Arvusüsteemid (2)

Ajalooline ülevaade
Ürgaja inimene eraldas üksteisest ainult kahte- kolme eset. Oli esemeid rohkem, siis kandis see kogus nimetust “palju”. Inimühiskonna arenguga tuli juurde arve, koos arvuhulga suurenemisega tekkis vajadus neid kuidagi üles märkida.
Algul märgiti arve sisselõigetena kepikestesse või koguti kivikesi ja pulgakesi, kuid suuremate arvude puhul polnud selline märkimisviis enam otstarbekas. See asjaolu põhjustaski arvudele vastavate märkide- numbrite kasutuselevõtu.
Egiptus
Babüloonia
Kreeka
Vana Rooma
I V X L C D M
Arvude tähistamise mistahes süsteemi nimetatakse arvusüsteemiks.
Nii kujutavad kõik eespool toodud näited arvusüsteeme. Neid arvusüsteeme nimetatakse mittepositsioonilisteks arvusüsteemideks, sest nendes ei sõltu vastava märgi (numbri) väärtus tema asukohast arvus.
Arvusüsteemi nimetatakse positsiooniliseks, kui iga tema numbri väärtus sõltub numbri asukohast arvus.
Selgitame seda näite varal : olgu meil arv kolmsada kolmkümmend kolm kirjutatud:
Egiptuse hieroglüüfides:
Positsioonilises kümnendsüsteemis:
333
Vasakult esimene märk tähistab sadat. Sadat tähistavad aga ka teine ja kolmas märk.
Sümboli väärtus ei sõltu asukohast.
Vasakult esimene kolm tähistab kolme sajalist. Seesama kolm paremalt esimesena tähistab hoopis kolme ühelist.
Sümboli väärtus sõltub asukohast.
Edaspidi vaatleme ainult positsioonilisi arvusüsteeme ja nimetame neid lihtsuse mõttes lihtsalt arvusüsteemideks.
Kümnendsüsteem
Tekkis 5. sajandil Indias. Algselt kasutati numbreid 1- 9. Nulli kohale jäeti tühi koht. Alles hiljem hakati seda kohta märkima punktikese või väikese ringikesega.
Positsioonilises kümnendsüsteemis esitub iga naturaalarv üheliste, kümneliste, sajaliste jne. summana. See tähendab:
325 = 3 · 100 + 2 · 10 + 5 · 1
21, 54 = 2 · 10 + 1 · 1 + 5 · 0, 1 + 4 · 0, 01
Kasutades arvu 10 astmeid võib selle summa kirja panna nii:
325 = 3 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100
21, 54 = 2 · 101 + 1 · 100 + 5 · 10-1 + 4 · 10-2
Arvu 10 nimetatakse kümnendsüsteemi aluseks.
Kahendsüsteem
Kahendsüsteemis on tarvitusel ainult kaks erinevat numbrimärki: 0 ja 1. Seepärast kasutatakse kahendsüsteemi laialdaselt elektronarvutites, kus paljud osad koosnevad elementidest, mis loomu poolest saavad omada ainult kahte erinevat seisundit : lüliti on kas avatud või suletud, elektriimpulss kas on või ei ole, magnetsüdamik kas on magneeditud või ei ole.
(Kümnendsüsteemi kasutamine arvuti protsessoris oleks ebaotstarbekas. Kõik kümme numbrit tuleks kujutada arvutis erineval viisil, näiteks kümnele erinevale pingetasemele vastavate elektriimpulsside kaudu. See muudaks arvuti ehituse keerukamaks ja kallimaks. Ka oleks vigade esinemise tõenäosus suurem).
Kahendsüsteemi aluseks on arv 2. seega on kahendsüsteemi arvud esitatavad arvu 2 astmete abil:
11012 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310
Seda esitust kasutatakse kahendarvude teisendamisel kümnendarvudeks.
Järgnev tabel näitab tavapärase kümnendsüsteemi ja kahendsüsteemi arvude vahelist seost. Tabelit võiks jätkata sama loogika järgi ka edasi.
Kümnend-süsteem
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Kahend -süsteem
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
Kümnendarvude teisendamine kahendarvudeks toimub järgmise algoritmi alusel:
olgu meil vaja 517810 teisendada kahendsüsteemi arvuks. Selleks jagan kümnendarvu kahega ja leian jäägi, mis on alati kas 0 või 1, antud juhul muidugi 0. Seejärel jagan saadud vastuse uuesti kahega ning leian jäägi ja nii edasi, kuni jagatiseks tuleb 0.
