Pythagorase teoreem Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut on võrdne kaatetite ruutude summaga. Esmalt tõestame seda nii nagu tegi Eukleides oma raamatus "Elemendid." Vastavlalt Eukleidese teoreemile on ja Liites need kokku saame, et Kellele võib olla see sarnaste kolmnurkade ja teise teoreemi kaudu tõestamine ei sobi, siis all on ka natuke teistsugune tõestus. Olgu meil antud ruut küljepikkusega . Selle ruudu pindala avaldub kujul . Konstrueerime ruudu A+B sisse veel ühe ruudu külepikkusega C. Selle ruudu pindala avaldub siis kujul . Avaldame nüüd selle ruudu pindala läbi ruudu A+B pindala ehk
null siis, kui iga ε>0 korral saame leida hulka D katva vahemike süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/n), sauti kui punkte on lõpmata palju, aga me saame nad nummerdada(loenduv hulk) , st D={ xk є R|kєN} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/2 astmes k. Leidub ka muidu hulki, mille Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue’i teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk esimest liiki katkevuspunkte. Tõestame järgnevas mõned erijuhud: Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. Näidata, et konstantne fn on integreeruv Lause . Iga lõigul konstantne funktsioon on sel
2. AG=2GD (BG=2GE ja CG=2GF) Esimese tõestuse võtmemomendina on meil vaja pikendada lõiku AD punktini K nii palju, et AD = GK ning ühendame tipu K kolmnurga tippude B ja C-ga. Teine võtmemoment seisneb näitamises, et BKCG on rööpkülik. Tõestame ära väite esimese osa, st. näitame, et AD on mediaan. Vastavalt eeldusele on punkt F lõigu AB keskpunkt ja konstruktsiooni põhjal on punkt G lõigu AK keskpunkt. Sellest järeldub, et lõik FG on kesklõik. Vastavalt teoreemile kolmnurga kesklõigust on . Kolmnurga AKC puhul saame läbi viia samasuguse arutelu, mille tulemusena järeldub, et . Järelikult on nelinurk BKCG rööpkülik. Lõigud BC ja GK on rööpküliku BKCG diagonaalideks. Rööpküliku diagonaalid aga poolitavad teineteist. Järelikult on BD = DC, millega on esimene punkt näidatud ja tõestatud, et AD on mediaan. Teise osa tõestuseks kasutame juba rööpküliku omadusi. GD = DK, sest ta on rööpküliku
21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi). Teoreemile 4.2 vastupidine väide ei kehti, igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, milles ekstreemumit ei ole. 24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot
26. Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. max xi0 ; max xi0 27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. Siis vastavalt "kahe politseiniku" teoreemile 28. Määratud integraal ja selle omadused. eksisteerib ka piirväärtus Keskväärtusteoreem (tõestusega). 30. Teoreem määratud integraali olemasolust
Joonis ja tuletus. Lähtudes ühiklaengu käitumisest pinna juures ja sümmeetria kaalutlustest, on elektriväljatugevuse vektor risti pinnaga. Valime suletud pinna risttahukakujulise nii, et otspind on risti elektriväljatugevuse vektoriga. Risttahuka sisse jääb osa tasandist, mille laeng on : Voog läbi külgpinna on null, sest: Järelikult koguvoog on ainult läbi kahe põhja S Vastavalt Gauss'i teoreemile. Elektriväljatugevus ei sõltu kaugusest lõpmatu laetud tasndi juures. See on homogeenne elektriväli. Iga reaalset pinda, ka kõverat, saab vaadelda homogeense välja allikana, kui vaatluspunkt valida piisaval kaugusel pinnast. 8. Kasutades joonist, tuletage seos elektriväljatugevuse ja potentsiaali vahel. 9. Elektridipool. Dipoolmoment. Elektridipooli käitumine homogeenses ja mittehomogeenses elektriväljas.
vahemike süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/n), sauti kui punkte on lõpmata palju, aga me saame nad nummerdada(loenduv hulk) , st D={ xk є R|kєN} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/2 astmes k. Leidub ka muidu hulki, mille Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue’i teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk esimest liiki katkevuspunkte. Tõestame järgnevas mõned erijuhud: Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. 4. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. 5. Muutujavahetus 6. Ositi integreerimine. 7. Osamurdudeks jagamine. 8. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina
Kasutades saadud hinnangud seoses (5) saimegi hinnangu (4). Hinnangu (4) paremat poolt võib ka vaadelda, kui geomeetrilist jada a, aq, aq2, ..., kus a = = |x 1−x 0| 1−q . Et q < 1 siis on tegu hääbuva geomeetrilise jadaga ning võib öelda, et harilik iteratsioonimeetod koondub geomeetrilise progressioni kiirusega. Saab tõestada, et kui kõikjal lahendit x* sisaldavas vahemikus |g’(x)| > 1, siis meetod ei koondu. Vastavalt tõestatud teoreemile oleme leidnud koonduva hariliku iteratsioonimeetodi. Seega saame leida võrrandi x3 + 2x – 1 = 0 ligikaudse lahendi eeskirjaga xn = 0,5(1 – xn-13) Ehk X0 = 0,5 x1 = 0,5(1 – x03) = 0,5(1 – 0,53) = 0,4375 x2 = 0,5(1 – x13) ≈ 0,4581 x3 = 0,5(1 – x23) ≈ 0,4519 ...
