B(x2;y2) A(x1;y1) Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis AB = (x2 – x1; y2 – y1). Vektori pikkus v Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus |v|= a 2 b2 Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks nullvektori pikkus on võrdne nulliga nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid u (a; b) v (c; d ) w u v (a c; b d ) Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega Summavektor ühendab esimese vektori algust teise lõpuga Vastandvektor v (a; b) v ( a;b) v v O
Kui kolme vektori hulgas on kollineaarseid vektoreid, siis need kolm vektorit on komplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas ei ole kollineaarseid vektoreid, siis nad on komplanaarsed juhul kui üks vektor on ülejäänud kahe kaudu lineaarselt avaldatav. See tähendab, kui vektorid , , on komplanaarsed, siis leiduvad arvud p ja q nii et =p+q. Kui vektorid on antud koordinaatidega, siis komplanaarsuse kontrolliks tuleb välja arvutada nende vektorite koordinaatidest moodustatud kolmerealine determinant. Kui see determinant võrdub nulliga, siis vektorid on komplanaarsed. Kui determinant ei võrdu nulliga, siis vektorid on mittekomplanaarsed.
Vektorid. 10. klass Kontrolltöö I variant 1. A(-3;-5) , B(1;-1) ja C (-6;2) . Leidke a) Lõigu AB keskpunkt D ( ; ) b) AB, AC , BC , CD AB , AC , BC , CD c) d) kolmnurga ABC ümbermõõt ja pindala. 2. P(8,5;-1) ja PR = (-2;3) . Leidke R ( ; ). 1 a= i-2 j 3. a ja b on samasihilised. 2 ja b = m i + 3 j . Leidke m väärtus. 4....
KOKKUVÕTE: TEHTED VEKTORITEGA On antud vektorid a = (x1; y1) ja b = (x2; y2 ) , siis Vektorite summa a + b = (x1 + x2; y1 + y2 ) Vektorite vahe a - b = (x1 - x2; y1 - y2 ) Vektori korrutis arvuga k a = (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus = 1 x2 y2 Vektori pikkus a = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Vektorite skalaarkorrutis a b = x1 x2 + y1 y2 a b Nurk vektorite vahel = arccos a b Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x,
r r u v Nurk vektorite vahel cos = r r, uv r r r r Vektorite ristseisu tunnus u v u v = 0 r r r r Kahe vektori skalaarkorrutis u v = u v cos X1 Y1 Z1 Vektorid on komplanaarsed X 2 Y2 Z 2 = 0 X 3 Y3 Z3 Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed r r r r X 1 Y1 Z1
axi Vektor ja tema koordinaadid kahemõõtmelisel juhul. Vektori pikkus arvutatakse järgmise valemi järgi: a = a x2 + a y2 + a z2 Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit, mille alguspunkt asub koordinaatide alguspunktis ja lõpp-punkt meid huvitavas punktis. Kui lõpp- punkti koordinaadid on x, y, z, avaldub kohavektor komponentides järgmiselt: r = xi + y j + z k 2. Vektorite liitmine, lahutamine ja korrutamine skalaariga Vektorite liitmist on lihtsaim kirjeldada geomeetriliselt: kasutatakse rööpküliku reeglit. Liitmise tulemusena saadakse uus vektor: a + b = c . Liitmine on kommutatiivne: a + b = b + a . Lahutamine on liitmine vastandmärgiga: a - b = a + (-b) . Miinusmärk ei muuda vektori suurust. Ta muudab vektori suuna vastupidiseks. Skalaariga korrutamine muudab vektori absoluutväärtust (välja arvatud juhtum, kus skalaari absoluutväärtus on 1)
nähtamatu. Liikumise liigitamine: · Sirgjooneline · Kõverjooneline · Ühtlane · Mitteühtlane · Kulgev · Pöörlev · Võnkuv Liikumine on suhteline ja sõltub täiesti taustkeha valikust. Nt. sõites autoga, auto sinu jaoks ei liigu aga puud küll. LIIKUMIST ISELOOMUSTAVAD SUURUSED 1)aeg- t (s) 2)teepikkus- s (m) 3)nihe- s-> 4)kiirus- v (m/s) VEKTORID Vektor on suunaga suurus. Vektoreid kujutatakse joonistel nooltena. Vektori pikkus on moodul (absoluutväärtus) 1) Vektorite liitmine Vektoreid liidetakse kas kolmnurga või rööpküliku reegli järgi ja ainult graafiliselt. 2) Vektorite lahutamine Vektorite lahutamiseks võib vektorile liita teise vektori vastandvektori. Lahutamiseks võib nad kanda ka ühisesse alguspunkti. Vektorite vahe viib teise lõpust esimese algusesse. Nihe on vektor, mis viib keha algasukohast lõppasukohta.
