KOKKUVÕTE: TEHTED VEKTORITEGA On antud vektorid a = (x1; y1) ja b = (x2; y2 ) , siis Vektorite summa a + b = (x1 + x2; y1 + y2 ) Vektorite vahe a - b = (x1 - x2; y1 - y2 ) Vektori korrutis arvuga k a = (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus = 1 x2 y2 Vektori pikkus a = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Vektorite skalaarkorrutis a b = x1 x2 + y1 y2 a b Nurk vektorite vahel = arccos a b Märkus
Kaksliikmete korrutamine Kaksliikmete korrutamisel kaksliikmega tuleb ühe kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega ja tulemused liita. Näited: (a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd ; (3x-1)(2x+4)=6x +12x-2x-4 Rühmitamisvõte Näited: (am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) ; 2am+2bm-an-bn=(2am+2bm)-(an+bn)=2m(a+b)-n(a+b)=(a+b)(2m-n). Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis võrdub nende üksliikmete ruutude vahega (a+b)(a-b)= a -b Näide: (a+3)(a-3)=a -3a+3a-9 Kaksliikme ruut kahe üksliikme summa ruut võrdub esimese liikme ruuduga pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut (a+b) =a +2ab+b Näide: (3x+2y) =(3x) +2*3x*2y+(2y) =9x +12xy+4y Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruuduga miinus kahekordne esimese ja teise
on võrdsed arvuga 1 ja kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga Mõiste 3: Diagonaalmaatriksiks nimetakse ruutmaatriksit, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemendid on võrdsed 0-ga Mõiste 4: Skalaarmaatriksiks nimetatakse sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed Mõiste 5: Maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks, kui 0 maatriksist erinevaid maatrikseid A ja B (A ; B), milliste korrutis aga on 0-maatriks (A*B= v B*A=). Selliseid maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks Mõiste 6: Baasmaatriksisks nimetatakse (m x n) järku maatrikseid ij, milles i-nda rea ja j- nda veeru ühine element on arv 1 ning kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga Mõiste 7: Sümmeetriliseks nimetatakse ruutmaatsiksit, kui transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga (on peadiagonaali suhtes sümmeetriline)
Matemaatika 7 klass 1 veerand Across 3. Mitme nullist erineva arvu korrutis on negatiivne,kui negatiivsete arv on 4. korrutis nulliga 8. on alati mittenegatiivne arv 10. Kahe samamärgilise arvu korrutis ja jadatis on 11. Kahe erimärgilise arvu korrutis ja jagatis on 12. Korrutamise vahetuvus sedaus Down 1. Korrutamise ühenduvuse seadus 2. Kahe vastandarvu summa on võrdne 5. Mitme nullist erineva arvu korrutis on positiivne, kui see arv on 6. Kui kahe arvu summa on võrdne nulliga ,siis need on teineteise 7. Nulliga jagada 9. Teineteise vastandarvu absoluutväärtus on
N: 20000 = 2 *10 4 5000000000 = 5 * 10 9 9.Ligikaudse arvu tüvenumbrid Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja arvatud lõpus olevad nullid. N: 1234 = 1,234*10 3 12,34 = 1,234*10 1 10.Ligikaudsete arvude summa ja vahe. Ligikaudsete arvude summa ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis on kõigis lähteandmetes teada. N: 23,4 + 123 = 146,4 146 1999 + 2,989 = 2001,989 2002 11.Ligikaudsete arvude korrutis ja jagatis Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui neid on vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. N: 234*23.45 = 5478,3 5480 2300 / 0,13 = 17692,30769 18000 12.Kaksliikmete korrutamine Kaksliikme korrutamisel kaksliikmega korrutame ühe kaksliikme kummagi liikme teise kaksliikme kummagi liikmega ja saadud korrutised liidame. N: (a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd 13.Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis
7 valemit ja reeglit 1. Ruutude vahe valem (kahe üksliikme summa ja vahe ruut) (a+b)(a-b)= a²- b² Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis võrdub nende üksliikmete ruutude vahega 2. Summa ruudu valem (kahe üksliikme summa ruut) (a+b)²= a²+2ab+b² Kahe üksliikme summa ruut võrdub esimene liige ruudus pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teine liige ruudus. 3. Vahe ruudu valem (kahe üksliikme vahe ruut) (a-b)²= a²-2ab+b² Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimene liige ruudus miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teine liige ruudus. 4. Summa kuubi valem (kahe üksliikme summa kuup) (a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³ Kahe üksliikme summa kuup võrdub esimene liige kuubis pluss kolmekordne esimese liikme ruudu ja teise liikme korrutis pluss kolmekordne esimese liikme ja teise liikme ruudu
Uued mõisted · Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat · Kahe liikme summa ja samade liikmete vahe korrutis võrdub nende liikmete ruutude vahega · Kahe liikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut · Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruuduga miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut · Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega, tulemused koondada · Kahe üksliikme summa ja nende üksliikmete vahe mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide summaga · Kahe üksliikme vahe ja nende üksliikmete summa mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide vahega · Kahe üksliikme summa kuup võrdub esimene liige kuubis pluss kolmekordne esimese
Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega: Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga liikmega. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 9)Ruutude vahe: Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis on võrdne nende üksliikmete ruutude vahega: 10)Summa ruut: Kahe üksliikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut. 11)Vahe ruut: Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruut kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut. 12)Kuupide summa: Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe mittetäieliku ruudu korrutis on võrdne nende üksliikmete kuupide summaga. 13)Kuupide vahe:
Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega: Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga liikmega. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 9)Ruutude vahe: Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis on võrdne nende üksliikmete ruutude vahega: 10)Summa ruut: Kahe üksliikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut. 11)Vahe ruut: Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruut kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut. 12)Kuupide summa: Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe mittetäieliku ruudu korrutis on võrdne nende üksliikmete kuupide summaga. 13)Kuupide vahe:
7) Hulkliikme jagamine üksliikmega. *Hulkliikme jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige läbi jagada selle üksliikmega. ( a + b + c ) : d = a+b+c = a:d + b:d + c:d d 8) Hulkliikme korrutamine hulkliikmega. * Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga liikmega, võimalusel koondatakse. ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd 9) Ruutude vahe * Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis on võrdne nende üksliikmete ruutude vahega. ( a + b ) ( a b ) = a2 b2 10) Summa ruut. * Kahe üksliikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut. ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 11) Vahe ruut. * Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruut miinus kahekordne esimese ja teise liikma korrutis + teise liikme ruut. ( a b ) 2 = a2 2ab + b2 12) Kuupide summa.