Jagasime suurusega 1 q (1 q > 0, sest q < 1). Kasutades saadud hinnangud seoses (5) saimegi hinnangu (4). Hinnangu (4) paremat poolt võib ka vaadelda, kui geomeetrilist jada a, aq, aq2, ..., kus a = = |x 1-x 0| 1-q . Et q < 1 siis on tegu hääbuva geomeetrilise jadaga ning võib öelda, et harilik iteratsioonimeetod koondub geomeetrilise progressioni kiirusega Meetodi realisatsioon Näide 1) Vastavalt tõestatud teoreemile oleme leidnud koonduva hariliku iteratsioonimeetodi. Seega saame leida võrrandi x3 + 2x 1 = 0 ligikaudse lahendi eeskirjaga xn = 0,5(1 xn-13) 8 Ehk X0 = 0,5 x1 = 0,5(1 x03) = 0,5(1 0,53) = 0,4375 x2 = 0,5(1 x13) 0,4581 x3 = 0,5(1 x23) 0,4519
Täisnurkse kolmnurga täisnurga moodustavad küljed on 2kaatetid ja üle jääv külg on 3hüpotenuus. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi tähistatakse tavaliselt tähega c ning kaateteid tähtedega a ja b. Hüpotenuus on alati pikem mõlemast kaatetist. Hüpotenuusi lähisnurgad on väiksemad täisnurgast ja nende summa võrdub täisnurgaga. Vastavalt Pythagorase teoreemile võrdub kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga. 2 kaatet- täisnurkse kolmnurga teravnurga vastaskülg. (Väike Entsüklopeedia, lk 367) 3 hüpotenuus- täisnurkse kolmnurga pikim külg (täisnurga vastaskülg). (Väike Entsüklopeedia, lk 310) 7 3.Võrdhaarne kolmnurk Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarse
ühesugune ja suunalt vastupidine. Kui me kujutame ette silindrilist pinda, mille moodustajad on risti tasandiga ja põhjad S asetsevad tasandi suhtes sümmeetriliselt. Rakendades sellel pinnal Gaussi teoreemi. Voog läbi külgpinna puudub, sest En ( vektori E projektsioon pinnanormaalil) on igas punktis võrdne nulliga. Põhjade korral langeb En kokku E'ga. Sellest tulenevalt on summaarne voog läbi pinna 2ES. Pinna sees paikneb laeng S. Vastavalt Gaussi teoreemile peab , millest . Näeme, et tulemus ei sõltu silindri pikkusest. Seega on mistahes kaugusel tasandist väljatugevuse suurus ühesugune. Lõplike mõõtmetega tasandil on ülalsaadud tulemus õige ainult nende punktide jaoks, mille kaugus plaadi äärest on oluliselt suurem kaugusest plaadi endani. · Kahe erinimeliselt laetud tasandi väli. Kaks paralleelselt lõputut tasandit on laetud erinimeliselt võrdse konstantse
Herodotos ajaloolane, kirjutas "Historia" , mis sisaldab kreeka ajaloo sündmuseid Archimedes füüsik ja leiutaja, leiutas kruvi, avastas seaduse veeväljasurvest, konstrueeris kindlusi ja sõjaseadmeid Solon poeet, kaupmees, rändur, kreeklased pidasid teda tema tarkuse tõttu üheks seitsmest targast Pindaros silmapaistvaim kreeka lüüriline luuletaja, kirjutas ülistuslaule aristokraatidele Pythagoros filosoof ja matemaatik, pani aluse Pythagorase teoreemile Myron kujur ja pronksivalaja, kujutas meisterlikult keha pingestatud liigutusi Thales peetakse esimeseks filosoofiks ja teadlaseks, arvas, et kõige algus on vesi, püüdis seletada maailma ratsionaalselt mitte mütoloogiliselt Demokritos mõtleja, aatomiõpetuse rajaja Sappho antiikaja silmapaistvaim naislüürik Hippokrates arst, arstiteaduse ja arsti kutse rajaja Aleksander Suur Makedoonia kuningas, antiikaja kuulsaim väejuht
x x0 g ( x ) lim g ( x) b x x0 Tõestus: lim f ( x) = a , lim g ( x) = b 0 x x0 x x0 lim f ( x) f ( x ) x x0 a lim = = x x0 g ( x ) lim g ( x) b x x0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 2 f ( x) a f ( x) a a bf ( x) - ag ( x) = + - = + g ( x) b g ( x) b b bg ( x) Vastavalt teoreemile 5.1 saame f ( x) = a + ( x) , g ( x) = b + ( x) , kus (x) , ( x) 0 , kui xx0 bf ( x) - ag ( x) b(a + ( x)) - a(b + ( x) b ( x) - a ( x) = = bg ( x) b(b + ( x)) b(b + ( x)) b (x) , a (x) on lõpmatult vähenev suurus (a ja b on tõestatud) 1 b(b + ( x)) b 2 0 , seega M b(b + ( x)) Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus, kui xx0,
