Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste: Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende imaginaarosad ja reaalosad on vastavalt võrdsed a + bi = c + di <=> a = c ja b = d Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Näiteks 5+2i ja 5-2i. Kompleksarvu a + bi vastandarvuks nimetatakse kompleksarvu -a bi. Näiteks 7+5i ja -7- 5i. Tehted kompleksarvudega: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (5 -3i)+(2 + 7i) = (5+2) + (-3+7)i = 7 + 4i
KOMPLEKSARVU JUURIMINE Kompleksarvu z n -astme juureks (n ∈ N ) nimetatakse kompleksarvu ω , mille korral ω n=z , s.o. √n z=w ⟺ w n=z cos φ 1+isin φ 1 Olgu z=ρ ( cosφ+isinφ ) ω=ρ1 ¿ z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρn1 ( cos ( n φ1 ) +isin ( n φ 1) )=ωn Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui kompleksarvude moodulid on võrdsed ρn1= ρ , n φ1−φ=2 kπ , kus k ∈Z n φ+ 2 kπ kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne ρ 1=√ ρ , φ1 = ,
k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b-imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k- arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= z 1 ( a1 +b 1 i ) (a 2+b 2 i) (a1+b1i)*(a2+b2), = z 2 ( a2 +b 2 i ) (a 2+b 2 i) 2) Kompleksarvu trigonomeetriline kuju ja tehted trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y- telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori OA pikkus r ,siis a=rcos ja
polaarraadius – moodul ρ=| z|=√ z ´z = √ x + y 2 2 φ – nurk kiire ja sirglõigu OX vahel – polaarnurk – argument Tähistatakse φ=Arg (z ) Arg ( z )=arg ( z ) +2 kπ , kus k ∈Z Argumendi peaväärtus – kompleksarvu z argument, mis kuulub poollõiku ¿ . Tähistatakse: arg ( z ) Väärtused: −π < arg ( z) ≤ π Tasandi igale punktile X saab vastavusse seada polaarkoordinaadid X ( ρ, φ) . Polaarpoolus – punkt O . Polaartelg – punktist O väljuv kiir.
¨ Ulesanne Lahendage LVS Crameri valemite abil 2x + y + z = 3 x+y+z =6 1 x + 2y + z = 0 2 −x + y + z = 0 x + y + 2z = 9 x−y+z =2 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N⊂ Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N⊂Z⊂ Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste
Arvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja arvu bi selle imaginaarosaks. KOMPLEKSARVUD Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui b = 0, siis saame arvu a + 0·i, mis on reaalarv a. Kui a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. KOMPLEKSARVU MÕISTE. TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist. Komar liitmine ja lahutamine on kõige otstarbekam teha algebralisel kujul. Def
imaginaarühik. pAT 1* 2=r1*r2*(cos(1+2) +i sin(1+2)) n = p Kaaskompleksarv: Jägamine: Kaks kompleksarvu 1 x1 iy1 ja 2 x2 iy1 , mis Sümmeetriline maatriks: z1/z2 = (r1/r2)*(cos(1-2) + i sin(1-2)) Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest.
