c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
Põhimõtteliselt võib iteratsioonimeetodi jagada kaheks osaks: 1) leitakse alglähend x0, milleks on mingi otsitavale lahendile küllaltlähedal paiknev arv (mitmesammulise meetodi puhul läheb vaja mitut alglähendit). 2) Täpsustatakse alglähendit nõutava täpsusteni. Kõigi iteratsioonimeetodite põhiidee seisneb järgnevas: ülesandele leitakse mingi alglähend x1, mille abil moodustatakse lähendite jada x1; x2; x3; ...; xn; .... . Teatud tingimustel koondub see jada ülesande täpseks lahendiks x*. Iteratsioonimeetodeid on erinevaid, näiteks dihhotoomia meetod, harilik iteratsioonimeetod, Newtoni meetod ja modifitseeritud Newtoni meetod. Järgnevalt vaatleme põhjalikumalt harilikku iteratsioonimeetodit. 2. Harilik iteratsioonimeetod. Hariliku iteratsoonimeetodi rakendamiseks tuleb võrrandi f(x) = 0 teisendada kujule x = g(x), (1)
iteratsioonimeetodid. Põhimõtteliselt võib iteratsioonimeetodi jagada kaheks osaks: 1) leitakse alglähend x0;milleks on mingi otsitavale lahendile küllaltlähedal paiknev arv (mitmesammulise meetodi puhul läheb vaja mitutalglähendit). 2) täpsustatakse alglähendit nõutava täpsuseni. Kõigi iteratsioonimeetodite põhiidee seisneb järgnevas: ülesandele leitakse mingi alglähend x1, mille abil moodustatakse lähendite jada x1; x2; x3; ...; xn; .... . Teatud tingimustel koondub see jada ülesande täpseks lahendiks x*. Iteratsioonimeetodeid on erinevaid, näiteks dihhotoomia meetod, harilik iteratsioonimeetod, Newtoni meetod ja modifitseeritud Newtoni meetod. Järgnevalt vaatleme põhjalikumalt harilikku iteratsioonimeetodit. 3 Harilik iteratsioonimeetod Uurime võrrandi
x1
f (x) = arcsin(x) f (x) = arccos(x)
f (x) = arctan(x) f (x) = arccot(x).
Definitsioon 11
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud
p˜ohilistest elementaarfunktsioonidest l˜opliku arvu aritmeetiliste
tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja
liitfunktsiooni moodustamise teel.
Jada piirv¨a¨artus
Definitsioon 1
Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on
naturaalarvude hulk N.
{x0,x1,x2,...}{xn}n2N {xn}
Definitsioon 2
Arvu a nimetatakse jada {xn}(l˜oplikuks) piirv¨a¨artuseks, kui iga
_>0 korral leidub N 2N, et iga n >N korral kehtib v˜orratus
|xn −a|
Teemad: 5. Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause
jada Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N seab vastavusse skalaari ¿∨u∨¿ ∈ R , kusjuures on täidetud = {1, 2, 3, ...}. Jada x väärtusi x(n) (n ∈ N) tähistame xn ja nimetame jada liikmeteks. Jada x tähistame {x1, x2, . . .} või {xn} või {xn}∞ n=1 või {xn}n∈N.Kui xn ∈ R (n ∈ N), st x : N −→ R, siis nimetame jada x järgnevad tingimused: arvjadaks.
..xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuseks nim arvu cos (nurk x,y)=x*y/|x||y| Hulka U (P)={QRn|d(P,Q<} nim punkti P -ümbruseks.
Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 aksioome) || f ||∞ := sup x∈X | f(x)|. ∈X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N = {1, 2, 3, . . .} Ütleme, et jada {xn}∞n=1 koondub suuruseks a (ehk jada {xn}∞n=1 piirväärtus on a) kui iga 0 < ε ∈ R korral leidub N ∈ N nii et xn ∈ Uε(a) iga n > N korral. Tähistame xn → a või xn ( n→∞ →)a 2. Näidata, et reaalarvude jaoks saame kauguse defineerida absoluutväärtuse abil (st d(u, või lim xn = a v) := |v − u| (u, v ∈ R) rahuldab meetrika aksioome). n→∞
................. 13 14.Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Üks tingimustest tõestada.......................................................................................... 15 1. Skalaarkorrutis, norm ja kaugus. Aritmeetiline punktiruum ja vektorruum. Näidata, et x Rn korral rahuldavad normi aksioome suurused ||x||2 := xk 2 k , || x ||1 := k | x k | ja || x || := max | x k | . Ruumi Rn vektorite x = (x1; ... ; xn) ja y = (y1; ... ; yn) skalaarkorrutis (xy) defineeritakse seosega xy = x1y1 + ... + xnyn Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v V seab vastavusse skalaari d(u; v) R, kusjuures on täidetetud järgmised tingimused:
punkti, mille kaugus nullpunktist on a, negatiivse a puhul fikseerime arvtelje negatiivsel poolel punkti kaugusel −a. Pidevuse aksioom (P) garanteerib selle, et igale arvsirge punktile vastab mingi üheselt määratud reaalarv. 5) Igast mittenegatiivsest arvust saab võtta n-da juure – Igast mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määratud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn=b 6) Alamhulk N ei ole ülalt tõkestatud (Archimedese printsiip) – Alamhulk N ⊂ R ei ole ülalt tõkestatud, s. t. iga reaalarvu a korral leidub temast suurem naturaalarv n. Teisisõnu, Iga a € R leidub n € N : n > a 7) Iga kahe reaalarvu vahel leidub nii ratsionaal-kui ka irratsionaalarve (ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulga tihedus) – Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on tihe hulgas R järgmises mõttes: kui a, b € R ja a < b, siis leidub selline
(reaal-)muutuja (reaalsete v¨a¨ artustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka {(x, y)| x X y = f (x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. Anal¨ uu¨tiliselt esitatud funktsiooni y = f (x) (x [a, b]) graafiku ligikaudseks skit- seerimiseks koostatakse esiteks funktsiooni tabel x0 x1 ... xi ... xn f (x0 ) f (x1 ) ... f (xi ) ... f (xn ) kus xi = a + ih (i = 0; 1; . . . ; n) ja h = (b - a) /n. J¨argmise sammuna kantakse punk- tid Pi (xi , f (xi )) (i = 0; 1; . . . ; n) xy -tasandile ja u ¨hendatakse seej¨arel sujuva joonega. Analoogiliselt toimub funktsiooni y = f (x) (x [a, b]) graafiku skitseerimine arvuti abil, kusjuures kasutatakse mingit graafikapaketti
4)Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a δ-ümbrus, et iga 0 < |x − a| < δ korral kehtib võrratuste ahel f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), siis funktsiooni h(x) piirväärtus punktis a on samuti b. 5)lim (1 + 1/x)x = e; lim (1+1/x)x = e; lim (1+x)1/x = e x→+∞ x→ - ∞ x→ 0 4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste
1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. 10,12Jada piirväärtus. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x 1, x2, x3, ... Tõkestatud hulga definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka A piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu korral saab näidata nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a 2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus. 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste. kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada
= 1 + (n + 1) x + x + (n + 1) x2 > 1 + (n + 2) x, ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 17 s.t. P (n) ⇒ P (n + 1) . Matemaatiline induktsioon võimaldab rekursiivselt defineerida naturaalarvulise ar- gumendiga kujutusi A : N → Z, kus Z on mingi (mittetühi) hulk. Selleks tuleb defineerida A (1) ja esitada eeskiri, kuidas elemendist A (n) saadakse A (n + 1). Näiteks: • arvu x ∈ F astmete xn defineerimiseks määrame x1 := x ja xn+1 := xn · x, • naturaalarvude faktoriaalide n! defineerimiseks määrame 1! := 1 ja (n + 1)! := n!·(n + 1) , X n 1 X • lõplike summade xk := x1 + . . . + xn defineerimiseks määrame xk := x1 ja seejärel k=1 k=1 n+1 X n
Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ..
st bji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui A T = A Maatriksite transponeerimise omadused 1. (AT)T = A iga maatriksi A korral 2. (A + B)T = AT + BT iga A, B Rmxn korral 3. (cA)T = cAT iga c R ja maatriksi A korral 4. (AB)T = BTAT iga A Rmxn ja B Rnxp korral 9. Lineaarne võrrandisüsteem, selle lahend ja maatrikskuju. K - mingi korpus; a1, ...,an K, b - fkseeritud arvud; x1, ..., xn - tundmatud skalaarid; ai - kordajad; b - vabaliige Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b Võrrandi lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x 1, ..., xn väärtusi c1, ..., cn R, et nende paigutamisel võrrandi vasakusse poolde tundmatute x 1, ..., xn asemele kehtiks võrdus a1c1 + ... + ancn = b Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetataksse lõplikust arvust lineaarset võrrandist koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11x1 + a12x2 + ..