docstxt/13673913722388.txt
Valides k vektorit ja k reaalarvu a1 , ⃗ ⃗ ak ∈ V a2 , … ,⃗ ning λ 1 , λ2 , … , λ k ∈ R . Kasutades vektorruumi lineaartehteid, saab moodustada uue vektori: λ1 ⃗ a1 + λ2 ⃗ ak ∈V , mida nimetatakse vektorite a2 , … , λk ⃗ a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak lineaarkombinatsiooniks. Reaalarvud
A Tipu B(-4;-3) juures asub nurk Tipu C(3;-2) juures asub nurk C B Näiteülesanne:Antud kolmnurga lahendamiseks leiame külgede pikkused ja nurkade suurused. Selleks leiame esmalt vektorite koordinaadid, nende vastandvektorite koordinaadid, vektorite pikkused ja seejärel vektorite vahelised nurgad. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti vastavatest koordinaatidest vektori alguspunkti vastavad koordinaadid. Kui vektori alguspunkt A(a1;a2) ja lõppunkt B(b1;b2) , siis vektori AB koordinaadid leiame AB
Praktikum nr. 8. GPS võrgu tasandamine Tasandada joonisel 1 kujutatud GPS-võrk maatriksite abil. Koostage mõõtmistulemuste võrrandid, A, L ja W maatriksid. Lähtepunktide koordinaadid on antud tabelis 1. Mõõdetud vektorite pikkused kooskovariatsioonimaatriksi elementidega on toodud tabelis 2. Joonis 1. Tasandatav GPS-võrk Tabel 1. Lähtepunktide geotsentrilised koordinaadid (WGS84) Punkt X (m) Y (m) Z (m) - - 4390283. A 1683429.8 4369532.52 745 25 2 - -
Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse a korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . 4. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis. Skalaarkorrutise 5 omadust. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a1 ; a 2;... a n ) , võetuna kindlas järjekorras. Aritmeetiliste vektorite = (a1 ; a 2;... a n ) ja = (b1 ; b2;...bn ) summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit + = (a1 + b1 ; a2 + b2 ;...; an + bn ; ) , korrutiseks vektori = (a1 ; a2 ;...; an ) ca = (ca1 ; ca2 ;...; can ; ) . Vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu n = ai bi =a1b1 + a2 b2 + ...
