomustav arv. Dispersioon 2 - juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Standardhälve - ruutjuur dispersioonist, iseloomustab tunnuste hajuvust. VALEMID x1 + ... + x n x= ARITMEETILINE KESKMINE: n ( 1 n xi - x y i - y r=
pindalad võrdsed. Juhul, kui tihedusfunktsioon on sümmeetriline, siis langevad keskväärtus, mood ja mediaan kokku. 2.7 Juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve Juhusliku suuruse dispersioon iseloomustab juhusliku suuruse hajuvust keskväärtuse ümber. Dispersioon avaldub kujul: DX = E( X – EX)2. Dispersiooni dimensiooniks on juhusliku suuruse dimensiooni ruut. Juhusliku suuruse standardhälve on positiivne ruutjuur dispersioonist σ(X) = DX . n Diskreetse juhusliku suuruse dispersioon DX = x i 1 2 i pi - (EX)2.
1a+1k=1f Kui on tegemist näiva kujutisega, siis on kujutisekaugus k negatiivne. Läätse valem hajutavale läätsele Hajutava läätse korral on läätse valem 1a-1k=1f Joonsuurendus Joonsuurendus s näitab, mitu korda erinevad kujutise mõõtmed eseme vastavatest mõõtmetest, kusjuures s=ka Valguse dispersioon änapäeval on teada, et värviliste valguste eraldumine üksteisest on tingitud dispersioonist, milleks nimetatakse aine absoluutse murdumisnäitaja sõltuvust valguse sagedusest või lainepikkusest. Mida väiksem on valguse lainepikkus, seda suurem on sellele vastav murdumisnäitaja. Sellepärast kalduvadki prismast läbiminekul kõige rohkem kõrvale violetne ja sinine valgus ja kõige vähem punane valgus. Dispersiooni jälgimiseks tarviliku prisma saame ka ise valmistada, näiteks kaldu vette asetatud peeglist, millele valgust juhtides võime laes saada vikerkaarevärve
15. Standardmääramatus ning tema A ja B tüüpi hindamismeetodid. sp s ( xi ) u ( xi ) = u ( xi ) = s ( xi ) = n on n mõõtetulemuse standardhälbe kujul väljendatud määramatus See määramatus võrdsustatakse positiivse ruutjuurega mõõtesuuruse hinnangu dispersioonist ning tähistatakse tähega u. Klassiftiseeritakse a ja b tüübiks erinevate hindamisviiside alusel. A tüüpi määramatuse saame kordusmõõtmiste statistilisest analüüsist. B tüüpi määramatuse jaoks info saame mõõtevahendite spetsifikatsioonidest, hinnatakse piirhälvete alusel. Juhuslike suuruste dispersioon võrdub nende summa dispersiooniga. A-TÜÜPI: B-TÜÜPI: 16
nn paarisvalimit, mis koosneb katse/vaatluse tulemusel saadud paarisvaatlustest. Korrelatsiooni väärtused asuvad -1 ja 1 vahel. Korrelatsiooni mooduli lähedus väärtusele 1 viitab sellele, et X ja Y seos on lähedane lineaarsele seosele. X ja Y kasvava seose korral on korrelatsioon positiivne, kahaneva seose korral negatiivne. Korrelatsiooni ruutu nim determinatsiooniks d=r2. Kui x ja y vahel on statistiline seos, siis determinatsioon d näitab, missugune osa ühe juhusliku suuruse dispersioonist on tingitud teise juhusliku suuruse mõjust. Kui X ja Y on korreleerimatud, siis hinnangu r väärtus peaks olema nullilähedane. X ja Y korreleerimatuse kontrollimine viib järgmise hüpoteesipaari kontrollile: H 0: p=0, H1: p ei võrdu 0. Nullhüpoteesi kontrolliks kasutatakse korrelatsiooni hinnangu põhjal lleitud statistikut t, mis x ja y normaaljaotuse korral on f=N-2 vabadusastmetega t- jaotusega. Seega, kui valitud olulisuse nivoo alfa juures kriitiline väärtus on suurem
Intervallide arv ei tohi olla liiga suur! Saadakse histogramm pideva tunnuse jaotumise kirjeldamiseks (järjestikuste tulpade vahele vahesid ei jäeta). · Suhteline sagedus · Protsent · Keskmine vt valemit. Keskväärtuse puuduseks on tema suur tundlikkus üksikute äärmuslike vaatluste suhtes. Kui selliseid vaatlusi esineb, on mõttekam kasutada mediaani · Standardhälve leitakse kui ruutjuur dispersioonist vt valemit. · Standardviga · Mediaan ehk teine kvartiil- järjestatud valimi keskpunkt väärtus, millest nii suuremaid kui väiksemaid väärtusi on valimis 50%. Kui valimi suurus on paaritu, siis on mediaaniks keskmine vaatlus järjestatud valimis. Kui tegu on paarisarvulise suurusega valimis, siis on mediaaniks kahe keskmise väärtuse aritm kesk. · Kvartiilid saab hinnata valimi varieeruvust. Alumine kvartiil on tunnuse selline väärtus,
annaabi.ee 
