57rad 45°= 45°* /180° =/4 rad = 0.785rad Joonkiirus näitab ringliikumisel ajaühikus läbitud teepikkust. Valem: v= s/t v Kiirus(1 m/s) s teepikkus(1m) t aeg(1s) Nurkkiirus näitab ajaühikus läbitud pöördenurka. Valem: = /t ; = l/r. Nukkiiruse seos joon kiirusega avaldub valemiga. = v/r Näidis ülesanne 1)Arvuti kõvaketas teeb ühe pöörde 20 ms jooksul arvuta nurkkiirus. Kuna üks pööre on 360° siis = 360°=2rad=6.28rad. Kuna aeg peab olema sekundites siis teisendame 20ms sekunditeks, mis on t=0,02s ja vormistame ülesande järgmiselt Andmed: =360°=2rad=6,28rad. t =20ms=0,02s. =? = /t = 6,28/0,02=314(rad/s) Vastus: 314rad/s 2) Jalgratta ratas raadiusega 25 cm pöörleb nurkkiirusega 10 rad/s. Milline on ratta äärmiste punktide joon kiirus? Kui kiiresti liigub jalgratas edasi? Kuna raadius peab olema meetrites siis teisendame 25cm meetriteks mis on r = 25cm = 0,25m Andmed: r = 25cm = 0,25m = 10rad/s v=? v=r* v=0,25*10=2,5(m/s)
Seoseks, mis viib eeldusest järelduseni saab kasutada lausearvutust. Nimelt võib ülaltoodud arutluse esitada ühe lausearvutuse valemina kujul: E1&E2&...&En J Kui nüüd sellise lause tõeväärtustabel on samaselt tõene, siis võime öelda, et järeldus J järeldub eeldustest E1 ... En. Näide 1. Kui Marile meeldib Jüri, siis Mari naeratab Jürile. Marile meeldib Jüri. Mari naeratab Jürile. Teisendame arutluse lausearvutuse kujule MN M N Ja esitame selle ühe avaldisega: (MN)&MN. 1. 2. 3. M N (M N) & M N 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 Järelikult nimetatud arutlus kehtib. Näide 2. Kui Marile meeldib Jüri, siis Mari naeratab Jürile. Mari naeratab Jürile. Marile meeldib Jüri.
järeldus. Seoseks, mis viib eeldusest järeldumiseni saab kasutada lausearvutust. Nimelt võib ülaltoodud arutluse esitada ühe lausearvutuse valemina kujul: E1&E2&…&EnJ Kui nüüdselliselause tõeväärtustabel on samaselt tõene, siis võime öelda, et järeldus J järeldub eeldustest E1 … En Näide1. Kui Marile meeldib Jüri, siis Mari naeratab Jürile. Marile meeldib Jüri.__________________________ Mari naeratab Jürile. Teisendame arutluse lausearvutuse kujule MN M____ N Ja esitame selle ühe avaldisega: (MN)&MN. 1. 2. 3. M N (M N) & M N 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 Järelikult nemetatud arutlus kehtib. Näide2. Kui Marile meeldib Jüri, siis Mari naeratab Jürile Mari naeratab Jürile._______________________ Marile meeldib Jüri.
vertikaalsel liikumisel. Töövahendid: stopper, joonlaud. Töö käik: algul tuleb mõõta oma sammu kõrgus ja seejärel jalutada mööda koridori teatud kindel arv samme, samal ajal peab mõõtma ka aega. Hiljem tõuseme kindla arvu trepiastmeid mööda üles ning võtame aega. Enesele on võrdlemiseks kasulikum kui trepiastmete arv ja sammude arv horisontaali pidi liikudes on täpselt sama. Kõige lõpuks teisendame kaloriteks, kuna toiduainete etikettidel on E energiasisaldus kalorites, mitte W vattides. Horisontaalne liikumine h0 - kui kõrgele tõstate jalutades jalgu t aeg m Teie mass g raskuskiirendus A töö N - võimsus h0 = 0,08 m A = m g ho t = 10 sek A = 68 9,8 0,08= 53,312 J g = 9,8 m/s2 Akogu = n A m = 68 kg Akogu = 53,312 10 = 533,12 J
Ruumilised kehad: RISTTAHUKAS 1. Ristkülikukujulise ristlõikega kanalisatsioonikraavi põhja laius on 50 cm, sügavus 180 cm. Kraavi pikkus on 42 m. Mitu kuupmeetrit pinnast tuli selle kraavi kaevamisel välja võtta? Lahendus: Peame arvutama kraavi ruumala V = S p H . Kõigepealt teisendame: 180 cm = 1,8 m; 50 cm = 0,5 m. V = 42 0,5 1,8 = 37,8 m3 Vastus: Kraavi kaevamiseks tuli kaevata 37,8 m3 pinnast. 2. Mitu töölist kaevab 6 tunniga ristkülikukujulise lõikega kraavi, mille laius on 50 cm, sügavus 1 m 20 cm ja pikkus 30 m, kui üks tööline kaevab tunnis välja 0,75 m3? Lahendus: Teisendame: 50 cm = 0,5 m; 1 m 20 cm = 1,2 m. Leiame kraavi ruumala V = S p H . Saame V = 30 0,5 1,2 = 18 m 3 .