väärtuse ka suunda nagu jõud, kiirus jne, nim vektoriaalseteks suurusteks ehk vektoriteks. Vektori pikkus Iga vektorit võime geomeetriliselt kujutada kindla pikkuse ja suunaga sirglõiguna. Vektori pikkuseks ehk moodduliks nim vektori kui lõigu pikkust. *Vektorit, mille moodul võrdub ühega nim ühikvektoriks. Nullvektoriks nim vektorit mille alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Vektorite võrdsus Kaht vektorit nim võrdseteks kui nad on võrdse pikkusega ja samasuunalised ja vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vabavektor- see on veektorid mille alguspunkti valik ei ole millegagi kitsendatud. Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal sirgel. Kollineaarsete vektorite definitsioonist järeldub et nad on kas sama- või vastassuunalised. Vektoreid nim komplanaarseteks kui pärast ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal tasandil. Vektorite summa ja vahe
ühisesse alguspunkti. Täiendame joonise rööpkülikuks nii, et antud vektorid on rööpküliku külgedeks. Summavektoriks on rööpküliku diagonaal, mis algab nende ühisest alguspunktist. Hulknurgareegel Selleks, et liita mitu vektorit, asetame nad nii, et esimese lõpp ühtib teise algusega, teise lõpp kolmanda algusega ja nii edasi. Summavektoriks on vektor, mis ühendab esimese vektori algust viimase lõpuga. Koordinaatide järgi vektorite summa saame, kui liidame omavahel mõlema vektori vastavad koordinaadid. Antud vektori summa ja tema vastandvektori summa on nullvektor. Vektorite vahe. Geomeetriliselt vektorid on rakendatud ühisesse alguspunkti, vahevektor ühendab nende lõpp-punkte ja on suunaga vähendatava poole. Asendusega lahutamistehte saab asendada vastandvektori liitmisega. Koordinaatide järgi vektorite vahe saame, kui lahutame omavahel mõlema vektori vastavad koordinaadid. Korrutamine
Skalaarkorrutis-a*b=X1X2; a*b=a*b*cos Pikkus-AB=X2+Y2 Vektorite vaheline nurk-cos=X1X2+Y1Y2/a*b 2 vektori summa-a+b=(X1+X2;Y1+Y2) Kollineaarsus-X1/X2=Y1/Y2 Skalaarkorrutis-a*b=X1X2; a*b=a*b*cos Ristseisund-X1X2+Y1Y2=0; Vektorite vaheline nurk-cos=X1X2+Y1Y2/a*b a*b=0 Kollineaarsus-X1/X2=Y1/Y2 Ristseisund-X1X2+Y1Y2=0; Koordinaadid-AB=(X2-X1;Y2-Y1) a*b=0 Pikkus-AB=X2+Y2 2 vektori summa-a+b=(X1+X2;Y1+Y2) Koordinaadid-AB=(X2-X1;Y2-Y1)
Vektor tasandil Vektori mõiste · Skalaarsed suurused · Vektoriaalsed suurused B Vektoriks nimetatakse AB suunatud sirglõiku Vektori alguspunkt A a Vektori lõpppunkt Vektorite võrdsus Kollineaarsed vektorid c · samasuunalised b · vastassuunalised a · võrdsed d e Vektori koordinaadid Vektori pikkus · vektori koordinaadid y d B(c;d) AB=(c-a;d-b) · vektori pikkus b A(a;b) AB = (c-a)2+(d-b)2
Laine Aluoja - Türi Gümnaasium Kasutatud Elma Männi esitlust http://koolielu.ee/pg/waramu/view/d4c1972cd88d813b988125e46e8534b62f5c2cc8 Vektori mõiste · Skalaarsed suurused · Vektoriaalsed suurused B Vektoriks nimetatakse AB suunatud sirglõiku Vektori alguspunkt A a Vektori lõpppunkt Vektorite võrdsus Kollineaarsed vektorid c · samasuunalised b · vastassuunalised a · võrdsed d e Vektori koordinaadid Vektori pikkus · vektori koordinaadid y d B(c;d) AB=(c-a;d-b) · vektori pikkus b A(a;b) AB = (c-a)2+(d-b)2
s.t. AB = ( x - x ; y - y ; z - z ) 2 1 2 1 2 1 Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB = ( 4 - ( -1);-6 - ( -2);2 -1) = (5;-4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB = X 2 +Y 2 + Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB = (5;-4;1) pikkuse. Lahendus AB = 5 2 + (-4) 2 + 11 = 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist
s.t. AB ( x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB ( 4 ( 1);6 ( 2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y2 Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist
s.t. AB ( x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB ( 4 ( 1);6 ( 2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y2 Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist
B(x2;y2) A(x1;y1) Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis AB = (x2 – x1; y2 – y1). Vektori pikkus v Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus |v|= a 2 b2 Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks nullvektori pikkus on võrdne nulliga nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid u (a; b) v (c; d ) w u v (a c; b d ) Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega Summavektor ühendab esimese vektori algust teise lõpuga Vastandvektor v (a; b) v ( a;b) v v O
alguspunktist lõpp-punkti. Vektoreid saab liita algebraliselt ja geomeetriliselt. Kahe vektori liitmisel algebraliselt tuleb vektorite vastavad koordinaadid liita, tulemuseks saadakse vektor. a + b ( ax + bx ; ay + by ) Geomeetrilisel liitmisel kasutatakse kolmnurgareeglit ja rööpkülikureeglit. Rööpkülikureegel: Vektorid rakendatakse ühisesse alguspunkti. Ehitame rööpküliku mille külgedeks on need vektorid. Summavektor lähtub liidetavate vektorite ühisest alguspunktist, paikneb sellest punktist tõmmatud diagonaalil ja on pikkuselt võrdne selle diagonaaliga. Kolmnurgareegel: Et liita kahte vektorit, selleks paigutame vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega. Summavektor ühendab esimese vektori algust teise lõpuga. Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektorite liitmist. Selleks, et lahutada ühest vektorist teine paigutatakse need vektorid ühisesse alguspunkti. Vahevektor on vektor, mis
, st A = Fi+2kPi/n , k Z. Arvestame ka seda, et osa juuri langevad omavahel kokku, st ws = wt, kui As = At + 2kPi, k Z. Nii saame, et erinevaid juuri on täpselt n: nRjz = nRJr(cos(fi + 2kPi/n) + isin( fi + 2kPi/ n)); k = 0; 1;.. ; n - 1: Tehted kompleksarvudega algebralisel ja trigonomeetrilisel kujul. Kompleksarvude juurimine ja juurte graafiline kujutamine. Piirkondade kujutamine komplekstasandil. Vektorruum Vektorruumi mõiste. Aritmeetiliste ja geomeetriliste vektorite vektorruum. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse definitsioonid. Vektorite hulga lineaarse sõltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid. Eukleidiline vektorruum Vektorite skalaarkorrutis. Cauchy-Bunjakovski võrratus. Ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. Meetriline maatriks, vektorite skalaarkorrutise leidmine analüütilisel kujul.
Vektorite liitmise kolmnurga reegel: Kaks vektorit tuleb asetada b nii, et teise vektori alguspunkt asuks esimese vektori lõpp-punktis. Kahe vektori summaks on vektor, mis ühendab esimese vektori alguspunkti teise vektori lõpp-punktiga. a Vektorite liitmise rööpkülikureegel: Kaks liidetavat vektorit tuleb asetada niiviisi, et nende alguspunktid ühtivad. Vektorite b a+b summaks on neile vektoritele ehitatud rööpküliku samast punktist väljub diagonaal. a Vektorite liitmise hulknurga reegel: a+b+c+d d a c b Vektorite lahutamine.
See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Sirge vektorvõrrand ja sirge kanoonilised võrrandid Kui vektor r-r1 on paralleelne vektoriga s ja paralleelsete vektorite vektorkorrutis on 0, siis s(r- r1)=0, so sirge vektorvõrrand. Võrrandeid x-x1/s1= y-y1/s2= z-z1/s3 nim sirge kanoonilisteks võrranditeks ruumis. X-x1/s1=y-y1/s2 on sirge kanoonilinr võrrand tasandil. Kahe antud punkti läbiva sirge võrrand Ruumis on antud 2 punkti M1(x1,y1,z1) ja M2(x2,y2,z2). Et leida võrrandit sirgele mis läbib punkte M1 ja M2 tarvitseb võtta punkti M1 alguspunktiks ja vektor M1M2 sirge sihivektoriks.
X 2 +Y 2 + Z 2 X 2 +Y 2 + Z 2 1 7.2 Lineaarsed tehted vektoritega r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis r r u = v X 1 = X 2 , Y1 = Y2 , Z1 = Z 2 , r r u + v = ( X 1 + X 2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z 2 ) , r r u - v = ( X 1 - X 2 ; Y1 - Y2 ; Z1 - Z 2 ) , r ku = ( kX 1 ; kY1 ; kZ1 ) . 7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = = k (kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide X 2 Y2 Z 2 suhted on võrdsed). Vektorid on komplanaarsed, kui nad kuuluvad ühe ja sama tasandi rihti.
