: Summa ruut (a+b)²=a²+2ab+b² Vahe ruut (a-b)²=a²-2ab+b² Ruutude vahe (a+b)(a-b)=a²-b² Summa kuup (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ Vahe kuup (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ Kuupide vahe a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) Kuupide summa a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
KORRUTAMISE ABIVALEMID Ruutude vahe valem (a+b)(a-b)=a²-b² Näide: (7+k)(7-k)=49-k² Summa ruudu valem (a+b)²=a²+2ab+b² Näide: (4+a)²=4²+2·4·a+ a²=16+8a+ a² Vahe ruudu valem (a-b)²=a²-2ab+b² Näide: (4-a)²=4²-2·4·a+ a²=16-8a+ a² Kuupide summa valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b)² Näide: 27+a³=(3+a)(9-3a+a²) Kuupide vahe valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b)² Näide: 27-a³=(3-a)(9+3a+a²) Summa kuubi valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ Näide: (2+a)³=8-3·2²·a+3·2·a²+a³=8+12a+6a²+a³ Vahe kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ Näide: (2-a)³=8-3·2²·a+3·2·a²-a³=8-12a+6a²-a³
Korrutamise valemid (a+b)² = a² +2ab +b² (a-b)² = a² -2ab +b² (a+b)(a-b) = a² -b² (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b² (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³
Ruutude vahe (a + b)(a b) = a² b² Summa ruut (a + b) ² = a² + 2ab + b² Vahe ruut (a b) ² = a² 2ab + b² Summa kuup (a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³ Vahe kuup (a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³ Kuupide summa (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b ³ Kuupide vahe (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
Abivalemid RUUTUDE VAHE: (a+b) (a-b) = a +ab-ab+b =a2-b2 2 2 (a+b) (a-b) = a2-b2 NÄIDE: 16-a 2 = 4 2 -a 2 = (4+a) (4-a) SUMMA RUUT: (a+b) = (a+b) (a+b) = a +ab+ba+b2 = a2+2ab+b2 2 2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 NÄIDE: (7x+4y) 2 = (7x) 2 +2(7x)(4y)+(4y) 2 = 49x 2 +56xy+16y 2 VAHE RUUT: (a-b) = (a-b) (a-b) = a -ab-ba+b2 = a2-2ab+b2 2 2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 NÄIDE: (3a-b) 2 = (3a) 2 -2(3a)b+b 2 = 9a 2 -6ab+b 2 KUUPIDE SUMMA: (a+b) (a - ab+b ) = a - a b+ab2+ba2- ab2+b3 = a3+ b3 2 2 3 2 (a+b) (a2- ab+b2) = a3+ b NÄIDE: (a+3)(a 2 -3a+9) = a 3 +3 3 = a 3 +27 ...
KORRUTAMISE ABIVALEMID (a+b)(a-b)=a²-b² - ruutude vahe valem (a+b)²=a²+2ab+b² - summa ruudu valem (a-b)²=a²-2ab+b² - vahe ruudu valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b²) - kuupide summa valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b²) - kuupide vahe valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ - summa kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ - vahe kuubi valem RUUTVÕRRAND x2 + px + q = 0 - taandatud ruutvõrand ; lahend ax2 + bx + c = 0 taandamata ruutvõrrand ; lahend x1 + x2 = -p ; x1 · x2 = q - viete valemid. Kus x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi lahendid. ax2 + bx + c ( ruutkolmliikme lahutamine teguriteks) : ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2). x1 ja x2 ruutvõrrandi lahendid. DETERMINANDID = a ·d - c·b. = aei + cdh +bfg gec ahf dbi. TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED sin2 + cos2 = 1 1 + cot2 a = tan = tan a cot a =1 1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = 1/tan a = cot a cot (90 - a) = 1/cot a = tan a ...
docstxt/122928059825885.txt
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b b...
