KOKKUVÕTE: TEHTED VEKTORITEGA On antud vektorid a = (x1; y1) ja b = (x2; y2 ) , siis Vektorite summa a + b = (x1 + x2; y1 + y2 ) Vektorite vahe a - b = (x1 - x2; y1 - y2 ) Vektori korrutis arvuga k a = (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus = 1 x2 y2 Vektori pikkus a = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Vektorite skalaarkorrutis a b = x1 x2 + y1 y2 a b Nurk vektorite vahel = arccos a b Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x, mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, ...
Vektor Tehted vektoritega Vektori mõiste Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektor Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed samasihilisi vektoreid nimetatakse kollin...
Neist saame teha järjekorra näiteks juuksevärvide skaala, klassid 3) Pidevad omadused- Arvud võivad olla ka vahepealsed näiteks 60 km/h 4)Diskreetsed omadused- siin on täpsed arvud, ei saa olla vahepealsed arvud Füüsikalised suurused liigitatakse: 1) SKALAARSED- suurused mis pole vektorid, suurused millel suunda pole (temp. , mass) ühikud on taga ja arvutatakse nii nagu ühikutega arvutatakse. 2) VEKTORIAALSED- suurused mis on vektorid näiteks kiirus , kasv ja jõud . Tehted vektoritega Vektor on suunaga lõik. Näitab liikumist, kust alustad ja kuhu lähed
Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga arvutamine; · ringjoone ja parabooli võrrandite koostamine; · sirgete, ringjoonte ja paraboolide (kui selle telg on y-telg või y-teljega paralleelne sirge) joonestamine nende
Crameri peajuhtumi korral Maatriksite jagamisest ei saa on suunatud lõik. Tehted avalduvad lin. Võrrandi süsteemi rääkida! vektoritega: Summa, vahe, tundmatud murdudena, mille 1. Maatriksi astak, selle korrutamine skalaariga (arvuga) nimetajates on süsteemi maatriks leidmine. Näide Koordinaatidega antud vektorid, determinant , lugejas maatriks kus Kui maatriksis leidub vähemalt tehted nendega Olgu antud tundmatute veerg on asendatud üks nullist erinev r –järku miinor, vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga
tehet suuliselt kommenteerib: "Leian lõigu AB keskpunkti K koordinaadid, selleks ....", mitte ,,Leian pool vektorist AB ". Vektori mõiste sissetoomisel tuleb rõhutada, et vektorit iseloomustavad kolm omadust: siht, suund ja pikkus. Selgitada tuleb sõnade ,,siht" ja ,,suund" erinevust. Kindlasti ei saa jätta selgitamata, et matemaatikas räägime vabavektorist ja füüsikas seotud vektorist. Varasemates õpikutes olid tehted vektoritega geomeetriliselt ja analüütiliselt vaheldumisi. Panin tähele, et õpilastele osutuvad raskemaks geomeetrilised tehted. Soovitan kõigepealt tegelda vektorite liitmise, lahutamise ja arvuga korrutamisega geomeetriliselt. 1 2 4 3 Joonis 1
Mehaaniline liikumine Taustsüsteem. Koordinaadid. Raadiusvektor. Tehted vektoritega. Liikumisvõrrand. Trajektoor. Kulg- ja pöördliikumine. Nihe ja teepikkus. Nurknihe. Ainepunkt-mõnikord võib liikumise uurimisel jätta kehade mõõtmed arvestamata: siis kui need on palju väiksemad kõikidest teistest mõõtmetest, millega antud ülesandes on tegemist. Ainepunkti asukoha ruumis saab määrata raadiusvektori r abil. Punkti liikumisel muutub vektor r üldjuhul nii suuruse kui ka suuna poolest.
s.t. AB = ( x - x ; y - y ; z - z ) 2 1 2 1 2 1 Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB = ( 4 - ( -1);-6 - ( -2);2 -1) = (5;-4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB = X 2 +Y 2 + Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB = (5;-4;1) pikkuse. Lahendus AB = 5 2 + (-4) 2 + 11 = 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist
lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid, s.t. AB ( x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB ( 4 ( 1);6 ( 2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y2 Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist
lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid, s.t. AB ( x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB ( 4 ( 1);6 ( 2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y2 Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist
liitumist, mille tulemusena erinevais Difraktsiooniks nimetatakse nähtust, kus ruumipunktides võnkumised tugevdavad lained painduvad tõkete taha. või nõrgendavad üksteist. 3. Iseloomusta valguse interferentsi. 4. Iseloomusta polariseeritud valgust ja kus seda kasutatakse? Kui asetaksime loomuliku valguse teele seadme, mis laseb läbi ainult mingis kindlas sihis, näiteks vertikaalsihis võnkuvate E-vektoritega laineid. Sellist valgust nimetatakse polariseeritud valguseks. Rakendus: polaroidprillid, vedelkristall-kuvarid. 5. Mis on nägemisaisting? Esemetelt peegelduvad valguskiired läbivad sarvkesta, silmaava, läätse ja klaaskeha ning koonduvad võrkkestale. Valguse mõjul tekivad silma võrkkesta rakkudes keemilised muutused, mis põhjustavad närviimpulsse. Need kanduvad mööda nägemisnärvi peaaju nägemispiirkonda, kus tekib nägemisaisting. 7. Kuidas tekib hologramm?