® Kodune kontrolltöö_vektor ruumis 12.klass Esitamistähtaeg: 26.nov.2013 Lahendused võib saata ka meili peale. 1. A...H on rööptahukas (vt joonist). Avaldage vektorite , ja kaudu vektorid 2. Kirjeldage vektori asendit koordinaatteljestikus. a) b) c) 3. Vektorid on rakendatud koordinaatide alguspunkti Arvutage nende vektorite lõpp-punktide poolt määratud nelinurga ümbermõõt 4. Leidke parameetri m väärtused, mille korral vektorid ja on risti. 5. Kas vektorid ja asuvad ühel sirgel? 6. Kas punktid , võivad olla püramiidi tippudeks? 7. Kontrolli, kas vektor on avaldatav vektorite ja kaudu? 8
Magnetvoog on magnetinduktsiooni ja pinnavektori skalaarkorrutis.Q=B-*S-=Bscos2 Vektorite skalaar korrutis on nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise koosseisu korrutis Pinnavektor antud tasapinna pinna vektor on vektor, mille pikkus võrdub selle pinna pindalaga ja suund on risti pinnaga. B-magnetinduktsioon(T), S-pindada(m2),2-nurk magnetvälja ja pinnamooli vahel, Q- magnetvoog. Sisuliselt näitab magnetvoog kui palju jõujooni läbib antud pinda. Magnetvoogi mõõtmiseks on 3 võimalust: Nurka muuta, muuta pinna pindada. Faraday induktsiooniseadus- suletud kontuuris tekkis
aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a.
Suurusi, mida saab esitada vaid ühe arvu abil, nt vanus, temp, nimetatakse skalaarideks. Samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks ja märgitakse sümboliga ||. Samasihilised vektorid võivad olla samasuunalised või vastassuunalised. · Kaks vektorit on võrdsed, kui neil on sama siht, suund ja võrdne pikkus. · Vabavektori puhul ei ole oluline, milline on alguspunkt. · Kui vektorite võrdsuse defininitsioonis nõutakse, et vektorid asuksid samal sirgel, oleksid sama suuna ja pikkusega, siis on tegemist libisevate vektoritega. · Kui võrduse tingimuse juurde kuulub ka ühise alguspunkti nõue, öeldakse, et tegemist on seotud vektoritega. 6.4 Vektori liitmine Olgu antud punkt A ja vektor a. Kujutame ette, et punkti A nihutatakse vektoriga a määratud sihis ja suunas vektori a pikkuse võrra
2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. 1. Komplesarvude liitmine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i summaks nimetatakse võrdusega z1 + z2 = ( a1 + b1i ) + ( a2 + b2i ) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i (1) määratud kompleksarvu. Vektoritena kujutatud kompleksarve liidetakse vektorite liitmise reegli põhjal. 2. Kompleksarvude lahutamine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i vaheks nimetatakse niisugust kompleksarvu, mille liitmisel arvuga z2 saadakse summa, mis võrdub arvuga z1 : z1 - z2 = ( a1 + b1i ) - ( a2 + b2i ) = ( a1 - a2 ) + ( b1 - b2 ) i . (2) Kahe kompleksarvu vahe moodul võrdub neid arve komplekstasandil kujutavate punktide vahelise kaugusega:
maatriksi mõisted. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E, kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Pöördmaatriksi elementide 1 ~ leidmise eeskiri: A -1 = A. det A 5. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse . Olgu ja nullvektorist erinevad vektorid eukleidilisest vektorruumist V. Vektorite ja vaheliseks nurgaks
VEKTORRUUMI BAAS JA MÕÕDE DEF1: Vektorruumi V lin. sõltumatute vektorite süsteem B={⃗ e1 , ⃗ e2 , … , ⃗ en } moodustab
Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta)