Ruutvõrrandi lahend: Vete'i teoreem: ax² + bx + c = 0 x2+px+q=0 x = -b±b²-4ac 2a x1+x2=-p x1*x2=q Pythagorase teoreem: Protsendid: %arvust x*%/100 a2+b2=c2 a=c2-b2 moodustaja x=25/10%*100=250 c=a2+b2 b=c2-a2 arv-arvust x-y-st x/y*100=% Korrutamise valemid (a+b)² = a² +2ab +b² (a-b)² = a² -2ab +b² (a+b)(a-b) = a² -b² (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b² (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Pythagorase joonis: c a b sin=a/c sin=b/c cos=b/c cos=a/c tan=a/b tan=b/a Rööptahukas: Sp=ab, Sk=2(a+b)h, V=Sp*h Koonus: Sp=r , Sk=rm, V=Sph/3=r2h/3 2 Püramiid: V=1/3Sph Ring: C=2r S=r2 Silinder: c=2r, Sk=2rh, St=Sk+2Sp, Sp=r2, V=r 2h=Sp*h Kera: S=4r2, V=4/3r3 Kuup: S=6*a2, V=a3 Kolmnurk: S = a x h : 2, P=a+b+c Trapets: S = (a + a2) : 2 x h, P = a + a2 + c + d Rööpkülik: S=a*h, P=2(a+b) Romb: S=a*h, P=2(a+b) Risttahukas: S=2(ab+ac...
- 1, - 5, Kompleksarvud C 2 Naturaalarvud N = {0, 1, 2, ..., n, ...} Naturaalarvude jada on lõpmatu (igale naturaalarvule järgneb veel naturaalarve). Liites või korrutades kaks naturaalarvu, saame tulemuseks taas naturaalarvu. Seepärast öeldakse, et naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Liitmise ja korrutamise pöördtehted lahutamine ja jagamine ei ole naturaalarvude vallas alati teostatavad, s.t. võrranditel b + x = a ja b·x = a, kus a ja b on naturaalarvud, pole alati lahendit x naturaalarvude vallas. 3 Täisarvud Täiendades naturaalarvude hulka negatiivsete täisarvudega -1, -2, -3, ..., saame täisarvude hulga. Arvud -1 ja 1, -2 ja 2 üldiselt +n ja -n on teineteise vastand-
Siis P(A+B)= (mA-B+mAB+mB-A)/n=(mA-B+mAB+mB-A mAB)/n= (mA-B+mAB)/n+(mB-A+mAB)/n mAB/n =P(A)+P(B) P(AB). Kui A ja B ei saa korraga toimuda, st. nad on teineteist välistavad, siis m AB=0 ja P(A+B)=P(A)+P(B). Enam kui kahe üksteist välistava sündmuse A 1, A2, ...., An, korral P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2 )+...+P(An). 5. Tõenäosuste korrutamise lause (tõestusega). Sõltumatud sündmused. Tõenäosuste korrutamise lause sõltumatute sündmuste puhul. Tõenäosuste korrutamise lause. P(AB)=P(A)P(A/B) (või samaväärselt P(AB)=P(B)P(A/B)), kus P(B/A) on sündmuse B toimumise tõenäosus tingimusel, et toimub A (P(A/B) on sündmuse A toimumise tõenäosus tingimusel, et toimub B). Kui A ja B on sõltumatud, st A toimumise tõenäosus ei sõltu B toimumisest või mittetoimumisest ja vastupidi, siis P(AB)=P(A)P(B). Kui sündmused A 1, A2,...,Ak
1) Elimineerimismeetod. 2) Nende esemete arvu leidmiseks, millel pole ühtegi nimetatud omadust, tuleb kogu arvust lahutada nende esemete arv, millel on paaritu arv omadus ja seejärel liita nende esemete arv, millel on paarisarv omadusi. 3. Naturaalarvud. 1) Omadused. a) a+b=b+a a, b liitmise kommutatiivsus(vahetuvusseadus) b) ab=ba a, b korrutamise kommutatiivsus c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus 2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud.
