integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk esimest liiki katkevuspunkte. Tõestame järgnevas mõned erijuhud: Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. Näidata, et konstantne fn on integreeruv Lause . Iga lõigul konstantne funktsioon on sel Integraali keskväärtusteoreemid lõigul integreeruv, kusjuures
x1 (x-, x) ja x2 (x, x+) korral f(x1)
8. Funktsiooni diferentsiaal, omadused. o Funktsiooni y = f (x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f' (x) x. o Omadused: [ f (x) + g (x)]' = f' (x) + g' (x) [ f (x) g (x)]' = f' (x) g' (x) [c f (x)]' = c f (x) [f (x) g (x)]' = f' (x) g (x) + g' (x) f (x) [f (x) / g (x)]' = [f' (x) g (x) g' (x) f (x)] / [g (x)]2 9. Keskväärtusteoreemid, L'Hospitali reegel. o Keskväärtusteoreemid: Rolle'i teoreem kui funktsiooni f (x) on pidev lõigul [a;b] ja diferentseeruv vahemikus (a;b) ning f (a) = f (b), siis vahemikus (a; b) leidub selline c, et f' (c) = 0, st f(x) C[a;b] D (a; b) ^ f (a) = f (b) c (a; b) : f' (c) = 0. Cauchy keskväärtusteoreem kui funktsioonid (x) ja (x)
Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine
millel on lõplik või loenguv hulk esimest liiki katkevuspunkte. Tõestame järgnevas mõned erijuhud: Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. 4. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. 5. Muutujavahetus 6. Ositi integreerimine. 7. Osamurdudeks jagamine. 8. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. 9. Integraali keskväärtusteoreemid. 10.Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju 11.Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid 12. Määratud integraali rakendused. PÖÖRDKEHA RUUMALA: 13. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Kvadratuurvalemid.
monotoonne ning 𝜑̇ (𝑡) ≠ 0 (𝑡 ∈ (𝛼, 𝛽)), siis 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑥̇ = 𝜑̇(𝑡) (𝛼 < 𝑡 < 𝛽), täpiga 𝑑𝑡 tähistatakse tuletist parameetri järgi. 5. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Korgemat järku tuletised. 6. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a) Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad
Kui funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni tuletis selles punktis on null: Täestus. Olgu selles punktis x väitevastaselt f'(x)0. Seega f'(x)>0 või f'(x)<0 ja lausse 3 põhjal on funktsioon f(x) selles punktis x vastavalt kas rangelt kasvav või kahanev ning järelikult ei ole sel funktsioonil selles punktis x lokaalset ekstreemumit. See vastuolu on tingitud väitevastasest eeldusest. Järelikult f'(x)=0 1.16 Keskväärtusteoreemid: Lause 1 (Rolle'i teoreem). Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul ja diferentseeruv vahemikus (a, b) ning f(a)=f(b), siis vahemikus (a, b) leidub selline punkt c, et , st . Lause 2 (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid on pidevad lõigul ja diferentseeruvad vahemikus (a, b) kusjuures ning , see tähendab, et Lause 3 (Lagrange'i keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul ja diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub selline punkt Tõestus
Jagatise tuletise valemi tuletamine. funktsiooni väärtust y ja võrdub nulliga. Võtame mõlemast poolest tuletise, eeldades, et y on x-i Teoreem: Kui on olemas tuletised u'(x) ja v'(x), siis on olemas ka tuletis (u(x)/v(x))', mis avaldub kujul funktsioon. Kõrgemat järku leiame analoogselt. (u(x)/v(x))'= u'(x)v(x)-u(x)v'(x)/. Tõestus: Märkides y=f(x)=u(x)/v(x), leiame: 1) y= f(x + 6. Keskväärtusteoreemid. x)=( u(x+x))/v(x+) u(x)/v(x)=( u+u)/v+v u/v =( uv+uv - uv - uv)/v(v+v)=( uv- Rolle'i teoreem: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b) ning f(a) = f(b), uv)/v(v+v); 2) y/x =((u/x)v u(v/x))/v(v+v); 3)y'= = (u'v uv')/, kus tuletise olemasolu siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, kus f'(c) = 0
Lause Kui f(a) = c > 0, siis funktsioon on rangelt kasvav punktis a. Kui f(a) = c < 0, siis funktsioon on rangelt kahanev punktis a. Tõestus. Kui funktsiooni y = f (x) tuletis f(x) on positiivne punktis a, st siis leidub selline > 0, et Seega, kui a (-; 0) U (0; ); siis suurused x ja y on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt kasvav punktis a. 8. Keskväärtusteoreemid. Rolle'i teoreemi tõestus. Rolle'i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f (c) = 0. Tõestus. Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, kus f (c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f (x) = 0 iga x (a; b).