i t x2 = x¯1 x2 x1 x¯2 t x1 abil. s 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 n Teisendame võrduse vasakut poolt: I x(y z ) = x ( ¯y z y ¯z ) = x ¯y z x y ¯z Teisendame võrduse paremat poolt: __ __ xy xz = x y x z x y x z = (x¯ ¯y ) x z x y (x ¯ ¯z ) = = x¯ x z ¯y x z x y x¯ x y ¯z = x ¯y z x y ¯z
Tulemusi jälgin tabeli ja graafiku kujul. Katseid sooritasin destilleeritud veega ja juhendaja poolt antud uuritava lahusega. Valemid Raoult'i II seadusest saame avaldise molaarmassi leidmiseks: Raoult'i seadus: Mittelenduva aine lahjendatud lahuse aururõhk p on võrdne lahusti aururõhuga lahuse kohal. Kus: lahusti moolimurd lahuses. Lähme üle lahustunud aine kontsentratsioonile: Teisendame: Asendades selle Clapeyron-Clausiuse võrrandisse ja tehes lihtsustuse , saame võrrandi: Selle teisendus: Teisendades moolimurru molaalsuseks: Siin asendame: ja Seega: Aururõhu suhteline langus on võrdne lahustunud aine moolimurruga lahuses. Lahustunud aine molaarmassi leidmiseks on vaja teada aururõhu langust. Sageli kasutatakse selle asemel lahuse keemistäpi tõusu või külmumistäpi langust. Lahjendatud lahuse külmumistemperatuuri
Valemid 1) am*an=am+n 2) am:an=am-n 3) (an)m=anm 4) (a*b)n=an*bn 5) (a:b)n=an:bn 6) a-n=1/an 7) ruutjuur a-st on sama, mis a astmes ½ I Võrrandi teisendamine võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed. Näide 1. Lahendame võrrandi 9x+5=81. Teisendame mõlemad pooled arvu 3 astmeteks: (32)x+5=34 32x+10=34 Ühe ja sama arvu astmed on võrdsed vaid siis, kui kui astendajad on võrdsed, järelikult 2x+10=4 2x=-6 x=-3 Kontroll: 9-3+5= 92=81 II Võrrandid, mis peale teisendusi muutuvad I tüüpi võrranditeks. Eraldi tüübina on esitatud need ülesanded sellepärast, et selliste ülesannete lahendamisel tehakse sageli vigu. Seetõttu oleks vaja eriti hoolsalt näited läbi mõelda. Näide 1. Lahendame võrrandi 3x+1+3x = 108
Vastus. On samaväärsed. Tähistagu: A Ants on Jüri isa B Ants on Mari isa C Jüri on Mari vend D Mari on Jüri õde E Anne on Antsu ema F Anne on Jüri vanaema 1. Olgu teada, et 1) Kui Anne on Jüri vanaema, siis on Ants Mari isa ja Mari on Jüri õde. 2) Kui Ants ei ole Jüri isa, siis ei ole Ants ka Mari isa. 3) Ants ei ole Jüri isa. Kas on võimalik, et Anne on Jüri vanaema. Lahendus. Teisendame ülaltoodud väited lausearvutuse keelde. (1) F B & D (2) ¬A ¬B (3) ¬A (4) F (hüpotees) (5) ¬B (2) ja (3), MP (6) B & D (4) ja (1), MP (7) B (6), Simp (8) Vastuolu (5) ja (7) vahel. Vastus. Ei ole võimalik.
Kui suur on pingega ja pöördvõrdeline lõigu takistusega releemähise takistus? 1. Avaldame Ohmi seadusest I=U/R Valem: I:U/R takistuse: R=U/I. 2. Teisendame voolutugevuse ampritesse: I=50 mA=(50/1000) A=0,05 A. 3. Arvutame takistuse: R=U/I=12 V / 0,05 A=240 Ω. Elektrivoolu toimel juhis eraldunud oojus Joule’ - Lenzi
T5 T4 T3 T2 T1 Trigerid 16 8 4 2 1 2 astmes 0-3 1 0 0 1 0 Arv 2nd süsteemis Kuna minu skeemil on tegemist 19nd loenduriga (st loendur loendab 0st 12ni) siis teisendame kümnendsüsteemist arvu 19 kahendsüsteemi. Vastavalt tabeli järgi saame 10010 (19=18+1). Joonis 3. Analüsaatori sisu. Järeldus Trigerid nullitakse kui loendur on lugenud 19 ühikut (0-12) ehk 2 nd süsteemis 10010 ja 16nd süsteemis 12, ehk kui indikaator kuvab näidu ,,12" siis süsteem teeb restardi ja loendamine hakkab jälle ,,0"st pihta.
1. Laengu, voolutug ja pinge perioodilisi muutumisi nim elektromag.võnkumisteks(nt.vahelduvvool).Kõige lihtsam on tekitada el.mag. võnkumisi kasutades võnkeringi. 2. Võnkering on lihtsaim süsteem, milles võib tekkida elektromagnetiline vabavõnkumine. Koosneb omavahel ühendatud kondensaatorist ja induktiivpoolist.+skeem 3. Võnkumised võnkeringis: I-kuna kondensaatori plaadid on otseühenduses läbi pooli, algab kondendaatori tühjenemine. II-kuna tühjenemisvool muutub ajas, siis tekib poolis, millel on suur induktiivsus, eneseind.vool, mis püüab tühjenemist takistada. III-eneseind.vool laeb kondensaatori, nüüd aga vastupidiselt. IV-tekib tühjenemisvool I ja kogu protsess hakkab korduma ehk võnkeringis tekivad el.mag. võnkumised. 4. Thompsoni valem:Reaalselt on võnkeringil juhtmete takistus ja seetõttu võnkumised sumbuvad. Ideaalse võnkeringi korral saab leida võnkumise perioodi valemiga: T=2LC (L- induktiivsus/H; C-mahtuvus/F) 5. Teatud põh...