x x0 g ( x ) lim g ( x) b x x0 Tõestus: lim f ( x) = a , lim g ( x) = b 0 x x0 x x0 lim f ( x) f ( x ) x x0 a lim = = x x0 g ( x ) lim g ( x) b x x0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 2 f ( x) a f ( x) a a bf ( x) - ag ( x) = + - = + g ( x) b g ( x) b b bg ( x) Vastavalt teoreemile 5.1 saame f ( x) = a + ( x) , g ( x) = b + ( x) , kus (x) , ( x) 0 , kui xx0 bf ( x) - ag ( x) b(a + ( x)) - a(b + ( x) b ( x) - a ( x) = = bg ( x) b(b + ( x)) b(b + ( x)) b (x) , a (x) on lõpmatult vähenev suurus (a ja b on tõestatud) 1 b(b + ( x)) b 2 0 , seega M b(b + ( x)) Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus, kui xx0,
LOKAALSE EKSTREEMUMI TARVILIK TINGIMUS. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE PIISAVAD TINGIMUSED Funktsiooni kriitilisteks punktideks (ehk esimest järku kriitilisteks punktideks) nimetatakse funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti. See tähendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum.
summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. Pärimus ütleb, et kui Pythagoras selle seaduspärasuse avastas või tõestas, siis tõi ta hekatombi, s.o sajast härjast koosneva ohvri. Tegelikult ei tarvitsenud see üldsegi olla täpselt selline ohver: hekatombiks nimetati lihtsalt suurt ohvrit mitte alati polnud need härjad ning mitte alati polnud ohvriloomi sada. Esmalt tõestame seda nii nagu tegi Eukleides oma raamatus "Elemendid." Vastavalt Eukleidese teoreemile on ja Liites need kokku saame, et Esitan siinkohal selle teoreemi ja tema tõestuse mõttekäigu sellisena, nagu pärines see Pythagoraselt. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdub ülejäänud kahele küljele ehitatud ruutude pindaladega. Eeldame, et hüpotenuusi ümber on selle täisnurkse kolmnurga täpsed koopiad. Suure ruudu pindala on ühelt poolt leitav kui (a + b)2. Et kolmnurga pindala on , siis teiselt poolt on
7. Lõpmatu laetud tasandi elektriväljatugevus.Joonis ja tuletus. Lähtudes ühiklaengu käitumisest pinna juures ja sümmeetria kaalutlustest, on elektrivälja tugevuse vektor risti pinnaga. Valime suletud pinna risttahukakujulise nii, et otspind on risti elektriväljatugevuse vektoriga. Risttahuka sisse jääb osa tasandist, mille laeng on : Voog läbi külgpinna on null, sest: =0 Järelikult koguvoog on ainult läbi kahe põhja S Vastavalt Gauss'i teoreemile. Elektriväljatugevus ei sõltu kaugusest lõpmatu laetud tasndi juures. See on homogeenne elektriväli. Kõiki pindu, ka kõverat, saab vaadelda homogeense välja allikana, kui vaatluspunkt valida piisaval kaugusel pinnast. 8. Kasutades joonist, tuletage seos elektriväljatugevuse ja potentsiaali vahel. Elektriväljatugevus on elektrivälja jõukarakteristik ja potensiaal energiakarakteristik. 9. Elektridipool. Dipoolmoment. Elektridipooli käitumine homogeenses ja
mille laeng on : Voog läbi külgpinna on null, sest: =0 Järelikult koguvoog on ainult läbi kahe põhja S Vastavalt Gauss'i teoreemile. Elektriväljatugevus ei sõltu kaugusest lõpmatu laetud tasndi juures. See on homogeenne elektriväli. Kõiki pindu, ka kõverat, saab vaadelda homogeense välja allikana, kui vaatluspunkt valida piisaval kaugusel pinnast. 8. Kasutades joonist, tuletage seos elektriväljatugevuse ja potentsiaali vahel. Elektriväljatugevus on elektrivälja jõukarakteristik ja potensiaal energiakarakteristik. 9. Elektridipool. Dipoolmoment. Elektridipooli käitumine homogeenses ja
elektriväljatugevuse vektor risti pinnaga. Valime suletud pinna risttahukakujulise nii, et otspind on risti elektriväljatugevuse vektoriga. Risttahuka sisse jääb osa tasandist, mille laeng on : Voog läbi külgpinna on null, sest: Järelikult koguvoog on ainult läbi kahe põhja S Vastavalt Gauss’i teoreemile. Elektriväljatugevus ei sõltu kaugusest lõpmatu laetud tasndi juures. See on homogeenne elektriväli. Iga reaalset pinda, ka kõverat, saab vaadelda homogeense välja allikana, kui vaatluspunkt valida piisaval kaugusel pinnast. 67***. Kasutades joonist, tuletage seos elektriväljatugevuse ja potentsiaali vahel. 68***
