funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. 1)Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. 2)Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. 27. NÕGUSA JA KUMERA JOONE DEFINITSIOONID. NÕGUSUSE JA KUMERUSE SEOS TEIST JÄRKU TULETISE MÄRGIGA. Joone käänupunkti definitsioon. Käänupunkti tarvilik tingimus. Käänupunkti piisav tingimus. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Teoreem: Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b). 2
miinimum. c.2. Olgu funktsiooni f kriitiline kunkt x selline, et . Kui , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne maksimum. Kui , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne miinimum. d. Piisavate tingimuste põhjendused Vihikus olev näide. 31. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga. Selle seose põhjendus. Joone käänupunkti definitsioon. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. a. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid a.1. Joon on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. a.2. Joon on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. b. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga
..................................... (juhendaja allkiri) 1. Sinc signaali kuju ja spekter. Joonis 1: Sinc signaali kuju 17 perioodi ulatuses. Joonis 2: Sinc signaali spekter. 2. Valge müra ajaline kuju ja spekter. Joonis 3: Valge müra ajaline kuju. Joonis 4: Valge müra spekter. 3. Mõõteobjekti sageduskarakteristik ja käänupunktide kalde tõus. Joonis 5: Mõõteobjekti saguduskarakteristik. Käänupunkti tõusu leidmiseks mõõdame ära käänupunktid: a. f=6,86 kHz U=473,0 mV b. f=20 kHz U=170 mV c. f=40 kHz U=56,0 mV Tõus k1=> Tõus k2=> Kokkuvõte Töös tutvusime erinevate signaali tekitamise võimalustega, ning signaali genereerimist ja mõõtmist PC ostsilloskoobiga.Töös uurisime lähemalt Sinc signaali ja tema spektrit, valget müra ja tema spektrit
tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi). Teoreemile 4.2 vastupidine väide ei kehti, igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, milles ekstreemumit ei ole. 24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. 27. Integraalide tabel
e.i.1. Kui f``(x1) < 0, siis on funktsioonnil f punktis x 1 lokaalne maksimum e.i.2. Kui aga f``(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum e.ii. Piisavate tingimuste põhjendused: 9. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga. Selles seose põhjendus. Joone käänupunkti definitsioon. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. a. Öeldakse, et joon y=f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus suureneb b. Öeldakse, et joon y=f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. c. Nõgususe seos kumeruse ja teist järku tuletise märgiga c.i
siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. 2.Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x selline, et f ' (x )=0 . Kui f ' ' ( x )< 0 , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne maksimum. Kui f '' ( x )>0 , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne miinimum. Piisavate tingimuste põhjendused 31. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga. Selles seose põhjendus. Joone käänupunkti definitsioon. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid 1.Joon y=f (x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. 2.Joon y=f (x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga 1.Kui f ' ' ( x ) >0 , siis iga x ( a , b ) korral, siis on joon y=f ( x ) nõgus vahemikus
moonutuste teguri k ka sellel juhul. U1= -1,35dB = 0,86 V U2= -38,9dB = 0,011 V U3= -12,1dB = 0,25 V 0,0112 + 0,25 2 k ml = = 0,29 0,86 6. Pidime välja selgitama ülekandetrakti dünaamiline diapasoon. Dünaamiline diapasoon on suurima lubatava väljundpinge Umax ja vähima võimaliku väljundpinge Umin suhe detsibellides: Suurimaks lubatavaks väljundpingeks võtsime amplituudkarakteristiku käänupunkti. Vähim väljundpinge on valitud nii, et see peab 2...3 kordselt ületama mürapinge amplituudi vastuvõtja väljundis juhul kui saatja sisendis signaali pole. Umin 16mV 3x suurem 45mV Umax = 10V U1 := 10 -3 U2 := 45 10 D := 20 log U1 D = 46.936 U2 7. Jälgisime täisnurksignaali moonutusi ülekandel. Selleks seadsime generaatori
