Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi
x=3 Vastus: x=3 y=4 Lahendame liitmisvõttega lineaarvõrrandisüsteemi 3x+2y=7 5x2y=1 1.Vaadates antud võrrandisüsteemi,näeme,et tundmatu y kordajateks 3x+2y=7 on vastandarvus 2 ja 2. Nende summa on null. Liidame võrrandite 5x2y=1 vasakud ja paremad pooled. 8x+0y=8 8x=8 :8 x=1 2
Ligikaudsete arvudega korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid vähima tüvenumbrite arvuga komponendis. Ligikaudsete arvude summa ja vahe tuleb ümardada kõigi komponentide ühise madalaima järguni. Näide: 2,40+18,879=21,279 ehk 21,28 Hulkliige Üksliikmete summat nimetatakse hulkliikmeks. Üksliikmeid, mille liitmisel hulkliige moodustub, nimetatakse hulkliikme liikmeteks ja nende kordajaid- hulkliikme kordajateks. Näide: 4c -3c+8c-c = Hulkliikmete liitmine ja lahutamine Kui sulgude ees on pluusmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks; kui sulgude ees on miinusmärk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Näide: (2x-5)-(x-7)+(15-9x)-(6x-3)= 2x-5-x+7+15-9x-6x+3=-14x+20=20-14x Hulkliikme korrutamine üksliikmega
Fe, Al, Ni, Cr pinnal tekib kontsentreeritud HNO3 või H2SO4 toimel toatemperatuuril oksiidne kaitsekiht ja nad passiveeruvad. Elektronbilansi meetod · Määrata kõigi elementide o.a. · Kirjuta välja elektronvõrrandid nende elementide kohta, mille o.a muutus. · Korruta elektronvõrrandeid selliste arvudega, et liidetud ja loovutatud elektronide arvud saaksid võrdseteks. Leitud arvud ongi vastavate elementide kordajateks. · Aseta need võrrandisse vastavate valmite ette. · Olejäänud kordajad leia tavalisel teel. N. PbS + HNO3 PbSO4 ja NO ja H2O N. S(-2)......-8e.....--S(6) N(5).......+3e ---N(2) S(-2)...... -8e ---S(6).......korrutad 3-ga N(?) ..... -3e ....-N(2) ..... korrutad 8-ga + TV lk 24, harjutus 2. + midagi veel .
.. Ruumi E3 kolmele vektorile on võimalik vastavusse seada teatav uus vektor millist nimetatakse lähtevektorite topeltvektorkorrutiseks ja märgitakse sümbolitega (x×y)×z või x×(y×z), korrutamise assotsiatiivsus ei kehti. Skalaarset avaldist F mis esitub kujul F= Ni,j=1aijxixj nim ruutvormiks kui arvud ij rahuldavad kõigi võimalike indeksite i ja j väärtuste korral tingimusi aij=aji. Arve aij nim ruutvormi kordajateks ja xi xj ruutvormi muutujad; ruutvormi F kordajatest a ij saame moodustada (mxn) järku sümmeetrilise ruutmaatriksi A, AT(aij)=aij=A, F=xT·A·x . Ruutvormi üleminekut ühelt muutujalt uuele muutujale nim kooridnaatide teisendamiseks. Koordinaatide teisendus mida esindab regulaarse maatriks C nim ka regulaarseks teisenduseks. Koordinaatide teisendus mida esindab singulaarne maatriks nim ka singulaarseks teisenduseks
5 eur. Tehase käsutamises on laos olemas kindlad materjalide kogused. Niiti on olemas 980m, puuvillariide 850m, täitematerjali 1250m, kunstkarusnahka 670m ning plüüsi 900m. Tehase ülesandeks on teha sellise tootmisplaani, mille järgi summaarne kasum oleks maksimaalne võimalik. Matemaatilise mudeli koostamine: 1. Esiteks tuleb koostada sihifunktsiooni. Võtame muutujaid x1, x2, x3, x4, mis on vastavalt jäneste, siilide, karude ja rebaste kogused. Nende kordajateks on ühe tüki hind. Sihifunktsioon Q moodustub nende muutujate summast ning on ise maksimeeritav funktsioon. See tähendabki maksimaalset kasumit. max Q =7x1+6.5x2+10x3+7.5x4 2. Teiseks on vaja moodustada kitsendusi. On teatud, et määratud olemasolevaid koguseid ei saa ületada, seega tehakse võrrandeid iga materjali kohta. Nendes on määratud kogus iga mänguasja valmistamiseks (muutujate kordaja) ning nad on vähemad või võrdsed antud
lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm kordajateks, arve b1 , b2 ,..., bm aga süsteemi vabaliikmeteks. Arve c1 , c 2 ,..., c n , mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) laiendatud maatriksiks. 2. Substitutsiooni definitsioon, näide. Inversiooni definitsioon, näide. N-järku determinandi
Elektronbilansi meetodi põhimõte: 1. Määra kõigi elementide o.a 2. Kirjuta välja elektronvõrrandid nende elementide kohta, mille o.a muutus (arvestades indekseid) 3. Korruta elektronvõrrandeid selliste arvudega, et liidetud ja loovutatud elektronide arvud saaksid võrdseteks. Leitud arvud ongi vastavate elementide (ainult nende aatomite, mille oksüdatsiooniaste muutus!) kordajateks 4. Aseta need võrrandisse vastavate valemite ette. 5. Ülejäänud kordajad leia tavalisel teel. (Jäta viimaseks hapnik, et seda kasutada kontrolliks.) 2) ioon-elektroonne meetod liidetud ja loovutatud elektronid leitakse lähteainete ja saaduste laengute summa järgi oksüdeerumis- ja redutseerumisprotsessi osavõrrandites (poolreaktsiooni võrrandites)
Maclaurini reaks 34.Astmerida(definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall- kuidas neid leida? ∞ Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida kujul ∑ cn x n , kus c0, n=0 c1.... on arvud, mida nimetatakse rea kordajateks. Omadused: rida koondub ainult punktis x=a; rida koondub kõikide x- de korral; Leidub postitiivne arv R, nii et rida koondub kui I x-a I on väiksem koonduvusraadiusest ja hajub kui I x-a I on suurem koonduvusraadiusest. Koonduvusraadius- R. Näitab millise raadiusega rida koondub Leiame kui I x-a I ¿R (koondub). Kui I x-a I ¿R siis hajub Koonduvusintervall- Koonduvuspiirkonnas (-intervall) koondub
Lõigus x pideva fn-i f globaalsete ekstreemumite leidmine:1)leida fni kriitilised punktid lõigu x=(a,b) sisepunktides 2)arvutada fni f väärtused kriitilistes punktides ja lõigu x=(a,b) otspunktides a ja b 3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vähim,mis ongi vastavalt fni f suurim(glob max) ja vähim(glob min) väärtuses selles lõigus xTaylori ritta arendamisel arendame antud fni f(x) suvalise punkti x=xo(ümbruses),st kõigepealt teisendatakse antud fn polünoomi kujule,kus kordajateks on antud fni tuletised kohal X0,st tuletiste väärtused andtud punktis:f´(xo),f´´(xo)...kaudu. ***Taylori rea valem n-astme polün.korral ( n) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x0 ) (9.13) f ( x) = + ( x - x0 ) + ( x - x 0 ) 2 + ... + ( x - x0 ) n 0! 1! 2
(n>N(ε)).
Weierstraßi tunnus.
Kui leidub selline positiivsete liikmetega arvrida
Et iga naturaalarvu kϵN ja iga x ϵ XUC korral kehtib |UK(x)|≤ak
Siis funktsioon Σ UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC
8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega.
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tϵR)
Suurusi akϵR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või
+(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
(n>N()).
Weierstraßi tunnus.
Kui leidub selline positiivsete liikmetega arvrida
Et iga naturaalarvu kN ja iga x XUC korral kehtib |UK(x)|ak
Siis funktsioon UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC
8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega.
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tR)
Suurusi akR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või +
(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
(n>N()).
Weierstraßi tunnus.
