.., An, siis küsime tõenäosust, et
toimus i-s sündmus A1. Bayesi valem. P(Ai/B)=(P(Ai)P(B/Ai))/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2,...,n Tõestus!!!
P(AiB)=P(B)P(Ai/B). Fikseerime i ja leiame P(Ai/B)=P(AiB)/P(B)= P(Ai)P(B/Ai)/( P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An).
Erijuhul, kui n=2 saame P(Ai/B)= P(AiB)/P(B)=P(Ai)P(B/Ai)/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2.
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R maaratud funktsiooni F(x)=P(X
Tuumaenergia olemus Tuumafüüsika kui teadusharu sündis koos radioaktiivsuse juhusliku avastamisega prantsuse teadlase Henri Becquereli poolt aastal 1896. Järgnevate aastakümnete jooksul on oma panuse selle teadusharu arengusse andnud mitmed nimekad teadlased. Seda veidi üle sajandi vanust avastust on rakendatud väga erinevates valdkondades tuumaenergia rakendusi on ära kasutatud sõjatööstuses, samas teisalt on praktiliselt võimatu kujutada tänapäevast elu ette ilma selle rakendusteta
Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe Statistika põhiteoreem: Empiiriline jaotusfunktsioon FN(x) on teoreetilise (üldkogumi) jaotusfunktsiooni F(x) nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm: Histogramm on enimkasutatav (üldkogumi) jaotustiheduse hinnang. Histogrammi kasutatakse ettekujutuse saamiseks üldkogumi jaotusseadusest ning ta kujutab endast tulpdiagrammi, mille tulpade kõrgused näitavad vastavasse vahemikku sattumise sagedust. 2-jaotus on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel. t-jaotus (Studenti jaotus) on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse keskvaartuse hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel. F-jaotus (Fisheri jaotus) on kasutusel kahe normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersioonide hinnangute võrdlemisel osana mitmetes hüpoteeside kontrolli skeemides. Momentide meetod: Meetodi põhimote seisneb selles, et üldkogumile vastavad seosed jaotuse
Kui suur on tõenäosus, et 2 õpilasel on samal päeval sünnipäevad? P= 2/30 12. Diskreetne ja pidev juhuslik suurus, nende jaotusfunktsioonid. Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks. Tõenäosusjaotus. Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitteloenduvalt lõpmatu (st väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks. Tihedusfunktsioon. 13. Diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusjaotus. Diskreetse juhusliku suuruse X tõenäosusjaotuseks nimetatakse funktsiooni p(x), kus p(x) = P(X = x). See funktsioon omandab positiivseid väärtusi ainult nende argumentide korral, mis on juhusliku suuruse võimalikeks väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas valemina või tabeli abil, milles loetletakse juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja nende omandamise tõenäosused. 14. Juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni omadused.
20. Bayesi valem ja tema tähendus. Bayesi valem näitab tinglikku tõenäosust P(H k|A), et sündmus A toimus just nimelt P(H k )∙ P (A∨H k ) P ( H k| A )= n sündmusega Hk. ∑ (P ( H i) ∙ P ( A|H i ) ) i=1 DISKREETNE JUHUSLIK SUURUS 21. Mis on juhuslik suurus? Juhuslik suurus on suurus, mis sõltuvalt juhusest võib omandada erinevaid väärtusi. 22. Mis on erinevus diskreetse ja pideva juhusliku suuruse vahel? Diskreetseks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omandada lõpliku arvu või loenduva hulga väärtusi. Pidevaks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omandada lõpmatu hulga väärtusi(reaalarvud mingite reaalarvude vahemikust). 23. Mis on diskreetse juhusliku suuruse jaotus, kuidas seda anda? Diskreetse juhusliku suuruse jaotuseks nimetatakse eeskirja P(X), mis seab igale juhusliku
elementide hulgast. Permutatsioon-Kõikvõimalike erinevate järjestuste arv etteantud elementidest nimetatakse permutatsioonideks Variatsioonid-Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi kindlas järjekorras välja valimine nende elementide hulgast Tõenäosuse geomeetriline tähendus-Tõenäosuse geomeetriline tähendus ühemõõtmelises ruumis väljendub lõigu pikkusena, kahemõõtmelises ruumis pindalana ja kolmemõõtmelises ruumis ruumalana.Kui juhusliku katse võimalike tulemuste arv on mitteloenduv, kuid tulemused võrdvõimalikud saab sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kasutadageomeetrilise tõenäosuse valemit Binoomjaotus-Binoomjaotus on diskreetse juhusliku suuruse soodsatest sündmustest moodustuv tõenäosusjaotus Diskreetne juhuslik suurus-Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks
Kuna sündmused A ja B on on auto eluea pikkuse mõõtmine, siis F,et esimene täringuga saime 4 silma. mittevälistavad ja sõltumatud, siis elementaarsündmuste hulgaks on kõik P(E1F)=P({4,2})=1/36 kuna tõenäosus,et märklauas oleks vähemalt mittenegatiivsed arvud:S = [0, P(E1)P(F)=5/36×1/6=5/216.Näide12. üks tabamus on:P(AB) = P(A) + P(B) µ ).Juhusliku katse tulemus, mille korral Urnis on 4 nummerdatud P(AB) = 0,6 + 0,8 0,6 * 0,8 = 0,92. toimub meid huvitav sündmus, palli(1,2,3,4).olgu sündmus E={1,2} Näide16. Seadmes on kaks releed, mis nimetatakse selle katse jaoks soodsaks. F={1,3} G={1,4}. Kui kõogi nelja palli tõenäosusega 0,9 töötavad garantiiaja
A või B. Näiteks: A = (2;5) ja B = (1;3;5). Siis C = ( 1;2;3;5) 4. AB = C, sündmuste A ja B korrutiseks ehk ühisosaks nimetatakse sündmust, mis toimub siis, kui toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Eelmise näite põhjal C = (5) 5. A B = C, sündmuste A ja B vaheks nimetatakse sündmust C, mi toimub siis, kui sündmus A toimub ja sündmus B ei toimu. 6. A, vastandsündmuseks nimetatakse kindla sündmuse ja juhusliku sündmuse A vahet. 7. AB = , kui sündmuste A ja B korrutiseks on võimatu sündmus, siis neid sündmusi nimetatakse teineteist välistavateks sündmusteks. 8. Sündmused A1, A2, … An moodustavad sündmuste süsteemi, kui nende hulgas ei leidu kaht võrdset sündmust Ai ja Aj, kui i ≠ j. Kui selles süsteemis on kõik sündmused teineteist välistavad, Ai Aj = , siis nimetatakse seda süsteemi üksteist välistavate sündmuste süsteemiks.
