1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. Kõrgemat jär harilikud dvid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y (n)) = 0 (1), kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y (n-1))(2) (( F(x,y, y')=0 (1) ja y' =f(x;y) (2))) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. ***{y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1) ***Lahendi olemasolu : kõrgemat järku DV lahend funktsioon, mille asendamisel võrrandisse saame samasuse F(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y(n)) 0 x. Peano teoreem e. olemasolu teoreem: olgu funktsioon f pidev muutujate x, y, y', y'', ..., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt (x0, y0, y0(n-1) ) D korral on
Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. V: Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0, kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y(n-1)) (1) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. {y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... (2) (n-1) (n-1) {y (x0) = y0
- . =f(x10+x1,x20+x2,...,xn0 8).. - . . .: - +xn)-f(n10,n20...nn0) . - - . f:F(x,y)=0, y=y(x) . . P0(x,y) F . . . . .: . . - . xkf=f(x10,x20,... ,xr0+xk,...,xn0)-f(x10,x20,...,xk0,...,xn0) .1: . . . - f:y=f(P) PP0 . >0 >0, (,P0), - . . . dy/dx=-( (F/x)/ (F/y)|(x0,y0) ) . . -. -: .. . . (x0,y0) . . . - - f ( x, y ) dxdy (S )
sõltub ainust y või on konstant. Lahendamine: M(x)dx+N(y)dy=0(2) * Tõestame et esiteks: (1)(2)* Olgu y=y(x) võrrandi (1) lahend, seega peab kehtima M(x)dx+N(y(x))d(y(x))=0*[M(x)+N(y(x))y´(x)]dx=0 | *[M(x) +N(y(x))y´(x)]dx=C* M(x)dx+N(y(x))y´(x)dx=C* M(x)dx+N(y(x))d(y(x))=C (2).*(1)rahul.(2)Teiseks kasutame teoreemi ilmutamata kujul olevast funktsioonist. Tähistame (x,y)=(x0...x)M(s)ds+(y0...y)N(s)ds,* siis saab (2) kirjutada lühidalt (x,y)=0. Kontrollime a,b ja c täidetust TIKF-st.*a) (x,y)= (x0...x)M(s)ds+ (y0...y)N(s)ds* x(x,y) =[(x0...x)M(s)ds+(y0...y)N(s)ds]x´=M(x)+0=M(x) <-pidev! * y(x,y) =[(x0...x)M(s)ds+ (y0...y)N(s)ds]y´=0+N(y)=N(y) <-pidev *b) (x0,y0) =(x0...x0)M(s)ds+(y0...y0)N(s)ds=0+0=0 *c)y(x0,y0)=N(y0) * x(x0,y0)=M(x0)*Teoreemi eelduse korral peab vähemalt kas M(x) või N(y) olema nullist erinev punktis (x0,y0). Olgu selleks y(x0,y0)
5 10 3 U 2 18V I 2 24,5mA 2 15.37 deg I ´2 I 2 e i 2 1. Arvutada pinge U1 ja vool I1 liini alguses, aktiivvõimsus P ja näivvõimsus S liini alguses ja lõpus ning liini kasutegur . 2 f 4.084 10 4 I ´2 0.024 6,494i 10 3 1.1 Primaarparameetrid: Z 0 R0 j L0 Z 0 102 174.39i Y0 G0 j G0 Y0 2.1 10 6 1.144i 10 4 1.2 Sekundaarparameetrid: Z0 Zc Z c 1.286 10 3 335.814i Y0 Z 0 Y0 ) 0.041 0.146i 1.3 Pinge U1 ja vool I2 liini alguses: U 1 U 2 cosh( 1) I ´2 Z c sinh( 1) U 1 56.855 3.895i U 1 56.898 arg(U 1 ) 176.075 deg
Joone puutuja tõus ja võrrand Olgu kõverale y = f(x) tõmmatud puutuja punktis A. Olulised mõisted: A(x0, y0) puutepunkt x0 puutepunkti abstsiss ehk x-koordinaat y0 puutepunkti ordinaat ehk y-koordinaat - puutuja tõusunurk k puutuja tõus k = y ( x 0 ) Puutuja võrrand k = tan y - y 0 = k ( x - x0 )
nim. funktsiooni z täismuuduks ja mis on määratud valemiga: z=f(x+x, y+y)-f(x,y). Joonisel kujutab täismuutu z lõik QQ'. Täismuut üldiselt ei võrdu osamuutude summaga, st. z xz+yz. 5. Punkti ümbruse mõiste. Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Korduvad piirväärtused. Kahe muutuja funktsiooni pidevus punktis, võrduse tuletamine. Kahe muutuja funktsiooni katkevuspunkt (3 tingimust). Punkti M0(xo;y0) ümbruseks raadiusega r nim. punktide hulka, mille iga punkti koordinaadid rahuldavad võrratust , st. need punktid asetsevad ringi sees, mille raadius on r ja keskpunkt M0(xo;y0). Kui ütleme, et funktsioonil f(x,y) on mingi omadus punkti (xo;y0) ümbruses, siis mõistame selle all, et leidub niisugune ring keskpunktiga (xo;y0), mille kõigis punktides on funktsioonil see omadus olemas.