Lahendus: 3 5. Leia funktsiooni s 5t 4 t 2 tuletis. t Lahendus: 6. Leia funktsiooni f x x4 x tuletis kohal x = 0,01. Lahendus: 6x 2 7. On antud funktsioon f x . Leia f ’(27). 53 x Lahendus: Teisendame antud funktsiooni järgmiselt: Tööd asuvad aadressil www.kool.ee 1 1 5 6x 2 6 2 3 6 23 6 3 f x x x x x . 53 x 5 5 5 Leiame nüüd tuletise ning nüüd tuletise väärtuse kohal 27. Saame Vastus: f ‘(27) = 18 8
Näide 1. Lahendada võrrand : x5 = 4x3. Lahendus. Toome kõik liikmed vasakule : x5 - 4x3 = 0 Toome ühise kordaja x3 sulgude ette: x3(x2 4) = 0 Korrutis võrdub nulliga, kui kordajatest on null: x3 = 0 või x2 4 = 0 Lahendades, saame : x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2. Näide 2. Lahendada võrrand x3 - 3x2 = 2x 6. Lahendus .Toome võrrandi kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki ja teisendame siis selle poole korrutiseks: x3 - 3x2 - 2x + 6 = 0; x2(x 3) -2(x 3) = 0; (x 3)(x2 2) = 0; Saame kaks võrrandit x 3 = 0 ja x2 2 = 0, millest leiame antud võrrandi lahendid: x1 = 3, x2 = 2 , x3 = - 2 . Näide 3. Lahendada võrrand 4x4 - 37x2 + 9 = 0. Lahendus. Lahendamiseks kasutame abimuutujat x2 = t .
nimiandmetega Un=220V ; nn=1000 p/min b)Korduvlühiajaliseks reziimiks ettenähtud seeria MTH faasirootoriga asünkroonmootor sünkroonpöörlemissagedusega 1000 p/min T1 , t1 , T2 , t2 , T3 , t3 , T4 , t4 , T5 , t5 , t6,s t7,s to,s N*m s N*m s N*m s N*m s N*m s 160 4 80 2 40 10 70 60 60 5 20 4 280 1.Teisendame koormusdiagrammi ristkülikuteks. => =122N*m Tt,2= =106 N*m Tt,5= Tt,7= Tt,7= 1 Teisendatud koormusdiagramm näeb välja selline T1 , t1, s T2, t2 , T3, t3 , T4, t4 , T5, t5 , T6, t6 , T7 , t7, t0,s N*m N*m s N*m s N*m s N*m s N*m s N*m s
F=? Me asendasime raskusjõu valemis massi neiu ja kelgu p=? massi summaga. Nüüd kasutame rõhu valemit Paneme jõu asemel raskusjõu väärtuse, samamoodi teeme ka pindalaga. 2. Vastus: kelgu rõhk koos neiuga maapinnale on ligikaudu 1421 Pa. 3. Leia 50 kg noormehe rõhk maapinnale, kui tema kingataldade pindala on 290 cm2. Lahendus: Ülesande lahendamisel teisendame 290 cm2 ruutmeetriteks ning kasutame rõhu arvutamise valemit ning raskusjõu valemit F = mg. Andmed: Lahendus: S = 290 cm2 = Kasutame kahte valemit. 0,029 m2 Algul arvutame välja noormehe raskusjõu, kasutades g = 9,8 N/kg raskusjõu valemit : F=? p=? Nüüd kasutame rõhu valemit 4. Vastus: noormehe rõhk maapinnale on ümardatult 16896 Pa Kasutatud allikad: http://www.online
Millised on rööpahelas kõik voolud? Joonistage selle ahela elektriskeem ja tähistage kõik voolud. Lahendage see ülesanne uuesti kui takistite väärtuseks on R = 0,4 . LOENGUL ANTUD KODUÜLESANDED ELUOHTLIKUD OLUKORRAD Näide: inimene vasakul. Ligikaudsel hindamisel võime vaadata 3 allikat, mis kutsuvad esile voolud kolmes suletud kontuuris. Sellisest arvutusest piisab! KODUÜLESANDE JÄRG Täpne arvutus aseskeemi alusel. Teisendame rindke- re juures takistuskolmnurga täheks (vt p 2.7). Uue kolmnurga veelkord täheks. Asendame jada- ja rööplülituses olevad ekvivalenttakistitega. Leiame voolud ja potentsiaalilangu 2 oomisel takistil KODUÜLESANNE 3 Arvutada eluohtlikku olukorda sattunud inimest läbivate voolude suurused eeltoodud jooniste andmete alusel. Lihtsustatud arvutus teostada kahel juhul: esiteks, kui inimene paikneb takisti maandusepool- ses otsas ja puudutab parema käega takistit ja
Tartu 2017 PRAKTIKUM NR 1: NURKADE TEISENDAMINE KUUEKÜMNEDSÜSTEEMI JA VASTUPIDI EXCELIS Kasutatud töövahendid: Töö vormistamisel on kasutatud arvutis olevaid programme: Morzilla Firefox, Microsoft Word, Paint ja Excel. Töö teostamisel on kasutatud internetiühendusega arvutit ja kalkulaatorit. Töö eesmärk: Antud praktilise töö eesmärgiks on tutvuda Execeli erinevate võimalustega. Selle käigus rombi arvutamine, nurkade teisendame nii kuuekümnendsüsteemi kui ka kümnendsüsteemi. Töö käigus õppin paremini kasutama Excelit. 1. Ülesande eesmärk oli nurk arvutada kümnendsüsteemi. Selleks kasutasin valemit kümnendsüsteemis = Kraad+Minut/60+Sekund/3600 Näide: kümnendsüsteemis = 58+55/60+26/3600 = 58,92388889 kraadi Joonis 1.1 Nurk kümnendsüsteemi 2. Ülesande eesmärk on arvutada MS Exceli vahendusel nurk kuuekümnendsüsteemi. Kraad = INT(kümnendsüsteemi arv)
1. Kuidas liidetakse harilikke murdusid? Kõigepealt teisendatakse murrud ühenimelisteks. Harilike murdude liitmisel liidetakse murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. (Liigmurrud teisendame segaarvuks juhul, kui vastuseks on liigmurd.) 2. Kuidas korrutada harilikke murdusid? Harilike murdude korrutamisel korrutame lugeja lugejaga ning nimetaja nimetajaga. 3. Kuidas jagada harilikke murdusid? Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. 4. Kuidas teisendada segaarv kümnendmurruks? Selleks tuleb segaarv teisendada liigmurruks (nimetaja * täisosa + lugeja) ning seejärel teisendada liigmurd kümnendmurruks (lugeja / nimetaja) 5