Tõenäousese määramisviisid: klassikalised(kombinatoorne, geomeetriline, statistiline), mtteklassikalised(subjektiivne,intersubjektiivne) Juhuslikuks suuruseks nim suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike väärtuste hulk on kontiinum Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus ei ületa funktsiooni argumenti. Jaotusfunktsioon peab rahuldama järgmisi tingimusi: monotoonsus (kui b>a, siis F(b)>F(a), normeeritus (x-lõpmatus korrral lim F(x)=0, xlõpmatus lim F(x)=1) Jaotustihedus on jaotusfunktsiooni tuletis. Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine/arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine. Juhusliku suuruse arvkarakteristikuid võib jagada:
ja süsteemide tuleviku kohta. X t PX . (1.11) Info esitusvormi, näiteks teadet Xt , nimetatakse koodiks. Teadete moodustamist vastava teisenduse teel nimetatakse kodeerimiseks. Teadete asendamist mingile teisele operaatorile vastava teatega nimetatakse samuti kodeerimiseks (ümberkodeerimiseks). Kui mingi variant toimub tõenäosusega 1, siis H=0. Järelikult suurus H näitab ka sündmuse esialgset määramatust ja seda nimetatakse juhusliku sündmuse entroopiaks. Entroopia H kohta kehtib võrratus 0 H log 2 N . Üldises mõttes nimetatakse juhtimiseks ühe objekti (süsteemi) sihipärast mõjutamist teise objekti (süsteemi) poolt. Juhitavat süsteemi koos juhtiva süsteemiga nimetatakse juhtimissüsteemiks. Sageli on juhtimise eesmärgiks, mingi funktsiooni (funktsioonide) või funktsionaali (funktsionaalide) minimeerimine või maksimeerimine. Sellise eesmärgiga juhtimist nimetatakse optimaaljuhtimiseks.
toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) 0)
Tõenäosuse määramisviisid:
Klassikalised: Kombinatoorne; Geomeetriline; statistiline
mitteklassikalised: subjektiivne/intersubjektiivne; kuuluvusfunktsiooni väärtus,..
Juhuslikuk suurus- suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtus
mingist võimalikust väärtuste hulgast.