( a,1 )( y - b) 3 3! + f yyy 10. Mitme muutuja funktsiooni kui f ( x0 ; y 0 ) < f ( x, y ) kõigi punktile maksimumi ja miinimumi mõisted. ( x0 ; y0 ) küllalt lähedaste ja temast Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). erinevate punktide f ( x, y ) puhul. Ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui Öeldakse, et funktsioonil funktsioonil z = f ( x, y ) on punktis M 0 ( x0 ; y 0 ) (s.o. z = f ( x, y ) on x = x0 , y = y 0 puhul
f ]0. 35. Matemaatilise ootuse intervallhinnang [D - t ( / n) a [D + t ( / n), kus t ( / n) = on valimi mahu täpsushinnang> t Laplace funktsioonist ! t @. 36. Dispersiooni ja standardhälbe intervallhinnang s (1 q) s (1 + q) kui q < 1; q tabelist n ja alusel. 37. Statistilise hüpoteesi põhimõte Parameetrite või jaotuste vastavuse kontrollimine teoreetiline ja empiiriline. Kontrollkriteerium. Olulisustase (tõenäosustase) . Hüpoteesid Y0 ja Y1. 38. Hüpoteesi t-kriteerium (Z-kriteerium suurte valimite korral) Kasutatakse kahe keskväärtuse võrdluseks normaaljaotusega kogumist eeldusel, et dispersioonid { ja Y on võrdsed kuigi mitteteada. Y0 % MX=MY. X Y n1n2 n1 n2 2 T & k = n1+n2-2 n 1 S 2 n 1 S 2 1 X 2 Y n1 n2 39. Hüpoteesi F-kriteerium
Näide: 21. Paketi Stella poolt kasutatavad numbrilised meetodid, kirjeldus, näide- Euleri, Runge-Kutta 2. ja 4- järku meetodid. Euleri meetod tähendab sisuliselt seda, et varem leitud väärtusele yi liidetakse otsa sammuga h korrutatud y tuletise väärtus antud punktis. Algoritm: yi+1 = yi + h f (xi; yi). Valemi viga O(h2). Näide: Aine lagunemise mudel Runge-Kutta 2. järku meetod Kaks varianti: h hf ( x0 ; y0 ) I) y1=y0+hf(x0 + 2 ;y0+ 2 ); II) k1=hf(x0;y0), k2=hf(x0+h;y0+k1) ja 1 y1=y0+ 2 (k1+k2); Mõlemil juhul valemite viga O(h3). Ka see meetod on graafiliselt selgitatav. Näide Määratud integraali mudel Runge-Kutta 4. järku meetod h k1 h k2 k1=hf(x0;y0); k2=hf(x0+ 2 ;y0+ 2 ); k3=hf(x0+ 2 ;y0+ 2 ); k4=hf(x0+h;y0+k3); 1 y1=y0+ 6 ( k1+2k2+2k3+k4). Valemi viga O(h5). Viimast meetodit kasutatakse praktikas kõige enam. Näide Keha jahtumise mudel 22
. , y (n−1) =const.Nt. 2x y 3 +sinxy+ y 5 -log(x,y)=0 – üldkuju. y 5=log ( x , y ) −sinxy−¿ 2x y 3 - normaalkuju. Kõrgemat järku DV lahend on fun,mille asendamisel võrrandisse saame samasuse.Olemasolu/Peano teoreem:Olgu fun f pidev prks D.Olgu tal olemas I n−1 järku arvtuletised argumentide y,y’,.., y järgi,mis on ka pidevad prks D.Siis iga punkt (x0,y0,.., y 0n−1 )€D korral on Cauchy ül. parajasti 1 lahend. Ühesuse tingimused-olgu fn f pidev piirkonnas D,olgu tal olemas I järku osatuletised argumentide y,y',...,y n-1 järgi,mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkt (x0,y0,...,y0n-1)ϵD korral on Cauchy ülesandel parajasti 1 lahend. Üldlahendiks nim. võrrandi (1) lahendite
Avaldis Tingimus 1. B ( x, y ) A( x, y ) 0 A( x, y ) 2. 2 k A( x, y ) A( x, y ) 0 3. log a A( x, y ) A( x, y ) > 0 4. arcsin A( x, y ) - 1 A( x, y ) 1 arccos A( x, y ) 2. Kahe muutjua funktsiooni piirväärtus ja pidevus. Teoreemid kinnises tõkestatud piirkonnas pideva funktsiooni kohta. Kui Q( x, y ) lähenemisel punktile P( x0 , y 0 ) funktsiooni z = f ( x, y ) piirväärtus on arv a, siis me kirjutame lim f ( x, y ) = a x x0 y y0 Def. 2.1. Arv a on funktsiooni z = f ( x, y ) piirväärtuseks tingimusel, et Q( x, y ) P( x0 , y 0 ) , kui Q ( x, y ) U ( P ) < 0 , ( ) > 0 , et f ( x, y ) - a < . ( x, y ) ( x0 , y 0 ) Def. 2.2. lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) Funktsioon on pidev punktis P( x 0 , y 0 ) , kui x x0 (2.2)