VEKTOR Punktid A(x1; y1) ja B(x2; y2) Vektori koordinaadid AB = ( x2 - x1 ; y 2 - y1 ) Vektori pikkus AB = ( x2 -x1 ) 2 +( y2 - y1 ) 2 Vektorid a = ( a1; a2 ) ja b = ( b1;b2 ) Vektorite liitmine a + b = ( a1 + b1 ; a 2 + b2 ) Vektorite lahutamine a - b = ( a1 - b1 ; a 2 - b2 ) Vektori korrutamine arvuga k a = ( k a1; k a2 ) Vektori pikkus a = a12 + a22 Võrdsed vektorid a = b a1 = b1 ja a 2 = b2 Kollineaarsed vektorid a a b b = b 1 2 a 1 2 Ristuvad vektorid a b a b = 0 a b a1 b1 + a 2 b2 = 0 a b Vektorite vaheline nurk: cos = a b
X klassi matemaatika V perioodi arvestuse näidisküsimused ja -ülesanded Teemad: Valemid: 1. Vektor tasandil d= ( x2 - x1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2 - Kahe punkti vaheline kaugus - Mis on vektor? Vektorite liigitus? a1 a 2 - Kollineaarsed vektorid a b , kui = b1 b2 AB = ( x 2 - x1 ; y 2 - y1 ) a = a12 + a 22
J3: BB=0 a=a+0. J4: BA=(-a) a+(-a)=0 1* igale paarile (,a) on vastavusse seatud parajasti üks vektor a. 2* (+)a= a+ a. 3* (a)=( )a. 4* (a+b)= a+ b. 5* 1 ·a=a. J5: =a(a)= · a. (-a)=-1 ·a. J6: ·0=0. J7: 0 ·a=0. J8: -(-a)=a. leiduvad vektorid {e, e2, e 3} x nii et mistahes vektor x on avaldatav x=x 1·e 1+x2·e 2+x3·e 3 kusjuures x1·e 1+x2·e 2+x3·e 3=0 peab paika vaid siis kui x 1+x2+x3=0. Olgu rahuldatud aksioomide 1 º-4 º ja 1*-5* ja nõuded, sel korral punktide hulga vektorite hulgaja reaalarvude hulga ühendamisel tekkinud hulka nim kolmemõõtmeliseks Affiinseks ruumiks. x=x1·e 1+x2·e 1+x3·e 3=(x1;x2;x3) ; y=(y 1;y 2;y 3) ; x=y x1=y1 x2=y2 x3=y3 ; ·x=(x1;x2;x3) ; -x=(-x1;-x2;-x3) ; x+y=(x1+y1;x 2+y2;x3+y3) ; x-y=(x1-y1;x 2-y2;x3-y3). Affiinse ruumi lineaarsete sõltumatute vektorite maksimaalset arvu nim selle ruumi mõõtmeks e dimensiooniks
tundmatute veerg on asendatud üks nullist erinev r –järku miinor, vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vabaliikmetega, determinant. kuid mitte ühtegi nullist Erinevat vektorit b kujul b _ a1a1 _ a2a2 Determinantide omadused, kõrgemat järku miinorit, siis _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on determinandi arendus rea (veeru) öeldakse, maatriksi astak on r. reaalarvud, nimetatakse vektorite järgi Maatriksi astaku hõlpsamaks a1, a2, . . . , ak lineaarseks l. omadus. leidmiseks teisendataks maatriksit kombinatsiooniks. Kui vektor on Determinant ei muutu kui tema read ja enne nii, et ta kõrgeimat järku esitatud mingite vektorite lineaarse veerud omavahel ümber paigutada. See
nende omadused. Geomeetriline vektor on suunatud lõik tasandil või ruumis. Kahte geomeetrilist vektorit loetakse võrdseiks, kui need vektorid on kollineaarsed ( || ), samasuunalised ( ) ja ühepikkused (|||| = ||||) Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega: 1. liitmine 2. skalaariga korrutamine (skalaaride hulgaks R). Korrutis rahuldab tingimusi: 1. c || ; 2. c >= 0 <=> c ; c < 0 <=> c ; 3. ||c|| = |c| * ||||; Lineaarsete tehete omadused geomeetriliste vektorite korral 1. liitmine on kommutatiivne, st + = + iga , V korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st ( + ) + = + ( + ) iga , , V korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (nullvektor), st leidub , nii et + = + = iga V korral 4. liitmise suhtes leidub igal vektoril vastandelement (vastandvektor), st iga korral leidub , nii et + = + = ( = -) 5. (ab) = a(b) iga a, b kuulub R ja V korral 6. (a + b) = a + b iga a, b kuulub R ja V korral 7. 1 = iga V korral 8
