Pöördliikumise dünaamika (3)

6 PÖÖRDLIIKUMISE DÜNAAMIKA
6.1 Jõumoment
Meenutame kangi tasakaalutingimust põhikooli füüsikakursusest, kus seda illustreeriti järgmise näitega. Kangil, mis võib vabalt pöörelda ümber toetuspunkti O, paiknevad kaks koormust.
Väiksem koormus kangi toetuspunktile lähemal tasakaalustab suurema koormuse toetuspunktist kaugemal (antud juhul ühe koormuse kaal, mis mõjub kaugusel l toetuspunktist, tasakaalustab kahe samasuguse koormuse kaalu kaugusel l/2 toetuspunktist).
Ehk üldisemalt – kui rakendada kangi erinevatele õlgadele jõud
ja , mille rakenduspunktide kaugused toetuspunktist O on vastavalt
ja , siis kang on tasakaalus, kui
, (6.1)
s.t jõudude rakenduspunktide kaugused kangi toetuspunktist peavad olema pöördvõrdelised nende jõududega. (NB! Öeldu kehtib vaid siis, kui jõud on kangi suhtes risti, teisi juhte põhikoolis ei käsitletud!)
Suurust l nimetati jõu
õlaks ning tema korrutist selle jõu mooduliga F jõumomendiks punkti O suhtes (tähis ).
. (6.2)
Nüüd vaatame natuke üldisemat juhtu, kus jõud pole kangi suhtes risti, vaid moodustab selle suhtes mingi nurga :
Ilmselt avaldab kangile pööravat mõju ainult jõu
ristprojektsioon kangi suhtes, mis võrdub . Kangiga paralleelne projektsioon
põhjustaks ainult kangi libisemist pikisuunas . Seega – kui tähistaksime jõu rakenduspunkti kauguse punktist O nüüd tähega r, saaksime kangile mõjuva jõumomendi väärtuseks
, (6.3)
Et jõumomendi definitsioonvalem (6.2) jääks ka selle juhu jaoks kehtima, peame jõu õla defineerima üldisemal kujul. Jooniselt on näha, et
võrdub jõu mõjusirge lühima kaugusega punktist O, tähistame selle samuti tähega l.
Jõu õlaks punkti O suhtes nimetatakse selle jõu mõjusirge lühimat kaugust punktini O:
. (6.4)
Siin r on jõu rakenduspunkti kaugus punktini O. Kui jõud mõjub kangiga risti, siis ilmselt kehtib
ja valemid (6.1) ja (6.2) jäävad samuti jõusse.
Kui kangile ei mõju muid jõumomente peale nimetatud , siis see hakkab mõjutama kangi pöörlemist ümber punkti O läbiva telje, mis on risti nii jõuga
kui ka kangi endaga. Järelikult peab pöörlemistelg olema suunatud lehe tasandiga risti. Seda arvestades defineeritakse jõumomendi vektor , mille moodul arvutatakse valemist (6.3) ja mis on suunatud piki pöörlemistelge. Tema täpsem suund määratakse kruvi reegliga – kui jõud
mõjutab pöörlemist ümber punkti O kruvi pöördliikumise sihis, siis tema moment punkti O suhtes on suunatud kruvi kulgliikumise sihis.
Nii näiteks mõjutab vaadeldaval joonisel jõud pöörlemist päripäeva, mistõttu tema momendi vektor on suunatud joonise sisse.
Määratleme jõu rakenduspunkti kohavektori
punkti O suhtes. See on vektor, mis viib punktist O jõu rakenduspunkti. Siis võime vastavalt vektorkorrutise definitsioonile kirjutada jõumomendi definitsiooni järgmisel kujul.
Jõu momendiks punkti O suhtes nimetatakse punkti O jõu rakenduspunktiga ühendava vektori ja jõu vektorkorrutist:
. (6.5)
Märkus. Vektorkorrutise tähistamiseks asutatakse ka kirjaviisi .
6.1a Newtoni III seaduse analoog pöördliikumisel.
Vaatleme kahte punktmassi
ja , mis mõjutavad teineteist jõududega
ja . Arvutame nende jõudude momendid mingi punkti O suhtes.
Arvutame jõudude
ja
momentide moodulid punkti O suhtes. Jõu
momendi moodul avaldub
jõu
moodul
Et nende jõudude pööravad mõjud punktile O mõjuvad vastassuundades, siis ka nende momendid on suunatud teineteisele vastu ja kahe jõu summaarne moment punkti O suhtes oleks mooduli poolest nende jõumomentide vahe:
Vastavalt Newtoni III-le seadusele on need jõud võrdvastupidised, s.t. nende moodulid on võrdsed:
mis annaks summaarse jõumomendi punkti O suhtes
Samas, nagu jooniselt järeldub,
Järelikult võrdub eelmises valemis sulgavaldis nulliga, nii nagu ka jõudude
ja
summaarne moment punkti O suhtes. Seega võime sõnastada pöördliikumise jaoks järgmise seaduse.