a 2 + b2 i a 2 + b2 a 2 + b2 z 2 r2 Astendamine: [r (cos + i sin )] = r (cos n + i sin n ) + 2k + 2k Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse a korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . 4
Vektor Tehted vektoritega Vektori mõiste Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektor Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed samasihilisi vektoreid nimetatakse kollin...
r 1 r X Y Z v° = r v = ; ; . v X +Y + Z 2 2 2 X 2 +Y 2 + Z 2 X 2 +Y 2 + Z 2 1 7.2 Lineaarsed tehted vektoritega r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis r r u = v X 1 = X 2 , Y1 = Y2 , Z1 = Z 2 , r r u + v = ( X 1 + X 2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z 2 ) , r r u - v = ( X 1 - X 2 ; Y1 - Y2 ; Z1 - Z 2 ) , r ku = ( kX 1 ; kY1 ; kZ1 ) . 7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r
2k)/n) + isin(( + 2k)/n)) andes arvule k järjest väärtused 0, 1, ..., n-1 3. Korpuse defnitsioon. Skalaari mõiste. Korpuste näiteid. Korpuseks nimetatakse hulka K, kus on kaks tehet, + ja *, mis rahuldavad omadusi 1-9 Skalaariks nimetatakse mis tahes korpuse elemente. Korpuse näiteid: 1. Q, R, C 2. jäägiklassikorpus Zp (p - algarv); Zp {0, 1, ..., p-1} i, j Zp; ij = i+j, kui i+j <= p-1; i+j-p, kui i+j >= p 4. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega ja nende omadused. Geomeetriline vektor on suunatud lõik tasandil või ruumis. Kahte geomeetrilist vektorit loetakse võrdseiks, kui need vektorid on kollineaarsed ( || ), samasuunalised ( ) ja ühepikkused (|||| = ||||) Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega: 1. liitmine 2. skalaariga korrutamine (skalaaride hulgaks R). Korrutis rahuldab tingimusi: 1. c || ; 2. c >= 0 <=> c ; c < 0 <=> c ; 3. ||c|| = |c| * ||||; Lineaarsete tehete omadused geomeetriliste vektorite korral 1
klaasi läbinud valguse hulka. 19. Mingi eseme holografeerimiseks kasutatakse kahe koherentse kiirtekimbu interferentsi. Tugikimp, suunatakse peegliga enne holografeeritava esemeni jõudmist fotoplaadile või – filmile. Esemekimp suunatakse sinna pärast holografeeritavalt esemelt peegeldumist. 20. Kui asetaksime nn loomuliku valguse teele seadme, mis laseb läbi ainult mingis kindlas sihis, näiteks vertikaalsihis võnkuvate E-vektoritega laineid, siis sellist valgust nimetatakse polariseeritud valguseks. 21. Seda polaroidi, mis valgust polariseerib, nimetatakse polarisaatoriks, ja seda, mille abil tehakse kindlaks valguse polarisatsioon – analüsaatoriks. 22. Mere- või järveveelt peegeldunud päikesevalgus on polariseeritud. Ruumilise kujutise tekkimiseks peab vaataja nägema vasaku silmaga vasakpoolse kaamera filmitut ja parema silmaga parempoolse kaameraga filmitut.
