Ligikaudsed arvud (0)

Ligikaudsed arvud
Igapäevaelus kohtame ligikaudseid arve igal pool. Näiteks mõõtmistulemused antakse alati ligikaudsete arvudega . Ligikaudsete arvude korral tuleb teada, millise veaga need on antud.
Meie vaatame selliseid arve, mille korral järeldub arvu kirjutisest kohe ka arvu vea ülemmäär. See tähendab seda, et arv kirjutatakse õigete numbritega. Õigeks loetakse numbrit, mille kümnendkohale vastav ühik on suurem vea ülemmäärast.
Ligikaudse arvu tüvenumbriteks nimetatakse selle arvu kirjutises olevaid õigeid numbreid , välja arvatud kümnendmurru alguses olevad nullid ehk avanullid.
Tüvenumbrid moodustavad arvu tüve.
Niisiis , tüvenumbrid algavad alati nullist erineva numbriga. Viimasele tüvenumbrile vastav kümnendjärk määrab ligikaudse arvu vea ülemmäära.
Arvu tüvenumbrid ei muutu siis, kui:
**muuta koma asukohta arvus
**korrutada arvu 10 mingi astmega
**jagada arvu 10 mingi astmega
Näiteks: arvudel 30,17; 3,017; 0,030017; ja 3017 on ühed ja samad tüvenumbrid. Need on
3 - 0 - 1 - 7 (kolm - null - üks - seitse ).
Ligikaudse arvu murdosa lõpust ei tohi nulle lihtsalt ära jätta.
Näiteks: kui arv 20,4032 on antud sajandiku täpsusega, tuleb see kirjutada sajandikeni ümardatult 20,40. Kui selle asemel oleksime kirjutanud arvu 20,4, siis selle vea ülemmääraks oleks üks kümnendik, mitte üks sajandik.
Näiteid:
ARV TÜVENUMBRID VEA ÜLEMMÄÄR
3,09...................3-0-9...............................0,01
0,0056.................5-6...............................0,0001
734....................7-3-4..................................1
50,003............5-0-0-0-3...........................0,001
4,8090............4-8-0-9-0..........................0,0001
Nulliga lõppevate arvudega tuleb otsustada, kas null on tüvenumber või ei ole. Need nullid, mis ei ole tüvenumbrid, kirjutatakse väiksemalt või joonitakse alla. Kui seda ei tehta , tuleb teha oletus mõõtmisvea suuruse üle. Näiteks, kui on antud koridori pikkuseks 30 meetrit, on loogiline oletada, et null on tüvenumber, sest vastasel juhul oleks vea ülemmääraks 10 m, mis ei oleks aga usutav . Kui aga on antud, et väikefirma sissetulek oli 543 000 krooni, siis ei saa ühtegi nulli lugeda tüvenumbriks.
Ebamäärasust ligikaudsete arvudega saab vältida, kui kasutada standardkuju . Standardkuju esimeseks teguriks on sel juhul arvu tüvi, mis on kirjutatud kõikide tüvenumbritega. Eeltoodud näited näeks siis välja nii:
20m = 2,0 x 10m 543 000 kr = 5,43 x 10(astmel viis(5)) kr.
Liitmise ja lahutamise korral on tulemuse vea ülemmäär samasugune nagu tehtes osalevatest arvudest väiksema täpsusega ehk suurema veaga arvul. Kui tehtes osalevad arvud on ühesuguse veaga, on ka tulemusel sama vea ülemmäär. Need reeglid kehtivad ka mitme arvu algebralise summa korral. Algebraliseks summaks nimetatakse summat , mille liidetavad võivad olla nii positiivsed kui negatiivsed.
Kümnendjärku, mille ühik on suurima veaga antud arvu vea ülemmäär, nimetatakse arvude madalaimaks ühiseks järguks. Näiteks ligikaudsete arvude 2,265; 47,90 ja 2,0672 madalaim ühine järk on sajandike järk.