.., xm) hulgast D on eeskirja f abil funktsioon vastavusse seatud üks ja ainult üks reaalarv u, siis öeldakse, et hulgal D on määratud m muutuja funktsioon u=f(x1, x2, ..., xm) ( x1, x2, ..., xm) D Mitme muutuja Mitme muutuja funktsiooni mõistes hulk D funktsiooni määramispiirkond Kahe muutuja Funktsiooni f(x,y) piirväärtuseks punkti M(x,y) lähenemisel punktile M 0(x0, y0) funktsiooni piirväärtus nimetatakse arvu A, kui argumendi tõkestamatu lähenemine punktile (x 0, y0) toob kaasa funktsiooni f(x,y) väärtuste tõkestamatu lähenemise arvule A Kahe muutuja Funktsiooni z=f(x,y) nimetatakse pidevaks punktis (x 0, y0), kui ta on selles funktsiooni pidevus punktis määratud ning funktsiooni väärtus punktis (x 0, y0) võrdub tema piirväärtusega lähenemisel sellele punktile
Hariliku Dv Def. Olgu F-n F(x,y,z) määratud xyz ruumi piirkonnas G. Vahemikus (a,b) määratud funktsioon y=y(x) nim. Võrrandi F(x,y,y`)=0 lahendiks, selles vahemikus, kui ta on pidevalt dif-uv ning (x,y(x),y`(x)) kuulub hulka G ja F(x,y(x),Y`(x))=0 x (a , b) Cauchy ülesanne 1-järku võrrandi jaoks seisneb sellise lahendi y(x) leidmises, mis rahuldab algtingimust y( x0 ) = y0 Peano teoreem Olgu f(x,y) pidev kahemuutuja f-n piirkonnas D. Siis läbi iga punkti (x0,y0) D kulgev vähemalt 1 DV integraalkõver. On tuntud ka Dv lahendi olemasomu teoreemina. Cauchy teoreem - Olgu f(x,y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas f ( x, y ) olemas pidev osatuletis y . Siis läbib igat punkti (x0,y0) kuulub hulka D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver. On tuntud DV lahendi ühesuse teoreemina. Kasvamine ja kahanemine tüüpiline võrrand kujul dx/dt=kx, kus otsitav on
(x,y,f(x,y)). Kõikide niisuguste punktide hulk moodustab ruumis pinna. Seega on kahe muutuja funktsiooni graafikuks pind Diferentseeruvus kohal x eksisteerivad fxj(x). Eksisteerivad pidevad fxj(x) diferentseeruvus kohal x. f(x+x) = ruumis. Tähistades x = x0 + x ay=y0 +y, saame, et xx0 ja yy0 parajasti siis, kui x0 ja y0. Pidevuse 3.Tingimuse saame nüüd f(x) + fxj(x) xj + o(x2) kirjutada lim f(x0 +x,y0 +y)=f(x0 ,y0)(x0,y0).Ehk lim [f(x0 +x,y0 +y)-f(x0 ,y0)]=0 (6.4)( x0,y 0) Lagrange' keskväärtusteoreem: Kui f diferentseeruv x ümbruses U(x) ja x + x c U(x), siis leidub c (0,1), nii et Tähistame = x + y Siis 0 x 0 ja y 0
Voolutrafo. Trafo kasutegur sõltub nimipinge ja tööpinge erinevusest; on määratud sekundaar ja primaar poole aktiivvõimsuse suhtega; muutub koormamisel; on kõige väiksem lühisel; on kõige väiksem tühijooksul. Trafo suhteline takistus on määratud nimipinge ja nimivoolu suhtega. Trafo aseskeemi magneetimisharus oleva aktiivtakistuse väärtuse saab leida tühijooksu katsel registreeritud Voltmeetri ja Wattmeetri näitude alusel. 3faasilise trafo mähis ühendusskeemiga Y0/ lülitatakse toitevõrku kui pinge faasis A on max. millise faasi mähises tekib max siirdevool? B ja C. milliste mähiste ühendusrühmade juures esineb tühijooksul faasinihe trafo primaar ja sekundaarpingete vahel? Y/Y0-6; Y/-11; Y0/-11
