Funktsiooni nullkohtadeks nim argumendi väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on 0. Funktsiooni positiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni negatiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Funktsiooni uurimine: X, Y, X0, X+, X-, X´, X`, Xe, Xmax, Xmin. Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=f(x). Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=-f(x).
kasvamisega. 12) Funktsiooni maksimum on funktsiooni väärtus maksimum kohal. 13) Funktsiooni miinimum on funktsiooni väärtus miinimum kohal. 14) Kumerusvahemik vahemik, kus ükski tema punkt ei ole kõrgemal ühestki tema puutujast selles vahemikus. Tunnus: f``(x)<0 15) Nõgususvahemik vahemik, kus ükski tema punkt ei ole allpool ühestki tema puutujast selles vahemikus. Tunnus: f´´(x)>0 16) Funktsiooni nimetatakse paarisfunktsiooniks kui funktsiooni väärtused kohtadel x ja -x on võrdsed. Graafik sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=f(-x) 17) Funktsiooni nimetatakse paarituks kui funktsiooni väärtused kohtadel x ja -x on vastasmärgilised. Graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. f(-x)=-f(x) 18) Asümptoodiks nim. Sirget, millele funktsiooni graafiku mingi haru läheneb piiramatult. Rõhtasümptood y=b, st. sirge tõus on 0. Püstasümptood paralleelne y-teljega
Maksimumkoht- seal läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks 9)ekstreemumid-miinimum on miinimumkohale vastav y väärtus maksimum on maksimumkohale vastav y väärtus. 10)ekstreemumpunktid- koosneb ekstreemumkohast ja ekstreemumist.. Paaris- ja paaritu funktsioon Funktsiooni y=f(x) nim paarituks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=-f(x) Funktsiooni y=f(x) nim paarisfunktsiooniks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=f(x) Pöördfunktsiooni leidmine: 1)avaldan x 2)kontrollin üksühest vastavust 3)vahetan x ja y asukohad Igal funktsioonil ei eksisteeri pöördfunktsiooni. Pöördfunktsioon on funktsioon nagu iga teinegi, st saan joonestada tema graafikut ja teda uurida. X-abstsiss y-ordinaat
põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja
liitfunktsioonide moodustamise tulemusena.
Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks,
kui leidub reaalarv k, nii et |f(x)|<= k iga X kuulub hulka A korral.
Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis kogu oma
määramispiirkonnas on mittekasvav(monotoonselt kasvav) või
mittekahanev(monotoonselt kahanev).
Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x) , kui f(x)=f(-x) iga x korral
määramispiirkonnast X.
Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x), kui f(-x)=-f(x) iga x korral
määramispiirkonnast X.
Punkti E ümbruseks nimetakse arvtelje vahemikku a kuni a+E.
Arvu a nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu E>0 korral
leidub niisugune arv b>0 , et kehtib võrratus |f(x)-A|
1. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond ja muutumispiirkond. Kolme põhilise elementaarfunktsiooni graafikud. - y=f(x), on eeskiri, mis seab ühe muutuja (sõltumatu muutuja ehk argumendi) igale väärtusele vastavusse teise muutuja (sõltuva muutuja) kindla väärtuse. - Argumendi väärtuste hulk on funktsiooni määramispiirkond X ja funktsiooni väärtuste hulk on funktsiooni muutumispiirkond Y. 2. Funktsioonide liigitus paarisfunktsiooniks ja paarituksfunktsiooniks. Kaks tuntumat paarisfunktsiooni ja kaks tuntumat paaritutfunktsiooni. - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=f(x), siis on tegemist paarisfunktsiooniga. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=x2, sest (-x)2=x2 f(x)=cosx, sest cos(-x)=cos x - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=-f(x), siis on tegemist paaritu funktsiooniga
määramispiirkonnaga 10.Kahanevateks funkts. Nim. Funkts. Mille kahanemisvahemik ühtib määramispiirkonnaga. 11.Kohale X0 on funktsioonil y=f(x) maksimum kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha X0 mingist ümbrusest kehtb võrratus: f(x0) on suurem kui või võrdne f(x) 12.Kohale X0 on funktsioonil y=f(x) miinimum kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha X0 mingist ümbrusest kehtb võrratus: f(x0) on väiksem kui või võrdne f(x) 13.Funkts y=f(x) nim. Paarisfunktsiooniks kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=f(x) 14.Graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. 15.Funkts y=f(x) nim. Paarituks funktsiooniks kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=-f(x) 16.Graafik on sümmeetriline koordninaatide alguspunkti suhtes.