Lineaaralgebra I kontrolltöö teooriaküsimused 1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal
1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi, (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on nn. imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = - 1 või i 2 = -1 . Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z 2 = a 2 + b2 i loetakse võrdseteks ( z1 = z 2 ) , kui a1 = a 2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0. z = a + bi = r cos + i sin ehk z = r (cos + i sin ) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks
· seega i on kaldsümmeetriline maatriks · Def2: Hulka C, mille elementideks on kõik sellised (2*2) järku ruutmaatriksid, kus iga maatriksi korral peadiogonaalil paiknevad arvud on omavahel võrdsed ning kõrvaldiagonaalil asuvad arvud on teineteisest märgi poolest erinevad nim kompleksarvude hulgaks ja tema elemente nim kompleksarvudeks. · Tehetes kompleksarvudega peame meeles pidama järgmisi omadusi: · Suurust // nim kompleksarvu mooduliks ja teda arvutame valemiga: · Kehtivad omadused (1-7) · Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada ja tõlgendada punktidena tasandil, kus on fikseeritud ristkoordinaadistik (Cartesiuse koordinaadistik) · Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele vastava kompleksarvu kaugusena koordinaat telgede alguspunktist. · Suurust fii nim kompleksarvu argumendiks. · 1. algebralinekuju 2.maatrikskuju 3. vektor kuju 4
Determinant Dk tuletatakse süsteemi determinandist D k-nda veeru kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga, kusjuures ülejäänud veerud jäävad oma endistele kohtadele. D = 0, siis selleks, et l.v.s oleks lahend ka sellisel juhul, peavad kehtima tingimused D 1 = D2 = ...=Dn, sellisel juhul on l.v.s rohkem kui üks lahend. Determinanti on võimalik arendada tema suvalise rea/veeru järgi. Kompleks arvutus i2 = -1 = a + bi a-kompleksarvu reaalosa bi imaginaarosa b imaginaarosa kordaja i imaginaarühik Olgu hulk C kõigi selliste(2 × 2)järku ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid teineteise vastandarvud. = ( a -b) (b a)
Kasutades ülaltoodud omadusi saab det arvutada järgmise algoritmi põhjal: 1)valime ühe veeru(võimaluse korral rohkete nullidega). Valime veerus juhtelemendi 2) Punktis 1 valitud veeru ülejäänud elemendid(va juht) teisendame nullideks, liites deti reidadele sobiv arv kordi juhtelemendile vastavat rida. 3) Arendame deti valitud veeru järgi. Nii saame ühe võrra mdalama järguga deti 4) Kordame punkte 1-3 kuni jõuame 2. või 3. järku detini, mida saab vahetult arvutada. Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib
ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11. Kompleksarv- Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks z = 2 2 + 32 = 13 · Punktile P vastava kompleksarvu moodul · Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus- · Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud)
· Kui a ei ole nullmaatriks siis a-1 * a = E Lõpus olev tõestus võib tulle töösse EULERI VALEM: e i = cos + i * sin i on kaldsümmeetriline maatriks DEF 2: hulka C, mille elementideks on 2x2 järku maatriksid, kus iga maatriksi korral tema peadiag elemendid on võrdsed ning kõrvaldiag elemendid on vastandarvud nim kompleksarvude hulgaks ning neid nim kompleksarvudeks Arvutustes komplekarvudega tuleb arvestada järgmiste arvutusseadustega: Kehtivad järgmised omadused: Kompleksarvu geomeetriline kuju = kompleksarvu argument/amplituut |a|= r (moodul) Cos = a/b sin = b/a = r (cos + i sin ) kolmpleksarvu a moodul on geomeetriliselt tõlgendatav sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena nullpunktist. Kompleksarvu 5 esitust 1) Algebraline =a+b*i 2) Vektor = (a;b) 3) Maatriks = 4) Trigonomeetriline = r (cos + i sin ) 5) Eksponent = r * e i*
o. iga kahe reaalarvu x ja y kohta kehtib parajasti üks seostest: x < y, x = y, x > y. 8 Kompleksarvud Võrrandil x2 + 1 = 0 pole lahendit reaalarvude vallas, kuna - 1 pole reaalarvude vallas defineeritud. Arvu, mille ruut on 1, nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i, s. t. i = - 1 Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja arvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Näiteks on kompleksarvud 5 - 4i, - 2i 9 Kompleksarvud Näide: x 2 - 6 x + 13 = 0 x1, 2 = 3 ± 9 - 13 = 3 ± - 4 Kuna i = - 1, siis x1, 2 = 3 ± 4 (-1) = 3 ± 2 (-1) = 3 ± 2i 10
Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Kronecker-Capelli teoreem - Lineaarne võrrndisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed, so rank( A) = rank( AL). 10.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Lineaarvõrrandite süsteemi esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Gaussi meetodi sisu. 11.Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise valemid.
Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor
¨ steemid 13 8.5 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit 2 -1 1 3 X = 4 -2 2 6 8.6 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit 2 -1 1 3 X= 4 -2 2 6 V. Kompleksarvud 1 Kompleksarvu m~ oiste ja esitusi 1.1 Kompleksarvu m~ oiste Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvuliste elementidega teist j¨ ar- ku ruutmaatriksit, milles 1) peadiagonaali elemendid on v~ ordsed, 2) k~orvaldiagonaalil asetsevad teineteise vastandarvud. K~oigi kompleksarvude hulka t¨ ahistame C ja nimetame kompleks- arvude korpuseks. 1.2 T¨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 14.9 Nurk sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 15 Kompleksarvud. Algebraline ja trigonomeetriline kuju 137 15.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.2 Kompleksarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.3 Kompleksarvu algebraline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.4 Tehted kompleksarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 15.5 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 15.6 Siinus ja koosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 15.7 Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega . . . . . . . .
annavad tavaliste arvudega võrreldes märksa kompaktsema esituse. Nii on kvantmehaanika esitatav ainult kompleksarvude vahendusel, suurt ruumi ja aja kokkuhoidu annavad nad ka vahelduvvoolu teoorias. Ongi käes veel kaks lahendit, mis erinevad vaid imaginaarosa märgi poolest. Selliseid kompleksarvude paare nim. kaaskompleksarvudeks. Tehted kompleksarvudega Kahe kompleksarvu a+ib ja c+id summaks nimetatakse kompleksarvu (a+c)+i(b+d). Näiteks: (2+3i) + (1-5i) = 2+1+(3-5)i = 3-2i Analoogiliselt liitmisega toimub kompleksarvude lahutamine. Kahe kompleksarvu a+ib ja c+id korrutiseks nimetatakse kompleksarvu (ac-bd)+i(ad+bc). Näiteks: (2+3i) + (1-5i) = 2·1+2·(-5i)+3i·1+3i·(-5i) = 2-10i+3i-15i² = 2-7i-15·(-1) = 17-7i. Tuletis ja integraal. Funktsioonide tabeleid rehkendades märkasid matemaatikud, et paljude funktsioonide naaberväärtusi saab leida, korrutades argumendi muutu
Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt. 11/4=2.7500000...; reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge; kompleksarv - arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik (arv, mille ruut on -1). Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene. Kaht
Seejuures ilmneb, et ruutvormi kanooniline kuju pole üheselt määratav.Võib nad moodustavad inversiooni. nim. kompleksarvudeks. Arvu a nim. kompleksarvu reaalosaks, arvu bi kommutatiivsus skalaariga korrutamise olla rohkem kui 1 lahend, k. A. Lõpmatus. Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale imaginaarosaks, b on imaginaarosa kordaja. suhtes ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda (a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i elementide korrutistest moodustatud summe põhjal, kasutades
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3
- Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene. Kaht kompleksarvu z = a + ib ja x = c + id nimetatakse võrdseteks, kui a = c ja b = d.
- Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z = a + ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt. Seega on vastavus tasandi punktide või nende kohavektorite ja kompleksarvude vahel üksühene. Kaht kompleksarvu z = a + ib ja x = c + id nimetatakse võrdseteks, kui a = c ja b = d. - Püsikomaarvud on kõik täisarvudest erinevad reaalarvud, nt 65346,324
Kui a1 < 4a 0 a 2 , tekivad kaaskomplekssed karakteristlikud väärtused 2 1 = + i ja 2 = - i , 5 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken millele vastavad KKLD erilahendid ~ y1 = ex e i x ja ~ y 2 = ex e -i x . Arvestades kompleksarvu trigonomeetrilist kuju, saame y1 = ex e ix = ex ( cos x + i sin x ) ~ ja ~y = ex e - ix = ex ( cos x - i sin x ) . 2 Minnes üle reaalarvulistele lahenditele, saame lineaarselt sõltumatuteks erilahenditeks y1 = ex cos x ja y 2 = ex sin x . Teist järku homogeense KKLD erikujuks on võrrand, kus esimese tuletise kordaja on null. Sel juhul võrrand kirjutatakse kujul d2y - y = 0