NÄIDE: a/b c/d = a c / b d (korruta alumised ja ülemised omavahel, kui vaja, siis taanda) ; (a on nimetaja ja b on lugeja) 10. Murru jagamiseks naturaalarvuga korrutame murru naturaalarvu pöördarvuga või, kui võimalik, jagame murru lugeja naturaalarvuga. 11.Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. NÄIDE: a/b c/d = a d / b c (kui aru ei saa, vaata 9 lauset) 12.Segaarvude jagamisel teisendame esmalt segaarvud liigmurdudeks ning seejärel jagame. 13.Terviku leidmiseks jagame osale vastava arvu osamääraga. Protsendid ja murrud Kui 1% = 1/10 (/=murrujoon) = 0,01, siis 2% = 2/100 = 0,02 ; 12% = 12/100 = 0,12 jne .. 1,25 = 125/100 = 125% 1. Selleks, et teada saada, mitu protsenti moodustab üks arv teisest, jagame esimese arvu teisega ja avaldame tulemuse protsentides. Positiivsed ja negatiivsed arvud 1
2x2 3x = 0 x(2x 3) = 0 x = 0 või 2x 3 = 0 2x = 3 : 2 x = 1,5 x1 = 0 ja x2 = 1,5 Näide 12. 5x2 = 0 on mittetäielik ruutvõrrand, milles puuduvad nii lineaarliige kui ka vabaliige. 5x2 = 0 : 5 x2 = 0 x1 = x2 = 0 Sageli tuleb võrrandit lihtsustada ja teisendada normaalkujule. Näide 13. Võrrandi 9x + x2 = 14 lahendamiseks teisendame võrrandi normaalkujuliseks. Selleks viime 14 võrrandi vasakule poolele ja muudame liikmete järjekorda nii, et esimesena on ruutliige (x2-ga liige), teisena lineaarliige (x-ga liige) ja viimasena vabaliige. Võrrandi paremal poolel on 0. Peame meeles, et üleviidava liikme märk muutub vastupidiseks. Saame võrrandi x2 + 9x + 14 = 0. Lahenda see võrrand. Näide 14. Lahendame võrrandi 3x(x+2) + 9 = (x - 1)2. Avame sulud
x−4 96 Kuna Maaly töötas 2 päeva vähem, siis murd on 2 võrra väiksem murrust x 96 , seega x−4 96 96 lahendame võrrandi +2= . x x−4 Selleks teisendame võrrandi vasakut poolt ja seejärel kasutame võrde põhiomadust: 96 + 2 x 96 = , x x−4 (96 + 2 x )( x − 4) = 96 x, 96 x − 384 + 2 x 2 − 8 x = 96 x, 2 x 2 − 8 x − 384 = 0, x 2 − 4 x − 192 = 0. Selle võrrandi lahenditeks on 16 ja (–12). Teine lahend ei sobi ülesande tingimuste tõttu, sest pole võimalik krohvida –12 m2 pinda. Kui Maaly krohvib päevas 16 m2, siis kogu töö tegemiseks kulub 96 : 16 = 6 päeva; Juuly krohvib
Kontrollida tulemusi korrutamise teel. Kahendsüsteemi seos kaheksandsüsteemi ja kuueteistkümnend- süsteemiga Arvude teisendamine ühest arvusüsteemist teise osutub eriti lihtsaks, kui ühe arvusüsteemi alus on teise arvusüsteemi aluse täisaste. Selline seos valitseb kahend- ja kaheksandsüsteemi ja kahend- ja kuueteistkümnendsüsteemi vahel, sest: 8 = 23 ja 16 = 24 a8 a2 Teisendame kaheksandsüsteemi arvu 111100010101102. 0 000 Selleks rühmitame numbrid kolmekaupa alustades paremalt: jne 1 001 2 010 111100010101102 = 361268 3 011 4 100 Kõrvalolevast tabelist leiame neile numbrikolmikutele- kahendarvudele 5 101 vastavad kaheksandarvud ja kirjutame need vastuses vastavale kohale.
põikarmeerimistegur A Sw 111 w = = = 0,0028 > 0,0014 s × b w 200 × 200 valin rangid Ø 10, ASw = 157 mm² 8 / 10 4. Peatala dimensioneerimine koormus abitalalt: P1 = (0,6 * 6 + 0,5 * 6) * 33,3 kN/m = 219,8 kN normatiivne omakaal: gk = 0,5 m * ( 0,8 0,1) m * 25 kN/m³ = 8,75 kN/m arvutuslik omakaal: gd = 1,2 * 8,75 kN/m = 10,5 kN/m teisendame abitalade juures mõjuvad punktkoormused joonkoormuseks: 3 × P1 3 × 219,8 RA = = = 329,7kN 2 2 moment tala keskel: Mkeskel = RA * l/2 P1 * 1,75 = 329,7 * 3,5 219,8 * 1,75 = 769,3 kN*m teisendatud jaotatud koormus: q×l2 8 × M 8 × 769,3 M = q= 2 = = 125,6kN / m 8 l 72 q = gd + M = 10,5 + 125,6 = 136,1 kN/m leian toemomendi: Mb = 0,125 * q * l² = 0,125 * 136,1 * 49 = 833,6 kN*m
685 760 (bit) Vastus: Kogu andmetele edastav aeg = 685 760 (bit) / 9600 (bit/s) 71,43 (s) 4 Telefonis kuluv võimsus Lähteülesanne: IEEE 802.11 liidese (WiFi) ülekandekiirus on 54 Mbit/s, kanali ribalaius on 20 MHz. Signaali võimsus vastuvõtja sisendis on 0dBm, kui suur on müra võimsus? Lahenduskäik: R edastuskiirus = 54 Mbit/s W - sagedusriba laius = 20 MHz S signaali võimsus = 0dBm Teisendus R = W log2 (1+S/N) -> log2 (1+S/N) = R/W (järgnevalt teisendame normaalkujule) -> 2R/W = 1 + S / N -> 2R/W 1 = S / N (jagan S-ga) -> (2R/W 1) / S = 1 / N (astmes -1) -> N = S / (2R/W 1) Vastus: Kuna signaali võimsus vastuvõtja sisendis on 0 ehk sämple on 0, siis on ka müra koheselt 0, sest 0 jagatud mingi arvuga on alati 0. 5 Diskreetimine Lähteülesanne: IP telefoniga üle kantava kõne maksimaalne sagedus on 3,4 kHz. Vähemalt millise sagedusega peab kõnesignaali digitaliseerimisel diskreetima?