87 "+" K 43 "-" 32 "-" K 94 "+" K 43 "-" 18 "-" K 89 "+" K 85 "+" 41 "-" 54 "+" 62 "+" 88 "+" K 49 med 15 "-" K 19 "-" Seeriate arv Ns=16 Pikkim seeria Lmax=3 Käänupunktide arv p=14 Mediaanikriteerium. Otsuse vastuvõtmiseks kontrollin võrratusi: Mõlemad võrratused kehtivad järelikult on tegimist juhusliku aegreaga Käänupunkti kriteerium Kontrollin võrratust: Võrratus kehtib. Järelikult on selle kriteeriumi järgi ka tegemist juhusliku reaga. Osa B. 10. Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur. Kontrollida x ja y korreleerimatust t-statistiku ja z-statistiku abil, võttes olulisuse nivooks = 0.05. D=r2=0,89 t0,975(3)= 3,1824 |t| > t1-/2 (f), x ja y voib lugeda korreleeritud suurusteks. | Z0,975=1,96 z0> z1-/2 , voib x ja y lugeda korreleeritud suurusteks. 11
suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a;b), siis kehtib: Kui f´´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on joon y=f(x) nõgus vahemikus (a;b). Kui f´´(x) on väiksem kui 0 iga x (a;b) korral siis on joon y=f(x) kumer vahemikus (a;b). Joone käänupunkti definitsioon. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f (x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Vertikaalasümptoodid on y-teljega paralleelsed sirged. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot?
Nende lausete põhjal saame sõnastada järgmise teoreemi: Teoreem 4.5. Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1, f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Põhjendus: Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral teist järku tuletis võrdub nulliga või lõplik teist järku tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni teist järku kriitilisteks punktideks. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1
Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Seega F(a) = F(b). Ühtlasi on F(x) pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1, vahemikus (a, b). Järelikult rahuldab F(x) Rolle'i teoreemi eeldusi. Rolle'i f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. teoreemi põhjal leidub vahemikus Põhjendus: Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral teist järku tuletis võrdub nulliga
suureneb. ¨Oeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja t~ous v¨aheneb. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga . Selles seose põhjendus. Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis kehtivad j¨argmised v¨aited: 1. Kui f''(x) > 0 iga x (a,b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a,b). 2. Kui f''(x) < 0 iga x (a,b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a,b). Joone käänupunkti definitsioon. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa n~ogusast, nimetatakse selle joone k¨a¨anupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) k¨a¨anupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Olgu x1 funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Kui l¨abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨arki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) k¨a¨anupunkt
muuda märki, kuid f''(x1)f''(x2)<0 iga a-
Üldine rühmasisene dispersioon: Üldkeskmine: Rühmadevaheline dispersioon: F-statistik: F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist): Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Lähterid Märgirid Käänupunkti Järjestatud a a d rida 12 1 6 - k 4 11 + 6 62 + k 7 20 - k 10 62 + k 11 7 - k 12 98 + k 15 10 - 20 1 - k 25
Üldine rühmasisene dispersioon: Üldkeskmine: Rühmadevaheline dispersioon: F-statistik: F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist): Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Lähterid Märgirid Käänupunkti Järjestatud a a d rida 12 1 6 - k 4 11 + 6 62 + k 7 20 - k 10 62 + k 11 7 - k 12 98 + k 15 10 - 20 1 - k 25
9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon on jaotusfunktsiooni tuletis: F'(x) = f(x). 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine (aritmeetiline keskmine, standardhälve, mood, mediaan). 11. Mis omadused on normaaljaotusel? 1) normaaljaotus on sümmeetriline keskväärtuse µ suhtes: tema keskväärtus, mood ja mediaan võrduvad parameetriga µ 2) normaaljaotuse tihedusfunktsioonil on kaks käänupunkti, mis asuvad mõlemal pool keskväärtust kaugusel 3) normaaljaotuse asümmeetriakordaja ja ekstsess on nullid (A=0, E=0). 12. Missugused on juhusliku suuruse hajuvuse karakteristikud (nimeta vähemalt 4). Definitsioonid. Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest. Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Mõõdetava suuruse standardhälbe
miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles puntkis lokaalne miinimum. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (II) Olgu funktsiooni f kriitiline punkt selline, et 1. Kui siis on funktsioonil punktis lokaalne maksimum 2. Kui siis on funksioonil punktis lokaalne miinimum 8. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 9. Nõgus joon Joon on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus suureneb Kumer joon Joon on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus väheneb Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv lõigul (a,b) 1. Kui iga korral siis joon on nõgus piirkonnas (a,b) 2. Kui iga korral siis joon on kumer piirkonnas (a,b) Joone käänupunkt - Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast 10
Teoreem Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv lõigul (a,b) 1. Kui iga korral siis joon on nõgus piirkonnas (a,b) 2. Kui iga korral siis joon on kumer piirkonnas (a,b) Tõestus Joone puutuja tõus punktis võrdub funktsiooni tuletisega siis võime järeldada, et seal kus f' kasvab on joon nõgus ja kahanedes kumer. Joone käänupunkt - Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast Teoreem Käänupunkti vajalik tingimus Kui on joone käänupunkt, siis on funktsiooni teist järku kriitiline punkt. Vastupidine väide ei kehti, sest funtksioonil võib olla sellised kriitilisi punkte, kus käänupunkti ei esine. Tõestus Näiteks funktsioonil on teist järku kriitiline punkt , kuid selle funktsiooni tuletis kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud ka . Järelikult on funktsioon kõikjal nõgus ja tal ei esinegi käänupunkte. Teoreem Käänupunkti piisav tingimus
Üldine rühmasisene dispersioon: Üldkeskmine: Rühmadevaheline dispersioon: 118,61 F-statistik: F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist): Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks. 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Lähterid Märgirid Käänupunkti Järjestatu a a d d rida 32 - k 0 75 + 2 53 + k 7 42 - k 10 94 + k 15 7 - 28 0 - k 29 47 + k 30 30 - 31
ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad ) 27. Funktsiooni globaalne ekstreemum- funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. 28. Käänukoht- punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus. 29. Graafiku asümptoot- kui funktsiooni y = f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks. 30. Funktsiooni algfunktsioon- funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks.
F-statistik: F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist): Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. 22 96 91 75 74 75 25 79 12 38 95 10 71 0 79 24 86 91 96 5 40 85 69 82 39 Lähterid Märgirid Käänupunkti Järjestatud a a d rida 22 - 0 96 + K 5 91 + 10 75 + 12 74 K 22 75 + K 24 25 - K 25 79 + K 38 12 - K 39 38 - 40
plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Olgu funktsiooni kriitiline punkt selline, et = 0. 1. Kui < 0, siis on funktsioonil punktis lokaalne maksimum. 2. Kui > 0, siis on funktsioonil punktis lokaalne miinimum. 24) Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. Öeldakse, et joon = on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon = on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv vahemikus , . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui > 0 iga , korral, siis on joon = nõgus vahemikus , . 2
Järelikult, argumendi x läbiminekul punktist a jääkliige Ei muuda märki, kuid teine tegur muudab. Seega on ühelpool punkti a jääkliige positiivne ja teisel pool negatiivne, st ühel pool punkti a on punktis a konstrueeritud puutuja allpool funktsiooni graafikut ja teiselpool punkti a ülalpool ning a on käänupunkt. L4. Kui on pidev punktis a, siis paarisarvuliste m korral on f-ni f(x) graafikul punktis a käänupunkt, ja paaritute m korral ei ole f(x) graafikul punktis a käänupunkti. Tõestus. Arvestades eeldusi, kirjutan f(x) jaoks punktis a välja m-järku Taylori valemi: Funktsiooni y=f(x) graafikul on punktis a käänupunkt siis, kui punkti x läbiminekul punktist a jääkliige muudab märki. Kuna , siis leidub selline punkti a ümbrus, milles jääkliikme esimene tegur Ei muuda märki. Kas jääkjliikme teine tegur muudab märki ja koos sellega kogu jääkliikme märki suuruse x läbiminekul punktist a, sõltub sellest, kas m on paaris või paaaritu arv.