püsimällu. Korrutise imaginaarne osa zd[r]=Im(*r) on DFJH süsteemi veasignaaliks olles samaaegselt FM signaali detekteerimise tulemus. Korrutise reaalosa Re(*z) on aga AM signaali detekteerimise tulemus, olles kasutatud ühtlasi ka suletud ringahela haardumise indikaatoriks sisendsignaaliga. Veasignaal zd töödeldakse veel digitaalfiltri ahelas, mille tulemusena saadakse sageduse kood (kui SM signaali detekteerimise tulemus). Skeemi raskeimaks operatsiooniks on kahe kompleksarvu korrutamine. Kui on tegemist puht reaalsignaalide korrutamisega, on see lihtsamini realiseeritav. 5.1 Sageduskordistid- Vastuvõtjate signaalitraktis sageduskordisteid tavaliselt ei kasutata, küll aga leiavad nad kasutust vajaliku sagedusega heterodüünisignaalide formeerimiseks. Ideaalne sageduskorruti peaks muundama lähtesignaali u sis=Usiscos(t+) signaaliks uvälj =Uvälj cosn(t+). Reaalsetes kordistites aga esineb lisaks soovitud sageduskomponendile ka muid harmoonilisi. Viimased
faasorkujul vektorina Esitluse aluseks on Euleri valem: 𝑒𝑗𝑥 = cos(𝑥)+ 𝑗sin(x), kus j =sqrt(-1) imaginaarühik Meile juba tuttavat harmoonilist signaali 𝑠(𝑡) = 𝐴 · cos(2π𝑓𝑡 + 𝜑) saab Euleri valemit kasutades esitada kujul 𝑠(𝑡)= Re{𝐴𝑒𝑗(2π𝑓𝑡+ 𝜑) }= Re{𝐴𝑒 𝑗𝜑 𝑒 𝑗𝜔𝑡 }. Ajast sõltuva osa ejωtt eemaldamisele järele jäävat, eksponentsiaalselt kujul kompleksarvu, Aejφ nimetataksegi faasoriks Faasori reaalosa nimetatakse ka sünfaasseks komponendiks I (In-phase) ja tema imaginaarosa vastavalt kvadratuurseks komponendiks Q (Quadrature) PSK modulatsiooniga signaalide üheks kujutusviisiks on spetsiaalne faasor ehk konstellatsioonidiagramm Ülevaatlikuks viisiks faasmanipuleeritud signaalide kujutamisel on konstellatsioonidiagramm.
Sarnaselt on komp- leksmõõtme ühikuks, teda liites või suurendades liigume mööda vertikaaltelge. Ta asub nullpunktist sama kaugel kui reaaltelje ühik. 90 arvuhulgad Nii on teised komplekstelje punktid antavad kujus ja nii edasi. Kõikvõimalikud kompleksarvud saame, kui vaatame arve kujus , kus ja on reaalarvud. Reaalarvu a kutsutakse kompleksarvu reaalosaks ja -d tema imaginaarosaks. Joonistame komplekstasandile näiteks punktid . 91 Iga reaalarvu korral võime rääkida tema suurusest ehk absoluutväärtusest – peame silmas talle vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist [lk 120]. Sama- moodi võime ka iga kompleksarvu korral rääkida tema suurusest – talle kompleks-
nimetatakse resonantssageduseks. Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa). Kompleksmeetod võnkumiste või lainete kirjeldamiseks esitab perioodiliselt muutuva suuruse eksponent- kujulise kompleksarvuna à = A e it, mille moodul A on selle suuruse amplituud, argument t on faas ja reaalosa A cos t on hälve. Põhitooniks nimetatakse omavõnkesagedusega (siin 1) toimuvat võnkumist, ülemtooniks (kõrgemaks harmooniliseks) aga võnkumist põhitooni sagedusest täisarv m korda suurema sagedusega m.
-i ga, kusjuures e saab asendada (cost-isint)-ga. Avaldise nimetajas tuleb eraldada reaalosa (imaginaarühikuta liikmed) ja imaginaarosa (imaginaarühikut sisaldavad liikmed). Nimetajas kujuneb avaldis a+ib või a-ib. Nimetajas imaginaarühikust vabanemiseks korrutame komplekssageduskarakteristiku W(i) avaldises lugeja ja nimetaja a+ib või a-ib-ga nii, et märk oleks vastupidine nimetaja avaldises oleva märgiga. Saame reaalosast ja imaginaarosast koosneva kompleksarvu. Polaarkoordinaatidesse viimiseks leitakse moodul: A() = ( Re()) + ( Im()) 2 2 ja argument: Im() () = arctg ( ) Re() Andes nurkkiirusele väärtusi nullist lõpmatuseni saab koostada komplekse sageduskarakteristiku. 18
nimetatakse resonantssageduseks. Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa). Kompleksmeetod võnkumiste või lainete kirjeldamiseks esitab perioodiliselt muutuva suuruse eksponent- kujulise kompleksarvuna à = A e it, mille moodul A on selle suuruse amplituud, argument t on faas ja reaalosa A cos t on hälve. Põhitooniks nimetatakse omavõnkesagedusega (siin 1) toimuvat võnkumist, ülemtooniks (kõrgemaks harmooniliseks) aga võnkumist põhitooni sagedusest täisarv m korda suurema sagedusega m.