5178 2
0 2589 2
1 1294 2
0 647 2
1 323 2
1 161 2
1 80 2
0 40 2
0 20 2
0 10 2
0 5 2
1 2 2
0 1 2
1 0
Nüüd paneme kirja jäägid alustades altpoolt: 1010000111010. See kahendarv ongi vastuseks , ehk siis 517810 = 10100001110102
Aritmeetiliste tehete teostamine toimub kahendsüsteemi liitmis - ja korrutustabeli alusel:
0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 10 1 0 1
Kahendsüsteemi tehete näiteid:
Lahutamise juures tuleb teada, et:
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
102 - 1 = 1
101110, 1101 101110, 1101
10111, 1011 10111, 1011
1000110, 1000 10111, 0010
110, 01 10, 11 10111, 001 : 101 = 100, 101
11001 101
11001 11 0
11001 10 1
10001,0011 101
101
Ülesandeid
1. Liita järgmised kahendsüsteemi arvud:
110 + 111
1010 + 111
11011 + 1101
11111 + 10011
0,101 + 1,111
10,11 + 1,01
111,011 + 11,010
11001,11 + 10,111
2. Lahutada järgmised kahendsüsteemi arvud:
1101 - 111
10010 - 1110
11001 - 10111
100011 - 11010
110,01 - 0,11
1000,1 - 11,1
110110 - 101,1
0,1011 - 0,01010
Kontrollida tulemust liitmise teel.
3. Korrutada järgmised kahendsüsteemi arvud:
11,01 · 100,11
10,011 · 0,1011
111,011 · 1,0101
101010,11 · 11,0011
101 · 101
10010 · 11011
4. Jagada järgmised kahendsüsteemi arvud:
11110 : 101
100011 : 111
101010 : 111
10100101 : 1011
1110,101 : 11010
10001101,011 : 11101
101001101000,0101 : 1000001
1100101000,01001 : 10111000,11
Kontrollida tulemust korrutamise teel.
5. Teisenda järgmised arvud kümnendsüsteemist kahendsüsteemi:
235
95
127
256
500
309
6. Teisenda järgmised kahendsüsteemi arvud kümnendsüsteemi arvudeks:
10111011
110100101,1
101011100101101
100000010
10111000100110
11111111
Nagu eespool mainitud , kasutatakse elektronarvutites laialdaselt kahendsüsteemi. Informatsiooni sisestamisel pole see aga otstarbekas- numbrid on liiga pikad. Seetõttu kasutatakse palju ka kaheksand - ja kuueteistkümnendsüsteemi.
Kaheksandsüsteem
Kaheksandsüsteemis kasutatakse 8 numbrit: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Arvu 8 nimetatakse süsteemi aluseks ning kõik kaheksandsüsteemi arvud võib kirja panna arvu 8 astmete abil:
14358 = 1 · 83 + 4 · 82 + 3 · 81 + 5 · 80 = 512 + 4 · 64 + 3 · 8 + 5 = 79710
Kümnendsüsteemi arvude teisendamine kaheksandsüsteemi toimub analoogselt teisendamisega kahendsüsteemi, erinevus on ainult selles, et jagame 8- ga.
797 8
5 99 8
3 99 8
4 99 8
1 0
Kirjutades välja jäägid (alt üles), saame 1435.
Aritmeetiliste tehete teostamiseks on jällegi vajalikud liitmis- ja korrutustabelid.
Näiteid arvutustest kaheksandsüsteemis:
1728 721,58 4368
578 135,218 238
2518 564,278 15328
10748
124728
Ülesanded
1. Liita järgmised kaheksandsüsteemi arvud:
34 + 26
45 + 37
62 + 16
77 + 77
325 + 267
156 + 555
333 + 445
267 + 777
265,14 + 321,1
464,534 + 227,76
512,505 + 467,674
1450 ,625 + 767,765
2. Lahutada järgmised kaheksandsüsteemi arvud:
47 - 26
53 - 36
62 - 56
70 - 57
312 - 222
467 - 275
505 - 367
601 - 573
1412 ,6 - 425,7
2532,52 - 1643,032
4003,601 - 3543,777
6543,34 - 6542,56
Kontrollida tulemusi liitmise teel.
3. Korrutada järgmised kaheksandsüsteemi arvud:
7 · 34
26 · 6
14 · 16
34 · 43
124 · 36
345 · 67
432 · 205
573 · 462
21,34 · 56,7
15,3 · 21,067
312,07 · 0,546
0,00763 · 0,4521
4. Jagada järgmised kaheksandsüsteemi arvud:
241 : 7
250 : 6
245 : 13
1650 : 32
2153 : 35
22206 : 42
74250 : 234
245024 : 404
1450,22 : 270,6
4356,7314 : 147,6
257427,26 : 645,76
336656,615 : 1635
Kontrollida tulemusi korrutamise teel.