Newtoni III seadus pöördliikumisel. Kui kaks keha mõjutavad teineteist jõududega, siis nende jõudude summaarne moment mistahes ruumipunkti suhtes võrdub nulliga.
6.1b Jõumoment telje suhtes.
Eelmises alapunktis defineeriti jõumoment punkti O suhtes kui vektor, mis on risti nii jõu kui ka tema õlaga. Kui selline jõumoment mõjuks vabale kehale, siis punkt O oleks selle keha masskese ja jõumoment avaldaks kehale pööravat mõju ümber telje, mis eelpoolöeldu põhjal on jõu ja tema õlaga risti.
Joonis kujutab algselt mittepöörlevat vaba keha, mille masskeskmeks on punkt O ja mille mingile suvalisele punktile hakkab mõjuma jõud . Keha hakkab selle mõjul kiirenevalt pöörlema ümber telje OP, mis on risti vektoritega
ja . Jõu moment punkti O suhtes
on samuti jõumomendi definitsiooni põhjal suunatud alla telje OP sihis.
Vaatleme nüüd juhtu, kui algselt mittepöörlev keha pole vaba, vaid omab eelnevalt fikseeritud pöörlemistelge. Kui tema mingile punktile hakkab mõjuma teatud jõud , siis ei alati tarvitse see olla etteantud pöörlemisteljega risti.
Siis ei hakka keha pöörlema enam mitte ümber telje OP, vaid ümber fikseeritud telje OP’. Ilmselt on jõumomendi
pöörav mõju telje OP’ suhtes määratud tema projektsiooniga sellele teljele, mida tähistame . Jooniselt on näha, et tema moodul arvutatakse
. (6.6)
Siin
on nurk vektori
ja telje OP’ vahel.
Jõu
momendiks etteantud telje OP suhtes nimetatakse vektorkorrutise projektsiooni sellele teljele. Tema moodul arvutatakse valemist
. (6.6a)
6.2 Impulsimoment punkti ja telje suhtes
Liikugu punktist O kaugusel r punktmass massiga m ja kiirusega . Tema impulss avaldub
Tähistame sümboliga
selle punktmassi kohavektori punkti O suhtes. Mõjugu nüüd sellele punktmassile mingi nullist erinev resultantjõud , mille tulemusena punktmassi impulss muutub. Newtoni seaduse üldisema kuju (5.8) põhjal on selle impulsi ajaline tuletis
Nimetatud resultantjõu moment punkti O suhtes:
. (6.7)
Vaatleme lisaks veel vektorkorrutist
, (6.8)
see võrdub alati nulliga kui kahe samasihilise vektori vektorkorrutis. Seega ei muutu võrdus (6.7), kui vaadeldud suurus selle paremale poolele juurde liita:
. (6.9)
Tuletisemärgi all sulgudes saame uue füüsikalise suuruse, mida nimetatakse vaadeldava punktmassi impulsimomendiks punkti O suhtes.
Punktmassi impulsimomendiks mingi punkti O suhtes nimetatakse vektorkorrutist
, (6.10)
kus
on selle punktmassi kohavektor punkti O suhtes ja
selle punktmassi impulss. Vastavalt vektorkorrutise arvutamise eeskirjale tema moodul avaldub
, (6.11)
kus
on nurk kohavektori ja impulssvektori vahel.
Vastavalt vektorkorrutise definitsioonile on ka impulssmomendi vektor risti kehavektori ja impulssvektoriga määratud tasandi suhtes, vt. joonis järgmisel leheküljel.
Punktmassi impulsimomendiks mingi suvalise etteantud telje OP’ suhtes nimetatakse vektorkorrutise
projektsiooni sellele teljele. Tema moodul arvutatakse valemist
, (6.12)
kus
on nurk vektori
ja telje OP’ vahel.
Arvestades impulsimomendi definitsioonvalemit (6.10) saaksime valemi (6.9) viia järgmisele kujule :
, (6.13)
kus
on punktmassile mõjuva resultantjõu moment suvalise telje või punkti suhtes,
selle punktmassi impulsimoment sama telje või punkti suhtes. Kui võrdleme seda valemiga (5.8), siis võiksime teda nimetada Newtoni teise seaduse analoogiks pöördliikumisel, kuid me peame eelnevalt näitama, et ta ei kehti mitte ainult punktmassi, vaid ka suvalise keha korral. Seda teeme ülejärgmises alajaotuses.