PIIRV ÄÄRTUS. DIFERENTSEERIMINE Mitme muutuja funktsioon Mitme muutuja funktsiooni üldkuju: w = f ( x, y , z ,...) ( x, y, z ,...) D Kahe puntki vaheline kaugus: Puntkide P1 = ( x1 , y1 , z1 ,...) ja P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ,...) vaheliseks kauguseks nimetatakse reaalarvu d ( P1 , P2 ) = ( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 + ( z1 - z 2 ) 2 + ... . Punkti -ümbrus: Olgu mingi arv. Punkti P0 = ( x0 , y0 , z 0 ,...) -ümbruseks U ( P0 ) nim. kõigi selliste punktide P = ( x, y , z ,...) hulka, mille kaugused punktist P0 on väiksemad kui , s.t d ( P, P0 ) = ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z0 ) 2 + ... < . Hulga sisepunkt: Punkti P0 D nim. hulga D sisepunktiks kui leidub punkti P0 selline -ümbrus, mis kuulub hulka D, s.t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim
0 0 1 AOP1 0 0 1 LOP1 0 1 0 AOP2 0 1 0 LOP2 . . . . . . 1 1 1 AOPj-1 1 1 1 LOPj-1 a0 a1 . Operand A . y0 . ak-1 y1 ALU Resultaat Y b0 yk-1 b1 . Operand B . . bk-1 ... M Sn-1 S1 S0
• Ellipsoid – GRS80 • Telgmeridiaan – L=24o00` • Mõõtkavategur telgmeridiaanil – 0, 9996 TM-BALTI projektsioonil põhineva tasapinnalise ristkoordinaatide süsteemi TM-B parameetrid: • Lähtepunkti geodeetilised koordinaadid: B0=00o00` ja L0=24o00` 12 • Lähtepunkti ristkoordinaadid: x0 = 0 m ja y0 = 500 000 m Pulkovo-42 NSV Liidus ja Venemaal kasutusel alates 1946. aastast. Ellipsoidina kasutab 1940. Gaussi-Krügeri konformne põiksilindriline projektsioon. Jaotub 6o tsoonideks, kus Eesti paikneb kahe tsooni ulatuses: tsoon nr 4 O-34, telgmeridiaan Lo=21o00` ip ning tsoon nr 5 O-35, telgmeridiaan Lo=27o00` ip. Parameetrid: • Lähtepunkt: O-34 B0=00o00` ja L0=21o00` O-35 B0=00o00` ja L0=27o00`
nimetatakse võrrandi F (x;y;y’)=0 lahendiks selles vahemikus kui ta on pidevalt diferentseeruv, (x; y(x); y’(x)) ϵ Ω iga x ϵ (a,b) ning F (x; y (x); y’(x))=0 iga xϵ(a,b) Erilahend : Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks nimetatakse DV lahendit, mis on saadud üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuse andmisel. Esimest järku DV üldlahendist saame erilahendi, kui rahuldame algtingimuse y( x0) = y0 , kus x0 , y0 on etteantud arvud. Kuna n-järku DV üldlahend sisaldab n suvalist konstanti, siis on konstantide määramiseks vaja n algtingimust Tihti esitatakse need kujul : 1. 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud. Lause (Peano teoreem) Olgu f (x;y) pidev kahemuutuja funktsioon piirkonnas D R2. Siis läbi iga punkti (x0; y0) ϵ D
Suletud reguleerimissüsteemi struktuurskeem ja tööpõhimõte. P Programmseade (nukkvõll, tiftidega ketas, perfolint või arvutimälu). Annab ette sätte y0(t). A - Andur muundab väljundsignaali ülekandmiseks ja võrdlemiseks sobivaks suuruseks. VE - VõrdlusElemendi väljundis tekib vea signaal (). V Võimendi võimendab veasignaali. TM Võimendi väljundsignaal mõjub TäituvMehhanismile, mille kaudu regulaator mõjutab Reguleerivat Elementi. RE Reguleeriv Element mõjutab Objekti, muutes sellelel antavalt ainet või energia hulka. Tagasiside. Tagasiside on väljundi mõju sisendile
ja talle mõjuv jõud avaldub valemiga . t1=2 t2=7 A=? A= A= V:Tööd tehtid -270J 5. Koostage keha liikumisvõrrand, kui tema kiirendus on ja kiirus hetkel on . Liikumise algmomendil t=0 asus keha punktis koordinaatidega x=2, y=-5, z=-8. t=0 x=2 vx=v0x+at t=0 vx=7 y=-5 vox=7-4*0=7 x0=x-voxt- t=0 z=-8 x0=2+7t+2t2 ----- vy=v0y+ayt t=0 vy=-18 ay=-2 v0y=-18-(-2)*0=-18 y0=y+v0yt- t=0 y=-5 y0= -5-((-18)*0)-(- y=-5+(-18*t)+( - zy=z0y+a2t t=0 a2=0 v0z=0-(0*0)=0 z=z-v0zt t=0 z0=-8-0-0=-8 6. Hooratas pannakse pöörlema , rakendades talle jõumomendi 40Nm. Milline on hooratta pöörlemiskiirus 14 sekundi pärast, kui tema inerstmoment on 0,2kgm 2?