i=1 kus: zj j-nda haru lisatud väärtus, xj j-nda haru kogutoodang. Harudevaheline maatriksbilanss näeb välja järgmine: haru 1 j n lõpptoodang kogutoodang 1 x11 x1j x1n y1 x1 i xi1 xij xin yi xi n xn1 xnj xnn yn xn yi = lisatud väärtus z1 zj zn i - = zj j 2 xi =
Jääkfunktsioon Ü Kui asendada n-muutuja funktsiooni f ( x1 x2 ..... xn ) avaldises osad tema f = ¯x2 ( x1· 0 · x¯3 w ¯x1·1· x4 w x1·1 ) w x2 ( x1· 1 · x ¯3 w ¯1·0· x4 w x1·0 ) = x
Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y) täisdiferentsiaaliks.
1). 2). 3). 4. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 5. Näidata, et diferentseeruv kahe-või mitmemuutuja funktsioon on pidev. 6. Näidata, et kahe-või mitmemuutuja funktsioon on diferentseeruv, kui tema osatuletised on pidevad. 7.Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Üks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; … ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);…..; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); … ; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul Kui funktsioonid x = x(u; v) ja y = y(u; v) on diferentseeruvad punktis P(u; v) ning funktsioon z = z(x; y) on diferentseeruv punktis (x(P); y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P); y(P)) = z(u; v) osatuletised avalduvad kujul zu = zxxu + zyyu; zv = zxxv + zyyv (Tõestus järgmisel lehel…) 8. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. 9
hulgal M ning 2 suvalist elementi hulgast M omavad vähimat ülemraja ja suurimat alamraja. Seejuures ja on üldistatud operatsioonid rajade leidmiseks, milliste lahtimõtestus on tunduvalt laiem kui lihtsalt hulgateoreetilised operatsioonid. Näited. 1. Naturaalarvude hulk N; a b = min (a,b); a b = max (a,b), a b. 2. Hulk N; a b - SÜT; a b - VÜK; a b - b jagub a-ga. 3. Kahendvektorite hulk; (x1 ,x2 ,....,xn ) (y1 ,y2 ,....,yn) (xi yi ); X Y - X&Y (konjunktsioon) ; X Y - XVY (disjunktsioon). 4. Kõikvõimalike tükelduste hulk; P1 P2 - P1 · P2 ; P1 P2 - P1 +P2 ; P 1 P 2 - P 1 · P2 = P 1 . · Boole'i algebraks nimetatakse algebrat, mille signatuur koosneb 2 binaarsest operatsioonist + ja · ning ühest unaarsest operatsioonist , kusjuures + ja · on kommutatiivsed, assotsiatiivsed, idempotentsed ning teineteise suhtes distributiivsed ning eksisteerivad
hulgal M ning 2 suvalist elementi hulgast M omavad vähimat ülemraja ja suurimat alamraja. Seejuures ja on üldistatud operatsioonid rajade leidmiseks, milliste lahtimõtestus on tunduvalt laiem kui lihtsalt hulgateoreetilised operatsioonid. Näited. 1. Naturaalarvude hulk N; a b = min (a,b); a b = max (a,b), a b. 2. Hulk N; a b - SÜT; a b - VÜK; a b - b jagub a-ga. 3. Kahendvektorite hulk; (x1 ,x2 ,....,xn ) (y1 ,y2 ,....,yn) (xi yi ); X Y - X&Y (konjunktsioon) ; X Y - XVY (disjunktsioon). 4. Kõikvõimalike tükelduste hulk; P1 P2 - P1 P2 ; P1 P2 - P1 +P2 ; P 1 P 2 - P 1 P2 = P 1 . 7 Boole’i algebraks nimetatakse algebrat, mille signatuur koosneb 2 binaarsest operatsioonist + ja ning ühest unaarsest operatsioonist , kusjuures + ja on kommutatiivsed,
2.Astmefunktsioon y=x
3.Eksponentfunktsioon y=ax
4.Logaritmfunktsioon y=logax
5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx
DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste
elementaarfunktsioonide kaudu.
DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk
täisratsionaalseks funktsiooniks.
Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
korral; 0 5 < x + y, z >=< x, z > + < y, z > iga x, y, z ∈ X korral. Siis saab ruumis X defineerida normi ja meetrika v˜orduste- ga √ √ x = < x, x >, d(x, y) = x − y = < x − y, x − y >, mis omakorda tekitavad hulgal X topoloogia. N¨aide 2.5 Aritmeetilises ruumis Rn defineeritakse tavali- selt skalaarkorrutis v˜ordusega < x, y >= x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn , kus x = (x1 ; ...; xn ), y = (y1 ; ...; yn ), 20 ¨ 2 UMBRUSED ja vaadeldakse sellega tekitatud topoloogiat. Saadud topoloo- gia langeb juhul n = 1 kokku n¨aites 2.1 kirjeldatud topoloo- giaga. Kui ei ole ¨oeldud teisiti, siis vaadeldes n¨aidetes 2.1-2.5 loetletud hulki topoloogiliste ruumidena, m˜oistetakse topoloo- giate all u
puhul on muutuja muutuvas astmes 3)logaritmf-n y=log ax, a>0, a 1 4)trig. F-
nid y=sinx; cosx;tanx;cotx 5)arkus f-nid y=arcsinx;... NB 2ja 3 ning 4 ja 5 on
pöördf-nid. Elementaarf-n saadakse põhilistest elementaarf-nidest
aritmeetiliste tehete +liitf-nide moodustamise abil *täisrats f-nidpolünoomid
*murdrats f-nidpolünoomide jagatis *irrats f-nidmurrulised astendajad
6.Tõkestamatult kahanev ja kasvav suurus
Kahanev: Suurus x: x1,x2,x3..xn=f(n),...tekib vaadeldava suuruse (x) väärtuste
jada: xn=1/n=>(tabel) *def.1 Suurus xn on tõkestatud sel korral, kui vastavalt
igale pos arvule M leidub niisugune indeks N (naturaalarvude hulgast), mille
korral |xn|< M, niipea kui n>N; arvsirge(-M, xN+1(üles), XN,x2, 0,x1,xN, xN (üles),M
=>väärtused jäävad M>x
Punkthinnangud Matemaatilise statistika ülesanne Matemaatiline statistika on teadus, mis käsitleb katse- või vaatlusandmete kogumise, klassifitseerimise ja oluliste karakteristikute hindamise meetodeid. Matemaatiline statistika ülesanded: 1. Juhusliku suuruse X mõõtmise käigus on saadud sõltumatud tulemused x1, x2, ... , xn. Nende tulemuste põhjal tuleb hinnata selle juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni F(x). 2. Jaotuse parameetrite hindamine: Valimi põhjal tuleb otsustada, millised on üldkogumi jaotust iseloomustava jaotusfunktsiooni parameetrid. Näiteks normaaljaotuse korral tuleb hinnata keskväärtust ja standardhälvet (dispersiooni). 3. Statistiliste hüpoteeside kontrollimine Tunnused Katsel jälgitakse tavaliselt juhuslikke suurusi , mis väljendavad
Rangelt monotoonne: kogu määramispiirkonnas rangelt kasvav või kahanev. y=arctan x y=cot x y=arccot x xn≤ M ARVU ABSOLUUTVÄÄRTUSE OMADUSED n∈N korral . 2. Kui jada {x n } koondub ja piirväärtus on a, {
Registermasin sisaldab registreid R1… (sisuks naturaalarv) ja märgendeid N1… Operaatorid on INC (+1), DEC (-1), CLR (nullimine), R → R (omastad ühe väärtuse teisele), JMP Na (go to N), JMP Nb (go to N+1), R JMP Na (kui R=0…), R JMP Nb, CONTINUE (ei tee midagi). Registermälu kasutab suvapöördusmälu RAM ehk on võimeline iga oma registrini pöörduma võrdse ajaga. Mälu ja registri suurus on piiramatud. DEF: Registermasina programm P realiseerib funktsiooni f (x1…xn ) parajasti siis, kui ta käivitatuna seisus, kus registrid R1,...,Rn sisaldavad arve x1,...,xn ning teised programmi P kasutatavad registrid on algväärtustatud 0-dega, peatub ainult juhul, kui f(x1,...,xn) on määratud, kusjuures peatamise korral on registris R1 arv f(x1,...,xn). Teoreem: Registermasina iga programmi jaoks leidub ekvivalentne (deterministliku) Turingi masina programm ja vastupidi. T: Turingi masina jaoks leidub registermasina programm. Selleks paneme TM ja
sihifunktsiooni väärtus on maksimaalne ja tundmatud on kõik mittenegatiivsed Min kanooniline põhikuju: Ülesanne on min kanooniline, kui kitsendussüsteemi märk on võrdusmärk ja sihifunktsioonile otsitakse minimaalset väärtust ja tundmatud on mittenegatiivsed. Ülesande kuju: max z = c1 x1 + c 2 x 2 +...+ c n x n + c 0 a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1 a x + a x + ... + a x b 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn bm x1 , x2 , ... , xn 0 , ( ) c1 , c2 , ... , cn sihifunktsiooni kordajad c j , j = 1,2,..., n c0 -- sihifunktsiooni vabaliige; aij -- kitsenduste süsteemi kordajad, (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ..., n); bi -- kitsendussüsteemi vabaliikmed (i = 1, 2, ...,m).
