Et kasutada eelnevat tulemust, defineerime ühe muutuja funktsiooni kujul u(t) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus. := f(x(t)), kus xk(t) := ak + tcos k ja x'k(t) := sk / s2 = cos k. Seega suunatuletis on esitatav kujul df/ds(a) = lim (t->0) (f(a + Vaatame funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) punktis P(x1, . . . , xn). Anname argumendilexj(j1,...,n) muudu xi. Tähistame muutu t(s/s2)-f(a))/t = du/dt(0) = (k=1, n) fxk(a) Sk/s2 = (k=1, n)fxk (a)cosk. (xj)u:=f(x1,...,xj-1,xj +xj,xj+1,...,xn)- f(x1,...,xj-1,xj,xj+1,...,xn) .
F (x,y,z) = 0 = x = x Fz y Fz 2 z 2 z 2 z Teist järku diferentsiaal d z =dx 2 + 2 dxdy + 2 dy 2 2 x 2 xy y u u u u u Suunatuletis = cos + cos + cos = grad u cos s x y z s z z u u u u Gradient grad z = i+ j grad u = i+ j+ k = grad u x y x y z s max
F (x,y,z) = 0 = x = x Fz y Fz 2 z 2 z 2 z Teist järku diferentsiaal d z =dx 2 + 2 dxdy + 2 dy 2 2 x 2 xy y u u u u u Suunatuletis = cos + cos + cos = grad u cos s x y z s z z u u u u Gradient grad z = i+ j grad u = i+ j+ k = grad u x y x y z s max
cos 𝑎𝑘 . Seega suunatuletis on esitatavkujul = (0) = ∑𝑛𝑘=1 𝑓𝑥𝑘 (𝑎) =
· Skalaarvälja gradient olgu u= (x1, x2,...,xm) m-muutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et funktsioonil on olemas kõik osatuletised piirkonnas D. Vektorit grad (P)=( 'x1(P), 'x2(P),..., 'xm(P)) nimetatakse skalaarvälja funktsiooni gradiendiks punktis P. [kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse vektori grad (P), nim.. Skalaarvälja gradientväljaks] · Gradiendi omadused: 1) suunatuletis: Olgu s vektor ruumis Rm Siis kehtib valem ' s (P)= grad (P)·s/|s|. Erijuhul |s|=1 taandub eelnev valem kujule 's (P)= grad (P) · s. 2) tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui s on gradiendisuunaline. Sellisel juhul 's(P)=| grad (P)|. 3) Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja A punkt tema määramispiirkonnas. Vektor grad (A) on funktsiooni nivoopinna normaalvektor punktis A. teiste sõnadega: grad A)
· Skalaarvälja gradient olgu u= (x1, x2,...,xm) m-muutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et funktsioonil on olemas kõik osatuletised piirkonnas D. Vektorit grad (P)=( 'x1(P), 'x2(P),..., 'xm(P)) nimetatakse skalaarvälja funktsiooni gradiendiks punktis P. [kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse vektori grad (P), nim.. Skalaarvälja gradientväljaks] · Gradiendi omadused: 1) suunatuletis: Olgu s vektor ruumis Rm Siis kehtib valem ' s (P)= grad (P)·s/|s|. Erijuhul |s|=1 taandub eelnev valem kujule 's (P)= grad (P) · s. 2) tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui s on gradiendisuunaline. Sellisel juhul 's(P)=| grad (P)|. 3) Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja A punkt tema määramispiirkonnas. Vektor grad (A) on funktsiooni nivoopinna normaalvektor punktis A. teiste sõnadega: grad A)
) ro=(x(to),y(to),z(to)) r(to+t)-r(to)=¤r=(¤x,¤y,¤z) ¤x=x(to+¤t)-x(to) ¤y=y(to+¤t)-y(to) ¤z=z(to+¤t)-z(to) lim(t->0) ¤r/¤t=r*= lim(¤t->0) (¤x/¤t,¤y/¤t,¤z/¤t)=(x*,y*,z*) x*=dx/xt y*=dy/dt z*=dz/dt Puutuja võrrand: (x-xo)/m= (y-yo)/n= (z-zo)/p=t s=(m,n,p) sihivektori koordinaadid (x-xo)/x*(to)= (y-yo)/y*(to)=(z-zo)(z*(to) Tasand, mis läbib punkti M on risti puutujaga, on normaaltasand: x*(to)(x-xo)-y*(to)(y-yo)+z*(to)(z-zo)=0 10. Skalaarväli. Funktsiooni suunatuletis (Margus) 11. Skalaarvälja gradient Funktsiooni gradiendi mõiste ja omadused Olgu u=f(x,y,z) kolmemuutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et osatuletised f'x, f'y ja f'z eksisteerivad piirkonnas D. Vektorit gradf(P)=(f'x(P),f'y(P),f'z(P)) nimetatakse skalaarvälja f gradiendiks punktis P. gradf ( P ) × s
- =2· -2· =0 s2 2 2 25 Seega, l¨ahtudes u¨hest ja samast punktist xy-tasandil saame erinevas suu- nas liikudes erinevad suunatuletiste v¨a¨artused. Suunatuletise v¨a¨artus iseloo- mustab funktsiooni kasvukiirust l¨ahtudes antud punktist etteantud suunas. ¨ldistuseks. Kui vektor - Suunatuletis on osatuletiste x ja y j¨argi u s on x telje suunaline, siis = 0, = , cos = 1 ja cos = 0 ning 2 z z - = . s x Kui vektor - s on y telje suunaline, siis = , = 0, cos = 0 ja cos = 1
annaabi.ee 