d. Leiame voo läbi kogu suletud pinna. 66. Lõpmatu laetud tasandi elektriväljatugevus.Joonis ja tuletus. Lähtudes ühiklaengu käitumisest pinna juures ja sümmeetria kaalutlustest, on elektriväljatugevuse vektor risti pinnaga. Valime suletud pinna risttahukakujulise nii, et otspind on risti elektriväljatugevuse vektoriga. Risttahuka sisse jääb osa tasandist, mille laeng on : Voog läbi külgpinna on null, sest: Järelikult koguvoog on ainult läbi kahe põhja S Vastavalt Gauss'i teoreemile. Elektriväljatugevus ei sõltu kaugusest lõpmatu laetud tasndi juures. See on homogeenne elektriväli. Iga reaalset pinda, ka kõverat, saab vaadelda homogeense välja allikana, kui vaatluspunkt valida piisaval kaugusel pinnast. 67. Kasutades joonist, tuletage seos elektriväljatugevuse ja potentsiaali vahel. 68. Elektridipool. Dipoolmoment. Elektridipooli käitumine homogeenses ja mittehomogeenses elektriväljas. Dipooli enda elektriväli on suhteliselt kergesti kirjeldatav
tasandi vahel, sirgete ja tasandite ristseis ning paralleelsus, kolme ristsirge teoreem, hulknurga projektsiooni pindala. Neid mõisteid omandamata pole võimalik hiljem klassikalise stereomeetria ülesandeid lahendada. Tuleb tuua hulgaliselt näiteid klassiruumist, ,,mängida" pliiatsite (kui sirge) ja raamatutega (kui tasand). Võib kasutada ruumiliste kehade mudeleid, kus servad on sirgeteks ja tahud tasanditeks. Suurt tähelepanu tuleb pöörata kolme ristsirge teoreemile ja kahetahulise nurga mõistele, mis paljudele lastele jääb arusaamatuks. Nende mõistete tundmiseta pole võimalik lahendada püramiidi ülesandeid järgmises kursuses. Hulknurga (kolmnurga) projektsiooni pindala arvutamise valemi tuletamisel aitab kaasa J. Albre vastav slaid ja kindlasti ka mudelite (kui neid koolis leidub) kasutamine. Tehted vektoritega ruumis omandatakse õpilaste poolt hästi vaid sel juhul, kui ta sai need selgeks 10. klassis
ostuhinnast). Muidugi on siis C maksevalmidus veelgi kõrgem v C > pC ja kehtib vC > vBDelikti(õigustega kauplemina välistatud)- e kahjuõigus -Deliktiõiguse ülesandeks on reguleerida käsutusõigusi olukordades, kui nende üle ei saa ex ante läbirääkimisi pidada põhiliselt seoses õnnetusjuhtumitega, mida pole võimalik konkreetselt ette näha. *Deliktiõigus peab otsima inimeste koostegevuse Pareto-optimaalset tulemust täiesti ilma turumehhanismile (Coase'i teoreemile) toetumata. Juristi eesmärk: deliktiõiguslikud normid peavad jagama tekkinud kahju asjaosaliste vahel õiglaselt majandusteadlase eesmärgid: minimeerida õnnetusest tekkiv, ka vältimiskulusid sisaldav rahvamajanduslik kahju (Kaldor-Hicksi kriteerium) Seda eesmärki saab püstitada vaid tänu normide mõjule potentsiaalsete kahjustajate ja kahjustatute ootustele ja käitumiseleVastutusnormid- Tugineme juba tavapärasele metoodilisele võttele võrdleme kaht võimalikku (reaalset)
<ε /n), samuti kui punkte on lõpmata palju aga me saame nad nummerdada (loenduv hulk),st ξ k ¿ ¿ ∆ x k =∫ f ( x ) dx ja oleme näidanud tõestust D={xk∈R|k∈N} (xk sisaldava vahemiku pikkus <ε /2k).Leidub ka muid hulki, mille a Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenduv hulk esimest iiki katkevuspunkte. 6. Näidata, et integreeruv funktsioon on tõkestatud b Teoreem:Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus.Tõestus:Oletame,et funktsioon pole lõigus [a,b] tõkestatud.Näitame,et funktsioon pole integreeruv
O1 O2 Selle püramiidi kõik servad on pikkusega . Püramiidi põhi on ruut, mille diagonaalid on . Püramiidi kõrgus on leitav kolmnurgast , mille teadaolevad küljed on (pool diagonaalist), . Vastavalt Phythagorose teoreemile saame . Et püramiid moodustus kerade keskpunktidest, siis on vaja püramiidi kõrgusele liita veel (ülemise kera raadius ja alumise kera raadius). Seega on viienda kera kõige kõrgema punkti kaugus koonuse põhjast . Koonuse telglõike tipunurk on võrdne vaadeldava püramiidi diagonaallõike tipunurgaga.