........................................................................2 Irratsionaalarvud................................................................................................................. 3 Reaalarvud R.......................................................................................................................3 Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Väikseim = 0, suurim puudub. Naturaalarvude hulk on järjestatud hulk ja ta on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast). * (N1 = {1; 2; 3...}, see märgib naturaalarve alates ühest.) Negatiivsete täisarvude hulk z Z - = {-1; -2; -3...}. Hulk on kinnine liitmise suhtes. Täisarvude hulk Z Z = {0; ±1; ±2; ±3...} z = z N. Hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Murdarvude hulk Harilik murd lihtmurd + liitmurd Kümnendmurd lõplik kümnendmurd + lõpmatu (perioodiline) kümnendmurd +
t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0. z = a + bi = r cos + i sin ehk z = r (cos + i sin ) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks. 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Liitmine: z1 + z 2 = (a1 + b1i ) + (a 2 + b2 i ) = (a1 + a 2 ) + (b1 + b2 )i Lahutamine: z1 - z2 = (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2 )i Korrutamine: z1 z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + b1a2i + a1b2i + b1b2i 2 = (a1a2 - b1b2 ) + (b1a2 + a1b2 )i Trigonomeetriline: z1 z 2 = r1r2 [cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )]
Matemaatika 7 klass 1 veerand Across 3. Mitme nullist erineva arvu korrutis on negatiivne,kui negatiivsete arv on 4. korrutis nulliga 8. on alati mittenegatiivne arv 10. Kahe samamärgilise arvu korrutis ja jadatis on 11. Kahe erimärgilise arvu korrutis ja jagatis on 12. Korrutamise vahetuvus sedaus Down 1. Korrutamise ühenduvuse seadus 2. Kahe vastandarvu summa on võrdne 5. Mitme nullist erineva arvu korrutis on positiivne, kui see arv on 6. Kui kahe arvu summa on võrdne nulliga ,siis need on teineteise 7. Nulliga jagada 9. Teineteise vastandarvu absoluutväärtus on
· Eeldame, et lisaks vaadeldav arvutusoperatsioon rahuldab nn assotsiatiivsuse seadust. Kehtivad järgmised: (a+b)+c= a+(b+c) (a*b)c= a(b*c) · Def3: Algebralist süsteemi M, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks. Kehtib: (a+b)+c=a+(b+c) - aditiivne poolrühm, liitmise assotsiatiivsus, lubatud liita (a*b)c= a*(b*c) multiplikatiivne poolrühm, korrutamise assotsiatiivsus · Öeldakse, et tegemist on kommutatiivsuse seadusega. Kehtivad järgmised: a+b=b+a - liitmise kommutatiivsus a*b=b*a korrutamise kommutatiivsus · Def4: Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks. Seega on olemas: 1. aditiivne kommutatiivne poolrühm (a+b)+c=a+(b+c) liitmise assotsiatiivsus a+b=b+a liitmise kommutatiivsus 2
Vastandsündmuse, sundmuste katseseeria jooksul on juhuslik suurus, millel on n+1 Pn( )=1-Pn(A) 5. Tõenäosuste liitmise lause. P n(A+B)= väärtust 0,1, ..., n. Seda juhuslikku suurust nimetatakse summa, sündmuste korrutise definitsioonid. Sündmuse Pn(A)+Pn(B)-Pn(AB) 6. Tõenäosuste korrutamise lause. binoomjaotusega juhuslikuks suuruseks A vastandsündmus on sündmus, mis toimub siis, kui A Pn(AB)=Pn(A)Pn(B/A) ei toimu. P(A)+P( )=1. Sündmuste A ja B summa A+B parameetritega n ja p ning selle jaotustabel on järgmine: 10. Täistõenäosuse valem tõestusega. Bayesi valem.
Kõikide ratsionaalarvude hulk moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "×" korpuse (ratsionaalarvude korpuse), mis on reaalarvude korpuse R alamkorpus ning on kõige kitsam arvukorpus. RATSIONAALARVUDE HULK Q 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On tihe arvuhulk, s.t. iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge; 3. On hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Täisarvud Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z Z={...-2; -1; 0; 1; 2; ...}. Eraldi räägitakse veel positiivsete täisarvude hulgast : ={1; 2; 3;...} ja negatiivsete täisarvude hulgast ={...-3; -2; -1}. Et igal täisarvul leidub vastandarv, siis on lahutamistehe täisarvude hulgas alati teostatav iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv. Täisarvud liigutavad veel paaris ja paarituteks täisarvudeks
z = a + bi = r cos + ir sin ehk z = r ( cos + i sin ) . (3) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: r = z , = arg z . 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. 1. Komplesarvude liitmine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i summaks nimetatakse võrdusega z1 + z2 = ( a1 + b1i ) + ( a2 + b2i ) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i (1) määratud kompleksarvu. Vektoritena kujutatud kompleksarve liidetakse vektorite liitmise reegli põhjal. 2. Kompleksarvude lahutamine.