kaksliikmed 3)tuua nendes paarides sulgude ette vastav üksliige vajaliku märgiga, NB sulgudesse peavad jääma samad kaksliikmed 3)tuua ette sulgudes olev kaksliige, NB kirjutada tema ise ka sulgudesse =m(m+3)+4(m+3)=(m+3)(m+4) 4)kirjutada teise sulgu varem ette toodud ühistegurid oma märgiga am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)= =a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) NB kontrollida, kas saadud kaksliikmete läbi korrutamisel saab esialgse avaldise 13.Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis - võrdub nende üksliikmete ruutude vahega selgitus: ainult ruudud tulevad sellepärast, et neljast korrutisest teine ja kolmas koonduvad NB see on ka nn. ruutude vahe valem NB kasutada saab siis, kui sulud erinevad ainult märgi poolest 14.Kaksliikme ruut (summa) - esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teisi liikme ruut
2) Koondatakse.( Sarnased liidetavad, astendajad ei muutu) Hulkliikmete jagamine üksliikmetega 1) Teguri toomine sulgudest välja Hulkliikme teisendamist korruiseks nimetatakse hulkliikmete tegurdamiseks. 6 6 Tuues miinusmärgi ette muudame sulgudes märgid vastupidiseks. Kaksliikmete korrutamine (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Võimalisel ka koondatakse (6a-3)(2a+3)-(3a-4)(2a+1)= Rühmitamisvõte Ruutude vahe valem (a+b)(a-b)= Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis võrdub nende üksliikmete ruutude vahega. (a+b)(a-b)= Kaksliikme ruut (a+b Kahe üksikliikme summa ruut võrdub esimese liikme ruuduga pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut.(Summa ruut) (a-b Kahe üksikliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruuduga miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut.(Vahe ruut) 1) - arvude a ja b ruutude vahe. 2) - arvude a ja b summa ruut 3) -arvude a ja b vahe ruut Tegurdamine
- murru joon - - = 2- 4 murru nimetaja 5 3 3 MURRUD LIITMINE Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited LAHUTAMINE Ühenimeliste murdude lahutamisel lahutatakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited KORRUTAMINE Kahe hariliku murru korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks nimetajate korrutis. Näited JAGAMINE Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. Näited ERINIMELISED MURRUD LIITMINE Erinimeliste murdude liitmisel teisendatakse murrud ühenimelisteks (leitakse nimetajate vähim ühiskordne VÜK ja korrutakatse sellega mõlema murru lugejat ja
Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele. Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. Näide. 16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga. Arvu standarskuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegurist ja kümne mingist astmest. Arvu tegurid - kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. Arvu tegurid on ühtlasi ka arvu jagajad. Näide 1. Arvu 10 tegurid on 1, 2, 5 ja 10, sest arv 10 jagub nende arvudega. 10 : 1 = 10 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1 Näide 2. Arvude ühistegur : Arvutamisseadused : Liitmise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Liitmise
kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga. 10. Mõiste 3: Diagonaalmaatriksiks nimetakse ruutmaatriksit, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemendid on võrdsed 0-ga 11. Mõiste 4: Skalaarmaatriksiks nimetatakse sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed 12. Mõiste 5: Maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks, kui 0 maatriksist erinevaid maatrikseid A ja B (A ; B), milliste korrutis aga on 0-maatriks (A*B= v B*A=). Selliseid maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks 13. Mõiste 6: Baasmaatriksisks nimetatakse (m x n) järku maatrikseid , milles i-nda rea ja j-nda veeru ühine element ij on arv 1 ning kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga 14. Mõiste 7: Sümmeetriliseks nimetatakse ruutmaatsiksit, kui transponeeritud maatriks on võrdne algmaatriksiga (on
Magnetvoog on magnetinduktsiooni ja pinnavektori skalaarkorrutis.Q=B-*S-=Bscos2 Vektorite skalaar korrutis on nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise koosseisu korrutis Pinnavektor antud tasapinna pinna vektor on vektor, mille pikkus võrdub selle pinna pindalaga ja suund on risti pinnaga. B-magnetinduktsioon(T), S-pindada(m2),2-nurk magnetvälja ja pinnamooli vahel, Q- magnetvoog. Sisuliselt näitab magnetvoog kui palju jõujooni läbib antud pinda. Magnetvoogi mõõtmiseks on 3 võimalust: Nurka muuta, muuta pinna pindada. Faraday induktsiooniseadus- suletud kontuuris tekkis induktsiooni elektromotoorjõud on absoluutväärtuselt võrdne