-uv vahemikus (a,b), (a)=(b)=0. Järelikult Rolle`i teor.-i kohaselt leidub punkt c(a,b), nii et (c)=0 '(x)=(a- b)f'(x)-(f(a)-f(b)). `(c)=(a-b)f'(c)-(f(a)-f(b))=0. Siit saamegi Lagrange`i valemi. Mott. Sageli omab see valem kuju f(x)-f(x0)= (x-x0)f'().Teoreem (Cauchy teor.) f(a)-f(b)/g(a)-g(b)= f'(c)/g'(c), g'(c)0. Tõestus. Vaatlemef-ni F(x)=(g(a)-g(b))(f(x)-f(b))- (g(x)-g(b))(f(a)-f(b)). F(x) on 1)on pidev lõigul (a,b) 2)dif.-uv vahemikus (a,b) 3)F(a)=F(b)=0. Vastavalt Rolle`i teoreemile leidub c(a,b), et F'(c)=0 F'(x)= (g(a)-g(b))f'(x)-g'(x)(f(a)-f(b)) F'(c)= (g(a)-g(b))f'(c)- g'(c)(f(a)-f(b))=0 g'(c)0, sest muidu järelduks, et ka f'(c)=0, mis on võimatu. (g(a)-g(b))f'(c)= g'(c)(f(a)-f(b)) Pärast mõlema poole jagamist (g(a)-g(b) ga ja g'(c) ga saamegi Cauchy valemi. Mott. Järeldus: Lagrange`i valem Cauchy valemist kui võtta g(x)=x, siis g(a)-g(b)= a-b ja g'(x)=1. 29. L'Hospitali reegel: lim(xa) või (x) kehtib 0/0 või / määramatuse puhul reegel lim (....
piirprodukt MPL võrdub reaalpalgaga. Firmad rendivad aga kapitali seni kuni kapitali piirprodukt MPK võrdub reaalse rendiga (MPK=R/P) 7. Täieliku konkurentsi turul tegutsevate firmade tööjõu nõudlus on määratud võrrandiga, kus tööjõu piirprodukt võrdub reaalpalgaga 8. Nn arvestuslik kasum sisaldab nii majanduskasumit kui ka tulu kapitali kasutamisest. 9. Kui tootmisfunktsioon on konstantse mastaabiefektiga, siis majanduskasum võrdub 0 nulliga vastavalt Euleri teoreemile. 10. Tootmisfunktsiooni, mille üldine kuju on, tuntakse Cobb-Douglase tootmisfunktsioonina. 11. Enamik tootmisfunktsioonidest väljendavad kahaneva piirtootlikuse seadus, mille korral täiendav tootmissisendi ühik toob kaasa järjest väiksema toodangu kasvu. 12. Kasutatava tulu ja tarbimiskulutuste seost kirjeldab tarbimisfunktsiooni joon, mille tõus on määratud MPC 13. Nominaalne intressimäär on laenuprotsent, mida investeerijad maksavad laenu kasutamise eest, reaalne
Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Piisavate tingimuste põhjendused. Funktsiooni kriitilisteks punktideks (ehk esimest järku kriitilisteks punktideks) nimetatakse funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti. See tähendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum.
Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordinaatidega (d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f(d) puudub. Võtame piirväärtuse: Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti. See tähendab, et igas kriitilises punktis ei Võrratused ja näitavad, et f(x1) 0 ja f(x1) 0. See on võimalik vaid siis, kui f(x1) = 0. Seega on lemma tõestatud tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. juhul, kui x1-s on Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I
E 1∗k∗r 21 E2∗k∗r 22 E1 r 2 = ⇒ = k∗r 1 k∗r 2 E2 r 1 Mis on üksiku juhi elektrimahtuvus. Ühik. q C= mõõte ühik on C/V ehk F φ Plaatkondensaator, selle mahtuvuse valemi tuletus ilma laengu ja potentsiaalide vaheta. σ q E= = ε 0∗ε ε 0∗ε∗S Vastavalt Gauss’i teoreemile. kus d on plaatide vaheline φ −φ E= 1 2 d kaugus ja S ühe plaadi pindala (suuruselt väiksema) q φ −φ q ε ∗ε∗S = 1 2 ⇒ C= = 0 ε 0∗ε∗S d φ 1−φ2 d Kondensaatorite rööpühenduse valemi tuletus. {
0, kui x > 1, kus konstant cn peab olema defineeritud nii, et 1 (x )dx = 1. -1 n Funktsioon n (x ) loob jada, mille piiriks on -funktsioon (vt joonis 3). Näitame käigepealt mitteformaalselt ja siis ranget tõestust Weierstrass'i teoreemile, kus 1 lim f ( x ) n ( x )dx = f (0 ). n -1 Seega lim n (x ) = (x ). n Joonis 3 Weierstrassi teoreemi deltafunktsiooni esitlus.