a + = a ^ + a = a nullelemendi leidmise seadus a + ( -a ) = ^ ( - a ) + a = vastandelemendi leidmise seadus Def6 Multiplikatiivset poolrühma, milles leidub ühikelement ja igale elemendile vastav pöördelement nimetatakse multiplikatiivseks rühmaks. Selle rühmas kehtivad seadused: a ( b c ) = ( a b ) c korrutamise assotsiatiivsus e a = a ^ a e = a ühikelemendi leidmise seadus a a-1 = e ^ a-1 a = e pöördelemendi leidmise seadus Def7 Rühma, milles on defineeritud arvutusoperatsioonid rahuldab kommutatiivsuse seadust nimetatakse kommutatiivseks rühmaks ehk Abeli rühmaks. · Aditiivne kommutatiivne rühm ( aditiivne Abeli rühm).
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5
1. Reaalarvud ja avaldised Põhiteadmised: · Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused; · arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine; · protsendi mõiste kasutamine: protsendi leidmine arvust, arvu leidmine protsendi järgi, kahe arvu suhte väljendamine protsentides. Valemid a, kui a 0
teisele ega kata kogu arvtelge. 3) on hulk, mis on kinnine liitmis-, korrutamis- ja lahutamistehte suhtes. Arvuhulkade omadused ● Ratsionaalarvude hulk Q 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. 2) on tihe arvuhulk, s.t. Iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge. 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Arvuhulkade omadused ● Reaalarvude hulk R 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. 2) on pidev arvuhulk, s.t. Need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel. 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise
olemasolu) 5) ∀ ⃗a ∈V , 1∈ V korral 1 ⃗a=⃗a (ühikelemendiga korrutamine) 6) ∀ ⃗a ∈V , ∀ λ∈R , ∀ μ∈R korral λ(μ a⃗ )=(λμ) ⃗a (korpuse elemendiga korrutamise assotsiatiivsus) 7) ∀ ⃗a ∈V , ∀ λ∈R , ∀ μ∈R korral ( λ+ μ ) a⃗ =λ ⃗a + μ a⃗ (distributiivsus skalaariga korrutamise suhtes) 8) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ λ∈R korral λ ( ⃗a + b⃗ )=λ ⃗a + λ ⃗b (distributiivsus liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv
1. Reaalarvud ja avaldised Põhiteadmised: · Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused; · arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine; · protsendi mõiste kasutamine: protsendi leidmine arvust, arvu leidmine protsendi järgi, kahe arvu suhte väljendamine protsentides. Valemid a, kui a 0
5. Tegurdamine 5.1. Tegurdamiseks nimetatakse avaldise kirjutamist korrutisena. 5.2. avaldis=millega saab jagada(SÜT) jagamise vastus 5.3. Tegurdamine tähendab ühise teguri sulgude ette toomist. 6. Kaksliikmete korrutamine 6.1. Esimese kaksliikme iga liikme korrutan teise kaksliikme iga liikmega. Kui võimalik, siis koondan 7. Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis 7.1. Korrutamise abivalem (a+b)(a-b)=a2-b2 1) Ühes sulus +, teises -. 2) Sulgudes võrdsed liikmed. 3) Vastuse liikmete järjekord – sulu põhjal. 4) Vastuses liikmete vahel -. 5) Vastuses liikmete ruudud. 8. Kaksliikme ruut 8.1. Korrutamise abivalemid (a±b)2= 2 2 =a +2ab+b =a2-2ab+b2 1) Esimene liige ruudus.
Täisnurkne kolmnurk Püstprisma Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Korrapärane püramiid Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Silinder Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Koonus Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Kera Ruumala: Pindala: Korrutamise valemid (a+b)² = a² +2ab +b² (a-b)² = a² -2ab +b² (a+b)(a-b) = a² -b² (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b² (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Ruutvõrrand Intress
Valemeid Korrutamise valemid (a+b)² = a² +2ab +b² (a-b)² = a² -2ab +b² (a+b)(a-b) = a² -b² (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b² (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Kera Ruumala: Pindala: Koonus Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Silinder Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Korrapärane püramiid Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Püstprisma Ruumala: Külgpindala: Täispindala: Täisnurkne kolmnurk
Reaalarvude hulk Naturaalarvude hulk Naturaalarvud on arvud 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n-1, n, n+1,... Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N Naturaalarvude hulga omadused Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid
alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu. 4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes.