Ligikaudsete arvude summa või vahe ümardatakse lähteandmete madalaima ühise järguni. Samuti tehakse ka mitme arvu algebralise summa korral.
Näited:
1. 43,4 + 13,5 = 56,9
Liidetavate madalaim ühine järk on kümnendike järk.
2. 14,2 + 15,37 = 29,57 = 29,6
Liidetavate madalaim ühine järk on kümnendike järk.
3. 123 - 65,34 = 37,66 = 38
Madalaim ühine järk on üheliste järk.
4. 28,3 + 1,6 x 10(astmel kaks(2)) - 18 = 28,3 + 160 - 18 = 170,3 = 170 = 1,7 x 10(astmel kaks(2))
Madalaim ühine järk on kümneliste järk.
Ligikaudsete arvude korrutamisel või jagamisel säilitatakse tulemuses nii mitu tüvenumbrit, kui neid on vähima tüvenumbrite arvuga lähteandmes.
Näited:
1. 1,75 x 2,31 = 4,0425 = 4,04
Tegurid on antud kolme tüvenumbriga ja ka tulemuse ümardae kolme tüvenumbrini.
2. 2,34 : 20,15 = 0,116129032 = 0,116
Jagataval on kolm tüvenumbrit ja jagajal neli, seega jääb jagatisse kolm tüvenumbrit.
3. 12 x 3,4282 = 41,1384 = 41
Esimesel teguril on kaks tüvenumbrit ja sama palju jääb ka tulemusse.
4. 2038 : (4,1 x 10(astmel kolm(3))) = 2038 : 4100 = 0,49707317 = 0,50
Jagataval on neli tüvenumbrit, jagajal kaks, seega jääb tulemusse kaks tüvenumbrit.
Kui mõni lähteandmetest on antud täpse arvuna, siis seda arvu eeltoodud reeglites ei arvestata. Näiteks kui ligikaudne arv korrutatakse või jagatakse täpse arvuga, võetakse tulemusse nii mitu tüvnumbrit, kui palju neid on ligikaudsel arvul. Niisiis, kui tehtes 12 x 3,4282 on arv 12 täpne, peab tulemus olema viie tüvenumbriga:
12 x 3,4282 = 41,1384 = 41,138.
Keerulisemate arvutuste korral tuleb teha vahetehteid. Kui iga vahepealse tehte vastused ümardada, võivad ümardamisvead kuhjuda. Et seda ei juhtuks, tehakse vahepealsed arvutused ühe varunumbriga. See kriipsutatakse alla, et eristada seda tüvenumbritest. Lõpptulemus ümardatakse nii, et alles jäävad ainult tüvenumbrid.
Kui teha tehted arvutiga, ei ole vaja vahepealsete tehete vastuseid ümardada. Lõpptulemus tuleb aga reeglite kohaselt ümardada. Kui avaldis sisaladab eri järku tehteid, siis on vaja vahepealseid tehteid üles märkida, et määrata nende madalaim järk või tüvenumbrite arv.
Ligikaudse arvutamise reegel ei kehti, kui vaadeldavas tehtes osaleb rohkem kui neli ligikaudset arvu.
Näiteks: olgu vaja arvutada summa, milles ligikaudne arv 6,8 esineb 11 korda.
6,8+6,8+6,8+6,8+6,8+6,8+6,8+6,8+6,8+6,8+6,8 = 11 x 6,8 = 74,8
Kõik liidetavad on kümnendiku täpsusega ja madalaima ühise järgu reegli kohaselt peaks ka summa olema kümnendiku täpsusega.
Seda summat võib aga vaadelda ka kui täpse arvu 11 ja ligikaudse arvu 6,8 korrutist. Et ligikaudsel arvul on kaks tüvenumbrit, siis ka korrutisel peab olema kaks tüvenumbrit.
Saame: 11 x 6,8 = 74,8 = 75.
Siinsel juhul esimene reegel ei kehti, sest liidetavate arv on liiga suur. Teine reegel aga annab õige tulemuse, sest korrutises on vaid kaks tegurit.