Vektori pikkust nimetatakse vektori mooduliks. Kiirusvektori pikkus on võrdne kiiruse arvväärtusega ja jõuvektori pikkus on võrdne jõu arvväärtusega. Vektoreid ehk suunaga lõike iseloomustab korraga nii lõigu pikkus kui suund. Kaks vektorit on võrdsed, kui nende pikkused on võrdsed ja nad on samal ajal ka ühesuguse suunaga. Pikkuste või suundade võrdsusest vektorite võrdsuseks üksi ei piisa. Pikkused ja suunad peavad korraga ühesugused olema: Tehted vektoritega Vektori korrutamisel või jagamisel arvuga jääb suund samaks tehe mõjutab vektori pikkust. Miinus ühega korrutamisel ehk märgi vastupidiseks muutmisel jääb pikkus samaks, aga suund muutub vastupidiseks. Näiteks: Vektorite liitmiseks on kaks võimalust: kormnurga reegel ja rööpküliku reegel Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teine vektor nihutada nii, et selle algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektoriri algusest teise lõppu suunatud
Gaussi ja Gauss-Jordani meetod. Näited Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi AB kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides sealjuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Veergusid on vaid lubatud vahetada, mis vastab ju tundmatute ümbernummerdamisele. Gauss-Jordan. Selle järgi teisendatakse laiendatud maatriksi elemendid peadiagonaalil ühtedeks ja sellesta alla- ja ülalpool nullideks. Siis saab kohe välja kirjutada vastuse Vektorid, tehted vektoritega Vektori pikkuseks (ehk normiks ehk mooduliks) nimetatakse vektori kui lõigu pikkus. Vektori a pikkus on a ja tähistatakse |a| = a. Vektoreid a ja b nimetakse kollineaarseteks (a ||b), kui nad on paralleelsed sama sirgega. Kollineaarsed vektorid on kas samasuunalised a b või vastassuunalised a b. Vektoreid a ja b nimetatakse komplanaarseteks, kui nad on paralleelsed ühe ja sama tasandiga. Vektorid a ja b
) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta;
Selles kolmnurgas on AC=|y2-y1| ja BC=|x2-x1|. Tähistades punktide A ja B vahelise kauguse tähega d, saame seose: 6.3 Vektor · Igal sirgel on siht ja paralleelsetel sirgetel on sama siht. Määrates lõigul suuna, saame eri omadusega lõigu, mida nimetatakse vektoriks (suunatud lõik). Märkimisel vektorit kahe tähega tuleb esikohale kirjutada nn vektorialguspunkt ja teisele kohale lõpp-punkt. · Vektoritega esitatakse ka vektoriaalseid suuruseid (nt jõud, kiirus, tuule tugevus). Suurusi, mida saab esitada vaid ühe arvu abil, nt vanus, temp, nimetatakse skalaarideks. Samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks ja märgitakse sümboliga ||. Samasihilised vektorid võivad olla samasuunalised või vastassuunalised. · Kaks vektorit on võrdsed, kui neil on sama siht, suund ja võrdne pikkus. · Vabavektori puhul ei ole oluline, milline on alguspunkt.
kiiruseda v järgmiselt: I= q0nvA. Magnetväli mõjutab vooluelemendi jõuga F= BIlsin kahest viimasest valemist saame , et F=Bq0nvAlsin = Bq0vNsin , kus N=nAl on laetud osakeste arv vaadeldavas ruumalas. Seega mõjutab ka magnetväli igat liikuvat laetud osakest lorenzi jõuga F(indeks L)= F/N=Bq0vsin , kus - kiirus vektori v ja magnet induktsiooni vektori B vaheline nurk, lorentzi jõud on risti vektoritega B ja v ning tema suuna määrab vasakukäe reegel nagu Ampieri jõu puhul. Elektriväli mõjub laengule q0 jõuga F(indeks e)=q0E(vektor), ku E(vektor)- elektrivälja tugevus, kui laengule mõjub nii elektriväli kui ka magnetväli , siis laebgule mõjuv kogu jõud on F(vektor)= F(vektor e) + F(vektor , indeks-risti). Kuna lorentzi jõud on risti osakese kiirusega, siis ta tööd ei tee
Teoreem 3 kui baas on ortonormaalne siis selleks et korrutada skalaarselt kahe vektorit, mis on antud oma koordinaatidega sellel baasil, tuleb korrutada vektorite vastavad koordinaadid ja need korrutised liita a*b=a1b1+a2b2+a3b3 Lõigu pikkus AB= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) Kahe vektori vektorkorrutis Vektorite a ja b vektorrkorrutis nim vektorit y mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende vektoritega ning suunatud nii et lühem pööre vektorist a vektorini b ümber vektori y toimub vastupäeva, kui vaadata vektori y lõpust. Vektorkorrutise omadused 1, vektorite a ja b vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui vähemalt üks korrutatavatest vektoritest on nullvektor või kui vektorid on kollineaarsed. Vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui korrutavad vektorid on kollinearsed. Seega vektorite kollineaarsuse tingimus on ab=0 2. kui vektorid on
