; '(x)=f()x/x=(x0; x+xx; x)=lim(x)f()=f(x). Järeldus: (x) on f(x)'i algfunktsioon. Valem: F(x) rajades a'st b'ni =F(b)-F(a)= integraal a'st b'ni f(x)dx 4. Muutuja vahetus määratud integraalis. b b f ( x)dx = f [(t )] f ' (t )dt a a 5. Ositi integreerimine (määratud integraali korral). b b udv = uv a - vdu b a a 6. Lõpmatute rajadega päratud integraalid. f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu ülemise rajaga päratuks integraaliks f(x)dx (rajad a ja ). Kui see piirväärtus on lõplik, siis öeldakse et päratu integraal koondub, kui lõpmatu või puudub, siis hajub. Kui tegemist on ]-;[ siis võetakse konstant c ja kirjutatakse kahe integraalina (aditiivsus) 7. Päratud integralid tõkestamata funktsioonidest.
Tuletada ositi integreerimise valem m¨a¨aratud integraali jaoks. 23. Taylori valemi j¨a¨akliikme integraalkuju. 24. Defineerida p¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida l ~opmatute rajadega p¨aratud integraalid. 25. U¨ ks ma¨a¨ratud integraali rakendus omal valikul koos to~estusega. 26. M¨a¨aratud integraali ligikaudne arvutamine. Kvadratuurvalemid. 24)
4. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. 5. Muutujavahetus 6. Ositi integreerimine. 7. Osamurdudeks jagamine. 8. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. 9. Integraali keskväärtusteoreemid. 10.Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju 11.Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid 12. Määratud integraali rakendused. PÖÖRDKEHA RUUMALA: 13. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Kvadratuurvalemid.
b a Tõestus: Newton-Leibniz'i valemi järgi a b f ( x ) dx = F ( a ) - F ( b ) = -[ F ( b ) - F ( a ) ] = - f ( x ) dx m.o.t.t. b a a 2. Ühtelangevate rajadega määratud integraal on null: f ( x ) dx = 0 a a Tõestus: Newton-Leibniz'i valemi järgi f ( x ) dx = F ( a ) - F ( a ) = 0 a m.o.t.t. 3
b a Tõestus: Newton-Leibniz'i valemi järgi a b f ( x ) dx = F ( a ) - F ( b ) = -[ F ( b ) - F ( a ) ] = - f ( x ) dx m.o.t.t. b a a 2. Ühtelangevate rajadega määratud integraal on null: f ( x ) dx = 0 a a Tõestus: Newton-Leibniz'i valemi järgi f ( x ) dx = F ( a ) - F ( a ) = 0 a m.o.t.t. 3
funktsiooni korrus on integreeruv, seega on integreeruv Integreerime lõigul 23. Taylori valemi jääkliikme integraalkuju Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n- järku Taylori valemi f(x) = Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul 24. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Lõpmatute rajadega päratud integraalid: Kui f(x) , siis . Kui f(x) , siis . Kui f(x) a,b korral, siis
Esitada vastav valem ilma tuletamata. 31. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 32. Newton-Leibnitzi valem ilma tõestuseta. 33. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Valitakse uus x-ist sõltuv muutuja u, mis on üksühene ja diferentseeuv. Leitakse u pöördfunktsioon ning kirjutatakse see diferentsiaalide jagatisena, seejärel korrutatakse läbi du-ga. Integraali all tehakse asendused.leitakse uus integreerimislõik koos rajadega, mis sõltuvad u väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esmase integreermislõigu. Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja).
Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Saame Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena . Korrutades seda võrdust du-ga saame Kasutades neid valemeid saame integraali all suurused x ja dx asendada vastavate u-st sõltuvate suurustega. Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimislõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a,b]. Ühtlasi on uue integraali alumine raja võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele a ja ülemine raja on võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega on uue integraali alumine raja ja ülemine raja . Kokkuvõttes saame valemi b
Eeldame et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Siis x=(u) (5.16). Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du= '(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx= '(u)du. (5.17). Kasutades valemeid (5.16) ja (5.17) saame integraali (5.15) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st sõltuvate suurustega. Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimislõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni u=(x) väärtustest mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a; b]. Ühtlasi uue integraali alumine raja on võrdne u väärtusega mis vastab muutuja x väärtusele a ja ülemine raja on võrdne u väärtusega mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega uue integraali alumine raja on (a) ja ülemine raja (b). Kokkuvõttes saame järgmise valemi: abf(x)dx = (b) (a) f[(u)]'(u)du. 47
järgmisel viisil: a.ii. eeldusel, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame tema pöördfunktsiooni -ga ehk . a.iii. Paneme kirja tuletise diferentsiaalide jagatisena a.iv. a.v. Korrutades seda du-ga saame a.vi. Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurusele x ja dx asendada ka integreerimis lõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a,b]. Integraali alumine raja on ühtlasi võrdne u-väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele a ja ülemine raja võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Järelikult on uue integraali ülemine raja ja alumine b
a b 1) kui a>b, siis ∫ f ( x ) dx=−∫ f ( x) dx b a a 2) kui a=b, siis ∫ f ( x ) dx=0 a 28. Asendusvõte (kuidas valid uus muutuja?). 29. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?). 30. Esimest liiki päratud integraalid (lõpmatute rajadega integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). t Definitsioon: Kui ∫ f (x) dx eksisteerib iga arvu t≥a korral, siis a defineerime päratut integraali kui t lim ¿ t → ∞∫ f ( x ) dx a f ( x ) dx=¿ ¿ ∞ ∫¿ a Kuidas arvutatakse: 31. Teist liiki päratud integraalid (tõkestamata funktsiooni
Eeldame, et P on üksühene ja diferentseeruv.
Tähistame P pöördfunktsiooni Q-ga. Siis = Q O . Paneme kirja funktsiooni Q tuletise
<'
diferentsiaalide jagatisena:
Paneme kirja dx funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: du = ψ’(u). Korrutades seda v˜ordust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Kasutades valemeid neid valemeid saame integraali all suurused x ja dx asendada vastavate u-st s˜oltuvate suurustega. Erinevalt m¨a¨aramata integraalist, tuleb m¨a¨aratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimisl˜oik koos rajadega. Uus integreerimisl˜oik koosneb funktsiooni u = ϕ(x) v¨a¨artustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel ¨ule kogu esialgse integreerimisl˜oigu [a, b]. Uhtlasi on uue integraali alumine raja v˜ordne ¨ u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele a ja ¨ulemine raja on v˜ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele b. Seega on uue integraali alumine raja ϕ(a) ja ulemine raja ϕ(b). Kokkuv˜ottes saame j¨argmise valemi:
Ositi integreerimine: udv = uv - vdu; (harilikult u-ks kas x aste vôi ln). Liitfunktsioon: f(ax+b)dx = 1/a*F(ax+b) 39. Määratud integraali mõiste ja omadused. Newton-Leibnizi valem. Määratud integraali môiste eeldusel, et f(x) on pidev lôigus [a;b]; kui leidub piirväärtus (vaata all), siis see on määratud integraal funktsioonist y=f(x) rajades a-st b-ni. Määratud integraali omadused: vaata omadused 4. ja 5., koos rajadega ning: 1) Kui rajad on vôrdsed on integral 0; 2) Integral rajadega a-b on integralide a-c ja c-b summa, kui c kuulub lôiku a-b. Newton-Leibnizi valem - b n b a = - = a f ( x)dx b f 37. Integraalarvutuse rakendusi
x= (u) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena = ' (u) . du Korrutades seda võrdust du-ga saame dx= ' (u) du Kasutades neid valemeid saame integraali all suurused x ja dx asendada vastavate u- st sõltuvate suurustega. Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimislõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni u=(x) väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a,b]. Ühtlasi on uue integraali alumine raja võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele a ja ülemine raja on võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega on uue integraali alumine raja ( a) ja ülemine raja ( b) . Kokkuvõttes saame valemi f [¿ (u)] ' (u) du
11.Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Lõpmatute rajadega päratud integraalid: b Kui f(x)
dx ln xdx = x ln x - x· =e-x = e - (e - 1) = 1. 1 1 1 x 1 10 5.6 L~ opmatute rajadega p¨ aratud integraalid P¨aratuid integraale on kahte t¨ uu¨pi. K¨aesolevas punktis vaatleme l~opma- tute rajadega p¨aratuid integraale ja j¨argmises punktis p¨aratuid integraale t~okestamata funktsioonidest. Definitsioon 1. Olgu funktsioon f (x) m¨a¨aratud ja pidev pooll~oigul [a; ). N
41. Asendusvõte määratud integraali arvutamisel Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-st järgmisel viisil eeldusel, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame tema pöördfunktsiooni -ga ehk . Paneme kirja tuletise diferentsiaalide jagatisena Korrutades seda du-ga saame Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurusele x ja dx asendada ka integreerimis lõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a,b]. Integraali alumine raja on ühtlasi võrdne u-väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele a ja ülemine raja võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Järelikult on uue integraali ülemine raja ja alumine Ositi integreerimine määratud integraali korral Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni.