6.3 Impulsimomendi jäävuse seadus.
Vaatleme mingit n punktmassist koosnevat süsteemi. Olgu i-nda punktmassi impulsimoment mingi etteantud telje või punkti suhtes . Selle süsteemi summaarne impulsimoment nimetatud telje või punkti suhtes oleks siis
. (6.14)
Kui i- ndale punktmassile mõjub resultantjõud , siis tähistame tema momendi selle etteantud telje või punkti suhtes . Vastavalt valemile (6.13) oleks süsteemi summaarse impulsimomendi muutumiskiirus seega
,
see on kõigile süsteemi punktmassidele mõjuvate jõudude momentide summa.
Punktmassidele mõjuvad jõud jagatakse süsteemisisesteks, millega need punktmassid üksteist mõjutavad, ning süsteemivälisteks, millega neid punktmasse mõjutavad süsteemist väljaspool asuvad kehad. Seda arvestades saaksime viimase valemi esitada järgmiselt:
kus
on i-ndale punktmassile mõjuvate süsteemiväliste jõudude summaarne moment,
i-ndale punktmassile mõjuvate süsteemisiseste jõudude summaarne moment. Nagu me aga näitasime punktis (6.1a), tasakaalustavad süsteemisiseste jõudude momendid üksteist paarikaupa ja nende kogusumma annab kokku nulli. Järelikult saame süsteemi impulsimomendi muutumiskiiruse valemi lõplikul kujul selliselt :
(6.15)
Punktmasside süsteemi impulsimomendi muutumiskiirus suvalise punkti või telje suhtes võrdub süsteemile mõjuvate väliste jõudude momentide summaga sellesama punkti või telje suhtes. Seda valemit võib üldistada ka niisugusele süsteemile, kus punktmasside asemel paiknevad lõplike mõõtmetega kehad. Kui aga süsteemile ei mõju välisjõude või nad üksteist tasakaalustavad, siis nende summaarne moment võrdub nulliga ja süsteemi impulsimoment ei muutu. See lubab meil sõnastada impulsimomendi jäävuse seaduse.
Impulsimomendi jäävuse seadus. Suletud süsteemis paiknevate kehade summaarne impulsimoment mistahes punkti või telje suhtes on nende kehade igasuguse vastasmõju korral jääv.
6.4 Inertsimoment
Olgu nüüd mingi lõplike mõõtmetega keha, mis pöörleb ümber seda keha läbiva pöörlemistelje (vt. joonis järgmisel leheküljel). Arvutame selle keha impulsimomendi nimetatud pöörlemistelje suhtes.
Selleks jagame keha esmalt lõpmata väikesteks osadeks – massielementideks, millest igaühte võib vaadelda punktmassina. Olgu neid massielemente n tükki, i-nda massielemendi massi tähistame , tema kauguse pöörlemisteljest
ja kiiruse .
Siis oleks i-nda massielemendi impulsimomendi moodul pöörlemistelje suhtes
Keha kui terviku impulsimoment avalduks sel juhul summana
. (6.17)
Saadud valemi puuduseks on see, et kiirus, mass ja kaugus pöörlemisteljest tuleb arvutada iga massielemendi kohta eraldi. Asendame esmalt i-nda massielemendi joonkiiruse kui kulgliikumist kirjeldava suuruse tema nurkkiirusega valemit
arvestades. Et nurkkiirus on keha kõigi punktide jaoks tema definitsiooni põhjal ühesugune, siis võime summa (6.17) kirjutada kujul
. (6.18)
Valemi paremal pool olevat summat nimetatakse vaadeldava keha summaarseks inertsimomendiks etteantud pöörlemistelje suhtes:
. (6.19)
Siin
on selle keha i-nda massielemendi mass,
tema vähim kaugus pöörlemisteljest. Korrutist summamärgi all nimetatakse massielemendi
inertsimomendiks pöörlemistelje suhtes.
Punktmassi inertsimomendiks etteantud pöörlemistelje suhtes nimetatakse tema massi korrutist kauguse ruuduga pöörlemisteljest:
. (6.20)
Kõrvutades valemeid (6.18) ja (6.19) saame lõpliku valemi pöörleva keha impulsimomendi arvutamiseks mingi telje suhtes:
. (6.21)
Võrdleme seda impulsi definitsioonivalemiga (5.1). Et impulsimoment on impulsi analoog pöördliikumisel, nurkkiiruse vektor kiirusvektori analoog pöördliikumisel, siis võime järeldada, et inertsimoment on massi analoog pöördliikumisel.
