Matemaatika referaat (2)

Antsla Gümnaasium
DEVIA PAAP
MARILIN NIILUS
8A klass
KOLMNURKADE LIIGITAMINE
Referaat
Juhendaja :
õpetaja
SIGNE KINNAS
Antsla 2008
Sisukord
Sissejuhatus 3
1. Kolmnurk 4
1.1. Kolmnurga nurgad 5
1.2. Kolmnurga küljed 6
2. Täisnurkne kolmnurk 7
3.Võrdhaarne kolmnurk 8
4. Võrdkülgne kolmnurk 9
5. Teravnurkne kolmnurk 10
6. Nürinurkne kolmnurk 11
7. Erikülgne kolmnurk 12
8. Kolmnurga pindala ja ümermõõt 13
9. Kolmnurga alus ja kõrgus 14
10. Kolmnurga alusnurk 15
11. Kolmnurkade omadusi 16
11.1 Võrdhaarse kolmnurga omadused 16
11.2 Võrdkülgse kolmnurga omadused 16
Kokkuvõte 17
Kasutatud kirjandus 18

Sissejuhatus

Valisime referaadi teemaks kolmnurkade liigitamise sellepärast, et see huvitas meid kõige rohkem ning arvasime, et selle kohta leiab ka üpriski palju materjali. Samuti oli meil soov oma mälu kolmnurkade koha pealt värskendada.
Meie arvates on teema üsna huvitav ning aitab meelde tuletada kolmnurkade omadusi ning samuti ka mõndasid mõisteid. Leidsime üsna palju sobivat materjali.
Töö eesmärgiks on referaadi lugejatele anda täpne ülevaade kolmnurkadest ning kolmnurga liikidest.
Materjali kogumiseks kasutasime Internetti ning ka mõndasid raamatuid.

1. Kolmnurk

Kolmnurk on 1elementaargeomeetrias (eukleidilises geomeetrias) kolme tipuga hulknurk .
Kolmnurk on määratud eukleidilise ruumi kolme punktiga, mis ei asu ühel ja samal sirgel. Neid punkte nimetatakse kolmnurga tippudeks. Kolmnurk on kujund, mille moodustavad kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud. Neid sirglõike nimetatakse kolmnurga külgedeks.
Kuna kolmnurk asub ühel tasandil, siis tegemist on tasapinnalise kujundiga. Kolmnurga defineerimisel võib ka kohe tingimuseks seada, et kolmnurga tipud oleksid ühel tasandil.
Mõnikord loetakse kolmnurka kuuluvaks ka kolmnurga tippudega määratud tasandi osa, mis on piiratud kolmnurga külgedega. Sel juhul kuulub selle tasandi punkt kolmnurka siis ja ainult, kui ta asub mõnel sirglõigul, mis ühendab kaht punkti, millest kumbki asub selle kolmnurga mõnel küljel.
Kolmnurga definitsioon: hulka, mille elementideks on seespool kolmest lülist koosnevat kinnist murdjoont olevad punktid, koos murdjoone punktidega, nimetatakse kolmnurgaks.

1.1. Kolmnurga nurgad

Igas kolmest tipust moodustuvad kaks sirglõiku nurga. Vähemalt kaks neist on teravnurgad. Kui kolmas on ka teravnurk, nimetatakse kolmnurka teravnurkseks kolmnurgaks. Kuid üks nurk võib olla ka täisnurk või nürinurk. Kolmnurka nimetatakse siis vastavalt täisnurkseks või nürinurkseks kolmnurgaks.
Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180 kraadi (180°) ehk π radiaani (π rad).
Kolmnurga nurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega α, β ja γ. Kui tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, on tähistatakse täisnurka tavaliselt tähega γ ning teravnurki tähtedega α ja β.

1.2. Kolmnurga küljed

Kolmnurga küljed on kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud, mis üksteisega moodustavad nurki.
Kolmnurga kahe suvalise külje pikkuste summa on alati suurem kolmanda külje pikkusest. Kolmnurga külgi tähistatakse tavaliselt tähtedega a, b ja c.

2. Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ehk 90° = π/2 rad. Täisnurkse kolmnurga täisnurga moodustavad küljed on 2kaatetid ja üle jääv külg on 3hüpotenuus. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi tähistatakse tavaliselt tähega c ning kaateteid tähtedega a ja b.
Hüpotenuus on alati pikem mõlemast kaatetist. Hüpotenuusi lähisnurgad on väiksemad täisnurgast ja nende summa võrdub täisnurgaga.
Vastavalt Pythagorase teoreemile võrdub kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga.