34. Asendusvõte (kuidas valida uus muutuja, rajade vahetamine). 35. Ositi integreerimine määratud ja määramata integraalide puhul (valem, kuidas valida u ja dv?). Ositi integreerimise meetod võimaldab komplitseeritud integraali leidmist taandada lihtsama integraali leidmisele. Mõistlik on valida u-ks x, x-i aste või ln N: ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑥 = 𝑢, sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣 36. Esimest liiki päratud integraalid (lõpmatute rajadega integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). 37. Teist liiki päratud integraalid (tõkestamata funktsiooni integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). 38. Määratud integraali rakendusi (pindala, ruumala, kaare pikkus, töö, f-ni keskmine väärtus). Tasandilise kujundi pindala. Defineerime piirkonna S kogupindala kui osapiirkondade pindalade summa A = A1 + A2 + . . .. Seega üldisemal juhul Ruumilise kujundi pindala, kus A(x) on vastava ristlõike pindala:
ositi udv = uv a vdu b b f ( x)dx = F ( x) a = F (b) F ( a ) a a a Päratu integraal a)lõpmatute rajadega + b a a + c + f ( x)dx = lim f ( x)dx f ( x)dx = lim f ( x)dx f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx a b + a b
ositi udv = uv a vdu b b f ( x)dx = F ( x) a = F (b) F ( a ) a a a Päratu integraal a)lõpmatute rajadega + b a a + c + f ( x)dx = lim f ( x)dx f ( x)dx = lim f ( x)dx f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx a b + a b
Tähistame ϕ pöördfunktsiooni ψ-ga. Siis x = ψ(u). (5.27) Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx du = ψ 0 (u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = ψ 0 (u)du . (5.28) Kasutades valemeid (5.27) ja (5.28) saame integraali (5.26) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st sõltuvate suurustega. Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimislõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni u = ϕ(x) väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a, b]. ühtlasi on uue integraali alumine raja võrdne ¨ u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele a ja ülemine raja on võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega on uue integraali alumine raja ϕ(a) ja ülemine raja ϕ(b). Kokkuvõttes saame järgmise valemi: Z b a f(x)dx = Z ϕ(b) ϕ(a) f[ψ(u)]ψ 0 (u)du .
Kompleksmuutuja funktsioone kasutas juba d'Alembert, kes ühes töös vedelike takistuse kohta (1752) jõudis tulemuseni, mida praegu nimetatakse Cauchy-Riemanni võrranditeks. Kuid Cauchy käes muutus kompleksmuutuja funktsioonide teooria hüdrodünaamika ja aerodünaamika vahedast vahendist uueks ja iseseisvaks matemaatika uurimisalaks. Cauchy tööd nendes küsimustes ilmusid alates 1814.a. pidevalt. Üks tähtsamaid on tema ,,Memuaar imaginaarsee rajadega määratud integraalidest" (Memoire sur les integrales definies,prises entre des limites imaginaires, 1825).Cauchy ainus tõsine rivaal oli temast kaksteist aastat vanem Gauss, kes samad põhjapanevad tulemused oli leidnud aastal 1811, kolm aastat enne Cauchyd. Memuaari pikkuse tõttu, 180 lehekülge, ilmus Cauchy töö alles 1825. aastal. 1816 sai Cauchy Teaduste Akadeemia suure auhinna töö eest ,, Määramata sügavustega raske
viisil: u = (x). Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Siis x = (u). Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du =(u). Korrutades seda värdust du-ga same dx = (u)du . Kasutades valemeid (5.27) ja (5.28) saame integraali (5.26) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st sõltuvate suurustega. Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimis lõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni u = (x) väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a, b]. Ühtlasi on uue integraali alumine raja võrdne u väärtusega,mis vastab muutuja x v.a.artusele a ja .ulemine raja on võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega on uue integraali alumine raja (a) ja b b ülemine raja (b)
38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43. Tuletada joonte () 1 fxy = ja ( ) 2 fxy = vahel asuva kujundi pindala valem. 44. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem. 45. Tuletada joone pikkuse valem.