selle avaldise täpse väärtuse arvutamist, siis tuleb reeglina teisendada kümnendmurrud harilikeks murdudeks. Kui tehte mõlemad liikmed on kümnendmurrud, siis võib selle tehte sooritada ka kümnendmurdudega. Näide 1 3 Arvutame avaldise 1 + 0,45 täpse väärtuse. 8 9 Lahendus 45 9 1) teisendame kümnendmurru 0,45 harilikuks murruks: 0,45 = = . 100 20 2) teostame liitmistehte 20 3 5 9 2 15 + 18 33 1 + 0,45 = 1 + = 1 + + = 1 + 3 3 9 3 9 + =1 =1 8 8 20 8 20 8 5 20 2 40 40
t. b 2 ( x) f ( x, y )dy dx .Tõestus. Jaotame piirkonna D koordinaat D f ( x , y ) dxdy = a ( x ) 1 telgedega paralleelsete sirgete abil n regulaarseks (täisnurkseks) piirkonnaks n s1 , s 2 ,...s n . Omasuse 1 põhjal: I D = I s1 + I 2 + ... + I sn = I si (2). Teisendame i =1 seda summat, rakendades iga liidetava suhtes kaksikintegraali kohta käivat keskväärtuse teoreemi I si = f ( Pi )s i . Võrdus (2) saab kuju n I d = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i , (3) kus Pi i =1 on osapiirkonna si mingi punkt
Laiendatud murd kirjutatakse antud murru ja võrdusmärgi järele. Murru laiendamist saab kontrollida taandamisega. Taandamine ja laiendamine on teineteise pöördteisendused. Murdu laiendades saab erinevate nimetajatega murrud asendada selliste murdududega, mille nimetajad on võrdsed. Sellisel juhul öeldakse, et erinimelised murrud teisendatakse ühenimelisteks. 1 5 Näide: Teisendame ühenimeliseks murrud ja . 4 6 Selleks peab kõigepealt leidma ühise nimetaja, milleni on vaja mõlemat murdu laiendada. Kuna laiendaja leitakse uue nimetaja ja endise nimetaja jagamise teel, peab otsitav ühine nimetaja jaguma antud murdude nimetajatega. Ehk siis: Murdude ühine nimetaja on antud murdude nimetajate ühiskordne. 4 ja 6 ühiskordseteks on näiteks 12, 24, 36, 48, ....
Nm Nm Nm Nm Nm 65 25 35 40 50 30 25 35 15 90 LAHENDUS. Ekvivalentne moment 12 1 + 22 2 + 32 3 + 42 4 + 52 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 652 30 + 252 25 + 352 35 + 402 15 + 502 90 = = 47,2 30 + 25 + 35 + 15 + 90 Teisendame pöörlemissageduse nurkkiiruseks 1 = 30 1000 1 = = 105 -1 30 Mootori valikul on momendi tingimuseks Leiame arvutusliku võimsuse = 1 = 47,2 × 105 = 4,96 võimsuse tingimuseks on Valime tabelist mootori 4A132S6 nimivõimsusega 5,5 kW ja niminurkkiirusega 101 s-1 ning arvutame nimimomendi 5500 = = 54,5 × 101 Kontrollime mootori valiku tingimuse täitmist : 54,5 > 47,2.
IM=UM/XC, XC1/C kus -ringisagedus, C-mahtuvus. Võimsus vahelduvvooluahelas Hetkvõimsus vahelduvvooluahelas avalduv valemiga:p=ui Kui pinge vooluahelate otstel muutub harmooniliselt u=UMcost, siis muutub ka voolutugevus ajas sama sagedusega, kuid ta on üldjuhul pinge suhtes faasis nihutatud: i=IMcos(t+), kus on faasinihe. Hetkvõimsuse jaoks võib seega kirjutada:p=ui= IMUMcost*cos(t+). Võimsus muutub seejuures ajas nii suuruselt kui märgilt. Keskmise võimsuse leidmiseks ühes perioodis teisendame valemit selliselt, et eraldame ajast sõltumatud liikmed, kasutatdes koosinuste korrutise valemit: coscos=1/2cos(-) +cos(+), uuritaval juhul on =t ja =(t+). Seega p=(IMUM/2) (cos+cos(2t+))= (IMUM/2)cos+(IMUM/2) cos(2t+). Teise liidetava keskmine väärtus perioodi jooksul on 0. Ühe perioodi keskmine võimsus võrdub järelikult esimese, aega mittesisaldava liidetavaga p= (IMUM/2)cos Minnes üle voolutugevuse ja pinge efektiivväärtusele, saame p= IM/2*UM/2cos=UIcos cos nim. võimsusteguriks