Juhusliku suuruse põhiliigid:
diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv (nt variantide nr'id)
pidev juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on pidev (nt mõõtetulemused pidevalt skaalalt)
Juhusliku suuruse omadused määrab (täielikult) tema jaotusseadus:
jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhuslik suurus väärtus ei ületa funktsiooni argumenti x: F(x) = P (X
2. Tase - lihtsad dünaamilised süsteemid, 3. Tase - lihtsad küberneetilised süsteemid, 4. Tase - avatud isetaastuvad süsteemid, 5. Tase - elava taimestiku tase, 6. Tase - elavate loomade tase, 7. Tase - inimese tase, 8. Tase - sotsiaalsed organisatsioonid. Süsteemi struktuur kirjeldab süsteemi elementide ehk osade vahelisi seoseid, näitab millise sisendi ja millise väljundi vahel seos on. Kirjeldatakse skeemide, jooniste või ühendusmaatriksite abil. Entroopiaks nim juhusliku sündmuse esialgset määramatust. 2. Informatsioonilised sidemed. Informatsiooni liigid ja vormid. Informaatsioon teave, millel on mingis kontekstis oma tähendus, selle saamine vähendab teadmatust ehk entoopiat.Retrospektiivne ehk aposterioorne info ja aprioorne info. Aposterioorne info on info mineviku st juba toimunud sündmuste, suuruste ja protsesside kohta. Aprioorseks nim infot tuleviku kohta südmuste, suuruste, protsesside ja süsteemide tuleviku kohta.Info
Sündmuse A suhteliseks suuruse X jaotustabel järgmine: 1, Sündmus ja tõenäosus. Kindel, võimatu ja juhuslik sageduseks Pn(A) antud katseseeria puhul nim. sündmuse sündmus, nende tõenäosused. Sündmus on Aesinemiste arvu m ja kõigi katsete arvu n suhet: P n(A)= tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse m/n Juhusliku sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt. A, nim. konstantse arvu P(A), mille läheneb sündmuse A A1, Bi, Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse suhteline sagedu, kui katsete arv n käheneb lõpmatusele. võimalikust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt Suhtelise sageduse omadused: 1. Sündmuse suhteline tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, sagedus on mittenegatiivne
Tõestus: Fikseerime i ja leiame
P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai )
P( Ai / B) = =
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 ) + ... + P( An ) P( B / An )
P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai )
Erijuhul kui n=2 saame P( Ai / B) = =
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 )
i=1,2
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R määratud funktsiooni F(x)=P(X
Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? p-kvantiil - Arvrea väärtus, millest väiksemate ja sama suurte väärtuste osakaal on p
12. Statistiline tõenäosus.' Sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A suhtelist sagedust m/n küllalt suure katsete arvu n korral. mida rohkem tehakse katseid, seda tõenäosem on, et sündmuse suhteline sagedus m/n erineb sündmuse tõenäosusest p järjest vähem. Sündmuse statistilise tõenäosuse korral kehtivad samad omadused, mis sündmuse klassikalise tõenäosuse korral: 13. Juhuslik suurus. Juhus määrab ära milline väärtus tuleb esile. Juhusliku suuruse x tõenäosusfunktsiooniks nim eeskijra, mis sseab juhusliku suuruse x igale võimalikule väärtusele xi vastavusse tõenäosusega pi (ehk P(xi)). Kui juhusliku suuruse tõenäoususfunktsioon on leitud , on ka leitud juhusliku suuruse jaotus. 14. Juhusliku suuruse krakteristikud. EX = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn. Juhusliku suuruse X dispersiooniks nimetatakse keskväärtuse suhtes arvutatud hälvete ruutude keskväärtust DX = E(X EX)2 DX = p1(x1 EX)2 + p2(x2 EX)2 + ..
(teisele). 21. Tõenäosus, et ajalehed saabuvad sidejaoskonda õigeaegselt, on 0,85. Leida tõenäosus, et viiest sidejaoskonnast vähemalt neli saavad ajalehed õigeaegselt. (0,8352) 22. Märgi tabamise tõenäosus on 0,25. Tulistati 21 lasku. Leida tõenäoseim tabamuste arv ning vastav tõenäosus. (5 ja 0,199) 23. Kindlustusagendil on üksikkliendiga lepingu sõlmimise tõenäosus 0,4. Agent kohtus 5 kliendiga. Koostada sõlmitud lepingute arvu jaotustabel. Leida vaadeldava juhusliku suuruse keskväärtus, dispersioon ja jaotusfunktsiooni graafik. (2 ja 1,2) 24. Sõiduki remondiks kuluv aeg (tundides) allub eksponentsiaalsele jaotusele parameetriga = 0,25. Kui suur on tõenäosus, et ühe sõiduki remondiaeg on alla kuue tunni? (0,777) 25. Tehase toodangu maht allub ligikaudselt normaaljaotusele keskväärtusega 134786 eset nädalas ja standardhälbega 13000 eset nädalas. 1) Leida tõenäosus, et nädala toodang ületab 150000 eset. (0,121)
Sündmuse A + B summa on sündmus, mille toimumine seisneb neist vähemalt ühe (A v B) toimumises. Sündmuse A x B korrutis on sündmus, mille toimumine seisneb mõlema (A ja B) toimumises. Sündmuse sagedus on sooritatud (n) katsete ja katseseeriate (m) arvu vahejagatis Sündmuse tõenäosus on juhuslik sündmuse konstant, mille ümber grupeerub selle sündmuse sageduse katsete arvu suurenedes (m- soodsate sündmuste arv, n- võrdvõimalike sündmuste arv) 3. Juhusliku suuruse keskväärtus ( EX ). Keskväärtuse punkthinnang (aritmeetiline keskmine x ). Diskreetse ja pideva juhusliku suuruse mood ja mediaan. Juhusliku suuruse keskväärtus grupeeritud juhuslike suuruse võimalikud väärtused. Juhuslike võrdvõimalike sündmuste arvu (N) soodsate sündmuste protsendilise tõenäosuse korrutis E(X) = n * p p=1q Võrdvõimalike sündmuste sageduse tiheduse ( ) korrutise summa
