Rakenduslik süsteemiteooria - konspekt (0)

Süsteem – omavahel seotud elementide hulk, mida vaadeldakse ühtse tervikuna .
Alamsüsteem – süsteemi S kuuluv süsteem(nt süsteem S1).
Ülemsüsteem – süsteem Z kuhu kuulub süsteem S.
Väliskeskkond – süsteemi S väliskeskkonnaks on kõik see, mis ei kuulu süsteemi S.
Avatud süsteem – süsteem, mis on seotud väliskeskkonnaga . Väliskeskkond mõjutab süsteemi ja vastupidi.
Suletud süsteem – süsteem millel ei ole seoseid väliskeskkonnaga.
Süsteemi sisenditeks (sisendelementideks) on need süsteemi elemendid, milliseid vaadeldakse kui algressursse, algmaterjale, lähtesuurusi, algandmeid või -põhjuseid. Sisendid on süsteemi sõltumatud muutujad. Sisendid võivad olla mittejuhitavad või juhitavad.
Süsteemi väljunditeks (väljundelementideks) on need elemendid, milliseid vaadeldakse kui tegevuse tulemusi või tagajärgi. Väljundid on süsteemi sõltuvad muutujad.
Süsteemi operaatoriks ( protsessiks , funktsiooniks) nimetatakse eeskirja, algoritmi , tehnoloogiat, protsessi või funktsiooni, mille põhjal süsteemi sisendite alusel saadakse süsteemi väljundid.
Identifitseerimise ülesanne – ülesanne, kus on vaja leida operaator kui on antud sisendid ja väljundid.
Diagnostika ülesanne – ülesanne, kui on vaja leida sisendid, kui on teada operaator ja väljundid.
Dünaamiline süsteem – ajas muutuv süsteem.
Sündmust nimetatakse determineerituks, kui selle toimumine on kindel ja täpselt ette ennustatav.
Suurust või protsessi nimetakse determineerituks, kui selle väärtused on täpselt teada, või neid on võimalik täpselt ette ennustada.
Sündmusi, mis võivad toimuda, kuid võivad ka mitte toimuda ja mille toimumist ei ole võimalik täpselt ette ennustada, nimetatakse juhuslikeks sündmusteks.
Suurusi ja protsesse, mille väärtusi ei ole võimalik täpselt ette ennustada ja mis samades tingimustes käituvad erinevalt, nimetatakse vastavalt juhuslikeks ehk stohhastilisteks suurusteks ja protsessideks.
Müraks nimetatakse väliskeskkonna juhuslikku mõju, mis avaldab mõju süsteemi väljundile, muutes selle juhuslikuks, kuid mida ei ole võimalik või ei vaadelda kui süsteemi sisendeid . Mürad on kõikides süsteemides. Müra toime avaldub süsteemi väljundis, kuid seejuures müra ei ole süsteemi sisend.
Valgeks müraks nimetatakse juhuslikku protsessi, mille spektraaltihedus on konstantne kõigi sageduste korral nullist lõpmatuseni ja mille autokorrelatsiooni funktsioon on null kui .
Infoks nimetatakse teavet, mida üks süsteem teisele edastab. Info edastatakse signaalide vahendusel materiaalse kandja kaudu. Igasugune info võib olla õige või väär.
Aposterioorne info on info mineviku st juba toimunud sündmuste, suuruste ja protsesside kohta.
Aprioorseks infoks nimetatakse infot tuleviku kohta – sündmuste, suuruste, protsesside ja süsteemide tuleviku kohta.
. (1.11)
Info esitusvormi, näiteks teadet Xt , nimetatakse koodiks. Teadete moodustamist vastava teisenduse teel nimetatakse kodeerimiseks . Teadete asendamist mingile teisele operaatorile vastava teatega nimetatakse samuti kodeerimiseks (ümberkodeerimiseks).
Kui mingi variant toimub tõenäosusega 1, siis H=0. Järelikult suurus H näitab ka sündmuse esialgset määramatust ja seda nimetatakse juhusliku sündmuse entroopiaks. Entroopia H kohta kehtib võrratus
Üldises mõttes nimetatakse juhtimiseks ühe objekti (süsteemi) sihipärast mõjutamist teise objekti (süsteemi) poolt.
Juhitavat süsteemi koos juhtiva süsteemiga nimetatakse juhtimissüsteemiks.
Sageli on juhtimise eesmärgiks, mingi funktsiooni (funktsioonide) või funktsionaali (funktsionaalide) minimeerimine või maksimeerimine. Sellise eesmärgiga juhtimist nimetatakse optimaaljuhtimiseks.