Funktsiooni esitusviise: I Analüütiline esitus valemi abil II Geomeetriline esitus graafiku abil III Numbriline esitus tabeli abil Tabelilisel esitamisel kirjutatakse kindlas järjekorras argumendi väärtused 1 2, , ... ,n x x x ja neile vastavad funktsiooni väärtused 1 2 , , ... ,n y y y . 7. Funktsioonide liike Paaris- ja paaritud funktsioonid: Def. Niisugust funktsiooni f x( ), mis rahuldab tingimust f (-x)= f( x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarisfunktsiooniks. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Def. Niisugust funktsiooni f x( ), mis rahuldab tingimust f( -x)= -f( x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarituks funktsiooniks. Paaritu funktsiooni korral f (0)= 0 . Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline nullpunkti suhtes. II. Perioodilised funktsioonid: Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f( x+ t)= f( x)= (t ≠ 0) iga x ja x t +
I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Paaris- ja paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. Definitsioon 4 Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant
öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y. Funktsiooni määramispiirkond. Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsiooni y muutumispiirkonnaks Y nimetatakse funktsiooni väärtuseid, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X. Funktsioonide liigid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f ( x) = f (- x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y- telje suhtes: y = x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f (- x) = - f ( x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline 0 punkti suhtes. Näiteks f(x)=x, f(x)=sinx. y = sin x Liitfunktsioon.
(ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon.
Näited Funktsioonid, mis on defineeritud määramispiirkonna erinevatel osadel erinevate valemitega nim. tükiti defineeritud funktsioonideks Näiteks: a) | | { ( ) ) b) { ( ) ) 6. Milliseid funktsioone nimetatakse paarisfunktsioonideks, milliseid paaritufunktsioonideks? Näited. Nimetage paaris-ja paaritu funktsioonide graafikute omadusded. Kui iga korral on f(-x) = f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks, ja kui on f(-x) = -f(x), siis paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=tanx, y=cot x, y=arcsinx ja y=arctanx on paaritud funktsioonid ning y=cos on paarisfunktsioon. Paaritu funktsiooni y=x3 graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 7. Defineerige funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon
Näide: y = ln (x2 + 1). Ilmutamata kujul f (x, y) = 0 Näide: x2 + y2 = 25. Parameetrilisel kujul x = x(t ) , t T R y = y (t ) Näide: x = 5 cos(t ) , t [0; 2 ] y = 5 sin(t ) 4 Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) ja paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes sümmeetriline 0-punkti suhtes. 6 5 2 x 4
Avaldada seibi pindala (S) seibi ääre laiuse (x) funktsioonina. Missugune on selle funktsiooni määramispiirkond? Seda funktsiooni esitava avaldise määramispiirkond? 3. Jalgsimatk kestis 9 tundi. Esimesed 5 tundi liiguti kiirusega 4,5 km/h, siis puhati pool tundi ja ülejäänud aja liiguti kiirusega 4 km/h. Avaldada läbitud teepikkus (s) aja t funktsioonina. Leidke selle funktsiooni määramispiirkond. Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f(x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f(-x) = f(x), ja paarituks funktsiooniks, kui f(-x) = -f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, paaritufunktsiooni graafik aga 0-punkti suhtes. y Paaritu funktsioon 0 x Paarisfunktsioon Perioodilised funktsioonid Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline
Kasvamispiirkond X
Kui x1
[(x, y) I xX ja y=f(x)]
DEF 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud vähemalt üks hulga Y element ja
vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis
öeldakse, et hulgal X on määratud mitmene funktsioon f.
DEF 4. Funktsioonide y=f(x) (xX) ja z=g(y) (yY ja f(X) c Y) liitfunktsiooniks ehk
superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z=g(f(x)).