Kui leidub selline positiivsete liikmetega arvrida
Et iga naturaalarvu kN ja iga x XUC korral kehtib |UK(x)|ak
Siis funktsioon UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC
8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega.
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tR)
Suurusi akR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või +
(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vektorina
.. + am1ym c1 a12 y1 + a22 y2 + ... + am2 ym c2 ... ... ... ... ... a1n y1 + a2 n y2 + ... + amn ym cn y1 0, y2 0, , ..., ym 0 Duaalse ülesande lahendamine: 1. Esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,..., xn) seada vastavusse sama arv tingimusi. 3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , ... , bm). 4. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunktsiooni kordajad cj ( c1 , c2 , ... , cn ). 5. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks, seega 1. a11 a12 ... a1n 2. A = a21 a22 ... a2n
ülesanne on seotud nii formaalselt (s.t. vormiliselt – nende valises kujus esineb teatav sümmeetria) kui sisuliselt. Duaalse ülesande saamiseks tuleb teha järgmist: 1. Esialgse ülesande igale tingimusele seada vastavusse duaalse ülesande tundmatu ehk esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,…, xn) seada vastavusse sama arv tingimusi duaalses ülesandes. 3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , … , bm). 4. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunktsiooni kordajad cj (). cccn12,,..., 5. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks, seega 6. Duaalse ülesande sihifunktsiooni väärtusele w nõuda miinimumi, kui esialgse
Lineaarvõrrandsüsteem-nim. Võrrandisüsteemi kujul {a11x1+..+a1nxn=b1 ; am1x1+.. +amnxn=bm. Arve aij nim lvs kordajateks, arvud b1..bm on vabaliikmed ja x1..xn on tundmatud. Süsteemi võrrandite arv m ja tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud.
Ujuvustasandi keskme F abstsiss XF arvutatakse tabelis. Kasutades ordinaatide momentide (inglise keeles first moment) arvutamisel õla kordajaid 1...5 , kusjuures ahtrisuunas on kordajad negatiivsed ja miidlis 0, saame valemi vahede summana. Äärmiste ordinaatide puhul tuleb ka trapetsreegli (või Simpsoni reegli) kordajat mitte unustada. Kasutades momentide arvutamisel f(A) osakomponente, kus on trapetsreegel (või Simpsoni reegel) juba olemas on kordajateks 5...1;0;-1...-5. Füüsikast on teada, et osapindalade momentide summa jagamisel pindalaga või vastavate funktsioonide summade jagamisel ja L-ga korrutamisel saame raskuskeskme kauguse teljest tavaliselt laeva miidlist (või ka AP-st, kuid siis on õla kordajad 0; 1; 2 ... 10) L My 2 f (M ) XF = = 2 L yxdx L f ( Ax) AWP AWP - 2
õigepositiivsed, kannab nimetus prognoosiväärtus. Standarditud (ehk standardiseeritud) haigestumuskordaja. Üheks võrreldavust parandavaks võtteks on standardimine. Selle võtte mõistmiseks tuleb omaks võtta, et üldkordaja kujutab endast kihtide kaupa esitatud erikordajate kaalutud keskmist, kusjuures kaalud on proportsionaalsed isikute või inimaastate arvuga kihtides. Vanuse järgi standardimisel arvutatakse üldkordaja ümber kordajateks, mis esineksid siis, kui kummagi rahvastiku vanusjaotus oleks sarnane standardrahvastiku vanusejaotusega. Standardimine on piiratud võte, sest standarditud näitajate arvväärtuse määrab ära standardrahvastiku valik. Põhimõtteliselt peaks standardrahvastik peegeldama selle rahvastiku jaotust, kellesse toimimise efekti hinnatakse, ent selle põhimõtte rakendamisega kaasneb tihti ebamäärsus. Riskitegurid