tuletist parameetri järgi. Tõestus: Seega, kui Δa ϵ (-δ; 0) U (0; δ); siis suurused Δx ja Δy on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt kasvav punktis a. 8. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreemi tõestus. Rolle’i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub
− 𝑓(𝑥) ( 𝑔(𝑥) ) ′ = lim 𝑔(𝑥+∆𝑥) 𝑔(𝑥) = lim (𝑓(𝑥+∆𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+∆𝑥) = 8).( Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreemi tõestus). ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑔(𝑥+∆𝑥)𝑔(𝑥)∆𝑥 Rolle’i teoreem
nimetatakse punktmassi liikumise kiiruseks ajahetkel t. Analoogselt defineerime kiirenduse a(t)ajahetkel t ja saame a (t ) = s (t ). Üldiselt, mõistes liikumist kui mistahes nähtuse muutumist looduses, tehnikas, ühis- konnasjne, võime öelda, et funktsiooni f tuletis on seaduse y = f (x) alusel toimuva nähttuse kulgemise kiirus (intensiivsus). §4 DIFERENTSIAALARVUTUSE KESK- VÄÄRTUSTEOREEMID JA NENDE RAKEN- DUSI 1. Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid Järgnevalt sõnastame teoreemid, mida tuntakse vastavalt Cauchy teoreemi ja Lagrange'i teoreemi nime all. Teoreem 12. (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b) ning g'(x) 0 iga x (a,b) korral, siis leidub selline punkt c (a,b), nii et kehtib võrdus f (b) - f ( a) f ' (c ) = .
Seega d 2 y = f ( x ) dx 2 , d 3 y = f ( x ) dx 3 ning f ( n ) ( x ) = n , mis annab sisulise tähendus n-järku dx tuleitse Leibnizi tähistusele ja võimaldab seda sümbolit vaadelda kui harilkku murdu. Null-järku diferentsiaali all mõeldakse funktsiooni ennast, s.o. d 0 y = f ( x ) . 15. Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid (Lagrange'i teoreem, selle geomeetriline tähendus, Cauchy teoreem) Cauchy teoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a, b ] ja diferentseeruvad vahemikus ( a, b ) , kusjuures funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus ( a, b ) , siis leidub vähemalt üks punkt ( a, b ) nii, et kehtib võrdus f ( b ) - f ( a ) f ( ) = g ( b ) - g ( a ) g ( )
. . . . 52 5.7 Kõrgemat järku tuletis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.8 Joone puutuja ja normaali võrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.9 Funktsiooni diferentsiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6 Funktsiooni uurimine 59 6.1 Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.2 L'Hospital'i reegel piirväärtuse arvutamiseks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.4 Funktsiooni ekstreemumid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.5 Funktsiooni kumerus ja nõgusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 85 4 Diferentseeruvad funktsioonid 87 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.3 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . 91 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused . . . . . . . . . . 93 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2.2 Lagrange’i keskväärtusteoreem ja funktsiooni monotoonsusomadused 94 4.2.3 Funktsiooni kumerus ja nõgusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.4 Cauchy keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.5 L’Hospitali reegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