epideemiad? * GMO toit? Tagajärjed võivad ilmneda aastakümnete pärast Vaidlused: GMO poolt või vastu? Geenitehnoloogia GMO mutantsed loomad eetika küsimus Geenitehnoloogia Eesmärgid: * süvendada teadmisi geeni ekspressiooni mehhanismidest * täiustada tehnoloogiat, võita vähk ja teised geneetilised haigused (geeniteraapia) * täiustada tehnoloogiat, et luua inimesele kasulikke GMO-sid Meetodid: * geenide rekombinatsioon plasmiidsete vektoritega * geenide rekombinatsioon viirusvektoritega * DNA, RNA analüüsi meetodid: PCR, sekveneerimine, geel elektroforees Plasmiidid geenide vektorid Looduses kanduvad üle ühest bakterist teise geenide horisontaalne ülekanne Kui võõrad geenid plasmiidi DNA-sse sisestada lähevad üle teise bakterisse koos plasmiidiga Inimese kasvuhormooni geen GH1 (growth hormone) E. coli plasmiidi
vektoriaalseteks suurusteks. · Miks on matemaatika oskus füüsikas väga oluline? Füüsikas tuleb osata ühikuid teisendada, valemitest erinevaid suurusi avaldada, arvutada tavaliste arvudega ja kasutades kümne-astmeid. · Mille poolest erineb füüsika matemaatikast? füüsika peab lisaks arvutusoskusele säilitama alati ka seose loodusega. · (Oska lahendada tunnis käsitletud ülesandeid. (täienda ise oma tabelit uute vektoritega ja joonista need teljestikku) · Mõtle järele, millise liikumise korral, kiirus ei muutu, muutub ühtlaselt, muudab vaid suunda ja millal muutub perioodiliselt? · Millised on erinevate liikumiste trajektoorid? · Kuidas on kiirus suunatud trajektoori mistahes punktis? · Oska lühidalt selgitada, mis on trajektoor, teepikkus, nihe, aeg, kiirus, kulgliikumine, ühtlane ja mitteühtlane liikumine, ühtlaselt muutuv liikumine, liikumise suhtelisus.
= cos n + i sin n . Seda valemit nimetatakse Moivre´i valemiks. 2. Juurimine. + 2k + 2k n r ( cos + i sin ) = n r cos + i sin . n n kompleksarvu n-ndal juurel on n erinevat väärtust. 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Geomeetriline vektor on kujutatud järgmisel joonisel. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Def. 4. Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse AC = AB + BC . Def. 5. Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c , mis rahuldab
× = 2 3 ;- 1 3 ; 1 2 . Vektorkorrutis × on risti mõlema teguriga ja . bb bb bb 2 3 1 3 1 2 Vektorkorrutise × pikkus × on arvuliselt võrdne vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite , ja segakorrutiseks nimetatakse vektorite ja vektorkorrutise × skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × ) . Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on risti vektoritega ja , mille pikkus ühtib vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. 7. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi võrrand, tasandi normaalvektor. x1 = c1 + s1t Parameetriline: x = c + s t Kanooniline: x1 - c1 = x 2 - c 2 = ... = x n - c n Kolmemõõtmelise ruumi tasand: 2 2 2 s1 s2 sn
1. Skalaarid ja vektorid - Suurusi(aeg, mass, inertsmoment), mille määramiseks piisab üheainsast arvväärtusest, nimetatakse skalaarideks. Suurusi, mida iseloomustab arvväärtus(moodul) ja suund, nimetatakse vektoriteks. Tehted vektoritega: a)Vektori korrutamine skalaariga. av = av Vastuseks uue pikkusega, kuid samasuunaline vektor. b)Vektorite liitmine. v=v1+v2 Vastuseks uus vektor, ei olene vektorite järjekorrast. c)Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutamisega.v1v2cosα=vˉˉ1∙vˉˉ2 d)Kahe vektori vektorkorrutis on