Millal on tegemist elastse ja millal mitteelastse põrkega? mitteelastne Peale põrget liiguvad kehad koos elastne Peale põrget liiguvad kehad eraldi Küsimus 2 Energia iseloomustab keha võimet teha tööd Küsimus 3 Jõuimpulss on Vali üks: a. jõu ja impulsi korrutis b. jõu ja kiiruse korrutis c. jõu ja selle mõjumise aja korrutis Küsimus 4 Kaldpinnalt, mille kõrgus on 40cm, veereb alla silinder. Kui suur on silindri kiirus kaldpinna lõpus? Hõõrdumist ei arvestata. Energia jäävuse seadust arvestades on silindri kineetiline energia kaldpinna lõpus võrdne selle potentsiaalse energiaga kaldpinna alguses, so kõrgusel 0,3m. Järelikult mgh= (m v2)/2 Siit saab avaldada kiiruse, mis on ruutjuur korrutisest 2gh, kus g on raskuskiirendus. Küsimus 5 Ema mass on lapse massist 4 korda suurem
andmine. - Võrdust, mille poolteks on võrdsed avaldised nim. samasuseks. Näide: 2. Arvulise murru taandamine - Taandamine-murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva avaldisega * tegurdatakse murru lugeja ja nimetaja; * taandatakse arvulised tegurid * taandatakse muutujat sisaldavad võrdsed tegurid. Näide: 3. Korrutamine ja jagamine Korrutamine- algebraliste murdude korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis. 1. Tegurdamine 2. Viime ühisele murrujoonele 3. Taandame lugejas ja nimetajas olevad ühesugused liikmed(taandada saab tervet sulgu) Jagamine algebraliste murdude jagamiseks korrutatakse jagatav murruga, mis on saadud jagajast selle lugeja ja nimetaja vahetamise teel. 1. Tegurdamine 2. Jagajas vahetame nimetaja ja lugeja pooled 3. Viime ühisele murrujoonele 4.Taandame lugejas ja nimetajas olevad ühesugused liikmed
Tavaliselt tähistatakse sündmusi suurte tähtedega ladina tähestiku algusest:A, B, C Vajadusel kasutatakse indekseid. Sündmuse tõenäosus on sündmuse toimumise võimalikkust näitav arv lõigult (0,1), mida tavaliselt tähistatakse tähega P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0 Kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Vastandsündmus Sündmuse A vastandsündmus ´A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. P(A)+P(´A)=1. Sündmusi A ja B nimetatakse võrdseteks ja tähistatakse A=B, kui A toimumisest järeldub B toimumine ja vastupidi. Sündmuste summa Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või B või toimuvad A ja B korraga.
võrduvad liidetavate elementide summaga · maatriksi ja sama dimensiooniga nullmaatrik- si summa võrdub liidetava maatriksiga · maatriksi ja tema vastandmaatriksi summa võrdub nullmaatriksiga Korrutada saab kaht maatriksit, millest esimese teguri veergude arv võrdub teise teguri ridade arvuga. Maatriksite korrutise iga element on esimese teguri mingi reavektori skalaarkorrutis teise teguri mingi veeruvektoriga. Tegurite järjekorra muutmisel ei pruugi korrutis eksisteerida või on korrutis erinev. aijT = a ji aijT AT aij A Maatriksi transponeerimisel vahetatakse maatriksi read ja veerud omavahel ära V = ( A1 ;...; Ak ) R m×n Lineaarne kombinatsioon 1 A1 + ... + k Ak Sama dimensiooniga maatriksite (vektorite) hulga lineaarne kombinatsioon saadakse iga maatriksi (vektori) korrutamisel mingi arvuga ja korrutiste liitmisel 1 ;...; k R Lineaarse kombinatsiooni kordajad Lineaarne sõltumatus
Nurk asub vektorite =(-1;-6) ja AC = (6;-5) vahel. Seega leiame vektorite AB vahelise nurga järgmise valemi järgi: Lugejas olev vektorite skalaarkorrutis · AC leitakse, kui vektorite AB esimeste koordinaatide korrutisele liidetakse teiste koordinaatide cos = AB AC korrutis. · AC =-1·6+(-6)·(-5)=24 / AB/ / AC / AB 24 / /= ja / AC/ = / CA / = cos = 37 61
Tükeldust märgitakse kompaktsemal kujul P={{abe}{cd}}(P=Õpikus toodud näitega). Seega edaspidi kasutame tükeldusel P(Eeldatavsti sõnast Partition) Milliseid tehteid saab tükeldustega teha? Tükelduse jaoks on defineeritud 2 aritmeetilist tehet: liitmine ja korrutamine ning võrdlustehted <,>. Kas erinevate hulkade tükeldustega saab teha tehteid? Ei, omavahel liita,korrutada ja võrrelda saab ainult sama hulga tükeldusi. Mis on tükelduste korrutiseks või tükkelduste summaks? Korrutis: Tegurite plokkide ühisosad on korrutise plokkideks. Liitmine: Kui liidetavate tükelduste mingi plokkipaar omab ühisosa, siis nende kahe ploki ühend kuulub summas ühte plokki. Vt. näited lk 125-126 Millisel juhul on tükeldus mingist teisest tükeldusest väiksem? Kui hulga tükelduse P1 iga plokk sisaldab tervikuna sama hulga mingi teise tükelduse P2 mingis plokis, siis P1 on väiksem kui P2. Millisel juhul on tükeldused teineteistega mittevõrreldavad?
