Sirge tasandil (0)

Sirge tasandil
© T. Lepikult, 2010
Lõigu pikkus
Punktide A(x1; y1) ja B(x2; y2) vaheline kaugus ehk neid
ühendava lõigu pikkus d on leitav valemiga
d = ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2 .
y Valemit saab põhjendada
B Pythagorase teoreemiga.
y2
d
y2 - y1
y1 A x2 - x1
0 x1 x2 x
Lõigu keskpunkt
Punktide A(x1; y1) ja B(x2; y2) vahelise lõigu keskpunkti C
koordinaadid on leitavad valemitega
1 1
x0 = ( x2 - x1 ) , y0 = ( y2 - y1 ) .
2 2
y
B
y2
y0 C
y1 A
0 x1 x0 x2 x
Sirglõigu ja sirge tõus
Positiivset nurka x-telje positiivse suuna ja sirge (sirglõigu)
vahel nimetatakse sirge (sirglõigu) tõusunurgaks.
Seejuures 0 Suurust tan nimetatakse sirge (sirglõigu) tõusuks ja
tähistatakse tähega k.
y (s2) (s1)
Tõusva sirge (s1) tõus on
positiivne :
tan 1 > 0 (0 langeva sirge (s2) tõus on
2 negatiivne:
1
0 x tan 2 Kahe punktiga määratud sirge tõus
Kui sirgelt on teada kaks punkti A(x1; y1) ja B(x2; y2), siis saab
sirge tõusu leida valemiga
y2 - y1
k= .
x2 - x1
y Näide
B Kui sirge läbib punkte A(3; 5)
y2
ja B(-7; 0), siis sirge tõusuks
y2 - y1 saame
A
y1 0-5 1
x2 - x1 k= = .
-7-3 2
0 x1 x2 x
Kahe punktiga määratud sirge võrrand
Kui sirgelt on teada kaks punkti A(x1; y1) ja B(x2; y2), siis on
sirge võrrandiks
y - y1 x - x1
= .
y2 - y1 x2 - x1
Näide
Sirge läbib punkte A(-6; 1) ja B(6; -1) Leida sirge võrrand.
Lahendus
Kasutades eespooltoodud valemit, saame sirge võrrandiks:
y - 1 x - (-6) y -1 x + 6 x
= = y=- .
- 1 - 1 6 - (-6) -2 12 6
Näide 2 (I)
Sirge läbib punkti A(-3; -1) ja lõikab ordinaattelge 2 ühiku kaugusel
koordinaatide alguspunktist. Leida sirge võrrand.
Lahendus
Leiame esmalt sirge ja ordinaattelje (y-telje) lõikepunkti B(x2; y2)
koordinaadid. Kuna otsitav punkt asub y-teljel, siis x2= 0.
y
Punkti B kaugus koordinaatide
2 B(0; y2)
alguspunktist:
1
-3 ( 0 - 0 ) 2
+ ( y 2 - 0 ) 2
=2
A 0 x
-1
| y2 |= 2 y2 = ±2.
-2
Näide 2 (II)
Seega on kaks punkti, mis rahuldavad ülesandes esitatud tingimusi:
B1(0; -2) ja B2(0; 2) .
Esimesel juhul saame otsitava sirge (s1) võrrandiks
y - (-1) x - (-3) y +1 x + 3 x
= = y = - -2
- 2 - (-1) 0 - (-3) -1 3 3
y (s2) ja teisel juhul sirge (s2) võrrandiks
2 B2
y - (-1) x - (-3)
=
1 2 - (-1) 0 - (-3)
-3
A 0 x y +1 x + 3
=
-1 3 3
-2 B1 y = x + 2.
(s1)
Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge
võrrand
Algordinaat on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat.
Sirge võrrandiks, kui on teada tõus k = tan ja algordinaat b,
on
y = kx + b
y
A(0; b)
0 x
Tõusu ja ühe punktiga määratud sirge
võrrand
Sirge võrrandiks, kui on teada tõus k = tan ja mingi punkt
A(x1; y1) sirgelt, on
y - y1 = k ( x - x1 ) .
y
A(x1; y1)
0 x
Punkti ja sihivektoriga määratud sirge
võrrand
Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirgega kollineaarset
(paralleelset) vektorit.
Kui on teada sirge sihivektor s = ( s1 , s2 ) ja mingi punkt A(x1; y1)
sellelt sirgelt, siis saab sirge võrrandi esitada kujul
x - x1 y - y1
= .
s1 s2
y
s A(x1; y1)
0 x
Sirge üldvõrrand
Sirge üldvõrrandiks on kaht tundmatut sisaldav lineaarne võrrand
kujul
Ax + By + C = 0,
kus kordajad A ja B ei ole korraga nullid.
Mõningate spetsiifiliste sirgete võrrandid:
x-teljega paralleelne sirge: y = b;
y-teljega paralleelne sirge: x = a;
nullpunkti läbiv sirge: y = kx;
x-telg: y = 0;
y-telg: x = 0.
Kahe sirge vastastikused asendid
Asend y = kx + b Ax + By + C = 0
A1 B1 C1
Paralleelsed k1 = k 2 , b1 b2 =
A2 B2 C2
A1 B1 C1
Ühtivad k1 = k 2 , b1 = b2 = =
A2 B2 C2
A1 B1
Lõikuvad k1 k 2
A2 B2
Ristuvad k1 k 2 = -1 A1 A2 + B1 B2 = 0
Sirgete vahelise teravnurga tangens
Kahe sirge vahelise teravnurga tangensi saab leida valemi
k 2 - k1
tan =
1 + k1k 2
abil.
y
y=k b1
x+b k 1x +
2
2 y=
0 x
Lõpp