DEF 5. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim.
paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x)
DEF 6. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim.
paarituks funktsiooniks, kui f(-x)=-f(x)
DEF 7. Funktsiooni nim. perioodiliseks, kui leidub selline arv T0, et iga xX korral ka x+-
TX ja f(x+T)= f(x). Vähimat pos.arvu T mille korral f(x+T)=f(x) nim. funktsiooni
perioodiks.
DEF 8. Funktsiooni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1X ja
x2X korral, mis rahuldavad võrratust x1
o Funktsiooni põhilised esitusviisid. Ilmutatud kuju y = f (x). Nt y = a x +b; y = ax2 + b x + c Ilmutamata kuju f (x, y) = 0. Nt x2 + y2 = 4 Parameetriline kuju . Nt Geomeetriline esitus graafiku abil. o Numbriline esitus tabeli abil. Funktsioonide liigitamine. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x), ja paarituksfunktsiooniks, kui f (-x) = -f (x) iga x korral määramispiirkonnast X. Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f (x + ) = f (x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille koraal kehtib võrdus, nimetatakse funktsiooni y = f (x)
hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f (x + ) = f (x) iga x X korral. Näiteks on perioodilised kõik trigonomeetrilised funktsioonid.
funktsoon, kui aga hulga X igale elemendile on vastavusse seotud vähemalt üks hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis hulgal X on määratud mitmene funktsioon Argumendi x muutumispiirkonda X nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna. Funktsiooni nimetatakse paarisfunktsiooniks kui x-X kehtib võrdus f(-x)=f(x) ja paarituks kui x-X ja f(-x)=-f(x) F.nim perioodiliseks, kui leidub konstant T0, et iga x-X korral kui x + T kuulub X-i kehtib f(x + T) = f(x). Vähimat sellist positiivset konstanti T, kui selline leidub, nimetatakse funkts f perioodiks. Liigitus: Funktsiooni f(x)nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab
igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus, ja kahanevaks, kui igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. I Analüütiline esitus valemi abil, II Geomeetriline esitus graafiku abil, III Numbriline esitus tabeli abil Paaris- ja paaritud funktsioonid - Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (- x) = f (x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarisfunktsiooniks. Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (- x) = - f (x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarituks funktsiooniks. II. Perioodilised funktsioonid Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (x+t) = f (x) (t 0) iga x ja x t + puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. 4. Elementaarsed põhifunktsioonid (astmefunktsioon, eksponentfunktsioon,
Funktsiooni esitlusviis: a. Piltlik- d. Nooldiagrammine- b. Valemiga - e. Sõnadega- c. Tabelina- f. Funktsiooni f nimetatakse üheseks¸ kui argumendi igale väärtusele vastab üksainus funktsiooni väärtus. g. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. h. Funktsiooni f nimetatakse paaritu funktsiooniks, kui f(-x)= -f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Graafik on sümmeetriline O-punkti suhtes. i. Funktsioon f on piirkonnas X kasvav, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus, s
2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nimetatakse LIITFUNTSIOONIKS sõltumatu muutuja suhtes. z = g(y) = g(f(x)). PÖÖRDFUNKTSIOON DEFINITSIOON 2. Kui funktsiooni y = f(x) korral x = (y), siis funktsiooni y = (x) nimetatakse lähtefunktsiooni PÖÖRDFUNKTSIOONIKS ja vastupidi. ERIOMADUSTEGA FUNKTSIOONE DEFINITSIOON 3. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse PAARISFUNKTSIOONIKS, kui ta rahuldab tingimust f(-x) = f(x) iga x X puhul. DEFINITSIOON 4. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse PAARITUKS, kui ta rahuldab tingimust f(-x) = -f(x) iga x X puhul. DEFINITSIOON 5. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse PERIOODILISEKS, kui leidub niisugune t R, mis ei võrdu nulliga, et f(x+t) = f(x) iga x X puhul. 3 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. ELEMENTAARSEID VÕTTEID TEMA ARVUTAMISEKS DEFINITSIOON. Arvu A nimetatakse funktsiooni y = f(x)
öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y=f(x). *Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määraud ühene funktsioon f. *Hulka X nimetatalse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(x) = {y | x X y = f (x )} Y muutumispiirkonnaks. *Funktsiooni, mille määramispiirkond on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui : f(-x)=f(x) ja paarituks funktsiooniks, kui : f(-x)=-f(x). * Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T =/= 0, et iga x X korral ka x ± T X ja f (x + T) = f (x) ja antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)=-f(x) korral. 4*(Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid) Funktsiooni y = f (x) (x X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f -1 (y ) , mis igale arvule y Y = f (X )