nimetatakse resonantssageduseks. Kompleksarve à = a + i b, kus imaginaarühik i = (- 1) ½, kasutatakse füüsikas selleks, et: 1) kiiresti tuletada üks reaalarvuline suurus teise põhjal, s.t. minna liikumise kiirendamiseks ajutiselt arvude imaginaarsesse (mittereaalsesse) piirkonda; 2) esitada omavahel seotud kujul (kompleksselt) kaks suurust, mis mõlemad kirjeldavad ühte ja sedasama loodusnähtust (üks suurus on siis vastava kompleksarvu reaal- ja teine imaginaarosa). Kompleksmeetod võnkumiste või lainete kirjeldamiseks esitab perioodiliselt muutuva suuruse eksponent- kujulise kompleksarvuna à = A e it, mille moodul A on selle suuruse amplituud, argument t on faas ja reaalosa A cos t on hälve. Põhitooniks nimetatakse omavõnkesagedusega (siin 1) toimuvat võnkumist, ülemtooniks (kõrgemaks harmooniliseks) aga võnkumist põhitooni sagedusest täisarv m korda suurema sagedusega m.
kompleksarvude hulgal C tapselt ¨ n nullkohta, arvestades nullkohtade kordsust. Kui neiks nullkohtadeks on x1 , x2 , . . . , xr , vastavalt kordsustega k1 , k2 , . . . , kr , siis polunoom ¨ Pn (x) avaldub kujul Pn (x) = a0 (x - x1 )k1 (x - x2 )k2 · · · (x - xr )kr , kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n. Kui ak R k = 0, 1, . . . , n on reaalarvud, siis mittereaalarvulised nullkohad esinevad kompleksarvu ja tema kaaskompleksarvu paaridena. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 24 / 34 Ma¨ aramata ¨ integraal Ratsionaafunktsioonide integreerimine Horneri skeem Leiame polunoomi ¨ P6 (x) = x 6 - x 5 - 2x 4 - x 2 + x + 2 va¨ artuse
Veelgi enam, seal on funktsioonide valik märksa laiem. Selle näiteks on väljavõte aritmeetilistest funktsioonidest: acos, acosl arvutab arkuskoosinust asin, asinl arvutab arkussiinust atan, atanl arvutab arkustangensit Programmeerimise algkursus 76 - 89 atan2, atan2l arvutab arkustangensit Bessel arvutab Besseli funktsiooni _cabs, _cabsl leiab kompleksarvu absoluutväärtuse ceil, ceill leiab ümardatud täisarvu cos, cosl arvutab koosinuse cosh, coshl arvutab koosinus hüperbolicuse div jagab täisarve ning tagastab tulemuse ja jäägi exp, expl arvutab eksponenti fabs, fabsl leiab absoluutväärtuse fmod, fmodl leiab reaalarvulise jäägi frexp, frexpl arvutab eksponenti
C Keele C teekidest on võimalik leida samasuguseid funktsioone, kui Pascali teekidest. Veelgi enam, seal on funktsioonide valik märksa laiem. Selle näiteks on väljavõte aritmeetilistest funktsioonidest: acos, acosl arvutab arkuskoosinust asin, asinl arvutab arkussiinust atan, atanl arvutab arkustangensit atan2, atan2l arvutab arkustangensit Bessel arvutab Besseli funktsiooni _cabs, _cabsl leiab kompleksarvu absoluutväärtuse ceil, ceill leiab ümardatud täisarvu cos, cosl arvutab koosinuse cosh, coshl arvutab koosinus hüperbolicuse div jagab täisarve ning tagastab tulemuse ja jäägi exp, expl arvutab eksponenti fabs, fabsl leiab absoluutväärtuse fmod, fmodl leiab reaalarvulise jäägi frexp, frexpl arvutab eksponenti log, logl arvutab naturaallogaritmi
annaabi.ee 