on igas punktis üheselt määratud väärtus. Gravitatsioonijõu välja Maa pinna lähedal nimetatakse raskusjõu väljaks, selle välja igas punktis mõjub kehale (punktmassile) ühesugune vertikaalselt alla suunatud raskusjõud m g . Kui lasta rammimise nui ilma algkiiruseta langeda vabalt kõrguselt h, siis teeb raskusjõud tööd A = mgh . Vastavalt kineetilise energia teoreemile omandab nui maapinnani jõudes just sellise hulga kineetilist energiat ja võib selle arvel teha omakorda samapalju tööd, lüües vaia maasse. Tähendab, kõrgusel h maapinnast on kehal oma asendi tõttu raskusjõu väljas võime teha tööd mgh. Seda nimetatakse potentsiaalseks energiaks E p raskusjõu väljas: E p = mgh . (2.20) Raskusjõu poolt tehtav töö ei sõltu sellest, kas keha kukub vabalt vertikaaljoont mööda või,
z yz ( y ) = lim = lim B + =B y y 0 y y 0 y 0 z z 2) Piisavus , dz x y Osatuletiste definitsiooni kohaselt z z = lim x x x 0 x z yz = lim y y 0 y Vastavalt piirväärtuse olemasolu teoreemile ( xlim f ( x ) = a f ( x ) = a + ( x ) , kus x0 ( x ) on LKS) x z z = + ( x ) x x y z z = + ( y ) y y kus ( x ) ja ( y ) on LKS kui x 0 ja y 0 . Siit z x z = x + ( x ) x x z yz = y + ( y ) y y Vaatleme funktsiooni täismuutu z = f ( x + x, y + y ) - f ( x , y ) = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y + y ) + f ( x, y + y ) - f ( x, y ) =
2) Väljatugevus juhi pinnal peab olema igas punktis suunatudΦ=∮E dS =(E=const)=E∮ dS=E*4*pi*r möödΦ=∮E dS =(E=const)=E∮ dS=E*4*pi*ra pinnanormaali (E⇈n). Seega on juhi pindΦ=∮E dS =(E=const)=E∮ dS=E*4*pi*r laengute tasakaalu korral ekvipotentsiaalpindΦ=∮E dS =(E=const)=E∮ dS=E*4*pi*r. Et laengute tasakaalu korra väli juhi sees puudub, siis on elektrinihke vektori voog läbi selle pinna võrdne nulliga. Vastavalt Gaussi teoreemile on laengute algebraline summa pinna sisemuses samuti võrdne nulliga. See on õige suvaliste mõõtmetega pinna jaoks, mis on kujutatud juhi sisemuses vabalt valitud viisil. Järelikult ei saa tasakaalu korral üheski kehas juhi sees olla jääklaenguid- kõik nad paiknevad juhi pinnal mingi tihedusega σ . Eelmise lõigu põhjal võib öelda, et aine eemaldamine juhi sisemusest ei kajastu laengute tasakaalulises paigutuses- laeng jaotub õõnsal ja massiivsel juhil täpselt samamoodi mööda
on igas punktis üheselt määratud väärtus. Gravitatsioonijõu välja Maa pinna lähedal nimetatakse raskusjõu väljaks, selle välja igas punktis mõjub kehale (punktmassile) ühesugune vertikaalselt alla suunatud raskusjõud m g . Kui lasta rammimise nui ilma algkiiruseta langeda vabalt kõrguselt h, siis teeb raskusjõud tööd A = mgh . Vastavalt kineetilise energia teoreemile omandab nui maapinnani jõudes just sellise hulga kineetilist energiat ja võib selle arvel teha omakorda samapalju tööd, lüües vaia maasse. Tähendab, kõrgusel h maapinnast on kehal oma asendi tõttu raskusjõu väljas võime teha tööd mgh. Seda nimetatakse potentsiaalseks energiaks E p raskusjõu väljas: E p = mgh . (2.20)
( l.90-92) Näiteks joonisel 4.1 kujutatud funktsioonil on punktides koordinaatidega (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) ja (d, f(d)) lokaalsed ekstreemumid. Esimese kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga: f(a) = f(b) = f(c) = 0. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordinaatidega (d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f(d) puudub. Siinkohal tuleb r~ohutada seda, et teoreemile 4.2 vastupidine v.aide ei kehti.See t.ahendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Teiste s~onadega: funktsioonil v~oib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. N.aiteks funktsioonil f(x) = x^3 on kriitiline punkt x = 0 (sest f(0) = 0).Samas aga see funktsioon kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud punkti x = 0.umbrus. Seega ei ole funktsioonil f(x) = x^3 punktis x = 0 lokaalset ekstreemumit.Paneme t.ahele, et ka joonisel 4