- Arvutame sündmuse Ai tingliku tõenäosuse eeldusel, et toimub sündmus B: 6. Juhuslik suurus, - Juhuslik suurus (JS) on suurus, mis omandab katsel mingi väärtuse. Enne katse toimumist on tundmata. Üldjuhul tähistatakse X. Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus, mille väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Praktiliselt vaatleme ainult selliseid DJS, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ... või alamhulk eelnevast. DJS jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse väärtused ja nende tõenäosused: pi=P(X=xi).( esitatud valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X). kus xi tähistab diskreetse juhusliku suuruse x väärtust ja p i selle tõenäosust. Keskväärtus on juhusest sõltumatu suurus, mis paikneb väikseima ja suurima väärtuse vahel dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2=
leida diameeter, millest 15% puudest on jämedamad, x0,85= 40,5
leida diameeter, millest neljandik puudest on peenemad. x0,25= 31,8
8. Eeldades männi diameetrite korral normaaljaotust, leida, kui suur osa diameetritest
jääb vahemikku 32 kuni 36 cm P(32
Mõnikord on kasulik sündmuste sigma-algebrast mõelda ka kui informatsioonist selle kohta, millistesse Ω alamhulkadesse kuulumist suudab vaateleja temale antava (sageli osalise) informatsiooni põhjal kindlaks teha. Mida rohkem informatsiooni vaatelja katsetulemuse kohta saab, seda rohkem hulki sisaldab ka vastav sigma-algebra. Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6},{2,4}} Nt2 Tihti pakub huvi väikseim sigma-algebra, mis sisaldab mingitfikseeritud sündmuste komplekti. Sel juhul öeldakse, et sigma- algebra on industreeritud vaadeldava sündmuste komplekti poolt. Olgu Ω=[0, 1] ning A = [0, ¾), B = [1/2,1]
Orlovi boniteet). Nominaaltunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Mis on juhuslik suurus? Juhuslikuks suurust nimetatakse, mis sõltub juhuslikest sündmustest ja mille väärtust pole seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Juhusliku suuruse X p-kvantiiliks (ingl. k. percentile) nimetatakse niisugust väärtust p, mille korral Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon juhusliku suuruse tõenäosuse tihedus, mis avaldub jaotusfunktsiooni tuletisena. 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine (aritmeetiline keskmine, standardhälve, mood, mediaan). 11. Mis omadused on normaaljaotusel? Normaaljaotuse omadusi:
elektronvolt 7. Mõõtmise põhivõrrand- {x}=(X1+X3)/([X1])+(X5)/([X1]) Mõõtmiseks peab eksisteerima kaks suurust, vastasel juhul poleks võrdlemine ning seega ka mõõtmine üldse võimalik. See võrrand iseloomustab võrdlemise protseduuri ja arvväärtuse saamist ideaalsetes tingimustes. Tegelikkuses ei ole võimaliks elle valemi liikmeid eristada. Ning tegelikkuses saadav arvväärtus sisaldab juhusliku suuruse X5 arvväärtust. 8. Metroloogia põhiaksioomid ) 1) mõõtmise olemus on võrdlemine (ainult ühe suureuse olemasolul pole võimalik). 2) Mõõtetulemus on olemuselt juhuslik suurus 3) Ilma eelneva informatsioonita mõõdetava objekti kohta mõõtmisi teha ei saa 9. Mõõtevahendid, nende liigitus. Mõõtevahend on mõõtmistel kasutatav normitud metroloogiliste omadustega tehniline vahend. Mõõtevahendid kehastavad, hoiavad,
xi pi xi*pi 1 0,555556 0,555556 2 0,277778 0,555556 3 0,119048 0,357143 4 0,039683 0,15873 5 0,007937 0,039683 Keskväärtus: 1,666667 Koostada tabamuste arvu kui juhusliku suuruse jaotustabel. Leida vaadeldava juhusliku suuruse dispersioon. 0,7 0,63 0,5 0,75 0,4 0,72 lised. Rahakotist võeti münte esimese viiekümnesendise saamiseni. Saadud rahasumma on juhuslik suurus. Leida 4 kahekümnelist 3 kahekümnelist 5 viiekümnelist 6 viiekümnelist V: 1,666667 V:
Tõenäosus, et toimuvad nii sündmused A kui ka B, P(A B), on leitav valemiga P(A B) = P(A|B) P(B) Kui A ja B on teineteisest sõltumatud: P(A|B)=P(A) ja P(A B) = P(A) P(B) Tõenäosus, et toimub kas sündmus A või sündmus B, P(A U B), on leitav valemiga P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) Kui A ja B on teineteist välistavad: P(A U B) = P(A) + P(B) A + A vastandsündmus = 1 2. Juhusliku suuruse jaotus Juhusliku sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmuse A toimumise suhtelist sagedust peale lõpmatult paljude katsete sooritamist Kumulatiivne jaotusfunktsioon- annab iga juhusliku tunnuse väärtuse kohta tõenäosuse, et juhuslik suurus omandab mingi väärtuse x või x-st väiksem väärtuse P(Xx) Bernoulli jaotus: juhuslikul suurusel on 2 võimalikku väärtust X ~ B(1; p) (p-tõenäosus, et suurus tuleb 1)