6. Max-põhikujulise ül DÜ muutujuatelt yi nõutakse mittenegatiivsust yi ≥0 1. Esialgse ülesande igale kitsendusele seada vastavusse duaalse ülesande tundmatu ehk esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,…, xn) seada vastavusse sama arv tingimusi duaalses ülesandes. 3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , … , bm). 4. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunkt- siooni kordajad cj (). 5. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks, seega a11 a12 … a1n A = a21 a22 … a2n
erineva reaalarvuga Ühele võrrandile mistahes reaalarvuga läbikorrutatud teise võrrandi liitmine 64.Lahenduv LVS- LVS-il leidub vähemalt üks lahend 65.vastuoluline LVS – LVS-il puuduvad lahendid 66.Gaussi meetod – LVS-i üldlahendi leidmine. Jättes võimalikult paljude tundmatute jaoks ühe võrrandi, kus tundmatu kordaja on nullist erinev ja avaldades lõpuks üldlahend. 67.vabad tundmatud – LVS-is olevad fikseeritud reaalarvus, mis ei ole tundmatute kordajateks 68.Maatriksi astak- Öeldakse, et maatriksi A astak on r, kui selle maatriksi elementidest saame moodustada vähemalt ühe nullist erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi nullist erinevat (r+1)-järku miinorit. 69.maatriksi rea juhtelement - nimetatakse selle rea (vasakult) esimest ≠ 0 elementi. Veergu milles juhtelement asetseb, nim juhtelemendiks. 70.treppkujuline maatriks – Ütleme, et maatriks on treppmaatriks, kui on täidetud järgmised tingimused:
1 1 korral ak≠0(k>n) leidub lõplik või lõpmatu piirväärtus lim 𝑘 , siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul 𝑅 = lim 𝑘 . 14. Fourier’ teisenduse omadusi. Fourier’ teisenduse rakendusi. ...
x k 0. y i 0. Duaalse ülesande koostamise põhireeglid: 1. Igale algülesande kitsendusele vastab duaalse ülesande muutuja ja vastupidi; igale algülesande muutujale vastab duaalse ülesande kitsendus. 2. Algülesande sihifunktsiooni kordajad on duaalse ülesande vabaliikmeteks ja vastupidi; algülesande vabaliikmed on duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks, kusjuures maksimum muutub miinimumiks või vastupidi. 3. Algülesande ja duaalse ülesande kitsenduste süsteemi maatriksid on teineteise suhtes transponeeritud, Kusjuures võrratuste märgid muutuvad vastupidisteks. 4. Juhul kui algülesandes esinevad mõlemasuunalised võrratused, siis enne duaalse ülesande koostamist muudetakse võrratused samasuunalisteks: ,,max" ülesande korral ,, " ja ,,min" ülesande korral ,, ".
x k 0. y i 0. Duaalse ülesande koostamise põhireeglid: 1. Igale algülesande kitsendusele vastab duaalse ülesande muutuja ja vastupidi; igale algülesande muutujale vastab duaalse ülesande kitsendus. 2. Algülesande sihifunktsiooni kordajad on duaalse ülesande vabaliikmeteks ja vastupidi; algülesande vabaliikmed on duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks, kusjuures maksimum muutub miinimumiks või vastupidi. 3. Algülesande ja duaalse ülesande kitsenduste süsteemi maatriksid on teineteise suhtes transponeeritud, Kusjuures võrratuste märgid muutuvad vastupidisteks. 4. Juhul kui algülesandes esinevad mõlemasuunalised võrratused, siis enne duaalse ülesande koostamist muudetakse võrratused samasuunalisteks: ,,max" ülesande korral ,, " ja ,,min" ülesande korral ,, ". Duaalsuse põhiteoreem:
Def. Astmerida (2), mille kordajad avalduvad kujul (3), s.o astmerida f (n ) ( x ) (x - a )n = f (a ) + f (a ) (x - a ) + f (a ) (x - a )2 + ... (4) n =0 n! 1! 2! nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks ja tema kordajaid (3) Taylori kordajateks. Kui a = 0 , siis reast (4) saame rea f (n ) ( x ) n f (0 ) f (0 ) 2 x = f (0 ) + x+ x + ... , n =0 n! 1! 2! mida nimetatakse Maclaurini reaks. Teoreem. Vahemikus X = (a - R; a + R ) piiramata diferentseeruv funktsioon f on arendatav