6) Kirjutame vastuse 13. Kuidas lahendada võrratusi? 1) Kui võrrandis on sulud, siis avame need 2) Tundmatud viime vasakule, vabaliikmed paremale (teisele poole viies märk muutub) 3) Koondame sarnased liikmed 4) Võrratuse mõlemaid pooli jagame tundmatu kordajaga 5) Teeme joonise, kirjutame vastuse 14. Mis on võrre? Võrde põhiomadus. Kuidas lahendada võrdekujulist võrrandit? Tõest võrdust, mille mõlemad pooled on jagatised, nimetatakse võrdeks. Põhiomadus: Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega. Lahendamine: Võrdekujulist võrrandit lahendatakse ristvõrrandi abil. 15. Mis on ruutvõrrand? Mida nimetatakse normaalkujuliseks ruutvõrrandiks? Mida nimetatakse täielikuks ruutvõrrandiks? Mida nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks? Mis on taandatud ruutvõrrand? Võrrandit ax + bx + c = 0, milles a, b ja c on antud arvud (a ei võrdu nulliga) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks.
Teoreem: Kahe paaritu arvu x ja y summa on paarisarv. (Teadmiseks: paaritu arvu üldkuju on 2n+1, paarisarvu üldkuju on 2n) Eeldus: arvud x ja y on paaritud arvud Väide: summa x + y on paarisarv Tõestus: 1. Eeldusest lähtudes olgu x = 2n +1, ja y = 2m+1, kus n N m N 2. Leiame nende arvude summa: x + y = 2n + 1 + 2m + 1 = 2n + 2m + 2 = 2(n + m + 1). 3. Et n N m N, siis ka summa (n + m + 1) N. 4. Järelikult on summa x + y mingi naturaalarvu ja arvu 2 korrutis - seega paarisarv (iga naturaalarvu korrutis arvuga 2 on paarisarv - arvu kahekordne).
kompleksarvu z¯ = a − bi. Kaaskompleksarv z¯ asub arvuga z nullpunktist v˜ ordsel kaugusel ning z ja z¯ on s¨ ummeetrilised reaaltelje suhtes. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Tehted kompleksarvudega Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis nende v˜ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse j¨argmiselt: Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Tehted kompleksarvudega Olgu meil antud kaks kompleksarvu z1 = a + bi ja z2 = c + di. Siis nende v˜ordus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse j¨argmiselt: 1 z1 = z2 ⇔ a = c ja b = d; Teist ja kolmandat j¨
(4a-3b)²-3b(3b-7a)= 16a²-24ab+9b²+21ab=16a²-3ab Arvutan avaldise väärtuse kui a=0,5 ja b=-2/3 16*0,5-3*0,5*(-2/3)=5 1)250*74%/100%= 185 (kr) 2) 50:250=0,2 0,2*100%=20% 3) 250-185-50=15(kr) 4)15:250=0,6 0,6*100%=6% Olgu üks arv x ja teine x-9, nende arvude korrutis on 532, Saan võrrandi x(x-9)=532 x(x-9)-532=0 x²-9x-532=0 kasutan lahendi valemit Leian teis arvu 28-9=19 Kontroll: üks arv on 28 ja teine 19 nende arvude korrutis On 532. 1.Leian seina pindala S=ab S=3,6*2,4=8,64 (m²) 2. Leian ristküliku kujulise plaadi pindala S=ab S=20*30=600 (cm²)=0,06 (m²) 3. Leian mitu ristküliku kujulist plaati mahub seinale, kui vahesid ei jääta 8,64:0,06=144 (plaati) 4. 90% ON 144 144*100%/90%=160 (plaati) 1. MNK ja LMK on täisnurksed 2. Arvutan külje LM ligikaudse pikkuse Kasutades Pythagorase teoreemi
Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal I osa © T. Lepikult, 2003 Leida kaks arvu, ülesanne 1 Ülesanne 1 Kahe arvu korrutis on 30, nende arvude summa 11. Leida need arvud. Lahendus Seda tüüpi ülesannetes vaadeldakse otsitavaid arve tundmatutena ja ülesande tingimuste põhjal tuletatakse võrrandisüsteem tundmatute leidmiseks. Tähistame esimese arvu sümboliga x ja teise sümboliga y. Tingimusest, et arvude korrutis on 30, saame esimese võrrandi: x y = 30 Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub ... Tingimusest, et arvude summa on 11, saame teise võrrandi: x + y = 11. Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: x y = 30, x + y = 11. NB! Võrrandisüsteem ei ole lineaarne (kuna esimeses
Algebraliste murrud © T. Lepikult, 2010 Algebraliste murdude korrutamine Kahe algebralise avaldise jagatist nimetatakse algebraliseks murruks. Tehteid algebraliste murdudega sooritatakse nagu harilike murdudega: Kahe murru korrutiseks on murd, mille lugejaks on teguriteks olevate murdude lugejate korrutis, ja nimetajaks on teguriteks olevate murdude nimetajate korrutis: a c ac b d bd Näide x y 3x z ( x y ) (3x z ) . 3a y 5 x 5 x (3a y ) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraliste murdude korrutamine ja jagamine Kahe murru jagatiseks on murd, mille lugejaks on jagatava lugeja