3 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 3) Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Funktsiooni ! nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga korral kehtib võrdus ! - = ! . Funktsiooni ! nimetatakse paarituksfunktsiooniks, kui iga korral kehtib võrdus ! - = -! . Funktsiooni ! nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant ' > 0 nii, et iga korral kehtib võrdus ! + ' = ! . Väikseimat sellist konstanti ' nimetatakse funktsiooni ! perioodiks. Olgu ( funktsiooni ! määramispiirkonna alamhulk. Valmine hulgast ( kaks suvalist arvu ) ja * nii, et kehtib võrratus ) < * . Kui funktsiooni
tabeli ühes reas ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas. Võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis valemi kujul. Funktsiooni graafiline esitusviis esitatakse graafikuna tasandi ristkoordinaadistikus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. Paaris- ja paaritud funktsioonid - Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f
hulgal X on määratud ühene funktsioon f. Kui funktsioon f omab punktis a loplikku tuletist, siis õeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse Tahistame f ∈ C^1(a) voi f ∈ D(a). Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. paarisfunktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = f(x). Funktsiooni y = f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse Funktsiooni y = f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust
muutuja y(funktsiooni) kindel väärtus piirkonnast Y, siis muutujat y nimetatakse muutuja x funktsiooniks. Funktsioone saab esitada: · tabelina x y 1 2 2 4 3 6 · graafikuna · analüütiliselt 1. ilmutatud kujul 2. ilmutamata kujul 3. funktsiooni parameetrilisel esitusviisil 6.Eriomadustega funktsioonid: ühesed, mitmesed, paaris- ja paaritud funktsioonid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(x)=f(-x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline y- telje suhtes, naiteks y=x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(-x)=-f(x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline 0 punkti suhtes Naiteks f(x)=x, f(x)=sinx Uheseks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus argumendi uhele
Funktsioon - Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ( ühene) funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y = f(x) (x ∈ X). Määramispiirkond ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x ∈ X ∧ y = f(x)} ⊂ Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Paaris funktsioon - Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = f(x). Paaritu funktsioon - Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = −f(x). Perioodiline funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T ≠ 0, et iga x ∈ X korral ka x ± T ∈ X ja f(x + T) = f(x). Kasvav funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas
funktsioon on mitmene, siis eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleleelne sirge, mis lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks.
On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Funktsiooni graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistukus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis 3. Def. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub constant C>0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas
On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Funktsiooni graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistukus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis 3. Def. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub constant C>0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas
21. Täisosa funktsioon, graafik- · Arvu täisosa funktsioon · y=[x], kus [x] on suurim täisarv, mis ei ületa arvu x. · Näited: [2,5]=2; [2,9]=2; [2]=2; [-2,5]=-3; [-2]= -2; [- 3,45]=-4; [0,(9)] 22. Murdosa funktsioon, graafik- · y={x}=x-[x] · [2,3]=2 · {2,3}=0,3 · {2}=0 · {-3,75}=0,25 23. Paarisfunktsioon- · Funktsiooni, mille graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks · Paarisfunktsiooni tunnuseks on võrdus · f(-x)= f(x) · Paarisfunktsioonid on näiteks kõik funktsioonid kujul · y=ax2+b, y=ax2k+b (k on täisarv) · + 24. Eksponentfunktsioon, graafik y = a , kus a R ja a 1 x · . · Määramispiirkond kõik reaalarvud · Muutumispiirkond positiivsed reaalarvud · Graafik läbib punkti (0;1)
1-1= 0 Paaris- ja paaritud funktsioonid Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse See võrdul näitab, et - on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus Funktsioon f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga xX Põhilised elementaarfunktsioonid definitsioonid suhtes. korral kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsiooni korral y= , y= , y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y= , y=arcsinx, Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja esineb sümmeetria y-telje suhtes
siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühene funktsioon f. *Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(x) = {y | x ∈ X ∧ y = f (x )} ⊂ Y muutumispiirkonnaks. a - ε < Xn < Zn < Yn < a + ε ↔ Zn ∈ Uε(a), mis vastavalt *Funktsiooni, mille määramispiirkond on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui ∀x∈X : f(-x)=f(x) ja paarituks lim Zn=a piirväärtuse def. annab n →∞ funktsiooniks, kui ∀x∈X : f(-x)= -f(x).