3.Võrdhaarne kolmnurk

Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarse kolmnurga haaradeks nimetatakse kahte võrdset külge ja aluseks kolmandat külge. Tipunurgaks nimetatakse selle kolmnurga kahe võrdse külje vahelist nurka. Võrdhaarse kolmnurga kaht teist nurka nimetatakse alusnurkadeks. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed.

4. Võrdkülgne kolmnurk

Võrdkülhne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti võrdse suurusega 60° = π/3. Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk. Nagu igasse korrapärasesse hulknurka, nii ka võrdkülgsesse kolmnurka joonistatud siseringjoone 4raadius võrdub 5apoteemiga. Võrdkülgse kolmnurga apoteemi pikkus on umbes 0,289 külje pikkust , kus a on külje pikkus. Võrdkülgse kolmnurga ümberringjoone raadius on 2 korda suurem: umbes 0,577 külje pikkust
Võrdkülgse kolmnurga sise- ja ümberringjoone keskpunkt ühtivad, muude kolmnurkade puhul see nii ei ole.

5. Teravnurkne kolmnurk

Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o.

6. Nürinurkne kolmnurk

Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90°. Kolmnurga ABC üks nurk on nürinurk.

7. Erikülgne kolmnurk

Erikülgne kolmnurk on kolmnurk, millel kõik küljed on erineva pikkusega. Erikülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti erineva suurusega.

8. Kolmnurga pindala ja ümermõõt

Kolmnurga pindala on võrdne kolmnurga aluse ja kõrguse poole korrutisega.
Kolmnurga pindala suurus ei sõltu sellest, missugusele küljele kõrgus joonestada .
Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poole korrutisega. Kaatet b on ühtlasi kolmnurga kõrgus h, seetõttu võime valemi kirjutada kujul
Kolmnurga ümbermõõt on kolmnurga külgede pikkuste summa.
P= a + b + c

9. Kolmnurga alus ja kõrgus

Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse.
Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. Vajaduse korral võib kõrguse joonestamiseks kolmnurga alust pikendada (nürinurkse kolmnurga puhul).

10. Kolmnurga alusnurk

Võrdhaarse kolmnurga aluse lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks.
Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed.
Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed.

11. Kolmnurkade omadusi

Kolmnurga nurkade summa on 180°.

Kolmnurga iga kahe külje summa on suurem, kui kolmas külg.

11.1 Võrdhaarse kolmnurga omadused

Võrdhaarne kolmnurk on sümmeetriline haarade ühisest otspunktist joonestatud kõrguse suhtes.

Võrdhaarse kolmnurga kõrgus poolitab tipunurga.

Võrdhaarse kolmnurga kõrgus poolitab aluse.

Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed.

11.2 Võrdkülgse kolmnurga omadused

Iga tippu läbib üks sümmeetriatelg.

Iga kõrgus poolitab aluse ja nurga.

Kõik nurgad on võrdsed.

Kokkuvõte

Selle töö tulemusena saime teada üht- teist kolmnurga kohta. Samuti tuletasime meelde kolmnurga ümbermõõdu ja pindala valemi.
Referaadi käigus tekkisid ka mõned probleemid, kuid need said lahendatud .
Referaadi koostamine oli meie jaoks väga huvitav, sest sellega saime meelde tuletada endale paljusid asju, mis meil meelest olid läinud.
Referaadi koostamisega avardasime hulgaliselt oma silmaringi.

Kasutatud kirjandus

http://matemaatika.edu.ee

http://et.wikipedia.org/wiki/Kolmnurk

Väike Entsüklopeedia, lk 60, 244, 310, 367, 796

Matemaatika käsiraamat V- IX klassile, lk 277

www.google.com
1Geomeetria- on matemaatika haru, mis uurib ruumilisi vahekordi, vorme ja nende üldistusi. Vanim osa on elementaargeomeetria, selle alged tekkisid muistses Egiptuses ja Babüloonias.
(Väike Entsüklopeedia, lk 244)
2kaatet- täisnurkse kolmnurga teravnurga vastaskülg.
(Väike Entsüklopeedia, lk 367)
3hüpotenuus- täisnurkse kolmnurga pikim külg (täisnurga vastaskülg).
(Väike Entsüklopeedia, lk 310)
4raadius- ringjoone või sfääri punkti keskpunktiga ühendav sirglõik; ka selle pikkus.
(Väike Entsüklopeedia, lk 796)
5Apoteem, 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik (ka selle pikkus). - 2. korrapärase püramiiditipust põhiservale tõmmatud ristlõik (ka selle pikkus ehk külgtahu kõrgus)
(Väike Entsüklopeedia, lk 60
18