Juhtelement on alati negatiivne. Vastuolulisuse krit: Kõik juhtrea elemendid on mittenegatiivsed 14. Duaalülesande koostamine Duaalülesanne koostatakse tavalise LP ülesande põhjal. Sihifunkts kordajad võrduvad lähteülesande paremate pooltega, duaalülesande paremad pooled sihifunkts kordajatega. Kitsenduste maatriks transponeeritakse read lähevad veergudeks. Lühidalt öeldes keeratakse ülesannet 900. Klassikalises optimiseerimisteoorias nim duaalmuutujaid Lagrange'I kordajateks. Standardsel kujul: kitsendused muutuvad à, y0. Kanoonilisel, muutuvad =à, Y kitsendused puuduvad. SKEEM: Lähteülesanne Duaalülesanne Kitsendus Muutuja Muutuja Kitsendus Kitsenduste paremad pooled Sihifunktsiooni kordajad Maatriksi i-s rida Maatriksi i-s veerg
2) vasakut poolt 2 vaadelda tõenäosuste summana. Iga liidetav a k annab tõenäosuse funktsiooniga k kirjeldava oleku realiseerimiseks. Seepärast nimetatakse kordajaid ak tõenäosuse amplituudideks. Seda tulemust võime üldisemalt sõnastada järgmiselt: Kui mistahes normeeritud olekufunktsiooni arendame mõnesuguse operaatori täieliku ON-süsteemi moodustavate omafunktsioonide järgi ritta, siis on arenduse kordajateks vastava oleku esinemise tõenäosuse amplituudid. MLT 6004 Kvantmehhaanika 26 Moodustagu operaatori L^ omaväärtuste hulk pideva spektri. Siis vastab arendusele (25.1) valem (q ) = a( ) (q )d (25.3)
oksüdeerija ja redutseerija määratakse oksüdatsiooniastme muutuse järgi. 1. Määra kõigi elementide o.a. 2. Kirjuta välja elektronvõrrandid nende elementide kohta, mille o.a muutus (arvestades indekseid). 3. Korruta elektronvõrrandeid selliste arvudega, et liidetud ja loovutatud elektronide arvud saaksid võrdseteks. Leitud arvud ongi vastavate elementide (ainult nende aatomite, mille oksüdatsiooniaste muutus!) kordajateks. 4. Aseta need võrrandisse vastavate valemite ette. 5. Ülejäänud kordajad leia tavalisel teel. (Jäta viimaseks hapnik, et seda kasutada kontrolliks). Poolreaktsioonid on redoksreaktsiooni osad, mis iseseisvalt ei eksisteeri. Poolreaktsioonis osalevad redutseerija ja oksüdeerija moodustavad redokspaari. Fe 2+ (aq) Fe 3+ (aq) + e- redokspaar Fe3+ / Fe2+ 53. Mis on standardpotentsiaal? Kuidas on seotud standardpotentsiaalid ja oksüdeerijad (redutseerijad)?
teemi maatriksi astak r. Siis s¨ usteemi lahendiruum on (n - r)- m~o~ otmeline. 20 V. Vektorruumid See teoreem u ¨tleb, et homogeense s¨ usteemi LFS koosneb n - r vektorist. Homogeense s¨ usteemi u ¨ldlahend avaldub (vektoresitu- ses) lahendite fundamentaals¨ usteemi vektorite lineaarkombinat- sioonina, kusjuures kordajateks on suvalised konstandid (¨uldla- hendi parameetrid). 7.3 LFS-i leidmine LFS-i saame, kui vabadele tundmatutele (mille arv on (n - r)) omistame sobivalt arvv¨ a¨ artusi 1 ja 0. 7.4 N¨ aide Leiame homogeense s¨ usteemi 2x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 0 9x1 + 4x2 + 7x3 + x4 = 0 lahendite fundamentaals¨ usteemi. S¨
Genereerivad funktsioonid on harilikult esitatud nö. suletud kujul(vastandina lahtisele astmereale): näidatud on vaid avaldis, mis defineerib rea saamiseks teatud tehete hulga (nende tehete sooritamisel saamegi astmerea, mille kordajateks on meile vajalikud väärtused). Tehniliselt on suletud kuju valem tuletatud geomeetrilise summa valemi järgi. Suletud kuju kasutamine on kasulik selleks, et siis on vaade avaldisest palju ülevaatlikum ning veelgi enam, genereerivatele funktsioonidele defineeritud tehete rakendamine lihtsustub väga oluliselt (jadade liitmine, lahutamine, korrutamine jne).