63. Mida kujutab endast juhtprogrammi graafiline interaktiivne programmeerimine? 64. Mida kujutab endast juhtprogrammi CAD/CAM programmeerimine? Arvjuhtimisprogramm Koosneb: · Lausetest · Programmi algust tähistavatest sümbolitest · Programmi lõppu tähistavatest sümbolitest NC - programm N20 G90 G71 Programmi algus N30 G40 G80 N40 T130 M03 N50 S180 M06 N60 G53 X5 Y5 N70 G1 Z-10 F2500 Programmi töötlused N80 G1 X0 Y0 F3500 N90 X100 ......... N140 G0 Z50 Programmi lõpp N150 M05 N150 M02 Programmi lause Juhtprogrammi lause koostis on reglementeeritud DIN-normidega. Tänapäeval juhtprogrammi koostamisel on kasutusele võetud spetsiaalne keel- CLDATA. Lause struktuur ja sõnade järjekord Lause Ette- Koordi Inter- Ette- Spindli- Lõikeriist Abi- numbe valmistavad - poleerimis- nihe pöörlemi a number funkt
43. kahe muutuja funktsiooni täismuut- kahe muutuja funktsiooni z = f( x, y ) täismuut : z = f ( x + x, y + y ) f (x, y) 44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus- arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv r > 0 , et kõigi võrratust | PP0 | < r (vektori pikkus) rahuldavate punktide P puhul kehtib võrratus | f (x, y) A | < ja kirjutatakse lim f ( x, y) = A , x x0 ja y y0 45. mitme muutuja funktsiooni osatuletis- funktsiooni z = f(x, y, u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu x z ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: z ` x = lim x z / x kui x 0 Osatuletis y järgi: z ` y = lim y z / y kui y 0 46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum- öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum. 47
Juhendaja : Peeter Otsnik Tallinn 2014 Füüsika 1 Ül. 1 Antud x = 10 – 2t + t3 t=2s r=4m Leida a(kogu) = ? Lahendus: a(n) = v2 / r v = x(t)’ v(x) = (10 – 2t + t3)’ = -2 + 3t2 v(t=2)= 1-2 + 2*22 = 10 m/s a(n) = 102 / 4 = 25 m/s2 a(t) = (v)’ a(t)= (-2 + 3t2)’ = 6t a(t=2) = 6*2 = 12 m/s2 a(kogu)2 = a(n)2 + a(t)2 = 252 + 122 = 769 a(kogu) = 27,7 m/s2 Vastus. Kogukiirendus ajamomendil t = 2 s on 27,7 m/s2. Ül. 2 Antud y0 = 2 m x0 = 7 m Leida v(alg) = ? v(lõp) = ? Lahendus: Leiame aja t Vaatleme vertikaalliikumist v0 = 0 m/s v(lõp) = ... y0 = 2 m g = a = 9.8 m/s2 y0 = v0t + at2/2 gt2/2 = 2 t2 = 4 / 9,8 t = 0,64 s v = v0 + at v(vert) = 0 + 9,8 * 0,64 = 6,2 m/s Vaateleme horisontaalliikumist v = s/t v(hori) = 7m / 0,64s = 10,9m/s v(lõp)2 = v(vert)2 + v(horis)2 v(lõp)= 12,5m/s Vastus. Kivi algkiirus: 10,9 m/s ja lõppkiirus: 12,5 m/s Ül. 3 Antud f = 5 Hz M = 1000 Nm t = 20 s Leida I=? Lahendus:
lim [∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑃𝑘 )∆𝑠𝑘 + ∑𝑛𝑘=1 𝑔(𝑃𝑘 )∆𝑠𝑘 ] = lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑃𝑘 )∆𝑠𝑘 + lim ∑𝑛𝑘=1 𝑔(𝑃𝑘 )∆𝑠𝑘 . Definitsiooni järgi on P0(x0,y0) lokaalne ekstreemum, siis on lokaalne ekstreemum ka kahe muutuja funktsiooni graafikuks oleva 𝜆→0 𝜆→0 𝜆→0 𝜕𝑧
Diferentsiaalvõrrandi lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse saame samasuse sõltumatute muutujate suhtes Definitsioon Olgu F (x; y ; z) määratud piirkonnas R3. Vahemikus (a; b) määratud funktsiooni y = y (x) nimetatakse võrrandi F (x;y;y')=0 lahendiks selles vahemikus kui ta on pidevalt diferentseeruv, (x; y(x); y'(x)) iga x (a,b) ning F (x; y (x); y'(x))=0 iga x(a,b) 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud. Lause (Peano teoreem) Olgu f (x;y) pidev kahemuutuja funktsioon piirkonnas D R2. Siis läbi iga punkti (x0; y0) D kulgeb vähemalt üks diferentsiaalvõrrandi y'= f (x; y) integraalkõver. Lause (Cauchy teoteem) Olgu f (x; y ) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis fy (x; y ). Siis läbi iga punkti (x0; y0) D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y' = f (x; y) integraalkõver. Definitsioon
> 0 Then kuju.Rotation = P_Nrk(xj, yj, x, y) d(d / h) on ementLeft hx ementTop hy = x: kuju.Top = y Läks Katkesta Jälitamine Auto ringliiklus ringe ring aeg Sõida 3 Sõida Starti Stopp! Lenda Lennuk Lenda! Seosed kasutaja ja ekraani koordinaatide vahel xe y x0 y0 y = F(x) x a b Function xe(x, x0, Optional px = 72 / 2.54) xe = x0 + x · px xe = x0 + x * px ye ye = y0 - y · py End Function px - punkte horisontaalsel
ligikaudsete valemiteni h h f ( x)dx 3 ( y h i 4 y i y i 1 ) (i=1, 3, 5, ...., 2n-1). Liites need ligikaudsed valemid, võime määratud integraali aditiivsuse omaduse põhjal kirjutada: b h a f ( x)dx 3 ( y0 4 y1 y 2 ) ( y 2 4 y3 y 4 ) ... ( y 2n2 4 y 2n1 y 2n ) ehk b b 1 1 1 f ( x)dx a 3n 2 y 0 2( y1 y 3 ... y 2 n 1 ) ( y 2 y 4 .... y 2 n 2 ) y 2 n
erinevat vektorit. Kui on teada tasapinna mingi punkt M 0 x0 , y 0 , z 0 ja üks temaga ristiolev vektor n A, B, C , siis sellega on tasand täielikult määratud. Võtame suvalise punkti tasandil M x, y , z . Siis M 0 M n ja skalaarkorrutis on 0. M 0 M x x0 , y y0 , z z0 n M 0M 0 A x x0 B y y0 C z z0 0 (1) See on tasandi võrrand, mis läbib punkti M 0 x0 , y0 , z0 ja on risti vektoriga n A, B, C . Näide: Koostada tasandi võrrand, mis läbib punkti M 0 4,5,6 ja mille normaalvektoriks on n 1,2,3 .