Matemaatika 9.klass 1.Ühenimeliste murdude summa on murd,mille nimetajaks on murdude ühine nimetaja ja lugejaks murdude lugejate summa. (Näide1) 2.Harilike murdude korrutis on murd,mille lugejaks on nende murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis.(Näide2) Harilike murdude jagatis on murd,mis saadakse esimese murru korrutamisel teise murru pöördarvuga.(Näide3) 3,4-kümnendmurrud.(Näide4) 5.negatiivsed ja erimärgilised arvud.(Näide5) 6.sulud,astendamine,korrutamine,jagamine,liitmine,lahutamine 7. 35=3*3*3*3*3=243.(Näide6) 8.(Näide8) Ruutude vahe valem: a² - b² = (a+b)(a-b) Vaheruudu valem: (a - b)² = a² - 2ab + b² Summaruudu valem: (a + b)² = a² + 2ab + b² Kuupide summa valem: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
elemendiga Duaalne ülesanne Igale LP ülesandele saab seada vastavusse temaga duaalse LP ülesande Duaalse ülesande lahend iseloomustab lähteülesande lahendi tundlikkust kitsenduste suhtes Standardkujul antud lähteülesande korral ontemaga duaalne ülesanne miinimumülesanne, kitsendused aga tüüpi võrratused Järeldused duaalteoreemidest · sihifunktsioonide optimaalsed väärtused on võrdsed · lähteülesande põhimuutujate optimaalsete väärtuste korrutis duaalse ülesande lisa- muutujate optimaalsete väärtustega on 0 · lähteülesande lisamuutujate optimaalsete väärtuste korrutis duaalse ülesande põhi- muutujate optimaalsete väärtustega on 0
maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi kõigi elementide vastandväärtused. Def6: Kahe sama järku maatriksi vaheks A-B nimetatakse sama järku maatriksit, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summaga. A-B=A+(-1)B Def7: maatriksite korrutiseks nimetakase maatriksit, mille i- nda rea ja j-nda veeru ühine element saadakse maatriksi A i-nda rea ja j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud tulemuste liitmisel. Maatriksite korral korrutis üldjuhul sõltub tegurite järjekorrast. Maatriksite, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse nullmaatriksiks. Tähis oomega. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed ühega ning ülejäänud elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse ühikmaatriksiks. Tähis E. Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaalmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemandeid on võrdsed nulliga.
Valemid: Pindala ja ruumala 1. Pindala Ümbermõõt on kujundit ümbritsevate külgede pikkuste summa. Ristküliku pindala on korrutis: alus korrutatud sellega ristuva kõrgusega. Kolmnurga pindala on pool sama aluse ja kõrgusega ristkülikust, sellepärast valemis on esitatud lisategur ½, seega ½ alus kord kõrgus. Ringi puhul tuleb kasutada konstaanti , mis on 3,14. Ristkülik Ümbermõõt: P = 2(a + b) Pindala: S = ab Erijuhtum: Ruut Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a2 Rööpkülik Ümbermõõt: P = 2(a + b) Pindala: Sa = a h Romb Ümbermõõt: P = 4a ef
(3m-4n)²-3m(3m-7n)=9m²-24mn+16n²-9m²+21mn=16n²-3mn Leian avaldise täpse väärtuse, kui m=2/3 ja n=-0,5 16*(-0,5)²-3*2/3*(-0,5)=5 55%*20/100%=11 (ha) 2) 5 20st 5:20=0,25 0,25*100%=25% 3) 20-11-5=4 (ha) 4) 4 20st 4:20=0,2 0,2*100%=20% Olgu üks arv x ja teine x+7, nende arvude korrutis on 494, saan võrrandi x(x+7)=494 x²+7x-494=0 kasutan ruutvõrrandi lahendi valemit Leian teise arvu 19+7=26 Kontroll: Olgu üks arv 19 ja teine 7 võrra suurem 19+7=26, nende arvude korrutis on 19*26=494. Vastus: Need arvud on 19 ja 26. 1)Leian põranda pindala S=ab S=3,*2,7=8,91 (m²) 2) Leian ruudukujulise plaadi pindala S=a² S=15²=225 (cm²)=0,0225 (m²) 3) Leian mitu ruudukujulist plaati mahub põrandale, kui vahesid pole jäetud 8,91:0,0225=396 (plaati) 4) 90% ON 396 396*100%/90%=440 (plaati) 1) Täisnurkne 2) Arvutan lõigu AB ligikaudse pikkuse 1) Kasutades Pythagorase teoreemi leian külje AC a²+b²=c² c=9²+12²=225=15
A=F*s ; A=F*h h=kõrgus A=m * g * h s=teepikkus Potentsiaalne energia on tingitud kehade vastastikust asendist. Ep = m * g * h Ühik 1J Kõik liikuvad kehad omavad kineetilist energiat e. liikumis energiat. Ek= m * v² / 2 Ühik 1J Keha liikumishulk ehk impulss. Impulsi jäävuse seadus. Energia võib muunduda ühest liigist teise. Keha liikumishulk ehk impulss on keha massi ja kiiruse korrutis. p=m*v Ühik 1 kg * m / s Suletud süsteemi kuuluvate kehade impulsside summa on nende kehade igasugusel vastastikumõjul konstantne suurus. Reaktiivliikumine Liikumine, mille põhjustab kehast suurel kiirusel eemalduv keha osa. V = 7,9 km/S Jõumoment. Momentide reegel. M=F * l Ühik 1N * m Jõumoment on jõud ja jõuõla korrutis. Jõuõlg on lühim kaugus jõu mõju sirge ja keha pöörlemis punkti vahel.