järgmised väited: 1. Kui f ` ` (x) > 0 iga x (a; b) korral siis joon y = f(x) on nõgus vahemikus (a; b). 2. Kui f ` ` (x) < 0 iga x (a; b) korral siis joon y = f(x) on kumer vahemikus (a; b). 19. Käänupunkti piisavate tingimuste tõestus. 20. Joone kaldasümptoodi parameetrite leidmine. y=kx+b Seega jätkub 15 12. Tõestada L'Hospitali reegel määramatuse korral. 15. Taylori valemi jääkliikme Lagrange'i kuju tuletamine (n=2 või üldjuhul). 16
lokaalne miinimum. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f’(x1) = 0. Kui f’’(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f’’(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. 24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. 1. Kui f’’(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b). Kui f’’(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b).
Nii see ka on ja seega võtame hüpoteesi vastu ja loeme keskväärtused homogeenseteks. 9. Kasitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, koostada selle aegrea graafik. Kontrollida olulisuse nivoo =0.05 juures selle aegrea juhuslikkust mediaankriteeriumi ja kaanupunktide kriteeriumi jargi. Järjest Lähterid Märgirid Käänupunkti atud a a d rida 37 - 9 54 - 15 94 + K 18 32 - K 19 19 - 30 33 - 32 69 + K 33 51 - K 37 89 + K 41 43 - K 43 18 - 43
=126,528 F- statistiku kriitiline väärtus on: Kuna , siis võtan hüpoteesi vastu ja loen keskväärtused hüpoteesi põhjal homogeenseteks. Kusjuures F- statistiku väärtus tuli väga väike võrreldes kriitilise väärtusega, seega homogeenus on tugev. 9. Küsimus Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, koostada selle aegrea graafik. Kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle aegrea juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Lähterid Märgirid Käänupunkti Järjestatud a a d rida 16 - 1 35 - 1 38 - 7 49 + K 10 51 + 15 69 + 16 1 - K 19 69 + K 24 19 - K 35
2. Kui f ` ` (x) < 0 iga x (a; b) korral siis joon y = f(x) on kumer vahemikus (a; b). Joone käänupunktid. Punkti mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast nimetatakse selle joone käänupunktiks. Olgu punkt P = (x1, f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. Sellisel juhul ei saa kehtida võrratus f ` ` (x1) > 0. Tõepoolest, kui kehtiks f ` ` (x1) > 0 siis ülaltoodud väite 1 põhjal oleks joon y = f(x) nõgus argumendi väärtuse x1 ümbruses. See ei saa aga nii olla sest vastavalt käänupunkti definitsioonile nõgusus asendub kumerusega kui argument x läbib käänupunkti P ordinaati x1. Samal põhjusel ei saa kehtida ka võrratus f ` ` (x1) < 0 sest sellisel juhul järelduks ülaltoodud väitest 2 et y = f(x) oleks kumer argumendi x1 ümbruses, mis oleks samuti vastuolus sellega et x = x1 korral nõgusus asendub kumerusega. Jäävad üle vaid kaks võimalust: kas 1) f ` ` (x1) = 0 või 2) lõplik teist järku tuletis f ` ` (x1) puudub
23 Attributes Atribuuditabeli väärtuste modifitseerimine Sketch properties objekti geomeetria/käänupunktide redigeerimine Sketch töövahendi puhul on rakendatavad veel mitmesugused operatsioonid (käänupunktide kustutamine, objektide nihutamine jne) mis avanevad vastava töövahendi alammenüü kaudu. Sõltuvalt asjaolust, kas hiirekursor on täpselt viimase käänupunkti kohal või mitte, erinevad ka alammenüü käsud (vt. ka joonis 24). Sketch alammenüü Hiirekursor asub täpselt viimase käänupunkti kohal Hiirekursor ei asu viimase
ekstreemum; ekstreemumi leidmise eeskirja; säästev ekstreemumi 3) leiab funktsiooni kasvamis- ja kasutamine: olemasolu tarvilik kahanemisvahemikud, optimaalsete ja piisav tingimus. ekstreemumid; funktsiooni lahenduste Funktsiooni suurim graafiku kumerus- ja otsimine ja vähim väärtus nõgususvahemikud ning ekstreemumül lõigul. Funktsiooni käänupunkti; esannete graafiku kumerus- 4) uurib funktsiooni täielikult ja lahendamisel. ja skitseerib funktsiooni omaduste Majandusalast nõgususvahemik, põhjal graafiku; e reaalse käänupunkt. 5) leiab funktsiooni suurima ja eluga seotud Funktsiooni vähima väärtuse etteantud lõigul; ülesannete uurimine tuletise 6) lahendab rakenduslikke lahendamine. abil