Ristseisu tunnused: sihivektorid on risti. 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. Kanoonilised võrrandid: (x-x1) / sx = (y-y1) / sy = (z-z1) / sz =täh. t. Parameetrilised võrrandid: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. Tasandi võrrand ruumis: Ax + By + Cz + D = 0 Saadakse: (M0X)*n = 0 nx(x-x0) + ny(y-y0) + nz(z-z0) = 0. 25. Ellips (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused). Ellipsiks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kauguste summa kahest etteantud punktist F1 ja F2 on jääv suurus 2a, st |F1P| + |F2P| = 2a. Punkte F1 ja F2 nim ellipsi fookusteks. Ellips on teist järku joon, mille iga punkti kauguste summa kahest fikseeritud punktist (fookusest) on konstantne. Võrrandi koordinaatkuju: Kanooniline võrrand: 26
"kuulub" element kuulub hulka "või" "ja" "nii, et" nt. ={m/n m n } "ühisosa" ehk "ja" "ühend" ehk "või" "välja arvatud" Võrratuste lahendamine Lineaarvõrratus Näiteks: Graafiliselt: x+9>4x x+9-4x>0 x-4x>-9 -3x+9>0 -3x>-9 |:(-3) y= -3x+9 x<3 y>0 Vastus: x]-;3[ Ruutvõrratus Näiteks: 6+x-x2<0 y= 6+x-x2 y<0 Vastus: x]-;-2[]3; [ Kõrgema astme võrratus Näiteks: x5-x3-8x2+80 y= x5-x3-8x2+8 y0 Vastus: x]-;-1][1;2] Murdvõrratus Näiteks: x +1 0 x-2 x +1 y= x-2 y0 Vastus: x[-1;2[ Kokkuvõte ehk intervallmeetod Viin kõik võrratuse liikmed paremale poole; Leian võrratuse nullkohad ja katkevuspunktid; Joonestan x-telje ja kannan saadud punktid sinna; Uurin võrratuse avaldise märki igas saadud piirkonnas; Tõmban abijoone läbi nullkohtade ja katkevuspunktide; Vaatan võrratusemärki ja viirutan vastuseks sobiva piirkonna;
1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum.
DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim. rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvalise
x1 (x-, x) ja x2 (x, x+) korral f(x1)
Mida tähendab, et = -3 xy ? Kaupade X ja Y asendatavuse piirmäär esitub kujul: yX= - f'x : f'y Asendatavuse piirmäär näitab ligikaudselt, kui suure koguse kauba Y tarbmimisest võib loobuda, kui täiendavalt tarbija üks ühik kaupa x. Et tarbida täiendavalt üks ühik y tuleb loobuda 3st ühikust x-st. Teooriaküsimused nr. 10 1. Defineerida 2 muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid.. Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis P0(x0,y0) lokaalne miinimum , kui f(x0,y0) < f(x,y) kõigi punktile (x0,y0) küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x,y) korral. Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis P0(x0,y0) lokaalne maksimum , kui f(x0,y0) > f(x,y) kõigi punktile (x0,y0) küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x,y) korral. Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis P0(x0,y0) lokaalne ekstreermum , kui tal on selles punktis lokaalne miinumum või maksimum. 2. Mis on võrdlev staatika?
Kahe sirge vastastikused asendid. Sirgete paralleelsuse tunnused: 1) Sihivektorid on kollineaarsed (+ kontrollin et ei ühti). Sirgete ristseisu tunnused: 1) Sihivektorid on risti. 23. Tasandi normaal. Tasandi võrrand ruumis. Kahe tasandi vastastikused asendid. Tasandi normaal iga vektor, mis on risti tasandi mistahes vektoriga (n = (nx=A; ny=B;nz =C) Tasandi vôrrand ruumis: 1) Ax + By + Cz + D = 0. 2) Viimase saamislugu: (M0X)*n = 0 nx(x-x0) + ny(y-y0) + nz(z-z0) = 0. 24. Sirge ja tasandi vastastikused asendid ruumis. Sirge ja tasandi vastastikused asendid ruumis: 1) Paralleelsed: sihivektor risti tasandi normaaliga ja ei ole ühiseid punkte 2) Ühtivad: tasandi normaal on risti sihivektoriga, kôik sirge punktid sobivad tasandi vôrrandisse 3) Lôikuvad: sihiketor ei ole risti tasandi normaaliga (risti juhul kui sihivektor kollineaarne tasandinormaaliga) 25. Ellips (mõiste, kanooniline võrrand).