Süsteemi jälgitavus
Süsteemi jälgitavuse all mõistetakse võimalust määrata süsteemi olekut selle väljundite jälgimise järgi.
Süsteem on jälgitav ajavahemikus (t0, t1), kui süsteemi olek hetkel t0 on üheselt määratav väljundite kaudu intervallis (t0, t1).
Süsteemi tundlikkus
Süsteemi käitumisomaduste sõltuvus süsteemi parameetrite muutustest. Tagasiside võimaldab vähendada süsteemi tundlikkust teatud parameetri suhtes.
Süsteemid, mis koosnevad allsüsteemidest ja kus ühed süsteemid on teistele ülemsüsteemideks, nimetatakse hierarhilisteks süsteemideks.
1. tase - staatilised süsteemid. See on struktuurskeemide tase, skeemid , geograafilised kaardid, päikesesüsteem jm.
2. tase - lihtsad dünaamilised süsteemid. Siia kuuluvad täpselt töötavad kellad ja muud mehaanilised masinad.
3. tase - lihtsad küberneetilised süsteemid. Antud taseme süsteemideks on süsteemid, mis sisaldavad info edastamist ja kogumist ning, mis on mingis mõttes isereguleeruvad ja suudavad tagada teatud piirides mingit tasakaalu. Näiteks termostaat , automaatreguleerimissüsteemid jm
4. tase - avatud isetaastuvad süsteemid. See on elutute ja elussüsteemide vaheline nivoo. Seda taset nimetatakse ka raku tasemeks.
5. tase - elava taimestiku tase. Siia kuuluvad kõik taimed.
6. tase - elavate loomade tase. Selle taseme süsteemidel on tunduvalt enam arenenud meeleorganid kui eelmise nivoo süsteemidel.
7. tase - inimese tase. Inimene kui keerukas isekohanev süsteem. Inimesel on kõrge tasemega mälu ning mõtlemis- ja tundesüsteem. Inimene on võimeline ise ennast tunnetada.
8. tase - sotsiaalsed organisatsioonid . Elemendiks on siin mitte inimene ise vaid tema roll ühiskonnas. Siia kuulub ka riik kui süsteem.
Määramatu info (MI)
Informatsiooni nimetatakse määramatuks siis, kui objekti kohta puudub täpne konkreetne info või täpne tõenäosuslik info, vaid on teada ainult intervallid nende kohta.
MDI on ette nähtud nende objektide kirjeldamiseks, mille kohta puudub piisavalt täpne deterministlik info, kuid on teada intervallid, kus konkreetne DI asub. Intervallis määramatu info määrab täpselt kindlaks objekt võimalike väärtuste piirkonna või intervalli, kuid täpne väärtus selle piirkonna sees jääb määramatuks.
Ebamäärane info
Ebamäärane ehk sume info on ette nähtud sellise info kirjeldamiseks kui ka teate määramatuse intervallid ei ole täpselt teada. Sõnades väljendatakse ebamäärast infot ebamääraste väljendite abil: arvatavasti, vist , veidi, palju, pisut jne.
Hulkade kumerus
Klassikalist hulka A nimetatakse kumeraks kui mistahes
ja
ning iga
puhul
kehtib seos .
Ebamäärast hulka
nimetatakse kumeraks kui
(2.2)
iga
ja
puhul.
Deterministlik süsteem (Deterministic system)
Deterministlik süsteem on selline süsteem, mille kõik elemendid on deterministlikud ja nende vahelised seosed on deterministlikud funktsioonid.
Tõenäosuslik süsteem (Probabilistic system)
Tõenäosuslik süsteem on selline stohhastiline süsteem, mille vähemalt üks element või vähemalt üks seos elementide vahel on juhuslik, mida saab piisavalt täpselt kirjeldada tõenäosuslike karakteristikute abil ning mille kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud. Seega tõenäosuslik süsteem võib sisaldada deterministlikke elemente ja seoseid. Tõenäosusliku süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida.
Määramatu süsteem (Uncertain system)
Määramatu süsteem on selline stohhastiline süsteem, mille vähemalt üks element või vähemalt üks seos elementide vahel on teatud intervallis määramatu ning mille kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud või tõenäosuslikult määratud. Määramatu süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult täpselt kirjeldada.
Määramatu deterministlik süsteem (Uncertain deterministic system)
Määramatu deterministlik süsteem on selline stohhastiline süsteem, mis sisaldab määramatuid deterministlikke elemente või seoseid, kuid kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud või tõenäosuslikud. Määramatu deterministliku süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult täpselt kirjeldada.