Vooluhulga liikumise absoluutkiiruse c2 ja tööratta joonkiiruse u2 vaheline nurk 2 vedeliku pumbast väljumisel oleneb pumba tööratta laba suuna ja tööratta välisläbimõõdu perimeetri vahelise nurga 2 suurusest ehk töölaba pöörlemise suunast. Pumba rattalt väljuva veevoo kiiruskolmnurgast ( joon. 10) võime arvutada kiirusvektorite ja nende projektsioonide suurused : Joonis 10. Vastavalt cos teoreemile 2 2 = c22 + u22 2c2u2cos2 40 cp = c2 sin 2 cr = c2 cos2 = u2 - cp ctg 2 , kus cp on absoluutkiiruse c2 trajektoori normaalsuunaline (trajektooriga risti) komponent ja cr trajektoori puutujasuunaline component Asendades tsentrifugaalpumba teoreetilise tõstekõrguse (Euleri v.) võrrandis c 2 u 2 cos 2 H teor = g c2 cos2 = u2 - cp ctg 2 , saame Hteor = u2/g (u2 cpctg 2 ) , siit
K~oigepealt m¨argime, et jada n on l~opmatult kahanev, st n 0. T~oepoolest, kui me suvalise posi- tiivse arvu korral valime jada liikme, mille indeks n 1 , siis k~oigi sellele liikmele j¨argnevate jada liikmete n korral kehtivad seosed 1 1 n> n > 1 < an < . n Kuna lisaks n > 0, siis saamegi v~orratuse |n | < , mis n¨aitab, et n 0. Vastavalt teoreemile 2.1 on jada n l~opmatult kasvav, st |n | . M¨argime, et kuna antud juhul n > 0, siis |n | = n ja j¨arelikult n . 2. Vaatleme jadasid (-1)n n = (so -1, 12 , - 13 , 14 ...) n n = (-1)n n (so -1, 2, -3, 4...). J¨allegi n = 1n . Peale selle n 0. T~oepoolest, kui me suvalise positiivse
et jada n on l~opmatult kahanev, st n 0. T~oepoolest, kui me suvalise posi- tiivse arvu korral valime jada liikme, mille indeks n 1 , siis k~oigi sellele liikmele j¨argnevate jada liikmete n korral kehtivad seosed 1 1 n> n > 1 < an < . n Kuna lisaks n > 0, siis saamegi v~orratuse |n | < , mis n¨aitab, et n 0. Vastavalt teoreemile 2.1 on jada n l~opmatult kasvav, st |n | . M¨argime, et kuna antud juhul n > 0, siis |n | = n ja j¨arelikult n . 2. Vaatleme jadasid (-1)n n = (so -1, 21 , - 13 , 14 ...) n n = (-1)n n (so -1, 2, -3, 4...). J¨allegi n = 1n . Peale selle n 0. T~oepoolest, kui me suvalise positiivse
Joon. 18. Kui lüli on koormatud momendiga T, siis asendatakse see jõupaariga, kusjuures jõupaari moodustavad vektorid F*=T/lBC . Tasakaalustava jõu leidmine on rajatud asjaolule, et dünaamika üldvõrrandit n n Pj + Pij = 0 , j =1 j =1 kus Pj - aktiivsete välisjõudude võimsus, Pij - inertsjõudude võimsus, n - lülide arv võib Zukovski teoreemile tuginedes asendada Zukovski kangi staatilise tasakaalu tingimusega n n M p ( Fj ) + M p ( Fij ) = 0 . ...3.5 j =1 j =1 [Näited loengul ja praktilistes tundides] 3.3. Mehhanismide liikumine neile mõjuvate koormuste toimel 22 3.3.1. Liikumisfaasid. Töö ülekande seadus. Kasutegur
Lause 1.26 Kõigi ratsionaalarvude järjestatud korpus Q ei ole täielik. 24 1 Reaalarvud Tõestus. Näitame, et alamhulgal n √ o A := r ∈ Q | r < 2 , mis on korpuses √ Q ülalt tõkestatud, ei ole selles korpuses ülemist √ raja. Vastavalt teoreemile 1.25(a) 2 = sup A korpuses R (põhjendada!)z. Teatavasti √ / Q, seega hulga A kõik 2 ∈ ratsionaalarvulised ülemised tõkked on suuremad kui 2 (selgitada!)z. √ Oletame vastuväite- liselt, et nende hulgas leidub vähim, tähistame selle tähega √ s. Kuna 2 < s (põhjendada!)z, siis teoreemi 1