4603 änud on viiekümnesendilised. Rahakotist võeti münte esimese viiekümnesendise saamiseni. Saadud rahasumm a, mingi põhimõtteline viga sees xi pi xi*pi xi*xi*pi 50 0.666667 33.33333 1666.6667 70 0.25 17.5 1225 90 0.107143 9.642857 867.85714 110 0.011905 1.309524 144.04762 keskväärtus 61.78571 3903.5714 dispersioon 86.096939 ma on juhuslik suurus. Leida juhusliku suuruse jaotustabel ja keskväärtus. ma on juhuslik suurus. Leida juhusliku suuruse jaotustabel ja keskväärtus. seni. Saadud rahasumma on juhuslik suurus. Leida juhusliku suuruse jaotustabel ja keskväärtus. Laskur tulistab märklauda 3 korda. Tõenäosus tabada märki igal lasul on 0,7. Koostada taba Dispersioon on: p 0.7 n 3 xi pi xi*pi 0 0
Tähistatakse A+B. Kahe sündmuse A ja B korrutiseks – nim keerulist sündmust, mis seisneb nii ühe kui teise toimumises. Tähistatakse AB. 13.Sündmuse klassikaline tõenäosus – sündmuse A tõenäosus on võrdne murruga, mille lugejaks on sündmuse A jaoks soodsate juhtude (võim.)arv m ja nimetajaks kõigi juhtude (võimal.) arv n. P(A) = M/n kusjuures m – sündmuse A jaoks soodsate juhtude arv ja n – kõigi võimaluste arv. Tõenäosuse põh. Omadused: 1.) Juhusliku suuruse tõenäosus on alati vahemikus 0 ..1. 2)võimatu sündmuse tõenäosus on 0.; 3) kindla sündmuse tõenäosus on 1; 4) sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste summa on võrdne ühega, st P(A)+P(Akriipsüleval)=1 Tõenäosuse puudused: def. on rakendatav ainult siis kui kõigi juhtude arv n on lõplik ja on teada, et praktikas see enamasti nii ei ole; soodsate juhtude arv m ei pruugi olla teada; def.eeldab et kõik juhud on
60 1 70 1 milline o n tõenäosus et saame vähemalt 70 senti 6. Urnis on 6 kuuli : 4 MUSTA JA 2 VALGET. Kuule võetakse kuni esimese valge kuuli saamiseni. Võtmiste arv o Kõik võimalikud väärtused väärtuste tõenäosused keskväärtus dispersioon jaotusfunktsiooni graafik Xi Pi Xi*Pi Xi^2*Pi V 1 0,333333 0,333333 0,333333333 Juhusliku suuruse 5 x jao MV 2 0,266667 0,533333 1,066666667 2,5 MMV 3 0,2 0,6 1,8 1,5 2,2,5 MMMV 4 0,133333 0,533333 2,133333333 2,2,2,5 Jaotusfunkt.
seisundis, mõtete kaudu mingit pilti saata. Ganzfeldi seisundiks nimetatakse sellist seisundit, mil katsealuse tavalised sensoorsed sisendid (nägemine ja kuulmine) on kunstlikult piiratud ning aju püüab sensoorsete sisendite puudumist muul moel kompenseerida, kutsudes esile nägemusi. Varasemad eksperimendid on andnud põhjust uskuda, et telepaatia eksisteerib ning seda kinnitasid ka meie tulemused. Meie katsete tulemused ületasid juhusliku tulemuse positiivsete katsete protsendi (25%) 20,5 protsendipunkti võrra, seega saime tulemuseks 45,5% õnnestunud katseid kogu katsete arvust. Uurimistöö saavutas oma eesmärgi, leides kinnitust, et telepaatia, kui mõtete edastamine ilma igasuguse kommunikatsioonita, on võimalik. ABSTRACT The aim of the current research is to find additional proof of the existence of telepathy. In order to do that, repetitive Ganzfeld experiment was performed. This is an experiment that is
Hajuvusmõõdud:* min/max element*variatsioonrea ulatus*alumine/ülemine kvartiil*disepersioon/standarhälve*variatsioonikordaja. Variatsioonirea ulatus=Xmax-Xmin. Alumine kvartiil - tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonreas 25% Kv . Ülemine kvartiil - tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsoonnreas 25% Kv . Detsiilide abil jaotatakse variatsioonrida kümneks osaks. Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus ( ) . Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. = ( ) = ( ) n k n 2 2 2
usalduspiirid on asümptootilised. Nad on täpsed siis, kui valimi maht on lõpmatu; lõpliku valimi mahu korral usalduspiirid on ligikaudsed. 3. Determinatsioonikordaja (D=R²) väljendab regressioonimudeli poolt kirjeldatud hajuvuse suhet (ESS explained sum of squares) modelleeritava näitaja (endogeense muutuja) koguhajuvusse (TSS total sum of squares). 4. Dispersioon iseloomustab juhusliku suuruse Xi erinevust keskväärtusest, seega iseloomustab tunnuse hajuvust. Valimi dispersiooni kui üldkogumi dispersiooni hinnangu tähiseks on tavaliselt Sruut, üldkogumi dispersiooni tähiseks ruut (kasutatakse teisi tähiseid ka: var, D(X)). Seega, mida suurem on Xi väärtus võrreldes keskväärtusega, (aritmeetilise keskmisega) seda suurem on hajuvus e dispersiooni. 5. Dispersiooni meetod 6
1.Tätoveeringutest 1.1. Tätoveerimise lühiajalugu 3 Kahjuks me ei tea, kust tätoveerimine pärit on või millal see algas, sest enamikku kehakunsti vorme käsitlevad ajaloolised ja arheoloogilised allikad on ebatäielikud. Kuigi skelett võib olla säilinud kümneid tuhandeid aastaid fossiilsetes vormides, säilib inimese nahk vaid tahtliku või juhusliku mumifitseerumise korral. Arvestades vajamineva tehnika lihtsust ning arvukaid tõendeid tätoveerimisest üksteisest kaugel asuvais paikades, siis tõenäoliselt arenes tätoveerimiskunst iseseisvalt paljudes erinevates kohtades. Me teame ka seda, et mõnedes maailma paikades levis see rahvaste seas, kes olid üksteisele väga lähedal. Siinse peatüki eesmärk on tutvustada selle ulatusliku teema sügavust ja mitmekülgsust.