. . . . . . . . . . 101 11.4 Keha ruumala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.5 Integraali füüsikalisi rakendusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 12 Päratud integraalid ja nende rakendused 105 12.1 Päratud integraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.2 Lõpmatute rajadega integraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.3 Integraal tõkestamata funktsioonist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.4 Integraalide rakendusi statistikas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.5 Euler'i integraalid * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12.6 Irratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . .
mathcadiga 15. Leida käsitsi integraal ? mathcadiga: 16. Leida käsitsi integraal ? mathcadiga: 17. Leida käsitsi integraal ? mathcadiga: 18. Leida käsitsi integraal ? mathcadiga: 19. Leida käsitsi integraal ? Mathcadiga: : 20. Leida käsitsi integraal ? mathcadiga: OSA 10 1. Defineerige lõpmatute rajadega päratu integraal! Esitage arvutusnäide! Piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) päratuks integraliks, mida tähistatakse . See eksisteerib iga x korral, mis rahuldab tingimust . 2. Defineerida integraal katkevast funktsioonist! Esitage arvutusnäide! 3. Leida käsitsi ! mathcadiga: 4. Leida käsitsi ! mathcadiga: 5. Millal päratu integraal hajub? Esitage näide! Päratu integraal hajub, kui ei oma lõplikku väärtust
viisil: u = (x). Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Siis x = (u). Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du =(u). Korrutades seda värdust du-ga same dx = (u)du . Kasutades valemeid (5.27) ja (5.28) saame integraali (5.26) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st sõltuvate suurustega. Erinevalt määramata integraalist, tuleb määratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimis lõik koos rajadega. Uus integreerimislõik koosneb funktsiooni u = (x) väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esialgse integreerimislõigu [a, b]. Ühtlasi on uue integraali alumine raja võrdne u väärtusega,mis vastab muutuja x v.a.artusele a ja .ulemine raja on võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega on uue integraali alumine raja (a) ja ülemine raja (b). Kokkuvõttes saame järgmise valemi: Tuletada ositi integreerimise valem maaratud integraali jaoks
Seega, 0 = F(a) + C, millest tuletame valemi C = -F(a) konstandi C jaoks. Nüüd saame kirjutada võrduse (5.25) kujul x af(t)dt = F(x) - F(a) . Pannes selles avaldises muutuja x võrduma arvuga b, jõuamegi Newton-Leibnitzi valemini (5.24). Teoreem on tõestatud. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. Ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Hindamisteoreemid Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest 43. Tuletada joonte y=f1(x) ja y=f2(x) vahel asuva kujundi pindala valem. Pindala arvutamine. Kõvertrapetsi pindala avaldub valemiga. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja ülalt joonega y = f2(x), kusjuures a x b. Meid huvitab D pindala S
integreeritav funktsioon pole tõkestatud punkti x = 1 ümbruses. Selle funktsiooni päratu integraal 1 dx l dx J = = lim = lim (arcsin l - arcsin 0) = . 0 1- x 2 l 1- 0 1- x 2 l 1- 2 3.2 Lõpmatute rajadega integraal l Eksisteerigu f ( x )dx , iga l [a, ) korral, siis defineerime päratu integraali a piirkonnas [a,] seosega l f ( x) dx = lim f ( x )dx. (7) a l a b Eksisteerigu f ( x ) dx , iga l ( - , b ] korral, siis defineerime päratu integraali l piirkonnas (,b] seosega
tõkestatud punkti x = 1 ümbruses. Selle funktsiooni päratu integraal 1 dx l dx J = = lim = lim (arcsin l - arcsin 0) = . 0 1- x 2 l 1- 0 1- x 2 l 1- 2 Lõpmatute rajadega integraal l Eksisteerigu f ( x )dx , iga l [a, ) korral, siis defineerime päratu integraali piirkonnas [a,] seosega a l f ( x) dx = lim f ( x )dx. (7) a l a b
eraldatud diskreetide kogumit, mille juures pooluste vastavus on määratud valemitega 2.1.2 ja 2.1.3. Pidevaja
süsteemi (PS) reaalpoolustele (seega =0) vastavad alati diskreetaja süsteemi (DS) reaalpoolused (p = eT,v = 0).