A võimsust, siis hulgad A ja B on sama võimsusega. Teisisõnu, CantorBernsteini teoreem ütleb, et kui eksisteerivad injektiivsed funktsioonid f : A B ja g :B A , siis hulgad A ja B on sama võimsusega. Või veel lühemalt, kui ¿ AB¿ ja ¿ B A¿ , siis ¿ A¿B¿ . Näide: Tõestada, et (0,1) ¿ . TÕESTUS Lahendus 1. Kõigepealt märgime, et ei ole üldse ilmne, kuidas konstrueerida bijektsiooni hulkade (0, 1) ja ¿ vahel. Tänu CantorBernsteini teoreemile piisab meil konstrueerida ainult kaks injektsiooni, mis on palju lihtsam ülesanne. Esiteks, injektsiooniks hulgast (0, 1) hulka ¿ sobib f (x)=x iga x (0, 1) korral, sest (0, 1) ¿ . x ¿ (0, 1) g( x)= x ¿ korral, Teistpidi, injektsiooniks hulgast hulka sobib 2 iga
Mida suurem on erinevus soojusallika ja jahutaja temperatuuri vahel, seda kõrgem on Carnot´ringprotsessi termiline kasutegur, seda suurem on protsessi juhitud soojushulgast q1 muudetakse ringprotsessis mehaaniliseks tööks ning seda väiksem soojushulk antakse üle jahutajale. Ringprotsessi juhitav soojushulk muutuks täielikult mehaaniliseks tööks ( l = q1 , q2 = 0) ainult juhul, kui jahutaja temperatuur T2=00K. Vastavalt W.Nernsti soojuse teoreemile pole absoluutset nulltemperatuuri võimalik teoreetiliselt ega praktiliselt saavutada, mistõttu alati c < 1. Kui oleks vüimalik saavutada absoluutsest nullist madalamat temperatuuri (T2 < 0), osutuks Carnot´ringprotsessi termiline kasutegur suuremaks ühest, mis on aga vastuolus termodünaamika esimese seadusega. Kui T1=T2, siis Carnot´ringprotsessis kasulikku tööd ei sooritata ning tema termiline kasutegur võrdub nulliga. Seega on kasuliku töö saamise üheks vajalikuks eeltingimuseks
Jada piirva¨ artus ¨ Kuna 0 < |n | saame ulalt- ¨ ja althinnangud 4 0 < (n )2 < n 2 0 < |n | < . n Kuna lim 2 = 0 ja lim 0 = 0, siis vastavalt eelmisele teoreemile ka n n n lim n = lim ( n n - 1) = 0. n n ¨ Sellega oleme naidanud, et lim n n = 1. n ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 15 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ Definitsioon
Esimene tõestus tuleb aga esile juba järgmises alapeatükis. Teoreem Teoreem on ehk matemaatika kõige austusväärsem žanr. Teoreemiks nimetatakse väidet koos matemaatiliselt täpse tõestusega. Õigupoolest julgetakse enamasti teoreemiks nimetada ainult piisavalt ägedaid väiteid koos oma ägedate tõestus- tega. Teoreemile antakse tihti ka tema avastaja nimi – kuigi peab tunnistama, et paljudel nimelistel teoreemidel pole nimeandjaga siiski suurt pistmist. 46 Üks kuulus teoreem on järgmine. Teoreem: Leidub lõpmatult palju algarve. (Eukleides) matemaatikute keel Sulgudes seisev „Eukleides” tähistab tõestuse autorit ja tihti nimetataksegi seda
Eraldame juhtmest lõpmata väikese vooluelemendi (s.t. ≪ ) ja arvutame esmalt tema poolt põhjustatud elementaarse magnetilise induktsiooni punktis P.. See on samuti suunatud joonise tasandist väljapoole. Vastavalt valemile (14.13) avaldub selle moodul I sin dl dB 0 2 2 , (I) 4 r l kus r 2 l 2 on vastavalt Pythagorase teoreemile vooluelemendi kaugus punktist P. Summaarse magnetilise induktsiooni B leidmiseks punktis P tuleb kokku liita kõigi selliste üksikute vooluelementide tekitatud elementaarsed magnetilised induktsioonid dB . Antud juhul tähendab see valemi (I) integreerimist üle kogu voolujuhtme pikkuse. Tähistades, nagu eelmisel joonisel, punktiga P kohakuti oleva voolujuhtme punkti sümboliga O ja vooluelemendi kauguse punktist O sümboliga l. Kui integreerida üle kogu lõpmata pika
Mida väiksem on T0, seda lähedasemad on digitaalseadmete omadused analoogseadmete omadele. Praktiline soovitus oleks järgmine: 145 T0 1 1 ... , Tdin 4 15 kus Tdin on digitaalseadmega kontuuri reageerimisaeg. Vastavalt Shannon'i teoreemile T0 c kus c töödeldava signaali omavõnkesagedus. Üldistatud filtri mudelit kirjeldab ülekandefunktsioon Uout T1s 2 + T2s + k1 W (s ) = = ,
annaabi.ee 