laetud osakeste arvuga ruumala ühikus n ja suunatud liikumise kiiruseda v järgmiselt: I= q0nvA. Magnetväli mõjutab vooluelemendi jõuga F= BIlsin kahest viimasest valemist saame , et F=Bq0nvAlsin = Bq0vNsin , kus N=nAl on laetud osakeste arv vaadeldavas ruumalas. Seega mõjutab ka magnetväli igat liikuvat laetud osakest lorenzi jõuga F(indeks L)= F/N=Bq0vsin , kus - kiirus vektori v ja magnet induktsiooni vektori B vaheline nurk, lorentzi jõud on risti vektoritega B ja v ning tema suuna määrab vasakukäe reegel nagu Ampieri jõu puhul. Elektriväli mõjub laengule q0 jõuga F(indeks e)=q0E(vektor), ku E(vektor)- elektrivälja tugevus, kui laengule mõjub nii elektriväli kui ka magnetväli , siis laebgule mõjuv kogu jõud on F(vektor)= F(vektor e) + F(vektor , indeks-risti). Kuna lorentzi jõud on risti osakese kiirusega, siis ta tööd ei tee
kindla kohaga). Definitsioon. Libisevateks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mille alguspunkti võib suvaliselt nihutada teda kandval sirgel. Näiteks jäigale kehale rakendatud jõud. Definitsioon. Vabadeks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis võivad olla rakendatud suvalisest ruumi punktist, igat vektorit võib üle kanda paralleelselt iseendaga suvalisse ruumi punkti. Siin vaatleme just viimaseid. LINEAARTEHTED VEKTORITEGA Lineaarteheteks vektoritega on vektorite liitmine, vektorite lahutamine, vektori korrutamine arvuga. Definitsioon. Vektorite a ja b summaks nimetatakse vektorit c a b , mille alguspunkt langeb kokku vektori a alguspunktiga ja lõpp-punkt vektori b lõpp-punktiga eeldusel, et vektor b on
15. Vektori lahutamine telgedesihilisteks komponentideks. Vektori koordinaadid (mõiste, leidmine). Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks - st antud vektori esitamine telgedesuunaliste ühikvektorite summana: a(a1;a2;a3) a = a1i+a2j+ a3k. Vektori koordinaadid: võttes vektori alguspunktiks koordinaatide alguspunkti, saame vektori lõpp-punktiks punkti, mille koordinaadid vastavad vektori koordinaatidele. 16. Lineaartehted vektoritega (liitmine, lahutamine, arvuga korrutamine) koordinaatides. Vektorite AB ja BC summaks nim vektorit AC=AB+BC. 17. Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nim nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. St Avaldis koordinaatides: a*b = (a1b1 + a2b2 + a3b3) Skalaarkorrutis leiab rakendusi vektorite pikkuste arvutamisel ning vektorite, sirgete ja
3. MAGNETVÄLI §12. Voolude vastastikmõju Liikumatud laengud tekitavad enda ümber elektrivälja ning ühe laengu väli mõjutab teist laengut ja vastupidi. Need jõud on määratud Coulomb'I seadusega. Elektrilaengute vahel võivad mõjuda ka teistsuguse olemusega jõud. Kiniitame kaks painduvat juhti vertikaalselt ja ühendame nende ühed otsad vooluallikaga (joonis 1 A, B, C). Kuna juhtides pole voolu, siis nadd ei mõjuta teineteist (joonis A). Kui juhtide vabad otsad omavahel ühendada, siis läbivad neid vastassuunalised voolud ja juhid tõukuvad teineteisest eemale (joonis B). Kui ühendada juhid nii, et neid läbivad samasuunalised voolud, siis nad tõmbuvad (joonis C). Kahe ristuvad vooluga juhtide vahel jõud ei mõju. Vooluga juhtide liikuvate laengute vastasikmõju nimetatakse magnetiliseks vastastikmõjuks. Jõude, millega vooluga juhid üksteist mõjutavad nimetatakse magneetilisteks jõududeks. Kui laengud ümbritsevas ruumis es...
Peale 1000 tsüklit täpsus eriti ei suurene. Süsteem muutub ebastabiilseks, kuna meetod trainlm ei ole sobilik adaptiivse juhtimissüsteemiga. Aktiveerimisfunktsiooni muutmine ei muuda seda olukorda, seega logsig ei hakka katsetama. Pilt 5 Parimaks osutub aktiveerimisfunktsioon tansig ja treenimise algoritm traingd. Minimaalse neuronite arvu leidmine See sõltub kindlasti ka treenimisest ja algandmete hulgast. Katsed viime läbi 5000 treeningtsükliga ja 101 elemendiga katseandmete vektoritega. Proovime 10 neuroniga. Pilt on veel päris ilus, kui välja arvata üks koht (step 130 paiku), kus peale häiringut läheb ülereguleerimine üle 5%. 7 Pilt 6. tansig, traingd, 10 neuronit peidetud kihis. Proovime 5 neuroniga. Pilt on ikka veel täitsa hea, aga reguleerimise aeg häiringu kõrvaldamiseks läheb üle lubatud piiri (10td). Pilt 7. tansig, traingd, 5 neuronit peidetud kihis.