loga N1 · N2 = loga N1 / N2 = KUJUNDID Sektori pindala: Ringi pindala: Ringjoone ümbermõõt: Kera ruumala: Kera pindala: Koonuse ruumala: Koonuse pindala: Püramiidi ruumala: Trapetsi pindala: Rombi pindala: TULETIS [f(x) · g(x)]´ = [f(x) / g(x)]´ = y = f[g(x)]; y´ = (ln x)´ = (ex)` = (ax)` = (logax)´= (sin x)´ = (cos x)´ = (tan x)´ = LÕIK, SIRGE, VEKTOR, TASAND Lõigu pikkus ruumis: d = Tasandi projektsiooni pindala: Sp = Vektorite paralleelsuse tingimus: Vektorite ristseisu tingimus: Skalaarkorrutis: Nurk vektorite vahel: Vektorite liitmine ja lahutamine: Vektori pikkus: Ühel tasandil olevaid vektoreid nimetatakse komplanaarseteks. Komplanaarsuse tingimus: Sirge võrrand tasandil Kahe punktiga: Punkti ja sihivektoriga: Punkti ja tõusuga: Tõusu ja algordinaadiga: NB! Ruumis saab leida ainult kahe punktiga. Sirgete asend ruumis Paralleelsuse tingimus:
juurimine Igal k-arvul z=r(cos+isin)0 on parajasti n juurt ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) 4. Geomeetrilised vektorid,lineaartehted ja nende omadused. Geomeetrilised vektorid on suunatud lõigud,a-algus punk,b-lõpp punkt( või ) on võrdsed kui need on,samasuunalised ja ühepikused.ruumis võib olla mis tahes punkt iga vektori ja p.A-le leidub p.B .kui vektori alg ja lõpp punk langevad kokku siis see on null-vektor.vektorite + = . lineaartehted on vektorite liitmine ja skalaar korrutmine omadused , , (null vektor olemas olu), (vastand vektori olemas olu), , 5. Aritmeetilised vektorid lineaartehted ja skalaarkorrutis ja nende omadused. Aritmeetilised vektorid n-mõõtmeline aritm.vektor on n arvu(a1,a2,a3....an)kindlas jäjekorras.tähistatakse (.kõigi n-mõõtmelise vektorite this on . Lineaartehted kui p =(b1,b2,b3,...bn) ja CR. korrutis )
Näiteks kiirusvektori tähis on ja jõuvektori tähis Vektori pikkust nimetatakse vektori mooduliks. Kiirusvektori pikkus on võrdne kiiruse arvväärtusega ja jõuvektori pikkus on võrdne jõu arvväärtusega. Vektoreid ehk suunaga lõike iseloomustab korraga nii lõigu pikkus kui suund. Kaks vektorit on võrdsed, kui nende pikkused on võrdsed ja nad on samal ajal ka ühesuguse suunaga. Pikkuste või suundade võrdsusest vektorite võrdsuseks üksi ei piisa. Pikkused ja suunad peavad korraga ühesugused olema: Tehted vektoritega Vektori korrutamisel või jagamisel arvuga jääb suund samaks tehe mõjutab vektori pikkust. Miinus ühega korrutamisel ehk märgi vastupidiseks muutmisel jääb pikkus samaks, aga suund muutub vastupidiseks. Näiteks: Vektorite liitmiseks on kaks võimalust: kormnurga reegel ja rööpküliku reegel
teljeks. Ristkoordinaadistik ruumis: · Kolm ristuvat suunaga arvsirget; · Alguspuntkid ühtivad; · Ühikud on võrdsed. Punkti ristkoordinaadid ruumis - (punkti koordinaatide saamiseks võtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele) M(x;y;z) Mx(x), My(y), Mz(z). Seosed punkti rist- ja sfäärkoordinaatide vahel: 1) x 2) y 3) z = sin* 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Vektor ehk suunatud lõik lõik, millel on määratud suund, siht ja suurus. Täh a=(a1;a2;a3) või AB=(a1;a2;a3). Vektorite võrdsus: vektoreid nim võrdseteks kui nad on kollineaarsed, samasuunalised ja võrdse pikkusega (võivad erineda vaid alguspunktide poolest). Kollineaarsed vektorid: vektorid, mis asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suund ja pikkus võivad olla erinevad). 14