5. Teisenda järgmised kümnendsüsteemi arvud kaheksandsüsteemi:
491
528
8192
156
35201
7364
6. Teisenda järgmised kaheksandsüsteemi arvud kümnendsüsteemi:
111112
45670
10256
23
125
700
Kuueteistkümnendsüsteem
Kuueteistkümnendsüsteemis ei piisa kõigi ühekohaliste arvude märkimiseks kümnest numbrist 0 - 9. Vaja läheb 16 numbrit. Seetõttu tähistatakse numbreid 10 - 15 järjestikuste alfabeedi tähtedega:
10 = A, 11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E ja 15 = F.
Kuueteistkümnendsüsteemis on süsteemi aluseks 16 ja kõik arvud võime esitada arvu 16 astmete kaudu. Näiteks:
2F0B = 2 · 163 + 15 · 162 + 0 · 161 + 11 · 160 = 8192 + 3840 + 11 = 12043
AB,C = 10 · 161 + 11 · 160 + 12 · 16-1 = 160 + 11 + ¾ = 171,75
Kuueteistkümnendsüsteemi tehete näiteid:
D8E,4C16 D8E,4C16 A116
8CE,D716 4CE,D716 1916
165D,2316 4BF,75 16 5A916
A116
FB916
Ülesanded
1. Liita järgmised kuueteistkümnendsüsteemi arvud:
5D4C + 241
13F7 + 5A18
23A + F4
6DD4 + 1514
562D4 + 21AA
1512 + EEE
2. Lahutada järgmised kuueteistkümnendsüsteemi arvud:
D623 - 124E
7FE3 - 7AA6
4CE6 - 551
5507F - 32A0
6985 - 3EE3
101110 - 1111
Kontrollida tulemusi liitmise teel.
3. Korrutada järgmised kuueteistkümnendsüsteemi arvud:
6A8E · 4B
5B3 · 6C
C6D7 · 7DE
B4E,6 · F,2
7CD,5 · 0,CA
8D2,F · 0,A4
4. Jagada järgmised kuueteistkümnendsüsteemi arvud:
16587 : 4C5
87C : 3
C63E : 7D
D4A6 : 8B
A9B8 : B3D
B6DE : C2
Kontrollida tulemusi korrutamise teel.
Kahendsüsteemi seos kaheksandsüsteemi ja kuueteistkümnend­süsteemiga
Arvude teisendamine ühest arvusüsteemist teise osutub eriti lihtsaks, kui ühe arvusüsteemi alus on teise arvusüsteemi aluse täisaste. Selline seos valitseb kahend- ja kaheksandsüsteemi ja kahend- ja kuueteistkümnendsüsteemi vahel, sest:
8 = 23 ja 16 = 24
Teisendame kaheksandsüsteemi arvu 111100010101102.
Selleks rühmitame numbrid kolmekaupa alustades paremalt:
jne
111100010101102 = 361268
Kõrvalolevast tabelist leiame neile numbrikolmikutele- kahendarvudele vastavad kaheksandarvud ja kirjutame need vastuses vastavale kohale.
Teisendame kahendsüsteemi arvu 15768.
Selleks kirjutame iga kaheksandnumbri asemele talle vastava kahendarvu kõrvalolevast tabelist.
15768 = (00)11011111102
a8
a2
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111
Teisendamine kahendsüsteemist kuueteistkümnendsüsteemi ja vastupidi toimub analoogselt eespool kirjeldatule. Ainus erinevus on see, et kahendarvud võetakse nelikutena. Näiteks: 516 = 01012, 816 = 10002 ja F16 = 11112.
S a16
a2
a16
a2
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
iis 110101011110002 = 357816 ja
43A8D16 = (0)10000111010100011012.
Ülesanded
1. Teisenda järgmised kahendsüsteemi arvud kaheksand- ja kuueteist­küm­nendsüsteemi arvudeks:
1011111000101
11010101101
111010101111
100000000
11111
1010101111000
2. Teisenda järgmised kaheksandsüsteemi arvud kahendsüsteemi arvudeks.
1304065
2126204
451263
5034
324
26057
3. Teisenda järgmised kuueteistkümnendsüsteemi arvud kahendsüsteemi arvudeks:
5AA7EF
99FFF
235E4A
123ABC
8E2AD
EF
10