Periood täisvõnkeks kuluv aeg Lainepikkus kaugus kahe punkti vahel mis võnguvad samas taktis(m) Nurkkiirus on pöördenurga ja selle sooritamiseks kuluva ajavahemiku jagatis Joonkiirus in ringliikumisel läbitud teepikkuse ja liikumisaja suge Sagedus on võnkeperioodi pöördväärtus Kesktõmbekiirendus kiirendus ringjoonelisel liikumisel ja see tekib igasugusel suunamuutusel Jõumoment jõu ja jõuõla korrutis M=Fl Impulsimoment on ringjooneliselt liikuva kehe impulsi pöörlemisraadiuse korrutis Radiaan - füüikas pöördnurga mõõtmiseks kasutatav ühik(rad) Resonants keha võnkeamplituudi järsk kasv oma võnkesageduse kokkulangemiselvälise võnkumise dagedusega nt sõdurid sillal marssimas samas taktis nagu silla osakesed ja sild võib puruneda Lainete liigid 1.pikilaine laine, mid liigub keskonna punktidega samas suubas 2
Perioodi ja sageduse vaheline seos f = . Nad on teineteise pöördväärtused. T Kesktõmbekiirendus kiirendus, mis näitab joonkiiruse suuna muutumist. Suunatud alati ringjoone keskpunkti. Tähis a k , ühik 1 m/s2. Valem v2 ak = = 2r r Jõu õlg jõu mõju sirge kaugus pöörlemisteljest. Jõu õlg on alati jõu mõjusirgega risti. Tähis l (vahel ka r), ühik 1 m. Jõumoment jõu ja jõu õla korrutis. Tähis M, ühik 1 N*m. Valem M = Fl Impulsimoment ehk pöörlemishulk punktmassi impulsi ja trajektoori kg m 2 kõverusraadiuse korrutis. Tähis L, ühik 1 (kg*m/s*m). Valem s L = mvr = pr Impulsimomendi jäävuse seadus välise jõumomendi puudumisel, s. T. Suletud süsteemis, on impulsimoment jääv: kui M=0, siis pr=L=const Iluuisutajate trikk - L=pr=mvr=mr2=const
nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Paaris- ja paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. Definitsioon 4 Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant T 6= 0, et iga xkuulub X korral kui x + T kuulubX kehtib f (x + T) = f (x). V¨ahimat sellist positiivset konstanti T, juhul kui selline leidub, nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Definitsioon 5
Võrdelise seose graafikul on alati sirge. KUIDAS TEHA: 1) Koostame tabeli andes argumendile (x) vabalt võetud väärtusi. 2) Joonestan kordinaatteljestiku ja märgin vastavad punktid. 4.4 VÕRRE. Tõest võrdust, mille mõlemad pooled on jagatised, nimetatakse võrdeks. = a:b=c:d A ja d on välisliikmed, b ja c on siseliikmed. Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega. 8:4=4:2 SISELIIKMEID VÕIB VAHETADA. = = VÄLISLIIKMEID VÕIB VAHETADA. = = Mõlemal murrul võib omavahel vahetada lugejaid ja nimetajaid. = = 4.5 VÕRDKUJULINE VÕRRAND. Võrdust, millel on võrde kuju, milles üks liige on tundmatu nimetatakse võrdekujuliseks võrrandiks. Võrdelise võrrandi lahendamisel kasutatakse võrde põhiomadust. Võrde põhiomadus: Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega. Näide!
jõuõlg-jõu mõjusirge kaugus pöörlemisteljest jõumoment-jõu ja tema õla korrutis. Tähis M M=F*l Impulsimoment iseloomustab pöörlevat liikuva keha energiat ..Tähis L L=m*v*r impulsimoment-keha impulsi ja pöörlemis raadiuse korrutis reaalse keha imp-keha üksikute punktide impulsi momentide summa Impulsimomendi jäävuseseadus-väli e jõumomendi puudumisel (st. suletud süsteemis) on impulsimoment jääv.L=mWr2 Võnkumine on perioodiline liikumine mis kordub võrdsete ajavahemike tagant, kusjuures keha läheb esialgsesse asendisse tagasi sama teed mööda. Võnkumise liigid-*sundvõnkumine; *vabavõnkumine Vabavõnkumine-võnkumine mis toim süsteemi siseste jõudude mõjul. Nt:kiik millele ei anta hoogu.