Määramatu tõenäosuslik süsteem (Uncertain probabilistic system)
Määramatu tõenäosuslik süsteem on selline stohhastiline süsteem, mis sisaldab määramatuid tõenäosuslikke elemente või seoseid, kuid kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud, tõenäosuslikud või määramatud deterministlikud elemendid ja seosed. Määramatu tõenäosusliku süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult täpselt kirjeldada.
Ebamäärane süsteem (Fuzzy system)
Ebamäärane süsteem on selline stohhastiline süsteem, mille vähemalt üks element või vähemalt üks seos elementide vahel on ebamäärane ning mille kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud, tõenäosuslikud või intervallis määramatud. Ebamäärase süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult ning intervallide abil täpselt kirjeldada.
Ebamäärane deterministlik süsteem (Fuzzy deterministic system)
Ebamäärane deterministlik süsteem on selline stohhastiline süsteem, mis sisaldab ebamääraseid deterministlikke elemente või seoseid, kuid kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud, tõenäosuslikud või intervallis määramatud. Ebamäärase deterministliku süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult ja määramatuse tasandil täpselt kirjeldada.
Ebamäärane tõenäosuslik süsteem (Fuzzy probabilistic system)
Ebamäärane tõenäosuslik süsteem on selline stohhastiline süsteem, mis sisaldab ebamääraseid tõenäosuslikke elemente või seoseid, kuid kõik ülejäänud elemendid ja seosed on deterministlikud, tõenäosuslikud, määramatud või ebamäärased deterministlikud elemendid ja seosed. Ebamäärase tõenäosusliku süsteemi käitumist ei ole võimalik täpselt ette prognoosida ega tõenäosuslikult täpselt kirjeldada.
Lähtesüsteemist A lihtsustamise teel saadud süsteemi B nimetatakse süsteemi A homomorfseks ehk lihtsustatud mudeliks. Originaali A ja temaga homomorfse mudeli B vahelised suhted ei ole pööratavad.
Süsteeme nimetatakse isomorfseteks, kui neil on ühesugused sisendid ja väljundid ning nad reageerivad välistoimele ühtmoodi. Kui jälgida ainult isomorfsete süsteemide sisendeid, väljundeid ja reageerimist välistoimele, siis ei ole võimalik isomorfseid süsteeme teineteisest eraldada.
Deterministlik süsteemimudel on süsteem, mille sisendmuutujad, väljundmuutujad ja olekumuutujad on determineeritud suurused või protsessid ja süsteemi funktsioon – determineeritud funktsioon, mis võib ka ajas muutuda.
Staatilised deterministlikud süsteemimudelid on süsteemid, mis ajas ei muutu. Staatilise süsteemimudeli sisendmuutujad, väljundmuutujad ja olekumuutujad on deterministlikud suurused või sündmused, mis ei muutu ajas. Süsteemi funktsioon on ajas muutumatu deterministlik funktsioon.
Dünaamilised deterministlikud süsteemimudelid on ajas muutuvad süsteemid. Nende sisendid, väljundid ja olekumuutujateks on üldjuhul protsessid. Ka süsteemi sisend-väljund funktsioonid ja olekufunktsioonid võivad ajas muutuda.
Protsessi minevikku nimetatakse realisatsiooniks ja tulevikku – prognoosiks.
Informatsiooni protsessi mineviku kohta nimetatakse aposterioorseks ehk retrospektiivseks infoks ja tuleviku kohta ka aprioorseks infoks.
Diskreetse ajaga protsesse nimetatakse ka aegridadeks.
Determineeritud protsessiks nimetatakse sellist protsessi, mille tulevikku on võimalik täpselt ette prognoosida, kui on teada selle protsessi piisavalt pikk realisatsioon. See on protsess, mille tulevik on ette määratud. D-protsessid on: maakera pöörlemine , täpsed kellad jm.
Juhuslikuks ehk stohhastiliseks protsessiks nimetatakse protsessi, mida ei ole võimalik täpselt ette prognoosida. Juhusliku protsessi väärtused on juhuslikud. Juhusliku protsessi näideteks on: õhutemperatuur, energiasüsteemist tarbitav aktiivvõimsus , soojuse tarbimine jpm.
Determineeritud protsessi x(t) nimetatakse perioodiliseks protsessiks, kui mingi ajaperioodi T järel selle protsessi väärtused korduvad:
, n=1, 2, 3, …
Ajaperioodi T nimetatakse protsessi perioodiks ja tsüklite arvu ajaühikus – sageduseks . Sageduse f ja perioodi T puhul kehtib järgmine seos:
Perioodilisi protsesse, mis ei ole harmoonilised protsessid, nimetatakse polüharmoonilisteks protsessideks.