astendamine juurimine korrutamise abivalemid teguriteks lahut. a0=1 n m (a+b)2=a2+2ab+b2 ax2+bx+c= am = an a(x-x1)(x-x2) am·an=am+n n ab = n a n b (a-b)2=a2-2ab+b2 am:an=am-n a n a (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 n = n b b m n mn (a ) =a n m a = nm a (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (ab)n=anbn nm a n p = m a p a2-b2=(a+b)(a-b) (a:b)n=an:bn a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 1 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a -n = an
determinandi märk 1_. vasatupidiseks. 3' maatriksi kahe rea (veeru) Skalaarkorrutis Kahe vektori 3. omadus. ümberpaigutamine. skalaarkorrutiseks nimetatake Determinandi mingi rea kõigi Elementaarteisendused ei m uuda arvu, mis on võrdne nende elementide korrutamise ühe ja sama m maatriksi astakut. vektorite pikkuste jar teguriga korrutub Pöördmaatriks, selle leidmine. vektoritevaheliseu nurga kogud determinant selle sama teguriga. koosinuse korrutisega. See omadus võimaldab determinandi Pöördmaatriks on vaid ruutmatriksil
arg z = arg z + 2*k 2*1, 2*1, ..., 2*p * = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn (kus k on täisarv) .... Kompleksarvu trigonomeetriline kuju x r cos, y r sin n*1, n*2, ..., n*p x iy r cosir sin r cosi sin Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete = x iy trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse ning korrutamise vahel on kompleksarvu mooduliks ja suurust selle kompleksarvu järgmised: argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: 1) maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad r z| , arg z . sellised maatriksid A ja B, et
romb Aritmeetiline ruutjuur rööpkülik P= 2(a+b) S= a · h + = 180º Tehted astmetega kolmnurk P= a+b+c + + = 180 Korrutamise ja tegurdamise valemid võrdkülgne kolmnurk P= 3a (a + b)·(a - b) = a2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Tegurdamine: ax2 + bx = x(ax + b) Pythagorase teoreem
Seejuures ilmneb, et ruutvormi kanooniline kuju pole üheselt määratav.Võib nad moodustavad inversiooni. nim. kompleksarvudeks. Arvu a nim. kompleksarvu reaalosaks, arvu bi kommutatiivsus skalaariga korrutamise olla rohkem kui 1 lahend, k. A. Lõpmatus. Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale imaginaarosaks, b on imaginaarosa kordaja. suhtes ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda (a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i elementide korrutistest moodustatud summe põhjal, kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõistet.
lim [C f ( x)] = C lim f ( x) x a x a x lim 1 1 + = e ; x R x x lim sin x =1 x 0 x x lim r r 1 + = e x x lim tan x =1 x 0 x lim Kui funktsioon y = f(x) on pidev kohal x=a, siis f ( x) = f (a) x a Tegurdamine: 1. Sulgude ette toomine 2. Korrutamise abivalemid a2 b2 = (a + b)(a - b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2) 3. Rühmitamine 4. Ruutkolmliikme tegurdamine ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
esimese liikme ja teise liikme ruudu 2) korrutis + teise liikme kuup 3) 22.Kaksliikme kuup (vahe) - vahe kuubi valem: esimese liikme kuup - kolmekordne esimese liikme ruudu ja teise liikme korrutis + kolmekordne esimese liikme ja teise liikme ruudu korrutis - teise liikme kuup 23.Peastarvutamine - Õ ül.360,373,378 muuta tehete järjekorda nii, et saada enne lõppvastust lihtsaid arve, selleks: 1)kasutada korrutamise jaotuvuse seadust tagurpidi ehk ühisteguri toomist sulgude ette NB taandada sobivaid arve või astmeid, kui nad on tegurid 24.Taandamine - tegurdada Õ ül.379,483 hulkliikmed, kasutades sulgude ette taandasin b-ga toomist või valemeid; otsida ühiseid tegureid ja taandada nendega taandasin u+v-ga 25.Tegurdamine kuupide valemite abil Õ ül.509,512,524,528