Ax + By + Cz + D = 0 n = (A; B; C) 2 ( x +3) -6 (y 4) + 7 (z 5) = 0 2x + 6 -6y +24 +7z 35 = 0 2x - 6y +7z -5 = 0 3. Tasand läbib punkti P0(6; 0; 8) ja rihivektorid on u = (3; -1; 4) ja v = (2; 5; -7). Toon sisse muutuva punkti P (x; y; z). u × v = n n = ( -13; 29; 17) AP = u + v AP = ( x 6; y; z 8 ) = ( 3; -; 4) + ( 2; 5; -7) = ( 3 + 2; - + 5; 4 -7) x 6 = 3 + 2 y = - + 5 z 8 = 4 - 7 (parameetriline võrrand) Sirge võrrandid P0( x0; y0; z0 ) s = (sx; sy; sz ) Toome sisse muutuva punkti P ( x; y; z). P0P = t s ( x x0; y y0; z z0 ) = ( tsx; tsy; tsz) Parameetriline võrrand: Kanooniline võrrand: 4. Leida punktile A(2; -7; 11) sümmeetriline punkt B, tasandi : 3x + 2y + 3z 47 = 0 suhtes. AC = CB Tasandi n = ( 3; 2; 3) 6 + 9s 14 + 4s + 33 + 9s 47 = 0 s = 1 ( sirge lõike parameeter) C(5; -5; 14) ( asendan S: igasse võrrandisse s = 1) AC = (3; 2; 3) B( k; l; m)
25 20 15 10 Andme d Alumine 5 piir 0 -5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 r yr yr - y0- (yr - y0-)2 1 2.9 0.829 0.687 2 0.7 -1.371 1.881 3 3.5 1.429 2.041 4 1.8 -0.271 0.074 5 4.2 2.129 4.531 6 0.1 -1.971 3.887 7 1.3 -0.771 0.595 ∑ 14.5 0
4. Kordajate a, b ja c seos fookustega on näha Pütagorase kolmnurgast a2=b2+ c2.
Ellipsi sümmetriatelgedeks on sirged A1A2 ja B1B2, mida kutsutakse vastavaks
suuremaks ja väiksemaks teljeks. Suurema pooltelje OA1 =OA2 pikkus on a ja väiksema
pooltelje OB1=OB2 pikkus on b.
5. Suhet e=c/a nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks. Kuna 0c
Mida tähendab, et xy= -3? Kaupade X ja Y asendatavuse piirmäär esitub kujul: yX= - Asendatavuse piirmäär näitab ligikaudselt, kui suure koguse kauba Y tarbmimisest võib loobuda, kui täiendavalt tarbija üks ühik kaupa x. Et tarbida täiendavalt üks ühik y tuleb loobuda 3st ühikust x-st. TEOORIAKÜSIMUSED nr 10 1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis P0(x0,y0) lokaalne miinimum , kui f(x0,y0) < f(x,y) kõigi punktile (x0,y0) küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x,y) korral. Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis P0(x0,y0) lokaalne maksimum , kui f(x0,y0) > f(x,y) kõigi punktile (x0,y0) küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x,y) korral. Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis P0(x0,y0) lokaalne ekstreermum , kui tal on selles punktis lokaalne miinumum või maksimum. 2. Mis on võrdlev staatika?
43. kahe muutuja funktsiooni täismuut - kahe muutuja funktsiooni z = f( x, y ) täismuut : z = f ( x + x, y + y ) f (x, y) 44. kahe muutuja funktsiooni piirväärtus - arvu A nimetatakse funktsiooni f (x, y ) piirväärtuseks punkti P lähenemisel punktile P0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv r > 0 , et kõigi võrratust | PP0 | < r (vektori pikkus) rahuldavate punktide P puhul kehtib võrratus | f (x, y) A | < ja kirjutatakse lim f ( x, y) = A , x x0 ja y y0 45. mitme muutuja funktsiooni osatuletis - funktsiooni z = f(x, y, u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu x z ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: z ` x = lim x z / x kui x 0 Osatuletis y järgi: z ` y = lim y z / y kui y 0 46. mitme muutuja funktsiooni lokaalne ekstreemum - öeldakse, et funktsioonil z = ( x, y ) on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstreemum, kui tal on selles punktis lokaalne maksimum või miinimum.