Seejuures PS positiivsele reaalpoolusele p>l ning poolusele <0 DS poolus
välja eraldatud diskreetide kogumit, mille juures pooluste vastavus on määratud valemitega
2.1.2 ja 2.1.3. Pidevaja süsteemi (PS) reaalpoolustele (seega ω=0) vastavad alati diskreetaja
süsteemi (DS) reaalpoolused (p = eσT,v = 0). Seejuures PS positiivsele reaalpoolusele p>l
ning poolusele σ<0 DS poolus ρ
protsessist välja eraldatud diskreetide kogumit, pooluste vastavus on määratud. Pidevajasüsteemi reaalpoolustele vastavad alati diskreetaja süsteemi reaalpoolused. Seejuures pidevajasüsteemi positiivsele reaalpoolusele p > l ning poolusele σ < 0 diskreeraja poolus ρ < l. Seega kõigile pidevaja reaalpoolustele vastavad alati diskreetaja positiivsed reaalpoolused. Iga pidevaja reaalpoolus tekitab impulsskaja. Kui piirata z-tasandi pooluste faasinurki ψ rajadega +180° ja -180°, siis sellele vastab s-tasandi piirkond vahemikus Π/T kuni - Π/T. Nende rajade piires kehtib s-tasandi ja z-tasandi pooluste üksühene vastavus, mis hõlbustab analüüsi. Neid rajasid nimetatakse ka s-tasandi Nyquisti rajadeks. Iga selle piirkonna poolusest +/-2 Π/T võrra imaginaartelje suunas nihutatud punkt tähendab neid s-tasandi punkte, millele vastab sama z- tasandi punkt. Ja seega identne diskreetse siirdeprotsessi komponent. Suuremale imaginaarosale
f (x )dx = F (x ) + F (x ) c+ . c- b a a 34 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Lõpmatute rajadega integraalid Definitsioon: Kui funktsioon f on määratud piirkonnas [a, ) ja on integreeruv igas lõigus [a, c] [a, ) , siis tema integraaliks piirkonnas [a, ) nimetatakse piirväärtust c f (x )dx = lim f (x )dx . a c
Teoreem 7. b 2 x 2 x,y f x, y, z dxdydz f x, y, z dz dy dx a 1 x 1 x,y V Analoogiliselt kaksikintegraali juhuga, kui seda võimaldab piirkonna V kuju, saab koostada kolmikintegraali teistsuguse integreerimismuutujate järjekorraga ja teiste rajadega. Näide 36. Esitada kolmekordne integraal f x, y, z dxdydz V kolmikintegraali abil, kui integreerimispiirkond V on määratud võrratustega x y 2 z 2 8 ja x 2 y 2 2z. 2 Nagu jooniselt näeme, on V piiratud alt paraboloidiga x 2 y 2 2z ja ülalt sfääriga x y 2 z 2 8. Integreerimispiirkond xy-tasandil on piiratud paraboloidi ja sfääri 2 lõikejoone projektsiooniga, milleks on ringjoon x 2 y 2 R 2 . Ringjoone raadiuse leiame
. . 120 5.4.1 Pidevate ja monotoonsete funktsioonide integreeruvus . . . . . . . . . 120 5.4.2 Katkevate funktsioonide integreeruvus . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5 Diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.6 Päratud integraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6.1 Lõpmatute rajadega integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6.2 Tõkestamata funktsiooni päratu integraal . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.7 Wallise valem ja Euler–Poissoni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.7.1 Wallise valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.7.2 Euler–Poissoni integraal . . . . . . . . . . . . . . .
du = (u). Korrutades seda v~ordust du-ga saame dx = (u)du . (5.28) Kasutades valemeid (5.27) ja (5.28) saame integraali (5.26) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st s~oltuvate suurustega. Erinevalt m¨a¨aramata integraalist, tuleb m¨a¨aratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integree- rimisl~oik koos rajadega. Uus integreerimisl~oik koosneb funktsiooni u = (x) v¨a¨artustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel u ¨le kogu esialgse integ- reerimisl~ ¨ oigu [a, b]. Uhtlasi on uue integraali alumine raja v~ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨ artusele a ja u ¨lemine raja on v~ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨ a¨artusele b. Seega on uue integraali alumine raja (a) ja u ¨lemine raja (b)
Korrutades seda v~ordust du-ga saame dx = (u)du . (5.28) Kasutades valemeid (5.27) ja (5.28) saame integraali (5.26) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st s~oltuvate suurustega. Erinevalt m¨a¨aramata integraalist, tuleb m¨a¨aratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integree- rimisl~oik koos rajadega. Uus integreerimisl~oik koosneb funktsiooni u = (x) v¨a¨artustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel u ¨le kogu esialgse integ- ¨ reerimisl~oigu [a, b]. Uhtlasi on uue integraali alumine raja v~ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele a ja u ¨lemine raja on v~ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele b. Seega on uue integraali alumine raja (a) ja u ¨lemine raja (b). Kokkuv~ottes saame j¨argmise valemi:
43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u
annaabi.ee 