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 . Selles on x ja y tundmatud ning a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 on konstandid. Lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamisel tuleb nad teisendada üldkujule ja seejärel lahendada sobiva võttega. 27 Kahe tundmatuga võrrandisüsteemi lahendusvõtted I Liitmisvõte Liitmisvõtte kasutamisel tuleb võrrandeid teisendada nii, et ühe tundmatu kordajateks võrrandites oleksid teineteise vastandarvud. Selleks korrutatakse võrrandi(te) pooli vastavalt valitud teguri(te)ga. Seejärel võrrandid liidetakse. Tulemuseks on ühe tundmatuga võrrand, millest leiame selle tundmatu väärtuse. Leitud väärtus asetatakse ühte antud võrrandeist ja lahendatakse see teise tundmatu suhtes. II Asendusvõte Võrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega seisneb järgnevas: 1) ühest võrrandist avaldatakse üks tundmatu teise kaudu;
+ = . Saime kaks võrdust, mille vasakud pooled on võrdsed. Siis on võrdsed ka nende võrduste paremad pooled, st = . 21. Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse mõiste. Olgu V vektorruum üle reaalarvude hulka ning 1, 2,..., m Definitsioon. Mistahes avaldist, millel on kuju kus 1,..., m , nimetatakse vektorite 1, 2,..., m lineaarkombinatsiooniks. Skalaare 1,..., m nimetatakse antud lineaarkombinatsiooni kordajateks. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui kõik tema kordajad võrduvad nulliga, s.t 1= 2 = ...= m = 0. Lineaarkombinatsioon on mittetriviaalne, kui vähemalt üks tema kordajatest on nullist erinev, s.t. kui i i = 1, 2, ..., m. Näide: Olgu V geomeetriliste vektorite hulk tasandil ja olgu antud kaks vektorit 1, 2 , mis ei ole paralleelsed. Siis avaldub iga vektor sellel tasandil vektorite 1 ja 2 lineaarse kombinatsioonina. Definitsioon. Vektorite süsteemi 1, 2,..
C- → D- → L- kus α > 0. 41. Astmerida, selle koonduvuspiirkond (*) Selgitada, mis on astmerida, defineerida astmerea koonduvuspiirkond X ja absoluutse koonduvuse piirkond A. Veenduda, et A on nullpunkti suhtes sümmeetriline intervall.: Olgu (a0, a1, a2, . . . ) mingi arvjada. Astmereaks nimetatakse rida kujul või üldisemalt , kus a ∈ R on fikseeritud. Arve ak nimetatakse astmerea kordajateks. Hulka nimetatakse astmerea koonduvuspiirkonnaks ja hulka selle astmerea absoluutse koonduvuse piirkonnaks. Tõestada neid hulki kirjeldav Cauchy-Hadamardi teoreem (teoreem 10.4). Tuua näiteid. 42. Astmerea summa diferentseeruvus. Funktsiooni Taylori rida Teada teoreemi astmerea summa diferentseeruvusest (teoreem 10.5). Astmerea summa s: (−r, r) → R on diferentseeruv funktsioon. Astmerida
Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi , mille ülkuju on a11 x1 + a12 x 2 + .......... + a1n x n = b1 a x + a x + .......... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + .......... + a mn x n = bm (6.1.) Arve aij nimetatakse võrrandisüsteemi kordajateks, arve b1 ... bm vabaliikmeteks , x1, ...xn tundmatuteks (aij, bi, x j R, i = 1,...,m; j = 1,...,n). Süsteem (1) on m võrrandist ja n tundmatust koosnev lineaarvõrrandite süsteem. Arve c1,..., cn , mis rahuldavad süsteemi (6.1) kõik võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi (6.1) lahendiks : x1 = c1 x = c 2 2 x n = c n