Selle süsteemi põhiühikud on : meeter (m), kilogramm (kg) , sekund (s), amper (A), kelvin (K), kandela (cd) ja mool (mol). Skalaarid ja vektorid. Suurusi , mille määramiseks piisab ainult arvväärtusest,nimetatakse skalaarideks. Näiteks: aeg , mass , inertsmoment jne. Suurusi , mida iseloomustab arvväärtus (moodul) ja suund , nimetatakse vektoriks. Näiteks: kiirus , jõud , moment jne. Vektoreid tähistatakse sümboli kohal oleva noolekesega v , F . Tehted vektoritega: 1. Vektori korrutamine skaalariga. av = av 2. Vektorite liitmine. v = v1 + v2 3.Vektorite skalaarne korrutamine. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari , mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. ( v1 v2 ) = v1· v2 = v1 v2 cos , kusjuures v1· v2 = v2· v1 4. Vektorite vektoriaalne korrutamine. Kahe vektori vektorkorrutis on vektor , mille moodul on võrdne
sirgjoone lõiguna mille pikkus valitud mõõtkava juures vastab vektori arvulisele väärtusele ja suund langeb ühte vektori suunaga. Vektor on määratud mõjusirgega, vektorit kujutava lõigu pikkusega ja suunaga mõjusirgel Liigitus: vabad libisevad rakendatud Vabade vektorite rakenduspunkt võib olla meelevaldne. Libisevate vektorite rakenduspunkti võib ümber paigutada mööda sirget millel vektor asub. Rakendatud vektorid on vektorid mille rakenduspunkt on kinnistatud. Tehted vektoritega kahe vektori liitmine a=a1+a2 mitme vektori liitmine a123=a12+a3=a1+a2+a3. Mitem vektori geom. summa võrdub nulliga kui vektorite hulknurga korral viimase vektori lõpp langeb ühte esimese vektori algusega Vektorite lahutamine c=a-b=a+(-b) Vektori korrutamine ja jagamine skalaariga vektori a ja pos. skalaari n korrutiseks nim veketorit mille suurus on an ja mis on suunatud samuti nagu a. Jagatiseks a/n kus n>0 nim vektorit mille suurus on a/n ja mis on suunatud samuti nagu a
sirgjoone lõiguna mille pikkus valitud mõõtkava juures vastab vektori arvulisele väärtusele ja suund langeb ühte vektori suunaga. Vektor on määratud mõjusirgega, vektorit kujutava lõigu pikkusega ja suunaga mõjusirgel Liigitus: vabad libisevad rakendatud Vabade vektorite rakenduspunkt võib olla meelevaldne. Libisevate vektorite rakenduspunkti võib ümber paigutada mööda sirget millel vektor asub. Rakendatud vektorid on vektorid mille rakenduspunkt on kinnistatud. Tehted vektoritega kahe vektori liitmine a=a1+a2 mitme vektori liitmine a123=a12+a3=a1+a2+a3. Mitem vektori geom. summa võrdub nulliga kui vektorite hulknurga korral viimase vektori lõpp langeb ühte esimese vektori algusega Vektorite lahutamine c=a-b=a+(-b) Vektori korrutamine ja jagamine skalaariga vektori a ja pos. skalaari n korrutiseks nim veketorit mille suurus on an ja mis on suunatud samuti nagu a. Jagatiseks a/n kus n>0 nim vektorit mille suurus on a/n ja mis on suunatud samuti nagu a
ja suunad. Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = b), kui neil on samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest. Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel. Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2 LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA VEKTORITE LIITMINE: V × V V: (a, b) a + b = c. 1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on
ja suunad. Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = b), kui neil on samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest. Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel. Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2 LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA VEKTORITE LIITMINE: V × V V: (a, b) a + b = c. 1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on
impulsimoment on jääv suurus 16, Jäävusseadused mehhaanikas- Impulsi jäävuse seadus- Impulsi jäävuse seadus on üks olulisemaid jäävusseaduseid füüsikas. See väidab, et igasuguse kehade süsteemi impulss on jääv, kui sellele süsteemile ei mõju väliseid jõude. Impulsi jäävuse seadus kehtib nii Newtoni mehaanikas, erirelatiivsusteoorias kui kvantmehaanikas. See kehtib sõltumatult energia jäävuse seadusest. P=m*v (vektoritega). SUMMA: Pi=P (vektoritega) Impulsmomendi jäävuse seadus- Impulsimoment ehk pöördimpulss ehk liikumishulga moment on mehaanikas jääv suurus, mis on seotud pöördliikumisega. Seega isoleeritud süsteemis, väliste jõudude puudumisel, on osakeste süsteemi koguimpulsimoment jääv - viimane väide väljendab impulsimomendi jäävuse seadust. energia jäävuse seadus- Mehaanilise energia jäävuse seadus on jäävusseadus mille kohaselt isoleeritud süsteemis, mille kehade vahel mõjuvad ainult
=(a,b).Kolmemõtmilises ruumis on hüpertasandi A läbiv ja vektoriga risti olev tasend. 28. Punkti kaugus hüpertasandist. . avaldub kujul 29. Vektorkorrutis. eukl. vektorruumis dimV=3vektorid =(,,), =(,,) s.o , on xyz teljestiku vektorid.Def. 1 Vektorite ja vektorkorrutis, mida tähist on vektor = Kuna xyz teljestiku ühikvektorid on , , , siis saab vektorkorrutist esitada veel == Def. 2 Vektorite ja vektorkorrutis on risti vektoritega ja ja tema pikkus =S( ) 30. Vektorite segakorrutis.
Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks st antud vektori esitamine telgedesuunaliste ühikvektorite (, ja ) summana: a (a1; a2; a3) => a = a1i+ a2j+ a3k. võttes vektori alguspunktiks koordinaatteljestiku alguspunkti, saame vektori lõpp-punktiks punkti, mille koordinaadid vastavad vektori koordinaatidele. Vektori koordinaatideks nimetatakse vektori projektsioone koordinaattelgedel. a = xi + yj + zk => a = (x; y; z). 16. Lineaartehted vektoritega (liitmine, lahutamine, arvuga korrutamine) koordinaatides. liitmine vastavad koordinaadid liidetakse lahutamine vastavad koordinaadid lahutatakse korrutamine arvuga iga koordinaat korrutatakse antud arvuga 17. Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. (või vektorite vastavate koordinaatide
l 2 πr ajaga. V= t = T 7. Kogukiirendus ebaühtlasel ringliikumisel, millest on tingitud? On vektor summa kiirenduse normaal ja tangensiaalsest komponendist. Tang-komponent on suunatud piki puutujat, samuti nagu hetkkiirus, ning iseloomustab kiiruse suuruse muutust ajas. Rad(norm)- komponenton suunatud trajektoori kõveruskeskme poole, s.t. on risti tang-komp ja hetkkiiruse vektoritega, ning iseloomustab kiiruse suuna muutust ajas. 8. Kõverjoonelise liikumise lihtsustamine. Ainepunkti liikumist mööda kõverjoont vaadeldakse kui liikumist mööda eri raadiusega kõverusringjoonte kaari. Kõverusringjoon on mõtteline ringjoon, mis ühtib vaadeldava kõverjoone osaga. Dünaamika 1. Newtoni seadused. I-seadus e inertsiseadus – iga keha liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt seni, kuni teised kehad tema sellist olekut ei muuda.
R'= rj(Rx'2+ Ry'2+Rz'2); M0=rj(M0x2+M0y2+M0z2) !vt süsteemid! 16. Vektorid. Vektorite liigitus Vektoriks nim suunatud sirglõiku. Sirget, millel vektor asub, nim tema mõjusirgeks. Vektor pn määratud mõjusirge, suuna ja pikkusega. Vektori pikkust nim tema mooduliks. Vektorid jagunevad: Vabad vektorid- rak-punkt suvaline; Libisevad vektorid- rak-punkt võib mööda mõjusirget ümberpaikneda; Rakendatud- rak-punkt kinnistatud. 17. Tehted vektoritega Vektorite liitmiseks rakendame nad nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise vektori alguspunktiga ja summavektor ühendab esimese vektori alguspunkti teise vektori lõpp- punktiga. Vektorite lahutamiseks tuleb vähendatava ja lahutatava vektori alguspunkt asetada samasse punkti. Vahe alguspunkt on lahutava vektori lõpp-punkt ja lõpp-punktiks vähendatava vektori lõpp-punkt. Vektori a ja skalaari n korrutiseks on vektor, mille mooduliks on a*n ja suund ühtib algvektoriga
Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Triviaalne ja mittetriviaalne Vektorite lineaarne kombinatsioon. Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. 14. Vektorruumi baasi definitsioon
4R 34. Vekor tasandil. Joone võrrand. Punkti koordinaadid tasandil A2x + B2 y + C2 = 0 y-telg ordinaat x-telg abstsiss 35. Kahe punkti vaheline kaugus d = ( x 2 - x1 ) + ( y 2 - y1 ) 48. Ringjoone võrrand 2 2 36. Vektor. Tehted vektoritega a b ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = R2 49. Fn-ide graafikud 37. Vektorite liitmine · Lineaar u + v = ( x1 + x 2 ; y1 + y 2 ) y = ax + b 38
O M0 Joonis kujutab algselt mittepöörlevat vaba keha, mille masskeskmeks on punkt O ja mille mingile suvalisele punktile hakkab mõjuma jõud F . Keha hakkab selle mõjul kiirenevalt pöörlema ümber telje OP, mis on risti vektoritega F ja r . Jõu F moment punkti O suhtes M O on samuti jõumomendi definitsiooni põhjal suunatud alla telje OP sihis. Vaatleme nüüd juhtu, kui algselt mittepöörlev keha pole vaba, vaid omab eelnevalt fikseeritud pöörlemistelge. Kui tema mingile punktile hakkab mõjuma teatud jõud F , siis ei alati tarvitse see olla etteantud pöörlemisteljega risti. P P'