Näited Lihtmurrud: , , , . 13 3 4 16 5 4 100 1 Liigmurrud: , , , . 3 2 12 1 Iga liigmurru saab teisendada segaarvuks, teostades jäägiga jagamise tehte lugeja ja nimetaja vahel. Täisarvuline jagatis on segaarvu täisosa, jääk on murdosa lugeja. Näide Teisendame liigmurru 63 segamurruks. 12 Lahendus 63 :12 = 5, jääk 3. 63 3 3 Seega = 5+ = 5 12 12 12 Ühe- ja erinimelised murrud Murde nimetatakse ühenimelisteks, kui nendel on ühesugused nimetajad, vastasel korral ise- ehk erinimelisteks. Näited 1 3 2 Murrud , , on ühenimelised. 3 3 3 1 3 2
mittelineaarsesse võrrandisse ja lahendame saadud ruutvõrrandi. Teise tundmatu väärtuse saame siis juba avaldada teisest (lineaarsest) võrrandist. Avaldame süsteemi teisest võrrandist tundmatu y: x + y = 11 y = 11 - x. Asendame esimeses võrrandis tundmatu y äsjasaadud avaldisega: x y = 30 x (11 - x) = 30. Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub ... Saime tundmatu x määramiseks ruutvõrrandi, mille lahendamiseks teisendame ta esmalt sobivale kujule: x (11 - x) = 30 11x - x = 30 11x - x - 30 = 0 2 2 x 2 - 11x + 30 = 0. Kasutame taandatud ruutvõrrandi lahendivalemit: 11 112 11 121 11 121 - 120 x= ± - 30 = ± - 30 = ± = 2 4 2 4 2 4 11 1 11 1 11 1 12 11 1 10 = ± = ± x1 = + = = 6, x2 = - = = 5. 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2
©¨4 x y 2 z 12 © 7 y 10 z 44 ©¨ 15z 45 ¨ Vastus: Võrrandisüsteemi lahend on x = 4; y = 3 ja z = 2. II 2I 5III 7II III 4I Lineaarvõrrandisüsteeme võib lahendada ka nii, et teisendame süsteemi võrran- Kirjutis II 2I tähendab, et teisest võrrandist lahutame kahekordse esimese deid selliselt, et saaksime rakendada liitmisvõtet. Niiviisi vabaneme järk-järgult võrrandi. tundmatutest, kuni jääb alles ühe tundmatuga lineaarvõrrand. Viimasest võrrandist saame, et z = 3. Teise võrrandi teisendame kujule Näide: Lahendame lineaarvõrrandisüsteemi y z 5
( A1q1+A2q2+A3)( A1q1+B2q2+B3)=0 järelikult oleme saanud w võrrandi. 3. (t. 3.25)Ellipsi (hüperbooli) iga punkt Me (Mh) korral ri(M)/d(M,li)=e , i=1,2,... Kus ri(M) on punkti M fokaalraadius|FiM| ja d(M,li) on punkti M kaugus juhtsirgeni li tõestus: Olgu antud ellips(hüperbool) oma kanoonilise võrrandiga ja olgu M(m1,m2) mingi punkt sellele ellipsil (hüperboolil). Siis punkti M fokaalraadiused avalduvad kujul r1(M)=|em1+a|, r2(M)=| em1-a|. Juhtsirge võrrandid teisendame sirge üldvõrrandiks: l1: x1+a/e ,l2=x1-a/e. Vastavalt valemile punkti P(p1,p2) kauguse leidmiseks sirgest s: A1x1+B2x2+C3=0 tasandil d(P,s)= | A1p1+B2p2+C3|/(A2+B2), saame 1) d(M, l1)=|m1+a/e|/(12+02)=| m1+a/e | =|1/e *em1+1/e *a| = 1/e *|em1 +a| 2) d(M, l2)= |m1-a/e|/ (12+02)= | m1+a/e | = |1/e *em1-1/e *a| = 1/e *|em1 -a|. Näeme, et r1(M)/d(M,l1)= |em1 +a| / (1/e* |em1 +a|) = e = |em1 -a| / (1/e *|em1 -a|)= r2(M)/d(M,l2). 4. (t. 4
[0 + = + 0] Lemma 2.2 (induktsiooni samm) [[ + = + ] [ + = + ]] Baaslemma [0 + = + 0] tõestus Tõestame induktsiooniga y järgi: Lemma 2.1.1. 0 + 0 = 0 + 0. Selle lemma kehtimine on ilmne. Lemma 2.1.2. [0 + = + 0 0 + = + 0]. Selle üldisuse kvantoriga valemi tõestamiseks tähistagu suvalist naturaalarvu. Piisab, kui tõestame 0 + = + 0 0 + = + 0. (*) Olgu implikatsiooni vasak pool 0 + = + 0 tõene. Meil on vaja tõestada, et kehtib 0 + = + 0. Teisendame selle võrduse vasakut poolt aksioome ja implikatsiooni vasakut poolt kasutades: 0 + = (0 + ) = ( + 0) = = + 0 Sellega on lemma 2.1.2 ja ka kogu lemma 2.1 tõestatud. . õ Peame tõestama üldisuse kvantoriga väite. Tähistagu suvalist naturaalarvu. Asendades asemele , saame, et tuleb tõestada [ [ + = + ] [ + = + ] . Selle implikatsiooni tõestamiseks eeldame, et kehtib tema vasak pool [ + = + ] (**). Näitame, et siis ka parem pool [ + = + ] on tõene.