6.1. LVS lahendid Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi , mille ülkuju on a11 x1 + a12 x 2 +.......... + a1n x n = b1 a x + a x +.......... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 +.......... + a mn x n = bm (6.1.) Arve aij nimetatakse võrrandisüsteemi kordajateks, arve b1 ... bm vabaliikmeteks , x1,...xn tundmatuteks (aij, bi, x j R, i = 1,...,m; j = 1,...,n). Süsteem (1) on m võrrandist ja n tundmatust koosnev lineaarvõrrandite süsteem. Arve c1,..., cn , mis rahuldavad süsteemi (6.1) kõik võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi (6.1) lahendiks : x1 = c1 x = c 2 2 (6.2)
k-järku (k € N) Tšebõšovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Seda tähistatakse Lim f(x,y) = A ( x→x0 y→y0). Def2 Funktsiooni f(x,y) nim. pidevaks punktis P0(x0 , y0), kui kordajaid 𝑐𝑘 funktsiooni f Fourier’ kordajateks süsteemi {𝜑𝑘 }∞ 𝑘=0 järgi
aritmeetilisi operatsioone (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine) ja liitfunkt- siooni moodustamist. Definitsioon 2. Funktsiooni Pn (x) = a0 xn + a1 xn-1 + . . . + an-1 x + an (a0 = 0), kus a0 , a1 , . . . , an-1 , an on konstandid ja n N ning x on muutuja, nimetatakse n-astme pol¨ unoomiks ehk t¨ aisratsionaalseks funktsiooniks. Konstante a0 , a1 , . . . , an nimetatakse pol¨ unoomi kordajateks ja arvu n pol¨ unoomi astmeks. Algebra p~ ohiteoreem. Igal komplekssete kordajatega n-astme pol¨ unoomil Pn (x) on t¨apselt n kompleksset nullkohta (kordsed nullkohad kaasa arvatud) x1 , x2 , . . . , xn . Lause 1. Kui kompleksarv x1 = + i on reaalsete kordajatega n-astme pol¨ unoomi Pn (x) (n 2) nullkohaks, siis on selle pol¨ unoomi nullkohaks ka arvu x1 kaaskomplek- sarv x1 = - i
sõnastada, nii et järele jääb ainult küsimuse jaoks oluline. Näiteks oleme ju täiesti unustanud, milline on laulupeo ajal ilm või kuidas keegi riides on, ja seda õigustatult. Võrrandi moodustavad 1. mõned muutujad ehk meile veel tundmata väärtusega suuru- sed [lk 48]; 2. mõned arvud, mida kutsutakse kordajateks, kui nad korrutavad läbi mõnda muutujat, ning vabaliikmeteks, kui nad on omapäi; 3. võrdusmärk „=”, mis neid muutujaid ja arve omavahel seosesse seab. Näiteks meie võrrandis on kaks muutujat: ja , arv 3 on meie võrrandis kordajaks ja ühtegi vabaliiget nagu polegi. 168 Kui tahaksime juurde lisada tingimuse, et 100 ruutmeetrit peab siiski ka orkestri
1! 2! 3! n! (3.8) Seda hulkliiget nimetatakse funktsiooni f (x) Taylori pol¨ unoomiks punkti a u ¨mbruses v~oi funktsiooni f (x) Taylori pol¨ unoomiks x - a astmete j¨argi. x - a f (k) (a) astmete kordajaid (k = 0, 1, 2, . . . , n nimetatakse funktsiooni f (x) k! Taylori kordajateks. N¨aide 1. Arvutame 1, 2 eimese, teise, kolmanda ja neljanda astme Taylori pol¨ unoomi abil. Taskuarvuti abiga 1, 2 = 1, 095445115. Siin f (x) = x, a = 1, x = 1, 2 ja x-a = 0, 2. Arvutusteks leiame f (1) = 1 1 1 1 = 1, funktsiooni tuletise f (x) = x- 2 , millest f (1) = , teise tuletise 2 2
annaabi.ee 