Logaritmfunktsioon
Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni
y=logax , kus a>0 , a1 ja x>0
1) 0
1. Kirjeldava statistika põhimõisted: Aritmeetiline keskimine X=(x1+x2+...+xN)/N=( i=1N xi)/N Kaalutud keskmine- keskmiste keskmine. On teada rühmade keskmised ja objektide arvud. Mediaan Kui N on paaritu, siis on mediaan järjestatud statistilise rea keskmine liige. Kui N on paaris, siis on mediaan järjestatud arvrea kahe keskmise liikme poolsumma. Kvartiilid p-protsentiil on arv, millest p protsenti andmetest on temast väiksem või võrdne ja (100-p) protsenti suurem või võrdne. 25-
Maatriksi astaku leidmiseks saab kasutada neid samu ridade ele- mentaarteisendusi, mis pöördmaatriksi leidmise juures. Selleks teisen- datakse maatriksis kõik elemendid ühele poole peadiagonaali nullideks. Elementaarteisendusi kasutades maatriksi astak ei muutu. 2.5 Lineaarvõrrandisüsteemid Vaatleme võrrandisüsteemi kujul a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 .. , (2.5) .
2) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ELEMENTAARTEISENDUSTE ABIL || A | E || || E | A-1 ||. Teostades elementaarteisendusi laiendatud maatriksi ridadega nii, et lähtemaatriksi A kohale tekib ühikmaatriks E, osutub, et lisatud ühikmaatriksi E asemele tekib otsitav pöördmaatriks A-1. Seda on võimalik kontrollida, kasutades tingimust ( A ). VEKTORI KOORDINAADID ERINEVATES BAASIDES Kui baasis en×1 = ( e1, e2, . . . , en )T on vektori x koordinaadid xn×1 = (x1, x2,. . . , xn )T ja baasis e´n×1= ( e´1, e´2, . . . , e´n )T vastavalt x´n×1= (x´1, x´2, . . . , x´n )T , siis kerkib küsimus, kas ja kuidas on kõnesoleva vektori koordinaadid nendes eri baasides omavahel seotud. 15 Maatriksesituses: kui e´n×1= An×n en×1, siis An×n on nn BAASITEISENDUSE maatriks. Ta on alati regulaarmaatriks ja seega leidub tal pöördmaatriks A-1n×n ning x´n×1 = ( A-1n×n)Txn×1.
2) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ELEMENTAARTEISENDUSTE ABIL || A | E || || E | A-1 ||. Teostades elementaarteisendusi laiendatud maatriksi ridadega nii, et lähtemaatriksi A kohale tekib ühikmaatriks E, osutub, et lisatud ühikmaatriksi E asemele tekib otsitav pöördmaatriks A-1. Seda on võimalik kontrollida, kasutades tingimust ( A ). VEKTORI KOORDINAADID ERINEVATES BAASIDES Kui baasis en×1 = ( e1, e2, . . . , en )T on vektori x koordinaadid xn×1 = (x1, x2,. . . , xn )T ja baasis e´n×1= ( e´1, e´2, . . . , e´n )T vastavalt x´n×1= (x´1, x´2, . . . , x´n )T , siis kerkib küsimus, kas ja kuidas on kõnesoleva vektori koordinaadid nendes eri baasides omavahel seotud. 15 Maatriksesituses: kui e´n×1= An×n en×1, siis An×n on nn BAASITEISENDUSE maatriks. Ta on alati regulaarmaatriks ja seega leidub tal pöördmaatriks A-1n×n ning x´n×1 = ( A-1n×n)Txn×1.
Ruutmaatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. Transponeeritakse alamdeterminante. Nt: detA = -45 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nim lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: Laiendatud maatriks: · Kahe rea asukoha vahetamine · Rea korrutamine mis tahes nullist erineva arvuga · Ühele reale minig nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea liitmine. Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada treppkujule, mille abil saab otsustada süsteemi
2. , G : % , . . ; .- : 3. : . ; - Xn ( ; : ; / - - 4. () ; . - ; .- ; (); 5. %
tingimused: 1 u V u 0; u = 0 u = 2 u V , R u = || u 3 u, v V u+v u + v Reaalarvu x R korral sobib normiks absoluutva¨ artus ¨ x, x 0 |x| := -x, x < 0 n-mo~ otmelise ~ ruuumi Rn vektori x = (x1 , . . . , xn ) normi x 2 ehk vektori ~ pikkuse voime defineerida kujul |x| := x 2 = x12 + . . . + xn2 ~ Vottes n = 1 saame absoluutva¨ artuse ¨ esitada kujul |x| = x 2 = x 2. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
7. Vastandsündmuse tõenäosus, selle tõestus klassikalise tõenäosuse puhul. P( )=1-P(A) Tõestus: (loenduva arvu väärtustega juhusliku Olgu kõigi elementaarsündmuste ehk kõigi juhtude arv n suuruse keskväärtus avaldub loenduv summana) ja sündmuse A toimumiseks soodsate juhtude arv m. Siis Omadused: Olgu X, Y ja X 1, X2, ... , Xn juhuslikud sündmuse toimumiseks soodsate juhtude arv on n-m ja suurused. Siis 1. E(c) = c, kui c on constant 2. E(cX)=cE(X) 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y), E(X1+X2+... , millest saamegi P( )=1- +Xn)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn) 4. E(X+c)=E(X)+c 5. Kui P(A). juhuslikud suurused X ja Y on sõltumatud, st. P(X=x i ja 8
Kui toimus sündmus A, siis kui suur on tõenäosus, et toimus sündmus Hj. … 8. Juhuslik suurus, tema jaotus ja tõenäosus. Nende mõistete vahelised seosed Def1. Suurust X, mille võrdumine katse käigus etteantud väärtustega x on juhuslik sündmus, nim juhuslikuks suuruseks. Väärtusi x, mida juhuslik suurus X võib katsete käigus omandada, nim selle juhusliku suuruse võimalikeks väärtusteks. Olgu X = X1,…,Xn Juhuslikuks suuruseks nimetatakse funktsiooni (kujutust) X: F → R; X(A) = Xi; A∈ F. Juhusliku suuruse X jaotuseks nimetatakse funktsiooni D: R → [0;1] selliselt, et D(X(A)) = P(A) Funktsiooni F(x)= P(X < x) nim juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks.Tunnused: 1)0 <= F(x) <=1 2)F(x)kasvab;3)F(+lõpmatus)=1 Juhuslik suurus võib alluda binoomjaotusele, Poissoni jaotusele. Pidev juhuslik suurus omandab iga väärtuse tõenäosusega 0.
; G ; , . 1 . : , .- . % ; : : ; Xn ( . 2 / ; - : ; - - ; 3 .- ;
· . , . : , , , , . 10. . x(harm)x(geom) x(aritm) x(ruut) x(kuup) -1 0 1 2 3 k k k- k- . x=kn/n k, . , . 11. . · , . · , . , , . . ? 1. ( , ) . 2. (3- ) : = . 3. . . · . . · , . · . , . 12. . - . . , . x=xn/n : * , , * , x=xnf/f - x f = xf : 1) . , , . x= ( x - A) f +A ( x - A) f =x-A f 2) f , x x k f k f x x= k = f f 3) k , 4) , , 0. . (x - x) f = 0 (x - x) = 0 13. . . , 1 2 , , b.