1- x - y y' = x- y 13 Näide x( x 2 + 1) Ülesanne Leida funktsiooni y = 3 tuletis. ( x - 1) 2 x( x 2 + 1) 1 1 2 - Lahendus. Teisendame y=3 = x ( x + 1) ( x - 1) 3 3 2 3 ( x - 1) 2 1 1 2 - Logaritmime ln y = ln x ( x + 1) ( x - 1) 3 2 3 3 1 1 2 Lihtsustame ln y = ln x + ln( x 2 + 1) - ln x - 1
Arvuta mõõtmiste standardhälbed eeldades, et instrumendi suunamõõtmise σ DIN täpsus on 5’’, joonemõõtmise täpsus on (a+b) 5 mm+5ppm, instrumendi- ja tähise tsentreerimise vead on vastavalt 3 mm ja 10 mm. Koosta mõõtmiste kovariatsioonimaatriks ja kaalumaatriks. 5 Joonis 1. Ülesande lähteandmed ja kasutatavad valemid. Ülesande lahendamiseks teisendame kõigepealt antud joonepikkused millimeetritesse. Valemites esineva ρ väärtuseks on 206265’’. Esmalt leiame mõõdetud nurkade standardhälbed suunamise- ja lugemise võtmise veast tingitult. Et joonepikkused ja nurgad on mõõdetud 1 kord, siis saame valemis n=1. Kõik arvutustulemused on esitatud tabelis 8. Järgnevalt arvutame nurkade standardhälbed tähise tsentreerimise veast tingitult. Nurga
järgida järgmist valemit ¿ ¿ ¿ s 1,2= √¿ 2. Mõõtkavade teisendused, ühikute (mm; cm, dm) teisendused. (Laboratoosed tööd nr 1 ja 3) Horisontaalprojektsiooni mõõtmine kaardilt ja teisendamine loodusesse. Mõõdame kahe punkti vahelise kauguse kaardil ja teisendame selle looduses olevaks vahemaaks - Nt kui kahe kauguse vahe kaardil on 5,1cm ja kaardi mõõtkava on 1:20000, siis 5,1cm kaardil = 102 000 cm =1 020 000mm= 1020m = 1,02km looduses. 3. Horisontaalide järgi punktide kõrguste määramine. Joone kalde arvutamine (kraadides kuuekümnendsüsteemis, protsentides ja promillides). Joone pikiprofiili koostamine kui ette on antud kõrguste ja kauguste mõõtkava
5 0 1 0 1 (1+0)*(0+0)*(1+1)*(0+0+1+1)=1*0*1*1 0 10 1 0 1 0 (0+1)*(1+1)*(0+0)*(1+1+0+0)=1*1*0*1 0 13 1 1 0 1 (0+0)*(0+0)*(0+1)*(1+0+1+1)=0*0*1*1 0 MDNK ja MKNK ei ole teineteisega võrdsed. 7. MDNK minimaalseima keerukusega loogikaskeem (AND, OR, NOT) Avaldise keerukuse vähendamiseks teisendame MDNK mittenormaalkujuliseks lihtsamaks loogikaavaldiseks. f D x2 x3 x1 x3 x4 x1 x2 x3 x1 x2 x4 x2 ( x3 x1 x4 ) x1 ( x3 ( x4 x2 )) MDNK: 5 6 8. MKNK minimaalseima keerukusega loogikaskeem (AND, OR, NOT) MKNK:
kitsendused, mis piiravad otsuse tegemist; antud juhul on nendeks probleemi kirjelduse põhjal moodustatud võrratused Kitsendused otsustusmuutujatele: vaatleme ainult selliseid otsustusmuutujate väärtusi, mille korral neil muutujatel on mõtet; antud juhul muidugi 6. Milline on lineaarse planeerimise ülesande kanooniline kuju? Kuidas see saadakse standardsest kujust? Me teisendame standardse kuju kanoonilisele kujule lisamuutujate abil 7. Mis on planeerimisülesande lubatav hulk? Mudeli lubatavaks hulgaks nimetatakse kõigi selliste punktide hulka, mis rahuldavad mudeli kõiki kitsendusi. 8. Mis on planeerimisülesande lubatav lahend, optimaalne lahend? Luvatav lahend on lahend, mis rahuldab kõiki mudeli kitsendusi. Optimaalne lahend on lubatava hulga punkt, mis annab sihifunktsioonile optimaalse väärtuse 9
. Seda funktsiooni integreerime x järgi rajast a kuni rajani b: . Tulemuseks saame mingi arvu. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abil: Pideva funktsiooni f(x,y) kahekordne integraal üle regulaarse piirkonna D võrdub selle funktsiooni kaksikintegraaliga üle sama piirkonna D (eeldame, et piirkond D on piiratud joontega Tõestus. Jaotame piirkonna D koordinaattelgedega paralleelsete sirgete abil n regulaarseks (täisnurkseks) piirkonnaks (2) Teisendame seda summat, rakendades iga liidetava suhtes kaksikintegraali kohta käivat keskväärtuse teoreemi . Võrdus (2) saab kuju , (3) Kus Pj on osapiirkonna sj mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n -> lõpmatus ja osapiirkondade sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal
mille lahenditeks on t1 = -5 ja t2 = 1. Teeme tagasivahetust, sellega saame kaks võrrandit log 2 x=-5 ja log 2 x=1 . Logaritmi definitsiooni järgi leiame tundmatuid 1 x 1=2-5= ja x 2=21=2. 32 Kontroll näitab, et mõlemad leitud väärtused rahuldavad algvõrrandit. 1 Vastus: x 1= , x2 =2 . 32 4) 2 log 4 x+ 2 log x 4=5 . Teisendame mõlemate logaritmide alused alusele 4, kasutades omadust 4. log 4 4 2 log 4 x+ 2 =5 , log 4 x 1 2 log 4 x+2 =5 , millest log 4 x 2 2 log 4 x+2=5 log 4 x , ehk 2 log 42 x-5 log 4 x +2=0 . Asendame log 4 x=t , saame 1 2t2 5t + 2 = 0, millest t1 = , t 2 =2.