2 LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA VEKTORITE LIITMINE: V × V V: (a, b) a + b = c. 1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS
2 LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA VEKTORITE LIITMINE: V × V V: (a, b) a + b = c. 1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS
kindla kohaga). Definitsioon. Libisevateks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mille alguspunkti võib suvaliselt nihutada teda kandval sirgel. Näiteks jäigale kehale rakendatud jõud. Definitsioon. Vabadeks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis võivad olla rakendatud suvalisest ruumi punktist, igat vektorit võib üle kanda paralleelselt iseendaga suvalisse ruumi punkti. Siin vaatleme just viimaseid. LINEAARTEHTED VEKTORITEGA Lineaarteheteks vektoritega on vektorite liitmine, vektorite lahutamine, vektori korrutamine arvuga. Definitsioon. Vektorite a ja b summaks nimetatakse vektorit c a b , mille alguspunkt langeb kokku vektori a alguspunktiga ja lõpp-punkt vektori b lõpp-punktiga eeldusel, et vektor b on rakendatud vektori a lõpp-punkti.
√ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. 7. vektorite lahutamine- Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit d, millel on omadus b+d=a
ruutvormi asemele uue ruutvormi. Otsitakse võimalikult Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud, nimetatakse distributiivsus vektorite liitmise suhtes lihtsat kuju. F= moodustatud mingi konkreetne järjestus Pn=n! Öeldakse, et kui kompleksarvude hulgaks, ning tema elemente nimetatakse Kõik ruutvormid on muutujate regulaarse tisenduse väiksem indeks asetseb suurema indeksi ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse. Vastasel juhul räägitalse, et
n n ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) n n z= r ¿ 4) Vektorruumi mõiste, vahetud järeldused aksioomidest. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le ( , V on )elemendile on pandud + V vastandisse. 2) skalaarkorrutamine- vastavuse elemet( C V on pandud arvule( C R ja hulga elemendile ( V ) .vektorruumi element-on vektor. 5) Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Lineaarse s~oltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui Vektorruumi X(ülekorpuse K) mingit vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui ta ei ole lineaarselt sõltuv 6) Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid. Tasnd- kasutatakse vektorruum pikkusega 1 =1 kordinaadid-baasiks on iga 2 lin
(Ei küsi - Arvo Mere) 10^40 Tugev gluuon (meson?), 10^38 Elektromagnetiline footon, 10^15 Nõrk - uikon, 10^0 Gravitatsiooniline graviton. 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor-füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt (nihe, kiirus, kiirendus, jõud...) Skalaar-füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus...) Tehted skalaaridega on nii nagu ikka tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. Nihutada iga järgneva vektori alguspunkt eelneva lõpppunkti(kehtib ka paljude vektorite puhul ja on lihtsam) [(kõik on vektorid) x=1+2+3+...+n] x 1 3 2 4 2 1 x Rööpküliku meetod: Nihutab vektorid ühte alguspunkti(paljude vektorite korral liialt keeruline kui mitte võimatu) 1 x 2 10
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