Epidemioloogia: - leidub kogu maailmas (infitseeritud 1/5 rahvastikust) - inimesel 250 liiki helminte - helmint võib parasiteerida ühel või mitmel liigil - nakkusallikaks inimesele peetakse lõpp-peremeest, s.t. organismi, kelles toimub sugulise paljunemise faas, teised peremehed on vaheperemehed Nakatumisteed: - oraalselt: · fekaal-oraalselt ümarussid · vaheperemehe organismi kaudu paelussid - perkutaanselt: · kontaktnakkus Schisostoma, Amylostoma · vektoritega (verdimevate putukatega) Filaria - ülekandefaktoreid on väga palju: toiduained, vesi, pinnasega määrdunud käed, verdimevad putukad - ei levi ühelt inimeselt teisele (eranditeks Enterobius, Strongyloides, Hymenolepis) - ei paljune inimorganismis (eranditeks Echinococcus, Strongyloides) Arengustaadiumid: · vaheperemehe staadium (munad) keskkonnas · suguline staadium lõpp-peremehe e. pärisperemehe organismis - inimene võib olla nii lõpp- kui vaheperemees
Teoreem 3 kui baas on ortonormaalne siis selleks et korrutada skalaarselt kahe vektorit, mis on antud oma koordinaatidega sellel baasil, tuleb korrutada vektorite vastavad koordinaadid ja need korrutised liita a*b=a1b1+a2b2+a3b3 Lõigu pikkus AB= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) Kahe vektori vektorkorrutis Vektorite a ja b vektorrkorrutis nim vektorit y mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende vektoritega ning suunatud nii et lühem pööre vektorist a vektorini b ümber vektori y toimub vastupäeva, kui vaadata vektori y lõpust. Vektorkorrutise omadused 1, vektorite a ja b vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui vähemalt üks korrutatavatest vektoritest on nullvektor või kui vektorid on kollineaarsed. Vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui korrutavad vektorid on kollinearsed. Seega vektorite kollineaarsuse tingimus on ab=0 2
Epidemioloogia: - leidub kogu maailmas (infitseeritud 1/5 rahvastikust) - inimesel 250 liiki helminte - helmint võib parasiteerida ühel või mitmel liigil - nakkusallikaks inimesele peetakse lõpp-peremeest, s.t. organismi, kelles toimub sugulise paljunemise faas, teised peremehed on vaheperemehed Nakatumisteed: - oraalselt: fekaal-oraalselt – ümarussid vaheperemehe organismi kaudu – paelussid - perkutaanselt: kontaktnakkus – Schisostoma, Amylostoma vektoritega (verdimevate putukatega) – Filaria - ülekandefaktoreid on väga palju: toiduained, vesi, pinnasega määrdunud käed, verdimevad putukad - ei levi ühelt inimeselt teisele (eranditeks Enterobius, Strongyloides, Hymenolepis) - ei paljune inimorganismis (eranditeks Echinococcus, Strongyloides) Arengustaadiumid: vaheperemehe staadium (munad) – keskkonnas suguline staadium – lõpp-peremehe e. pärisperemehe organismis - inimene võib olla nii lõpp- kui vaheperemees
tõenäosus, et suudame tuvastada esialgse bitijada. Seega taandub WEP lahtimurdmise probleem ainult samade võtmetega krüpteeritud pakettidekättesaamisele. Kuna aga IV vektorile on reserveeritud kõigest 24 bitti, siis on selliseid üksteisest erinevaid initsialiseerimise vektoreid kõigest 224 tükki ning seega saab saata pakette ilma vektoreid kordamata kõigest 224 korda. Normaalse liikluse korral kulub samade initsialiseerimise vektoritega pakettide saamiseks tavaliselt aga vähem kui 1 päev. Lisaks on paljud võrgukaardid sellised, mis iga kord kaarti sisse lülitades määravad initsialiseerimise vektoriks nulli, ning suurendavad seejärel seda iga paketi järel ühe võrra. Seega kui võrgus on väikese ajalise vahega sisse lülitatud mitu sellist kaarti, siis saadakse vajalike pakettide hulk kokku väga kiiresti. Sama juhtub, kui kaarti väikese vahega sisse-välja lülitada.
Kui kaks jõudu mõjuvad kehale vastassuunas piki samat sirget, on summa igal juhul null. Aga summa on null ka siis, kui sirged on erinevad, kuid paralleelsed. Kuid sellised jõud on suutelised keha pöörama - kuni saab nulliks ka nende jõudude momentide summa. Õpikutes kasutatakse mõnikord väljendit "algebraline summa". Sellega tahetakse öelda, et ei piisa, kui jõudusid väljendavad numbrid tuimalt kokku liita. Tuleb arvestada jõudude märke ja kontrollida, kas pole tegu vektoritega. Kui jõud mõjuvad piki sama sirget, piisab märkidest. Kui mitte, tuleb kasutada vektoreid. Jõumomendid - juhul, kui keha on teljele kinnitatud, võivad teda pöörata kas ühes või teises suunas; niisiis piisab ka siin märkidest. See, kumba pööret lugeda positiivseks ja kumba negatiivseks, on kokkuleppe asi, tavaliselt loetakse positiivseks pööre vastu kellaosuti liikumise suunda - nii, et pööre suurendaks pöördenurka. Staatikas, st.
annaabi.ee 