(lk 4 – 5) Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Graafik on joon(ed), mis kirjeldavad x ja y omavahelist seost ja suhet kindlates punktides. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme tasandil hulka G, mis koosneb punktidest P(x, f(x)), mille esimene koordinaat x omandab kõik väärtused määramispiirkonnas X. Seda hulka nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 9. Defineerida paaris- ja paaritu funktsioon. (lk 6) Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 10. Defineerida perioodiline funktsioon ja funktsiooni periood. (lk 6) Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x)
Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon järgmine: G = {P = (x,f(x))||x X}. Graafiku punkti P teist koordinaati f(x) võib tõlgendada P "kõrgusena" x- telje suhtes. Kui f(x) > 0, siis on graafiku "kõrgus" positiivne, st graafik paikneb ülalpool x-telge. Kui aga f(x) < 0, siis on "kõrgus" negatiivne, st graafik jääb x-teljest allapoole 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk
o Kui suvaline yteljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. o Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks yteljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3. · Paaris ja paaritud funktsioonid. o Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). o Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). · Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. · Kasvavad ja kahanevad funktsioonid
o Kui suvaline yteljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. o Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks yteljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3. · Paaris ja paaritud funktsioonid. o Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). o Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). · Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. · Kasvavad ja kahanevad funktsioonid
Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punktidest P = (x, f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku defnitsioon järgmine: G = {P = (x; f(x)) ||x X} 2. Funktsioonide liike (paaris-, paaritu, perioodiline): Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nim. paarisfunktsiooniks kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nim. paarituks funktsiooniks kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks kui leidub konstant C > 0 nii et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist arvu C nim. funktsiooni f perioodiks. 3. Monotoonsed funktsioonid. Pöördfunktsioonid Funktsiooni f nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi
Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Näiteks avaldis y = x2 , x [0, 1] Funktsiooni graafiku mõiste: Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. G = { P = (x, f(x)) || x X} . Graafiku omadused: Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid: Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid: Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks.Kasvavad ja kahanevad funktsioonid: Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk
y-teljega paralleelne sirge, mis lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. a. Paaris- ja paaritud funktsioonid a.i. Funktsioon f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga xX korral kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsiooni korral esineb sümmeetria y-telje suhtes. a.ii. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga xX korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x) b. Perioodilised funktsioonid Funktsiooni nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C>0 nii, et iga xX korral kehtib võrdus f(x+c)=f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse
funktsiooni graafikul vaadeldavas kohas mitu "kõrgust", seega oleks ka funktsioonil ühe argumendi korral mitu väärtust. (Ühesel) funktsioonil ei saa aga mitut väärtust olla. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib vähemalt üks y- teljega paralleleelne sirge, mis lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks, kui iga xX korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid Valime funktsiooni määramispiirkonna hulgast
Punkt P teist kordinaadi f(x) võib tõlgendada P ,,kõrgusena" x telje suhtes.Kui f(x)>0 ;siis on graafiku kõrgus positiivne,kui aga f(x) < 0 siis negatiivne. X-y teljestikus antud punkti üldkuju on P=(x,y) , funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P=(x, f(x)) , siis rahuldavad graafiku punktid võrrandit y = f(x) . Suuvaline y-teljega parallelne sirge saab funktsiooni grafikut lõigata maksimalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid- Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk
Punkt P teist kordinaadi f(x) võib tõlgendada P „kõrgusena” x telje suhtes.Kui f(x)>0 ;siis on graafiku kõrgus positiivne,kui aga f(x) < 0 siis negatiivne. X-y teljestikus antud punkti üldkuju on P=(x,y) , funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P=(x, f(x)) , siis rahuldavad graafiku punktid võrrandit y = f(x) . Suuvaline y-teljega parallelne sirge saab funktsiooni grafikut lõigata maksimalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Perioodilised funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid- Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk
Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Liitfunktsioon - kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] Pöördfunktsioon Paaris- ja paaritudfunktsioonid : *paaris kui iga x X korral on f(-x)=f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X *paaritu kui iga x X korral on f(-x)=-f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X Perioodiline funktsioon funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu 0 tema perioodiks, kui f ( x + ) = f ( x ) iga x X korral. See definitsioon eeldab, et koos punktiga x kuulub piirkonda X ka punkt x + . Kui x + k X iga k Z korral, siis koos arvuga on funktsioon f perioodiks ka arvud k 0 .