-Nominaaltunnus: Pärast kodeerimist ei ole mõtet järjestada. -Järjestustunnus: 5 v.hea; 4 hea; 3 rahuldav jne. Binaarne tunnus -> Omab kahte teineteist välistavat väärtust (Nt. Sugu). Andmete sisestamisel ei tohi vigaseid väärtusi asendada tõenäoliselt õigega. Tööle tuleb kindlasti lisada KODEERIMISE EESKIRI! Keskväärtus, mediaan, mood 1) Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus nimetatakse selle suuruse võimalike väärtuste ja vastavate tõenäosuste korrutiste summat. EX = p1x1 + p2x2 + .... + pnxn 2) Mediaan arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonreas ühe palju. 3) Mood tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Bimodaalne kui on kaks moodi. Hajuvusmõõdud Minimaalne element tunnuse väärtuste hulgas vähim.
asub vaadeldav väärtus xi Assümeetria - Asümmeetria on jaotuskõvera maksimumi kõrvalekaldumine sümmeetriateljest. Kui jaotuskõvera maksimum (mood) on sümmeetriateljest (mediaan) paremal pool, on tegemist on negatiivse ehk vasakkaldelise asümmeetriaga. Kui maksimum on sümmeetriateljest vasakul, on tegemist positiivse ehk paremkaldelise asümmeetriaga Püstakus - Jaotuse püstakust iseloomustab juhusliku suuruse ekstsess E (kurtosis), mida võib nimetada ka püstakuse kordajaks. Moment - Tunnuse k-ndat järku moment väärtuse a suhtes on väärtuste xi ja arvu a vaheliste hälvete k-ndat järku astmete aritmeetiline keskmine: Algmoment, kui a = 0 Kaheväärtuseline tunnus {0, 1} – selle aritmeetiline keskmine on kus n on kogumi maht, m ühtede arv ja p ühtede osakaal kogumis. Kaheväärtuselise tunnuse dispersion σ^2=p(1-p) ja standardhälve σ = sqrt(p(1-p))
parameetrite väärtustest. Seega on põhjust uurida mudeli tundlikkust muutes parameetrite väärtusi. 12. Juhuslikkus modelleerimisel. Põhimõisted, Stella funktsioonid- Kui ei saa mingit protsessi täpselt määrata siis jääb sisse teatav juhuslikkus- mingi juhuslik element võib määrata süsteemi käitumise suuna. Mõisted: Juhuslik suurus- suurus, mis katse tulemusel omandab ühe oma võimalikest väärtustest (varem mitte teadaolev) Diskreetne juhuslik suurus- kui juhusliku suuruse väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Ühtlane jaotus (UNIF(min,max))- pideva juhusliku suuruse jaotus, mille tihedusfunktsioon on konstantne. Praktikas esineb harva, näiteks bussi ooteaeg, ooteaeg valgusfoori taga. Normaaljaotus (NORMAL)- pideva juhusliku suuruse jaotus, mida kirjeldab kaks parameetrit: keskväärtus ja standardhälve. Kolmnurkjaotus (TRIA(min, mood, max)- PJS jaotus, mille korral tihedusfunktsiooni graafik on kolmnurkse kujuga
§ 212. Müüja teatamiskohustus Kui ostja on kohustatud asja üleandmise kohast ära viima ja asja üleandmise aja määramise õigus on müüjal, peab müüja ostjale õigeaegselt teatama, millal asi on ostja käsutusse andmiseks valmis pandud. § 213. Ostuhinna tasumise kohustus (1) Kui asja ostuhind tuleb arvutada asja hulga, mõõdu või kaalu alusel, võetakse arvutamisel aluseks asja hulk, mõõt või kaal asja juhusliku hävimise ja kahjustumise riisiko ülemineku ajal ostjale. Kui asja ostuhind tuleb määrata asja kaalu järgi, eeldatakse, et hind tuleb määrata netokaalu järgi. (2) Kui ostja peab ostuhinna tasuma asja või dokumendi üleandmise vastu, peab ta seda tegema asja või dokumendi üleandmise kohas. (3) Ostja ei pea tasuma ostuhinda enne, kui tal on olnud võimalus asi üle vaadata, välja arvatud juhul, kui kokkulepitud üleandmis- või tasumisviisist tulenevalt ei ole see võimalik.
sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud mõlema osasündmuse ühise esinemise tõenäosus. Kahe teineteist välistava sündmuse tõenäosus on võrde nende sündmuste tõenäosuste summaga. Kahe sõltuva sündmuse A ja B korrutise tõenäosus on võrdne ühe sündmuse tõenäosuse ja teise sündmuse tingliku tõenäosuse korrutisega. 10) Juhuslik suurus – muutuv suurus, mille konkreetne väärtus sõltub juhusest. Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon – jaotusfunktsiooni esimene tuletis. Näitab, millised x väärtused on tõenäosemad, millised mitte. Juhusliku suuruse dispersioon – keskväärtuste suhtes leitud hälvete ruutude keskväärtus. 11) Keskväärtuse omadused: – Konstandi keskväärtus võrdub konstandi väärtusega. – Kahe mistahes juhusliku suuruse summa keskväärtus võrdub liidetavate keskväärtuste summaga.
