kvgjfccfycuyfcyfuc (0)

Tartu Ülikool
Majandusteaduskond
Lineaarplaneerimisülesande koostamine, lahendamine ja analüüs
Kodutöö
Veronika Gorbatenko
I. bakalaureusõppe kursus
10. oktoober 2013
Probleemi kirjeldamine:
Tehasel, mis tegeleb mänguasjade valmistamisega, on võimalus teha 4 erinevat pehmete loomade liiki: jäneseid, siile, karusid ja rebaseid . Kõigi nende valmistamiseks läheb 5 erinevaid materjale, mis on niit , puuvillariie, täitematerjal, kunstkarusnahk ja plüüs. Materjale mõõdetakse meetrites.

Ühe mängujänese valmistamiseks tuleb kasutada 2m niiti, 3.5m puuvillariide, 3m täitematerjali ja 1m kunstkarusnahka. Jänest müüakse hinnaga 7 eur.

Ühe mängusiili valmistamiseks tuleb kasutada 1.5m niiti, 0.5m puuvillariide, 2.5m täitematerjali , 3m kunstkarusnahka ja 2m plüüsi. Siili müüakse hinnaga 6.5 eur.

Ühe mängukaru valmistamiseks tuleb kasutada 3m niiti, 4.5m täitematerjali, 2.5m kunstkarusnahka ja 1m plüüsi. Karu müüakse hinnaga 10 eur.

Ühe mängurebase valmistamiseks tuleb kasutada 2m niiti, 3m puuvillariide, 3m täitematerjali ja 3m plüüsi. Rebast müüakse hinnaga 7.5 eur.
Tehase käsutamises on laos olemas kindlad materjalide kogused . Niiti on olemas 980m, puuvillariide 850m, täitematerjali 1250m, kunstkarusnahka 670m ning plüüsi 900m.
Tehase ülesandeks on teha sellise tootmisplaani, mille järgi summaarne kasum oleks maksimaalne võimalik.
Matemaatilise mudeli koostamine:

Esiteks tuleb koostada sihifunktsiooni . Võtame muutujaid x1, x2, x3, x4, mis on vastavalt jäneste, siilide, karude ja rebaste kogused. Nende kordajateks on ühe tüki hind. Sihifunktsioon Q moodustub nende muutujate summast ning on ise maksimeeritav funktsioon. See tähendabki maksimaalset kasumit.
max Q =7x1+6.5x2+10x3+7.5x4

Teiseks on vaja moodustada kitsendusi. On teatud, et määratud olemasolevaid koguseid ei saa ületada, seega tehakse võrrandeid iga materjali kohta. Nendes on määratud kogus iga mänguasja valmistamiseks (muutujate kordaja) ning nad on vähemad või võrdsed antud piirangutega. Lisaks määratakse mittenegatiivsuse nõuet.
2
x1
1.5
x2
3
x3
2
x4
≤
980
 
3.5
x1
0.5
x2
3
x4
≤
850
  
3
x1
2.5
x2
4.5
x3
3
x4
≤
1250
  
x1
3
x2
2.5
x3
≤
670
 
2
x2
x3
3
x4
≤
900
 
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Lahendamine:
Selle probleemi lahendamist on mugav teostada Excel ’is. Selleks on vaja kanda kõiki andmeid sisse.
• Sihifunktsiooni valemiks on:
, muutujate summa koos vastava kasumiga kui kordajad .
• Kulud on arvutatud iga materjali kohta eraldi. Nende valemiks on muutujate summa koos vastavate kuluühikutega kui kordajad.
Niiti kulud
Puuvillariide kulud
Täitematerjali kulud
Karusnaha kulud
Plüüsi kulud
Max funktsiooni ja muutujate optimaalseid väärtusi arvutame välja Exceli Solveri abil. Selle jaoks määrame sihifunktsiooni, mis vajab optimiseerimist ning allpool määrame vajatud kitsendused (tootmiskulud ei saa olla rohkem kui olemasolevad piiratud ressursside kogused). On vaja ka määrata, et funktsioon on maksimeeriv ning seada mittenegatiivsuse nõuet (minu versioonis selleks on vaja ainult panna märki vastava lahtrisse).
• Pärast Solveri käivitamist vastused on juba automaatselt pandud lahtritesse:
, ning on valmistatud aruanded (reports).
Sensitivity report:
Answer report:
Limits report:
Lahendatud ülesanne analüüs:

Sihifunktsiooni väärtuse analüüs.
Sihifunktsiooni väärtus, mida saime ülesanne lahendamise korral, näitab maksimaalset võimalikku kasumit. Antud korral maksimaalne kasum, mida saame teenida, on umbes 3121,43 EUR.

Põhitundmatute väärtuste analüüs.
Põhitundmatute väärtused näitavad koguseid, millega on kõige mõttekam töödelda olemasolevaid mänguasjade liike. X1 tähendab mängujäneste kogust; neid saab kõige kasumlikum toota koguses 70 tükki. X2 tähendab siilide kogust ja neid on kõige parim toota 189 tükki. X3 on mängukarude kogus ning neid on kõige mõttekam toota 13 tükki (12,5 ümardatud). X4 on rebaste kogus ja neid on parim toota 170 tükki (169,5 ümardatud).

Abitundmatute väärtuste analüüs.
Kui me lahendaksime seda ülesannet tavaliselt simpleksmeetodiga, siis peaksid esinema ka abitundmatud, mis tähendaksid ressursside ülejääki. Lahendatud Exceliga tabelist on näha, et materjalid puuvillariie, täitematerjal, karusnahk ja plüüs on kasutatud kuni ülemise piiranguni. See tähendab, et ülejääke ei ole ja neli viiendiku abitundmatuid on kõik nullid.
Niiti juhul on aga määratud ülejääk, sest et see ei olnud kasutatud lõpuni (801,7m 980-st). Ülejäägi väärtus on siis 980-801,7=178,3 m. Siis abitundmatu x5 väärtus on 178,3.

Lahendi stabiilsuse analüüs.
On vaja uurida, kas leidub selline sihifunktsiooni muutus, mis muutuks saadud tulemust veel paremaks.
Andmed +ej ja –ej näitavad vastavalt positiivset ja negatiivset muutust iga muutuja korral, millega säiliks optimaalne lahend.
Reduced cost (Приведенн. Стоимость) väärtused näitavad, kui palju lisakasumit saaksime, kui toodaksime mõne toodangu lisaühikut. Antud juhul need on nullid, sest et ülesanne on ise maksimeeritav ja sellepärast rohkem lihtsalt ei ole võimalik toota, kõik on kasutatud maksimumini.

Duaalhinnangute analüüs.
Yi väärtused ehk Shadow price väärtused annavad teada, kuidas muutuks kogukasum, kui antud ressurssi piirkogus suureneks ühe ühiku kohta. Antud juhul me näeme, et puuvillariie lisameetri kohta saaksime 0,20 EUR lisakasumit, täitematerjali lisameetri kohta saaksime 2,01 EUR lisakasumit, karusnaha lisameetri kohta saaksime 0,27 EUR lisakasumit ning plüüsi lisameetri kohta saaksime 0,28 EUR lisakasumit.
Ressursside kasutamise tabelis on olemas ka lubatavad suurendused ja lubatavad vähenemised (+↑ ja -↓). Need suurused on ka määratud ressursside ühikutes ning tähendavad seda, kuidas saab muuta ressursse koguseid rohkemaks või väiksemaks nii, et säiliksid optimaalsus ja kõik ülesande nõuded. Toon näide täitematerjali lubatavatest muutustest. Selle koguse lubatav suurenemine on 249,88m. See tähendab, et saame piirkogusele liita 249,88m või vähem, et saada lisakasumit 2,01 EUR iga liidetava meetri kohta. Samas võime aga ka väheneda seda kogust 36,46m või vähem, seega võttes kogukasumist maha 2,01 EUR iga ära võetud meetri kohta.