Peaaegu perioodiliseks protsessiks nimetatakse protsessi, mis ei ole perioodiline, kuid millist saab kirjeldada kui perioodilist protsessi järgmisel kujul:
(3.17)
kus mitte kõik sageduste suhted
ei ole ratsionaalarvud .
Siirde- ehk üleminekuprotsesside hulka kuuluvad kõik mitteperioodilised protsessid, mis ei ole peaaegu perioodilised.
Deterministlikud on need sündmused, mille kohta on ette teada, et antud sündmus toimub või on võimalik katsete retrospektiivse info alusel kindlaks määrata, et antud sündmus toimub.
Juhuslikud on need sündmused, mis katse tulemusena võivad toimuda või mitte toimuda. Juhusliku sündmuse toimumist iseloomustatakse sündmuse toimumise tõenäosusega P(A). Ühe katse puhul on sündmuse tõenäoses selle sündmuse toimumise võimalikkuse mõõduks. Suure arvu katsete puhul näitab tõenäosus sündmuse toimumise ja katsete arvu suhte piirväärtust. Tõenäosuse alusel on võimalik hinnata mitu korda antud sündmus suure katsete arvu puhul toimub.
Sündmuste summa
on sündmus, mis toimub siis, kui toimub sündmus A või sündmus B.
Sündmuste korrutis
on sündmus, mis toimub siis kui toimuvad sündmused A ja B.
Sündmuste vahe \B on sündmus, mis toimub siis kui toimub sündmus A ja ei toimu sündmus B.
Vastand sündmus
on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu.
Sündmuse tinglik tõenäosus
on sündmuse A toimumise tõenäosus, kui on toimunud sündmus B.
Täistõenäosuse valem:
Bayesi valem:
Bernoulli valem:
Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduse lihtsaimaks esitamisvormiks on tabel, kus on esitatud juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja neile vastavad tõenäosused (vt. Tabel. 4.1). Seda nimetatakse jaotusreaks või jaotustabeliks.
Jaotusrida esitatakse sageli graafikuna. Saadud kujundit nimetatakse jaotuspolügooniks
Jaotusfunktsioon
Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis näitab, millise tõenäosusega juhuslik suurus võtab väiksema väärtuse kui x:
, (4.12)
kus X on juhusliku suuruse sümbol ja x on juhusliku suuruse konkreetne võimalik väärtus.
Jaotustihedus
Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev. Jaotusfunktsioon annab ammendava info juhusliku suuruse kohta, kuid ta ei näita otseselt juhusliku suuruse jaotumise tihedust ühes või teises piirkonnas.
Seepärast kasutatakse pidevate juhuslike suuruste puhul ka jaotusfunktsiooni tuletisfunktsiooni, mida nimetatakse jaotustiheduseks:
Jaotustihedus näitab jaotuse tihedust punkti x ümbruses. Jaotustiheduse graafikut nimetatakse jaotuskõveraks. Jaotuskõvera näide on esitatud joonisel 4.4.
Juhusliku suuruse arvkarakteristikud
Jaotusseadus iseloomustab juhuslikku suurust täielikult. Teades jaotusseadust võib määrata kõik ülejäänud juhusliku suuruse karakteristikud . Kuid paljude praktiliste ülesannete lahendamiseks ei ole vaja nii täiuslikku informatsiooni. Juhusliku suuruse osaliseks kirjeldamiseks on kasutusele võetud mitmeid jaotusseadust iseloomustavaid arvkarakteristikuid
Keskväärtus (matemaatiline ootus)
Juhusliku suuruse keskväärtus ehk matemaatiline ootus on juhusliku suuruse tähtsaim arvkarakteristik, mis näitab juhusliku suuruse kaalutud keskmist, mida sageli ka ette prognoositakse.
Dispersioon ja standardhälve
Juhusliku suuruse iseloomustamiseks ei piisa ainult keskväärtusest. Tähtsuselt järgmisteks karakteristikuteks on dispersioon ja standardhälve. Need iseloomustavad juhusliku suuruse hajuvust keskväärtuse ümber.
Dispersiooniks nimetatakse juhusliku suuruse hälvete ruutude keskmist keskväärtusest:
Normaaljaotus
Igal juhuslikul suurusel on spetsiaalne jaotusseadus. Eristatakse paljusid jaotusseaduse tüüpe. Üks kõige enam levinud jaotusseaduseks on normaaljaotus:
Normaaljaotus on määratud kahe arvkarakteristikuga – keskväärtusega ja standardhälve ehk dispersiooniga. Normaaljaotus on piirjaotusseadus. Seepärast on ta väga laialt levinud.