NW on aja ja autoregressive transfer funktsioonil, mis on antud Juhuslik signaal signaal, mille vähemalt üks Saadud funktsioon näitab energia jaotust sageduse ribalaiuse korrutis, mis käib andmete kujul parameeter on juhuslik muutuja. Juhusliku muutuja järgi, mistõttu seda nimetatakse energia spektriks. aknafunktsioone määravate Slepiani ridade kohta. mõistus algab aga tõenäosuse mõistest. Juhuslik Energia spekter on sageduse pidev funktsioon. Hinnangu määramisel on kasutusel 2*NW-1 akent.
nimetatakse usaldusnivooks ja tähistatakse sümboliga . Parameetri a sümmeetriliseks usalduspiirkonnaks vastavalt usaldusnivoole nimetatakse juhuslikku vahemikku (ã , ã + ), mis katab hinnatava parameetri a tõenäosusega : P(|ã a| < ) = Arv > 0 iseloomustab hinnangu täpsust. Usalduspiirkonna leidmine p(a) S= 0 ã- ã+ a p(a) juhusliku suuruse a tihedusfunktsioon. Usalduspiirkonna (ã , ã + ) leidmiseks tuleb: 1. Arvutada valimi põhjal punkthinnang ã; 2. Ette anda usaldusnivoo (näiteks 95%; 99%); 3. Leida seosest P(|ã a| < ) = suurus , mis määrabki usalduspiirkonna. Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond suure valimi korral Eeldame, et valimi maht on küllalt suur (n > 30) või standardhälve on eelnevalt teada (näiteks mõõteriista täpsus on teada). Olgu X ~ N(m, )
(2) Mittesiduva eelarve olulisel ületamisel võib töövõtja nõuda eelarvet ületava tasu maksmist, kui eelarve ületamist ei olnud võimalik ette näha. Sel juhul peab töövõtja eelarve olulisest ületamisest tellijale viivitamata teatama. Teatamata jätmise korral võib töövõtja eelarvet ületanud summat nõuda üksnes ulatuses, milles tellija on alusetult rikastunud. (3) Kui tellija ütleb lepingu eelarve ületamise tõttu üles, ei pea ta maksma eelarvet ületavat tasu. § 640. Juhusliku hävimise ja kahjustumise riisiko üleminek (1) Tellija peab töövõtjale töö eest tasuma ka juhul, kui töö hävib või kahjustub pärast asja juhusliku hävimise ja kahjustumise riisiko üleminekut tellijale. (2) Töövõtja kannab juhusliku hävimise ja kahjustumise riisikot kuni töö valmimiseni. Kui kokku on lepitud töö vastuvõtmine või kui see on tavaline, kannab töövõtja juhusliku hävimise ja kahjustumise riisikot kuni töö vastuvõtmiseni või vastuvõetuks lugemiseni.
Liikumiste arv Tee pikkus mm Aeg Ülesanne 1 Koostage programm, mis paneb linnu l pääseb puurist välja. Linnu lendu modelleeritakse järgmiselt 1. Linnu asukoht muudetakse juhusliku nihke võrra. Juhusarvude tekitamine on 2. Tehakse paus 0,1 s. Programmi Pau Tegevus kordub, kuni lind saab puurist Töölehele väljastatakse tehtud sammu millimeetrites (1pt ~ 25.4/72 mm) ja a
5 0,046675 6 0,010002 7 0,001225 8 6,6E-005 NB! kõige tõenäosem on 2 (jooniselt puudu 0 seega m väärtused nihkuvad paremale) Ülesanne 5 Rahakotis on 7 münti - 3 kümnesendilist ja 4 kahekümnelist. Rahakotist võetakse juhuslikult 3 münti. Saadud rahasumma on juhuslik suurus x. Leida juhusliku suuruse: a) võimalikud üksikväärtused; b) üksikväärtuste tõenäosused; c) keskväärtus; d) dispersioon; e) jaotusfunkt.graafik. Rahakotis on võtan 3 münti ja on võimalik saada 3*10 30 (10+10+10) 4*20 40 (10+10+20) münti 50 (10+20+20) 60 (20+20+20) a,b) võimalikud üksikväärtused ja nende tõenäosused
15 haare 20,35 cm 4,85 dispersioon 19,21 17,9 standardhälve 4,38 cm 23,55 variatsioonikordaja 27,76 % 20,05 asümmeetriakordaja -0,258 iseloomustab tihedusfunktsiooni s 16,45 ekstsess -0,422 iseloomustab tihedusfunktsiooni t 14,8 7,35 18,95 9,75 juhusliku suuruse tsentrit iseloomustavad karakteristikud 21,15 juhusliku suuruse hajuvust iselommustavad karakteristikud 8,5 juhusliku suuruse tihedusefunktsiooni kuju iseloomustavad suurused 18,85 24,55 Rühma Klassi Klassi kuulumise Jaotus- 13,1 2. tsenter Rühma ülem. piir sagedus tõenäosus funktsioon 14,8 xi xüi ni emp pi F(xüi)
· Liita kõik spektrid kokku · Võrrelda saadud spektrit vaadeldud spektriga ja määrata kui palju massi vastab ühele heleduse ühikule 2. Arvutada pöörlemise kogumassi jaotust Tuleks vaadata: · Gaasi liikumist · Tähtede liikumist - Tähtede liikumised omavad ühtse liikumise ehk pöördliikumise komponendi ja juhusliku liikumise ehk persioonse liikumise komponendi. Juhusliku liikumise komponent võib olla väga mitmesugune Natuke lisa muudest asjadest: Taustkiirgus on äärmiselt ühtlane. Prootonid ja neutronid annavad 4,6 % universumi kriitilisest tihedusest. Prootonid tekivad põrgetel.