4Fe+3O2->2 Fe2O3 X=2 mol•3 mol : 4mol 4mooli 3 mooli Näide 2- tekstist andmed liitrites vm ruumalaühikutes gaasidel Mitu liitrit hapnikku kulub 2 mooli raua oksüdeerimiseks? 1)Märgi võrrandis vastavate ainete kohale küsimus ja tekstist andmed (2 mooli ja xliitrit) 2) Märgi võrrandile alla vastavate ainete moolide arvud 3) Gaasile, mille küsimuse ühikuks oli liiter, märgi moolide arvu juurde molaarruumala 22,4 liitrit/mol (nende korrutis näitab gaasi ruumala võrrandis) 4) Koosta ristkorrutis ja lahenda 2 mooli x liitrit 4Fe+3O2->2 Fe2O3 X=2 mol•3 mol•22,4l/mol : 4mol 4mooli 3 mooli•22,4 l/mol Ave Vitsut, Viljandi Gümnaasium 2012 Näide 3- tekstist andmed massiühikutes- gramm, kg … Mitu grammi raudoksiidi tekib, kui raud reageerib 5 mooli hapnikuga? 1)Märgi võrrandis vastavate ainete kohale küsimus ja tekstist andmed (5 mooli ja xgrammi)
Periood-Pöörlemise perioodiks T nimetatakse aega, mille jooksul teeb pöörlev keha ühe täispöörde ümber oma telje. =2p/T Pöörlemise sagedus (f) on ühtlaselt pöörleva keha poolt ajaühikus sooritatud pöörete arv. Ühik- 1Hz F=1/t kesktõmbe kiirendus-kiirus on suunatud piki muutujat risti raadiusega a=2r jõu õlg-jõu mõjusirge kaugus pöörlemisteljest. Jõuõlg on jõu mõjusirgega risti. Tähis-l ühik-m jõu mõju sõltub rakenduspunktist. Jõumoment-jõu ja jõu õla korrutis M=Fl ü-1N*m Impulsimoment-punktmassi pöörlemis hulk-tema impulsi ja kõverusraadiuse korrutis L=mvr=pr Impulsimomendi jäävuse seadus-kui jõumoment puudub siis impulsimoment ei muutu. Pr-p0r=Mt L=pr=mvr=mr2=const Hälve tasakaaluasendist x meeter m Ring- e nurksagedus Võnget/(2 sekundis) võnget/(2 s)
lugeja on suurem. 6. Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. 7. Ühenimeliste murdude lahutamisel lahutatakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb samaks. 8. Hariliku murru korrutamiseks naturaalarvuga korrutame selle arvuga murru lugejat, murru nimetaja aga jääb endiseks. Võimaluse korral taandame ja esitame tulemuse segaarvuna. 9. Kahe hariliku murru korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks nimetajate korrutis. NÄIDE: a/b c/d = a c / b d (korruta alumised ja ülemised omavahel, kui vaja, siis taanda) ; (a on nimetaja ja b on lugeja) 10. Murru jagamiseks naturaalarvuga korrutame murru naturaalarvu pöördarvuga või, kui võimalik, jagame murru lugeja naturaalarvuga. 11.Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga
näiteks = 16 8 2 6 2 (jagasime lugeja ja nimetaja 3-ga); = 9 3 3 b) murru laiendamisel (murru lugeja ja nimetaja korrutamisel ühe ja sama nullist erineva arvuga): 8 40 (korrutasime lugeja ja nimetaja 5-ga). näiteks = 15 75 Murdude korrutamine Murdude korrutiseks on murd, mille lugejaks on tegurite lugejate korrutis, ning nimetajaks tegurite nimetajate korrutis. 1 Näited 1) 5 3 5 3 5 = = . 12 4 12 4 16 4 2) 2 1 7 2 = 11 23 = 11 23 = 253 = 16 13 . 5 3 5 3 53 15 15 Murdude jagamine Murdude jagatiseks on murd, mille lugejaks on jagatava lugeja ja jagaja nimetaja korrutis, ning nimetajaks jagatava nimetaja ja jagaja lugeja korrutis
ks tegur on arv, mis on hest suurem ja kmnest viksem, teiseks teguriks on 10'ne aste. nt: 256 000 000 = 2,56 * 10 ( astmes 8 ) ; 0,000 0054 = 5,4 * 10 (astmes -6) 9. Ligikaudse arvu tvenumbrid. Too nide. * Tisarvu tvenumbrid on kik selle arvu numbrid v.a. nullid arvu lpus. nt: 3001 = 3-0-0-1 ; 2130=2-1-3 ; 869040 = 8-6-9-0-4 10. Ligikaudsete arvude summa ja vahe. * Liitmisel ja lahutamisel vaatame koma kohti ja vastuse mardame nii kui on viksema tpsusega arvus. 11. Ligikaudsete arvude korrutis ja jagatis. * Ligikaudsete arvude korrutamisel ja jagamisel silitatakse tulemus nii mitu tvenumbrit, kui neid on vhima tvenumbrite arvuga lhteandmes. 12. Kaksliikmete korrutamine . Too nide. * Kui korrutame kaksliikmed, siis kaksliikmed peavad olama sulgudes . nt: ( a + b) (c +d) = ac+ad+bc+bd 13. Kahe ksliikme summa ja vahe korrutis. * ksliikmete korrutamisel korrutame arvud omavahel ja hesugused thed omavahel. Thtede korrutamisel astendajad liidetakse , kui thed on hesugused. 14
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita.
Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 P ( A) 1 . Kindla sündmuse tõenäosus on 1, võimatu sündmuse tõenäosus on 0. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1. Kui kaks sündmust on teineteist välistavad, siis nende summa seisneb ühe või teise sündmuse esile tulekus. Kui kaks sündmust ei ole teineteist välistavad, siis nende summa seisneb kolmanda sündmuse esiletulekus, mis on kas sündmus A, B või AB. Kahe sündmuse korrutis on sündmuse A ja B esile tulek. Ei esine teineteist välistavate sündmuste puhul. Sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuteks, kui neist ühe esiletulek ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust. Sündmusi A ja B nimetatakse sõltuvateks, kui neist ühe toimumine või mittetoimumine mõjutab teise esiletuleku tõenäosust. Geomeetriline tõenäosus avaldub piirkondade pindalade suhtega. Seda saab kasutada ainult siis, kui iga punkti tabamine on võrdtõenäoline iga teise punkti
2 = 0,75 n Pn - mootori nimivõimsus 3 = 0,5 n nn - mootori nimipöörlemis sagedus Pn = 14 kW U n - mootori nimipinge nn = 3000 min -1 I n - mootori nimivool U n = 220 V n - mootori nimikasutegur I n = 74, 0 A J ekv - mootori inertsimoment n = 0,860 Ra - mootori ankrumähise takistus J ekv = 0,10 kg m 2 Cn - mootori konstruktsiooniteguri ja nimimagnetvoo korrutis Mootori tüüp: p-51 I a , k ,l - ankru mähise lühisvool k n - mootori konstruktsiooniteguri ja nimimagnetvoo korrutis Tem - mootori elektromagneetiline moment Leida: Arvutada ja ehitada alalisvoolu haruvoolumootori loomulikud ja kunstlikud elektromehaanilised ja mehaanilised karakteristikud antud magnetvoo ( ) väärtustel. Lahendus: 1. Arvutame rööpergutusega alalisvoolumootori niminurkkiiruse
2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) Sündmus fakt, toimumine, ilming jne, mis on seotud, kas toimub või ei teatud tingimustel. Vastandsündmus A sündmusele A Sündmus A ei ilmne kui esineb sündmus A. Sündmus A on sõltumatu sündmusest B kui tema tingimuslik on võrdne mittetingimusliku tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis Summa: Sündmus C, mis ilmneb igal juhul kui ilmneb vähemalt üks sündmustest A või B. C = A B, Korrutis: On sündmus C, mis ilmneb juhul kui ilmnevad mõlemad sündmused A ja B. C = A B , A 4. Juhusliku suuruse mõiste X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused jaotuse tõenäosuste tihedus: f(x) = lim P(x X < x+x)/ x omadused: 1. f(x) 0 on positiivne arv. 2. 3
Negatiivse arvu -B vastandarvuks on positiivne arv B Seega vastandarvu vastandarv on arv ise Negatiivse arvu lahutamise asemel liidame vastandarvu Kahepunkti vaheline kaugus arvteljel Vähendatava ja vähendaja järjestuse muutmisel mmuutub vahemärk vastupidiseks ,ei muutu absoluutväärtus Ratsionaalarvude korrutamine Sama märgiliste arvude korrutamisel on korrutiseks positiivne arv Kahe arimärgilise arvude korrutamisel on korrutiseks negatiivne arv Mitme arvu korrutis Vahetavuse seadus ehk ommunikatiivsus Ühendavuse seadus ehk assotsiatiivsus Mitme 0-st erineva arvu korrutis on negatiivne kui negatiivseid tegureid on paarituarv ja positiivne kui negatiivseid tegureid on paarisarv Arvuaste Astendatav ehk astme alus on arv mille ise endaga korrutamisel teda antud arv korda saadakse aste Astendaja on arv , mis näitab mitu korda on arvu iseednaga korrutatud Astendamiseks nimetatakse väärtuse leidmist Iga arv astmes 1 on võrdne iseendaga.
Ligikaudne arvutamine Arvu standardkuju Arvu saab esitada järguühikute kaudu 1999= 1*1000+9*100+9+10+9*1 Kõik järguühikud on avaldatavad ka astmetena 1000= 103 100= 102 10=101 1=100 0,1=10-1 0,01=10-2 0,001=10-3 Standardkuju Standardkuju on arv mis on 2 teguri korrutis millest üks on 1-10 ja teine on 10. aste 1999=1,999*103 20000=2*104 345=3,45*102 Ligikaudsed arud. Arvude ümardamine Ligikaudsed tulemused saame mõõtmisel või arvutamisel. Täpsed arvud saame loendamisel või mõnikord ka arvutamisel. Loendamisel saame ligikaudse arvu kui objekte on palju või need muudavad loendamisel asukohta. Ligikaudsete arvudega arvutamisel need ümardatakse. Ülespoole ümardame kui esimene ärajääv number on 5,6,7,8,9.
annaabi.ee 