B Pythagorase teoreemiga. y2 d y2 - y1 y1 A x2 - x1 0 x1 x2 x Lõigu keskpunkt Punktide A(x1; y1) ja B(x2; y2) vahelise lõigu keskpunkti C koordinaadid on leitavad valemitega 1 1 x0 = ( x2 - x1 ) , y0 = ( y2 - y1 ) . 2 2 y B y2 y0 C y1 A 0 x1 x0 x2 x Sirglõigu ja sirge tõus Positiivset nurka x-telje positiivse suuna ja sirge (sirglõigu) vahel nimetatakse sirge (sirglõigu) tõusunurgaks. Seejuures 0 < 180. Suurust tan nimetatakse sirge (sirglõigu) tõusuks ja
nt. tramm, auto maanteel, keha langemine jms. 5.2 Kõverjooneline (kahemõõtmeline) liikumine y nt. paat veekogul, jalgpallur y staadionil, Maa tiirlemine ümber Päikese jms. y0 Liikumine x Ühtlane Ühtlaselt muutuv x0 x v=const a=const 5.3 Vaba langemine Vaba langemise kiirendus (raskuskiirendus) on kõikidel
1, 5 k= 1,5 2 2 · · ( x) + ( y) Kõveruskeskpunkt K(x0;y0) Kõveruskeskpunkt K (x0;y0) x0 = x [ y 1 + ( y ) 2 ] · · y ( x) + ( y) 2 · 2 x0 = x(t) y · ·· · ·· x y y x 1 + ( y ) 2 · · y0 = y + y
1, 5 k= 1,5 2 2 · · ( x) + ( y) Kõveruskeskpunkt K(x0;y0) Kõveruskeskpunkt K (x0;y0) x0 = x [ y 1 + ( y ) 2 ] · · y ( x) + ( y) 2 · 2 x0 = x(t) y · ·· · ·· x y y x 1 + ( y ) 2 · · y0 = y + y
42+ jsin 12.42 )=0.051+ j 0.011=0.052∠ 12.17 −3 0 Z 0 =R 0 +ω∗L0∗ j=5.5+3768∗3∗10 j=5.5+ j 11.3=12,57 ∠ 64,05 −6 −9 −6 −5 0 Y 0=G 0 +ω∗C 0∗ j=0.65∗10 +3768∗10∗10 ∗j=( 0.65+ j 37.68 )∗10 =3,77∗10 ∠ 89,01 Sekudaarparameetrid: ZC = √ √ Z0 Y0 = 5.5+ j11.3 ( 0.65+ j 37.68 )∗10−6 =1000∗ √ 5.5+ j 11.3 0.65+ j37.68 =1000∗ √ 429
järku DV Konstantsete kordajatega lineaarne homogeenne 2. järku DV Konstantsete kordajatega lineaarne mittehomogeenne 2. järku DV otsides: kuju kuju Vektorid ja tasandid Skalaarkorrutis Vektori pikkus Punkti P(x0 ; y0 ; z0) kaugus tasandist Vektorkorrutis Segakorrutis t: Ax+By+Cz+D=0 Vektori a projektsioon vektori b suunal. b0 on vektori b ühivektor, on nurk vektorite b ja c vahel ning mis saadakse b koordinaatide on nurk vektorite a ja vahel Tasandi võrrand punkti ja normaalvektori jagamisel tema pikkusega.
d) mitte midagi eelpooloetutest 4. Ekspansiivse fiskaalpoliitika tagajärjeks ei ole a) kogutoodangu kasv b) tööhõive kasv c) eratarbimise langus d) intressimäära kasv 5. Väljavoo alla ei kuulu a) import b) plaanitud investeeringud c) säästud d) kõik nimetatud kuuluvad b) Oletame, et kogutulu täishõivetase on 4000. Kui palju ja mis suunas peaksid muutuma avaliku sektori kulutused, et lõhe sulguda? YFE=4000 Y0=3000 c) Kas tegemist on langus-, või inflatsioonilõhega? Languslõhega Lisa: Kirjeldage tasakaalutulu arvutamist sisse- ja väljavoogu abil. Kirjutage valem! (10p)
Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) Sirge asendid koordinaattelgede suhtes. Kui A2 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega. Kui A1 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega. 9 Tasandi riht Kui on antud punkt P(x0, y0, z0) ja kaks mittekollineaarset vektorit a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), siis ruumis leidub üks ja ainult üks tasand π, mis läbib punkti P ja on paralleelne vektorite paariga {a,b}. Sellisel juhul vektoreid {a,b} nimetatakse tasandi π rihiks. Tasandi normaalvektor Olgu antud ruumi punkt P(x0, y0, z0) ja vektor N= (A, B, C). Ruumis leidub ainult üks tasand π, mis läbib punkti P, st P ∈ π, ja on risti vektoriga N. Vektorit N nimetatakse selle tasandi normaalvektoriks
Võetakse keskkpunk a+b/2 ja arvutame f(a+b/2) jälgime märki saab teada kas lahend kuulub [a+b/2;b] ja siis korratakse seda. Taylori(MacLaurini)valem f ( 0 ) f ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0) + x+ x + + x 1! 2! n! . Seda valemit nimetatakse Mclaurini valemiks. Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas, siis öedakse, et z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral funktsioon on määratud nimetakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Nivoojoon(Nivoopind) Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetakse punktihulka, mis rahuldab võrranditx=C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju nivoojooni.3 muutuja funktsiooni puhul muutub nivoojoon nivoopinnaks. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus
Trükikaardi viimased lehed ilmusid aastal 1998. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50cm paberil ehk 25x25km maapinnal. Mercatori põiksilindriline konformne projektsioon Referentsellipsoid: GRS-80 Projektsiooni parameetrid: 1. telgmeridiaan L = 24°00' 2. mõõtkavategur telgmeridiaanil 0.9996 Süsteemi parameetrid: 1. lähtepukti geodeetilised koordinaadid: B0 = 00°00', L0 = 24°00' 2. lähtepunkti ristkoordinaadid: x0 = 0 m, y0 = + 500 000 m Projektsioonist tingitud mõõtkava moonutus telgmeridiaanil on 1:2500. Maksimaalsete moonutuste piirkonda jääb selles projektsioonis Lääne-Eesti. Baaskaarti kasutavad: loodusressursside ja keskkonnauuringutega tegelevad asutused, GIS, statistika ja rahvaloendus, riigikaitse, merelaevandus, transport, maareform jne Baaskaart võimaldab kiiresti toota satelliidifotodel põhinevaid kaarte, kasutades olemasolevat infot (reljeef, hüdrograafia, teed, kohanimed)
annaabi.ee 