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6}, {2,4}} 2. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null
Eelarve ületamine Töövõtulepinguga võib kokku leppida töö eelarves. Töö eelarve on töövõtjale kas siduv või mittesiduv. Eelarve on siduv, kui ei ole kokku lepitud, et eelarve on mittesiduv. Kui töövõtja ületab eelarvet, on tellijal õigus öelda leping eelarve ületamise tõttu üles. Sellisel juhul ei pea tellija maksma eelarvet ületavat tasu. Töö/teenuse juhuslik hävimine või kahjustamine Töövõtja vastutab töö juhusliku hävimise ja kahjustumise eest kuni töö valmimiseni. Kokku võib leppida teisiti Kui töö on antud tellijale üle, vastutab tellija töö juhusliku hävimise ja kahjustumise eest. Kui töö hävib või kahjustub pärast asja juhusliku hävimise ja kahjustumise riisiko üleminekut tellijale, peab tellija töövõtjale töö eest tasuma. Töö vastavus lepingutingimustele I Töö peab vastama lepingutingimustele. II TÖÖ EI VASTA LEPINGUTINGIMUSTELE KUI:
Jaotustabel xi pi xi*pi xi^0*pi 90 0,2 18 1620 120 0,6 72 8640 150 0,2 30 4500 Keskväärtus: 120 14760 Juhusliku suur Dispersioon: 360 1,0 jaotusfunktsioon F(x) 0,8 x F(x) 0,6 0 0
võimalikest väärtustest (varem mitte teadaolev).
Def: JS nimetame diskreetseks juhuslikuks suuruseks, kui tema väärtuste hulk on lõplik
või loenduv.
Juhuslikku suurust iseloomustab tema väärtuste hulk ja iga väärtuse tõenäosus.
Jaotustabel on iseloomustav
X 1 3 4 7 9
P(xi) p1 P3 p4 p7 p9
Def: Juhusliku suuruse tõenäosusfunktsioon (jaotusseadus) on eeskiri, mis seob
juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja nende tõenäosused pi=P(X=xi).
Tõenäosusfunktsiooni võib esitada valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna.
Def: Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks nimetame funktsiooni, mis seab väärtusele
x vastavusse tõenäosuse, et X
Maksimaalse ja minimaalse elemendi vahe. 21. Mis on alumine kvartiil ja ülemine kvartiil? Mis on detsiilid? Alumine kvartiil tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonreas 25%. Ülemine kvartiil tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonras 25%. Detsiilide abil jaotatakse variatsioonrida 10-ks osaks. 22. Mis on dispersioon, mis standardhälve? Dispersioon juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Näiteks kui katseseerias on kõigi katsete tulemus sama, siis katsete dispersioon on null. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest. Standardhälve ruutjuur dispersioonist. 23. Kuidas leitakse standardhälve a) Variatsioonreast? b) Sagedustabelist? 24. Mis on variatsioonkordaja? Milleks läheb seda vaja?
Asümmeetria on jaotuskõvera maksimumi kõrvalekaldumine sümmeetriateljest. Kui maksimum on sümmeetriateljest vasakul (mood ja mediaan on väiksemad kui keskväärtus), on tegemist positiivse asümmeetriaga. Kõrvalekalde suurust mõõdab asümmeetria kordaja A. Sümmeetrilise jaotuse korral on asümmmetria kordaja null. Excelis on asümmeetria kordaja leidmiseks funktsioon SKEW. 8 Jaotuse järskust ehk püstakust iseloomustab juhusliku suuruse ekstsess E (kurtosis) Ekstsess on null normaaljotuse korral. Kui püstakus on suurem, on keskkoht on kitsam. Väikese püstakuse korral "sabad" kaovad. Excelis on asümmeetria kordaja leidmiseks funktsioon KURT. Asümmeetriakordaja ja ekstsessi väärtusi on mõtet arvutada vaid suurte valimite korral (N > 50). Uuritavat jaotust kirjeldavate statistiliste parameetrite leidmiseks võib Excelis kasutada ka andmeanalüüsi vahendit Descriptive Statistics (Tools, Data Analysis).
annaabi.ee 