M Suuruse −∞ Mümbruseks nimetatakse vahemikku (−∞, M) ja tähistatakse U (−∞). M 10. Defineerida jada piirväärtused lim x n = a, n→∞ Definitsioon. Arvu a nimetatakse jada (xn) piirv¨a¨artuseks, kui suvalise positiivse arvu ε > 0 korral leidub selline naturaalarv n0 = n0(ε), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n0 (n ≥ n0) korral |xn − a| < ε. lim x = +∞ n n→∞ Definitsioon . Öeldakse, et jada (x ) piirväärtus on ∞, kui iga arvu M > 0 korral n leidub arv n = n
väärtus. · Tähistame funktsiooni f(x) suurima väärtuse tähega M ja väikseima väärtuse tähega m · Funktsiooni väärtusi näitab graafiliselt y-telg (alati!) N2 B A xn=b · Nüüd jaotame selle lõigu [a, b] mitmeteks osadeks, alamlõikudeks... kuna pole lõplik otsus, mitmeks, siis ütleme, et jaotame selle lõigu n osaks. · Tähistame lõigu [a, b] iga osa alguse väärtuse punktidega: a=xo , x1 , x2 , x3, ..... xn-1 , xn=b algus määramatu lõpp hulk punkte
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b .
x 1 ax axlna x2 2x lnx 1 x xn nxn-1 logax 1 x ln a 1 1 sinx cosx
tekkima stardisümbol. Vahepealsetesse lahtritesse kirjutatakse mitteterminaal parajasti siis, kui ... Algoritmi tulemusena tekib lahtrisse mitteterminaal A, kui grammatikas G on esitatav tuletus A xjxj+1w, sõna kuulub keelde ning tipulahtris on stardisümbol. Keerukuseks n pikkuse sõna korral O(n3). 17. Earley algoritm. Ülesanne: kas sõna x kuulub grammatikaga G genereeritavasse keelde L. Üritame ehitada sõna vasaktuletust. G produktsiooni A v võib olla kasutatud sõna w = x1x2...xn (xi on terminaal) vasaktuletamiseks vaid siis, kui leidub tuletus: S =>* x1..xiA Kui sõna v koosneb alamsõnadest ja (v = ), peab leiduma tuletus: S =>* x1..xiA => x1..xi =>*x1.xi-1xi..xj (1) Earley algoritm moodustab massiivi || Iij ||, mille elementideks on punktiga produktsioonid. A . kuulub Iij koosseisu parajasti siis, kui sõna w = x1..xn vasaktuletuse võib ehitada ülalnimetatud (1) osatuletuse jätkamise teel.
ep(U)=epe(U) + el(U) + 1/2eVmax(U) 0,15V - pool jaotise väärtusest epe(U) - etalonvoltmeetri lubatud piirhälve el(U) - kaliibritava galvanomeetri näidu lugemise hälve ep(U)=0,075V+0,15V+0,1V = 0,325V Kus epe(U) on etalonvoltmeetri lubatud piirhälve, mis arvutatakse voltmeetri juhendi järgi, el(U) - kaliibritava galvanomeetri näidu lugemise hälve (ümardamise hälve), väljendatud pinge ühikutes (V). Täpsusklass: Y = ± ep(U) / Xn * 100% Xn - normeeriv väärtus e. mõõtepiirkond Y = ±0,325V / 15V * 100% = ± 2,2% Kuna galvanomeetri täpsusklass = 1,5%, mis on täpsem kui saadud voltmeetri täpsusklass, siis saame voltmeetri täpsusklassiks 2,2%. Kokkuvõte: Galvanomeetrist tehtud voltmeeter on üsna töökindel, kuna selle mõõtmise täpsuse kõrvalekalle tavalisest voltmeetri 15V mõõteskaalal on kuni 0,1V. Kuna galvanomeetri enda täpsusklass on väiksem kui voltmeetri oma, siis
6. Vektorruumi baasi definitsioon. Loomulik ehk kanooniline baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Baasivektorid. Vektori koordinaadid. Def. Mittetühja hulka B, kus B V , nimetatakse vektorruumi V baasiks, kui 1° vektorite hulk B on lineaarselt sõltumatute vektorite hulk, 2° iga vektor vektorruumist V avaldub lineaarse kombinatsioonina hulka B kuuluvatest vektoritest, s.t. leiduvad sellised vektorid 1 , 2 , ... , n B ja arvud x1 , x2 , ... , xn , et = x11 + x2 2 + ... + xn n . Tavaliselt valitakse vektorruumi paljude baaside hulgast välja üks baas B, mis enamasti tekib loomulikul viisil. Sellist kokkuleppeliselt välja valitud baasi nimetatakse vaadeldava vektorruumi loomulikuks ehk kanooniliseks baasiks. 1) vektorruumi V erinevad baasid sisaldavad ühe ja sama palju vektoreid. Vektorite arvu vektorruumi V mis tahes baasis nimetatakse vektorruumi mõõtmeks ehk dimensiooniks
x1
annaabi.ee 