17. Joone kumerus, nõgusus ja käänupunktid (tarvilik tingimus, piisav tingimus). Kumerus. Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) kumer ehk kumer üles (), kui selle vahemiku igas punktis x funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja asetseb ülalpool graafikut. Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) nõgus ehk kumer alla (), kui selle vahemiku igas punktis x funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja asetseb allpool graafikut. Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni y = f(x) teist järku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni y = f(x) teist järki kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. 18. Algfunktsioon ja määramata integraal. Teoreemi 5.1 tõestus. Algfunktsioon
Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f’’(x) > 0 iga x ∈ (a,b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a,b). 2. Kui f’’(x) < 0 iga x ∈ (a,b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a,b). Põhjendus: Öeldakse, et joon ¨ y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon ¨ y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Joone käänupunkti definitsioon. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. 32
f ' ' ( x) = - 3 x 4 ( x - 6) 5 testpunkt -1 testpunkt 1 testpunkt 7 y (-1) > 0 0 y (1) > 0 6 y (7) < 0 käänupunkti pole käänupunkt olemas f ´´ märk + + - f käik nõgus 0 nõgus 6 kumer x Käänupunkt on K(6; 0). Kumerus- ja nõgususvahemikud on: X = (6; )
y = f(x) nõgus ja seal kus f ` kahaneb on joon y = f(x) kumer. Saame järgmised laused: 1. Kui f ` ` (x) > 0 iga x (a; b) korral siis f ` on kasvav vahemikus (a; b). 2. Kui f ` ` (x) < 0 iga x (a; b) korral siis f ` on kahanev vahemikus (a; b). Nende lausete põhjal saame sõnastada järgmised väited: 1. Kui f ` ` (x) > 0 iga x (a; b) korral siis joon y = f(x) on nõgus vahemikus (a; b). 2. Kui f ` ` (x) < 0 iga x (a; b) korral siis joon y = f(x) on kumer vahemikus (a; b). 19. Käänupunkti piisavate tingimuste tõestus. Kui ja punkt a on funktsiooni f(x) käänupunkt, siis f''(a) = 0. Tõestus:Et punkt a on käänupunkt, siis leiduvad sellised vahemikus sisalduvad punkti a vasak- ja parempoolsed ümbrused, millest ühes on funktsiooni f(x) graafik kumer ja teises nõgus. *Kui /= 0 ja f ''' on pidev punktis a, siis punkt a on funktsiooni f(x) käänupunkt. Tõestus: Lause
korral siis joon y = f(x) on nõgus vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘‘ (x) < 0 iga x (a; b) korral siis joon y = f(x) Tõestus: Olgu järgnevalt argumendi x väärtus fikseeritud. Otsime Taylori valemi jääkliiget R n(x) kujul: on kumer vahemikus (a; b). 19. Käänupunkti piisavate tingimuste tõestus. Olgu x1 funktsiooni fteist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P= (x1;f(x1) ) joone y= f(x) käänupunkt. 20).Joone asümptoodid
kumer. Kui vahemiku (b , c ) kõigis punktides funktsiooni f ( x ) teine tuletis on positiivne, s.t. f `'(x) > 0, siis on joon y = f ( x ) selles vahemikus nõgus. 74.Kirjeldage funktsiooni kumerus- ja nõgususpiirkondade leidmist. 75.Millist punkti nimetatakse funktsiooni käänupunktiks? Kuidas neid leitakse? Käänukoht - punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus. 76.Mida nimetatakse funktsiooni asümptootideks? Kui funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirvärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile,siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni grafiku asümptoodiks. 77.Kuidas leitakse funktsiooni asümptoote? 78.Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Kui ühemuutuja funktsioon on y=2x
2. Kui f ‘ ‘ (x) < 0 iga x (a; b) korral siis joon y = ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange’ keskväärtusteoreemi ja Taylori f(x) on kumer vahemikus (a; b). valemit. 19).(Käänupunkti piisavate tingimuste tõestus). *Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused) *Kui 𝒇′′ (𝒙) ∈ 𝑪(𝒂 − 𝜹; 𝒂 + 𝜹) ja punkt a on funktsiooni f(x) käänupunkt, siis f’’(a) = 0.