6.5 Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand
Üldistades valemit (6.13) punktmassilt lõplike mõõtmetega kehale, saame (6.21) põhjal valemi:
, (6.22)
kehale mõjuva resultantjõu moment suvalise pöörlemistelje suhtes võrdub tema impulsimomendi muutumiskiirusega sama telje suhtes.
Kui keha summaarne inertsimoment ajas ei muutu, siis valem (6.22) lihtsustub kujule
, (6.23)
kus
on keha nurkkiirenduse vektor. Kulgliikumisel on selle valemi analoogiks Newtoni II seadus konstantse massiga keha jaoks, valem (3.6).
Valem (6.22) esitab pöördliikumise dünaamika põhiseadust, mis on ühtlasi Newtoni teise seaduse analoog pöördliikumisel. Selle erijuht jääva inertsimomendi korral on (6.23).
6.6 Steineri lause
Vaba keha pöörleb alati ümber oma masskeset läbiva telje. Tähistame tema inertsimomendi selle telje suhtes . Steineri lause lubab arvutada selle keha inertsimomendi ka mingi teise telje suhtes.
Tähistame keha masskeskme tähega C . Olgu keha mass m. Tema inertsimoment masskeset läbiva telje suhtes avaldub
. (6.24)
Kui paigutame koordinaatteljestiku selliselt, et koordinaatide alguspunkt asuks keha masskeskmes ja z- telg oleks suunatud piki masskeset läbivat telge, siis (6.24) avalduks
, (6.25)
kus
ja
oleksid massielemendi
x- ja y- koordinaat .
Arvutame nüüd selle keha inertsimomendi mingi suvalise etteantud telje suhtes. Olgu seda etteantud telge masskeskmega ühendav vektor
(siin pole kiirendus, vaid telgedevaheline kaugus!).
Massielemendi
kaugus etteantud teljest oleks sel juhul , kus ja
oleksid vektori
x- ja y-komponendid. Siis keha inertsimoment etteantud telje suhtes oleks
Sulgude avamine annab tulemuseks
Esimene liidetav on , kus m on selle keha kogumass. Viimane liidetav on valemi (6.25) põhjal keha inertsimoment masskeset läbiva telje suhtes. Näitame, et teine ja kolmas liidetav võrduvad nulliga.
Kolmandas liidetavas summa on keha masskeskme x-koordinaat korrutatud selle keha massiga, vt. valem (5.14). Samuti on summa masskeskme y-koordinaadi ja keha massi korrutis. Et meil oli koordinaatide alguspunkt paigutatud keha masskeskmesse, siis masskeskme koordinaadid võrduvad nulliga ja me saame viimasest valemist nulliga võrduvaid suurusi välja jättes valemi, mida nimetatakse Steineri lauseks.
Steineri lause. Keha inertsimoment I mingi suvalise etteantud telje suhtes leitakse valemist
, (6.26)
kus
on keha inertsimoment etteantud teljega paralleelse ja masskeset läbiva telje suhtes, m selle keha mass ning a tema masskeskme kaugus sellest etteantud teljest.
6.7 Mõningate lihtsamate kehade inertsimomentide arvutamine
6.7a Homogeense varda inertsimoment varda keskpunkti suhtes.
Olgu meil varras pikkusega l ja massiga m. Defineerime varda joontiheduse kui pikkusühiku kohta tuleva massi, mis arvutatakse
Eraldame vardast lõpmata väikese joonelemendi pikkusega dx, mis asub varda masskeskmest O kaugusel x. Tema mass on
inertsimoment punkti O läbiva telje suhtes
Siis varda kui terviku inertsimoment avaldub integraalina
Iseseisvalt tõestada nii integreerimise kui Steineri lause abil, et varda inertsimoment tema otspunkti suhtes on
6.7b Ketta inertsimoment
Iseseisvalt tõestada, et homogeense ketta inertsimoment masskeset läbiva telje ja ketta tasandiga ristuva telje suhtes on
kus m on ketta mass ja r raadius. Vt. I. Saveljev. Füüsika üldkursus I, lk. 109-110.
6.8 Pöörleva keha kineetiline energia.
Tuleme tagasi alapunktis 6.4 käsitletud lõplike mõõtmetega pöörleva keha juurde ja arvutame selle pöörlemise kineetilise energia. Jagame selle keha sarnaselt alapunktiga 6.4 üksikuteks massielementideks ja vaatleme neid kui punktmasse. Ühe sellise massielemendi kineetiline energia avaldub
Kogu keha summaarne kineetiline energia avaldub summana
Et summa viimases avaldises võrdub vaadeldava keha inertsimomendiga, siis saame pöörleva keha kineetilise energia arvutamiseks järgmise avaldise :
. (6.27)
Siin I on keha inertsimoment tema pöörlemistelje suhtes ja tema pöörlemise nurkkiirus.