töödeldud lõng. Merseriseeritud lõng NaOH lahusega töödeldud lõng, mistõttu lõng on tugevam, siledam ja läikivam. Melanžlõng Eri värvi kiudude segust või värvitud ja värvimata kiudude segust kedratud lõng. Muliinlõng Erinevat värvi lõngade korrutamise teel saadud lõng. Sõlmlõng Korrutamisel hoitakse põhilõnga tagasi ja efekti moodustav lõng (teist värvi) keritakse ühe punkti ümber sõlmekese. Bukleelõng Koosneb pehmest ja paksust eellõngast, mis korrutatakse laugjalt ümber ühekordselt korrutatud lõnga. Senill-lõng Kootud eelkanga
MÕISTED: Naturaalarv arve 0,1,2,.... nimetatakse naturaalarvudeks. Naturaalarvude hulga tähis on . Täisarv - arve ... -2; -1; 0; 1; 2... nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude hulga tähis on Ratsionaalarv- on murdavaldis, mille lugeja ja nimetaja on täisarvud, kusjuures nimetaja ei ole 0. Ratsionaalarvude hulga tähis on . Irratsionaalarv on mitteperioodilised lõpmatud kümnendumurrud. Irratsionaalarvude hulga tähis on . Reaalarv lõpmatu kümnendmurd, mis ei lõpe 9-ga perioodis. Ratsionaalarvude hulga tähis on Ratsionaalarvude hulgas kehtivad järgmised tehete põhiomadused: Kommutatiivsus: a + b = b + a ab=ba Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc)=(ab)c Korrutamise distributiivsus: a(b + c)= ab + ac Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu v...
tähistatakse . Maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Transponeeritud maatriks (AT) nimetatakse maatriksit, milles on võrreldes maatrksiga A read ja veerud välja vahetatud. 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. Kui maatriksil on rida veergu ning maatriksil on rida ja veergu, siis maatriksi korrutiseks maatriksiga (kirjutatakse ) nimetatakse niisugust maatriksit , millel on rida ja veergu Korrutamise omadused: 1) Kui = , siis = ning = ; 2) ; 3) ( + ) = + ; 4) () = (). 5) () = () = (). lineaarsete tehete:
protsessorite liigid: keskprotsessor mikroprotsessor. graafikaprotsessor- tegeleb 2 ja 3d graafika visualiseerimisega. v�rguprotsessor - tegeleb v�rgutoimingutega t��tlemisega. heliprotsessor- kasutatakse stuiidos ja raadiojaamades. protsessor koosneb: juhtseadmest, registritest, aritmeetikaseadmest. juhtseade: dekodeerib k�sku ja annab protsessori teistele osadele vastavad korraldused k�su t�itmiseks ning vastutab hiljem tulemi tagasikirjutamise eest. aritmeetika seade teeb arvutusi antud infoga. registrites hoitakse andmeid(arvuti sees olevad m�lukohad) mida soovitakse aritmeetikaseadme l�bi t��delda ja m�llu tagasi kirjutada. Eraldi �lesanded: k�suloendur(peab meeles j�rgmise k�su asukohta) olekuregister:peab meeles viimase tehte tulemi. kogu protsessori omavaheliseks t��ks kasutatakse s�kroniseerivat signaali, mille sagedus on tuntud kui protsessori taktsagedus. mitme bitine protsessor ? esimene protsessor oli 4 bitise ehitusega he...
Matemaatika abivalemid Tehete p~ ohiomadused Kommutatiivsus (vahetuvus) Assotsiatiivsus (¨ uhenduvus) Distributiivsus (jaotuvus) a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a(b + c) = ab + ac ab = ba a(bc) = (ab)c a(b - c) = ab - ac Sulgude avamine a + (b + c) = a + b + c a - (b + c) = a - b - c a + (b - c) = a + b - c a - (b - c) = a - b + c Tehted harilike murdudega a c a±c a c ac a c a d ad ± = · = : = · = b b b ...