Nende lausete põhjal saame sõnastada järgmise teoreemi (Teoreem 4.5.) Joone kaanupunkti definitsioon. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Kaanupunkti tarvilik tingimus koos pohjendusega. Teoreem 4.6 Kui P = (x1, f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Vastupidine v.aide kehti. funktsioonil võib olla ka selliseid teist j.arku kriitilisi punkte, kus käänupunkti ei ole. Näiteks funktsioonil f(x) = x^4 on teist järku kriitiline punkt x = 0 (sest f(0) = 0). Samas aga selle funktsiooni esimest järku tuletis f(x) = 4x^3 kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud punkti x = 0 ümbrus. Seega on joon y = x^4 kõikjal nõgus, millest järeldub, et tal ei ole üldse käänupunkte. Lihtne on kontrollida, kasutades §4.2 toodud lokaalse ekstreemumi piisavaid tingimusi, et punktis x = 0 on funktsioonil f(x) = x4 hoopis lokaalne miinimum.
ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad ) 27. Funktsiooni globaalne ekstreemum - funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. 28. Käänukoht - punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus. 29. Graafiku asümptoot - kui funktsiooni y = f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks. 4 30. Funktsiooni algfunktsioon - funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse
vaadelda väljundsignaali käitumist kas aperioodilise või mõne muu lüli karakteristikuna. Niisuguse lihtsustusega asendame tegeliku automaat- reguleerimissüsteemi osa analüüsiks aperioodilise või mõne muu lüliga ja sellega koos esineva hilistumisega. Selleks, et hilistumine oleks alati enam-vähem ühesuguse ligikaudsusega määratud, tõmmatakse uuritavale siirdekarakteristikule puutuja läbi karakteristiku käänupunkti. Puutuja poolt ajateljel eraldatav lõik võetakse hilistusajaks . Ainet või potentsiaalset energiat salvestatavate elementide poolt põhjustatud hilistumist nimetatakse mahtuvuslikuks või inertseks hilistumiseks. Väljundsignaali hilistus võib esineda ka puhtal kujul, signaal hakkabki muutuma alles teatud aja möödudes sisendisse antud toimest (transportöör, pikad torujuhtmed jne.). Tüüpilist puhast hilistust nimetatakse transporthilistuseks.
. . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.5 Funktsiooni kumerus ja nõgusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.6 Funktsiooni graafiku joonestamine * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kontrolltöö teemad 1. L'Hospital'i reegli kasutamine piirväärtuste arvutamisel. 2. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkondade leidmine. 3. Funktsiooni ekstreemumide leidmine. Optimiseerimise ülesanded. 4. Joone käänupunkti, kumerus- ja nõgususpiirkondade leidmine. Eksamiteemad 1. Lagrange'i keskväärtusteoreem. Selle geomeetriline ja füüsikaline sisu. Cauchy teoreemi ei pea teadma. 2. L'Hospital'i reegel piirväärtuse arvutamiseks. 3. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkonnad. 4. Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed ekstreemumid. Kriitiline punkt. Teoreem 6.7. 5. Kumer ja nõgus joon. Teoreem 6.8. 6. Joone käänupunkt.
annaabi.ee 