funktsioon on ühene. Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D
Selleks on kaks võimalust: a) x ≥ 0 ja x > 5 ning b) x ≤ 0 ja x < 5. Juhul a) on mõlemad võrratused rahuldatud, kui x > 5, juhul b) aga siis, kui x ≤ 0. Kokkuvõttes on funktsiooni f määramispiirkonnaks hulk D := (−∞, 0] ∪ (5,∞) . Esitada paaris- ja paaritu funktsiooni definitsioon: Olgu funktsiooni f määramispiirkond D sümmeetriline nullpunkti suhtes, s.t. −x ∈ D iga x ∈ D korral. Funktsiooni f nimetatakse 1) paarisfunktsiooniks, kui f (−x) = f (x) iga x ∈ D korral, 2) paarituks funktsiooniks, kui f (−x) = −f (x) iga x ∈ D korral. Tuua näiteid tõkestatud ja tõkestamata funktsioonide kohta: Siinusfunktsioon f : R → R, f (x) := sin x ja koosinusfunktsioon f : R → R, f (x) := cos x on tõkestatud, kuna mõlemal juhul f (R) = [−1, 1] Seevastu tangensfunktsiooni f : R{π/2 + kπ | k ∈ Z } → R, f (x) := tan x =sin
parameetrilisele esitusele on teostatav valemitega: T y = r ( )sin , 2 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioonide liigid Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X . Definitsioon: Kui iga x X korral on f (- x ) = f ( x ) , siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paarisfunktsioon on näiteks y = x , y = cos x . Definitsioon: Kui iga x X korral on f (- x ) = - f ( x ) , siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Paaritu funktsioon on näiteks: y = x , y = sin x , y = tan x , y = cot x , y = arcsin x , y = arctan x .
oib koostisosi olla rohkem kui kaks. N¨aiteks funktsioonil cos2 sin x on Liitfunktsioonil v~ koostisosi neli: x sin x sin x cos sin x cos2 sin x. Definitsioon 5. Funktsiooni f , mille m¨a¨aramispiirkond X on s¨ ummeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui x X : f (-x) = f (x). 13 Definitsioon 6. Funktsiooni f , mille m¨a¨aramispiirkond X on s¨ummeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X : f (-x) = -f (x). Et N¨aites 1 esitatud funktsiooni y = x2 m¨a¨aramispiirkond X = [-1; 1] on s¨ ummeetri- line nullpunkti suhtes ja
Sageli ei ole võimalik sellist võrrandit täpselt lahendada ja seega ei ole võimalik funktsiooni valemina avaldada. Ilmutatud kujul saaksime siin neli eraldiseisvat funktsiooni: y1 = 1 - x2 , y2 = - 1 - x2 ja ka vastupidi x1 = 1 - y 2 , x2 = - 1 - y 2 . Võrrand F (x, y) = 0 ei pruugi ühemuutujafunktsiooni üheselt määrata. Definitsioon 3.5 Funktsiooni y = f (x) nimetatake paarisfunktsiooniks määramispiir- konnas X, kui f (-x) = f (x), iga x X korral. Funktsiooni y = f (x) nimetatake paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x), iga x X korral. 27 PEATÜKK 3. FUNKTSIOONID JA JADAD Märkus 3.6 Paarisfunktsioon on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsioon
z = g(f (x)). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 20 / 25 Funktsioon Definitsioon (Paarisfunktsioon) Funktsiooni f , mille ma¨ aramispiirkond ¨ X on summeetriline ¨ nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui x X : f (-x) = f (x). Definitsioon (Paaritu funktsioon) Funktsiooni f , mille ma¨ aramispiirkond ¨ X on summeetriline ¨ nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X : f (-x) = -f (x). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 21 / 25
annaabi.ee 