KÜSIMUSED PUDUKAUP 1. Millisel viisil valmistatakse tekstiilpudukaubad? Kudumise (paelad), punumise (paelad ja nöörid), heegeldamise (pitsid ja paelad), õmblemise, korrutamise teel. 2. Milliseid kiude kasutatakse tekstiilpudukaupade valmistamisel? Kasutatakse lõngakiudude (puuvill, lina, villa, looduslikust-, tehis- ja sünteetilisest siidist aga ka kumminiite ja riiet. 3. Millised andmed peavad olema näidatud niidi markeeringus? Niidi markeeringus peab olema näidatud: koostis, metraaž, tootja logo või nimi, niidi jämedust väljendav number, kaal grammides (tikkimis ja heegelniitide puhul). 4
ARENGUPSÜHHOLOOGIA 8 aastane laps. Kognitiivse arengu teooria ehk 3. konkreetsete operatsioonide staadiumite järgi on 7- 11 aastased lapsed võimelised õppima liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise operatsioone. Need operatsioonid eeldavad loogilist mõtlemist, mis on aluseks objektide ja sündmuste klassifitseerimisele ja nende vaheliste seoste mõistmisele. Selles vanuses laste mõtlemisvõime täiustub, laps oskab teha oluliste tunnuste põhjal järeldusi ning pöörata sündmuste käiku mõtteliselt tagasi. Neil väheneb ergotsentriline mõtlemine, sündmuste põhjusi hakatakse otsima endast väljaspoolt ja mõistma, et teistel inimestel võivad olla
Õppenädal Alateemad Põhimõisted Kasutatavad meetodid Õppematerjal Oodatavad õpitulemused Kontroll 20. nädal 1.5. Järkarvu korrutamine. järkarv, suuline küsitlus, õpik lk 1119 *teab järkarvu mõistet Tunnikontroll 6.veeb- Tekstülesannete tegur, kirjalik arvutamine, tv lk 89 *teab korrutamise omadusi nr 13 10.veeb. lahendamine. korrutis, peastarvutamine, ja reegleid ning oskab neid korrutamise paaristöö, iseseisev töö, rakendada 1.5. Järkarvuga jagamine. omadused nuputamisülesanded. õpik lk 2027
arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. · Ruutjuur nullist võrdub nulliga. · Mittenefatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Ruutjuurte teisendused · Positiivset arvu, mille ruut esineb tegurina ruutjuure märgi all, võib tuua tegurina juuremärgi ette; positiivset arvu, mis seisaab tegurina juuremärgi ees, võib viia ruutu tõstetult tegurina juuremärgi alla. nt: 2. Korrutamise ja tegurdamise abivalemid. ( a+b)2= a2+2ab+b2 ( a-b)2= a2-2ab+b2 ( a+b)(a-b)= a2-b2 3. Lineaarvõrrandite süsteemi lahendamine: Liitmisvõte Asendusvõte + 2y+3y=15 5y=15 -y = -3 Y=3 Y = 3 X=23 2x+3×3=5 X=6 2x= -4 X= -2 Vastus = Vastus = 4. Kolmnurga kesklõik, ümbermõõt ja pindala.
Täisarvude hulk Z · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge · on hulk, mis on kinnine liitmis-, korrutamis- ja lahutamistehte suhtes Ratsionaalarvude hulk Q · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on tihe arvuhulk, kuid ka need arvud ei kata kogu arvtelge · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes Reaalarvude hulk R · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on tihe arvuhulk, iga kahe reaalarvu vahel paikneb alati veel reaalarve · on pidev, s.t need arvud katavad kogu arvtelje · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. 1
Põhiseosed : Kui sinx=m, siis x=(-1)n arcsinm + n, sin 2 + cos 2 = 1 kus n Z sin tan = cos Kui cosx=m, siis x=±arccosm + 2n, tan · cot = 1 kus n Z 1 1 + tan 2 = Kui tanx=m, siis x=arctanm + n, kus n cos 2 Liitmisvalemid : Z sin( ± ) = sin cos ± cos sin Viete'I teoreem ax2+bx+c=0 cos( ± ) = cos cos sin sin x1+x2=-b, x1*x2=c tan ± tan sin( ± ) tan( ± ) = = ...
puuvillast, mida on MERSERISEERITUD LÕNG keemiliselt töödeldud NaOH lahusega., mistõttu on lõng tugevam ja siledam. Kerge läikega. MELANŽLÕNG Kedratud eri värvi kiudude segust või värvitud ja värvimata kiudude segust. MULIINLÕNG Saadud erinevat värvi lõngade korrutamise teel. Korrutamisel hoitakse põhilõnga tagasi ja efekti moodustav lõng SÕLMLÕNG kerib ühe punkti ümber sõlmekese. Sellisest longest kootud kangast nimetatakse tviidiks. On kaheastmeline, kus efekti moodustab BUKLEELÕNG pehme ja paks eellõng , mis korrutatakse laugjalt umber ühekordselt
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