Analüütilise keemia näidisülesanded 2013 1. Mitu grammi 50 massi%-list NaOH (molaarmass 40 g/mol) lahust tuleb lahjendada 1 liitrises mõõtkolvis, et valmistada 0.10 M NaOH lahus. Lahendus: 1 liitri 0.1M NaOH lahuse valmistamiseks kulub 0.1 mooli NaOH: Nüüd arvutame, millises koguses 50 massi% NaOH sisaldub 0.1 mooli NaOH. Teisendame moolid grammideks 0.1 × 40 = 4.0 g, seega me vajame 4.0 grammi NaOH. Kui 4.0 g moodustab 50% kogu alglahuse massist, siis kogulahuse mass on 4.0 × 100 / 50=8.0 g Vastus: 8.0 g. 2. Mitu milliliitrit 21.6massi%-list Na2CO3 lahust (tihedusega 1.019g/ml) ja 0.10 M Na2CO3 lahust (tihedus 1 g/ml) on vaja kokku segada, et saada 500 ml 0.50 M Na2CO3 lahus (tihedus 1 g/ml) (segunemisel vesilahuste ruumalad ei vähene) Lahendus:
kõik mittenullised elemendid See on nullist erinev ja tema järk võrdub juhtelementide arvuga. Suurema järguga miinorid on kõik nullid (kui eksisteerivad), sest sisaldavad ainult nullidest koosnevat rida. Teisisõnu teoreem ütleb, et treppmaatriksi astak võrdub mittenull ridade arvule. Maatriksi astaku leidmiseks tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada treppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Näide. Leiame maatriksi astaku. Teisendame maatriksi treppkujule Mittenullridade arv on 2, seega esiaglse maatriksi astak on 2. 14. Kronecker-Capelli teoreem Selles paragrahvis me tuletame LVSi kooskõlalisuse tunnuse. Olgu antud LVS Olgu LVSi maatriks, laiendatud maatriks ning vabaliikmete veerg. Teoreem (Kronecker-Capelli teoreem). LVS on lahenduv parajasti siis, kui süsteemi laiendatud maatriksi astak on sama kui süsteemi maatriksi astak . Tõestus. ,,Tavilikkus"e. ,, " Eeldame, et süsteemil leidub lahend
. Tulemuseks saame mingi arvu. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abil: Pideva funktsiooni f(x,y) kahekordne integraal üle regulaarse piirkonna D võrdub selle funktsiooni kaksikintegraaliga üle sama piirkonna D (eeldame, et piirkond D on piiratud joontega Tõestus. Jaotame piirkonna D koordinaattelgedega paralleelsete sirgete abil n regulaarseks (täisnurkseks) piirkonnaks (2) Teisendame seda summat, rakendades iga liidetava suhtes kaksikintegraali kohta käivat keskväärtuse teoreemi . Võrdus (2) saab kuju , (3) Kus Pj on osapiirkonna ∆sj mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n -> lõpmatus ja osapiirkondade ∆sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal
Korrutame arvud 4(cos 30° + i sin 30°) ja 2(cos 60° + i sin 60°). e) 6i f) -2 g) i h) -5i Korrutamise reegli järgi 842. Teisenda kompleksarv trigonomeetrilisele kujule. 4(cos 30° + i sin 30°)·2(cos 60° + i sin 60°) = 8(cos 90° + i sin 90°) = 8(0 + i·1) = 8i. Tulemuse õigsuses veendumiseks teisendame mõlemad arvud algebralisele kujule ja a) 3 + i b) - 3 - i c) 6 + 6i 3 d) 6 - 6i 3 korrutame. e) -6 + 8i f) 2,7 - 3,2i g) 1,8 + 0,52i h) 2,7 - 1,32i Esimese arvu reaalosa on a = r cos = 4·cos 30° = 2 3 ja imaginaarosa on 843
0 g ( x) saab taandada teguriga, mis tekitab määramatuse. 4 x 3 - 3x 2 Näide 6. Leiame lim . x 0 2x 2 4 x 3 - 3x 2 4 03 - 3 0 2 0 lim = = . x 0 2x 2 2 02 0 Tulemuseks on määramatus, s.t. funktsioon ei ole kohal x = 0 pidev. Teisendame nüüd funktsiooni avaldist, et vabaneksime määramatusest: 4 x 3 - 3x 2 x 2 ( 4 x - 3) 4x - 3 4 0 - 3 lim 2 = lim 2 = lim = = -1,5 . x 0 2x x 0 2x x 0 2 2 0
Leides komplekssed lahendid Ê(x, y, z) and H(x, y, z), mis rahuldavad kõiki Maxwelli võrrandeid, millede sinusoidaalne ajast sõltuvus on võimalik taastada korrutades iga ruumist jt sõltuvat lahendit Ê ja H teguriga e ning saame reaalosa kujul Võib näidata, et rakendades analoogset protseduuri komplekssetele amplituudidele saame komplekssed aeg-hormoonilised Maxwelli võrrandid integraalkujul. Edasi viime sisse kompleksse dielektrilise läbitavuse. Teisendame esimest võrrandit (2.3.6) kasutades (2.3.7) Seega komplekssele dielektrilisele läbitavusele vastab suurus Kus suhet nimetatakse kaonurga tangensiks. On näha, et 7. Lainevõrrandid. Elektrodünaamilised potentsiaalid. http://study.risk.ee/files/2011/06/lainevaljad.pdf 5.1 & 5.2 3. ELEKTROMAGNETILISED LAINED 1. Lainelise protsessi mõiste. Kui a >> , a domineerivad nihkevoolud, välja seos juhtivusvooluga on nõrk, kaod väikesed.
Kirjutame mõlema auto jaoks võrrandi, mis väljendab logaritmilise skaala müra arvutamist lineaarse skaala kaudu: Et avaldada nendest võrranditest autode mürade intensiivsused lineaarses skaalas, vastavalt I1 ja I2 , jagame esmalt kumbagi võrrandit 10-ga: Järgmiseks vabaneme logaritmist (kasutame logaritmi definitsiooni): millest mürad I1 ja I2 : Lineaarskaalas väljendatud mürasid võib liita, seega mürade summa lineaarskaalas Teisendame mürade summa logaritmilisse skaalasse Seega on sõiduauto (75 dB) ja veoauto (80 dB) summaarne müra 81.19 dB II 1. Millised on ehitusakustika põhilised ülesanded? Ehitusakustika mitmekülgsed ülesanded võib jagada kahte põhirühma, millede lahenduste lõppeesmärgid on erinevad. Esimese rühma moodustavad probleemid, mille eesmärgiks on kindlustada ruumis kuulajatele täisväärtuslik ja
gaasi olekuvõrrand, isoprotsess ij F(p, V, t) = 0. Gaasi üleminekut ühest olekust Teisendame, võttes m/k=müü/R. Nullist x2 y2 2 xy teise nim. isoprotsessiks. Boyle’I-Mariotte’i erinevatel kõrgustel temperatuuri langedes 2
annaabi.ee 
