Funktsiooni ekstreemumkohad. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Õpikust lk 61 Tunni eesmärgid Tänase tunni lõpuks Sa... ... tead mõistete "ekstreemumkoht", "kasvamisvahemik" ja "kahanemisvahemik" sisu ning graafilist tähendust. ... oskad kasutada matemaatilisi sümboleid ekstreemumkohtade ning kasvamis ja kahanemisvahemike välja kirjutamiseks graafiku põhjal. ... oskad määrata ekstreemumi liiki. Funktsiooni kasvamine Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kasvavaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad. Kui x1 < x2, siis ka f(x1) < f(x2) Funktsiooni kahanemine Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kahanevaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste
Kordamisküsimused 1. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid (tarvilikud ja piisavad tingimused ekstreemumite leidmiseks) o Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused: Olgu funktsioonil f punktis A(a1;...; an) lokaalne ekstreemum ning eksisteerigu gradient (f )(A). Siis A on funktsiooni f statsionaarne punkt st (f )(A) = 0. o piisavad tingimused: Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused antakse tavaliselt teist järku tuletiste abil. Selliseid tingimusi nimetatakse ka teist järku tingimusteks (ingl. second order conditions), eristamaks neid esimest järku tarvilikest tingimustest. Globaalsed ekstreemumid o u u x, y, z,... x, y, z,... D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal Olgu antud funktsioon
( a,1 )( y - b) 3 3! + f yyy 10. Mitme muutuja funktsiooni kui f ( x0 ; y 0 ) < f ( x, y ) kõigi punktile maksimumi ja miinimumi mõisted. ( x0 ; y0 ) küllalt lähedaste ja temast Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). erinevate punktide f ( x, y ) puhul. Ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui Öeldakse, et funktsioonil funktsioonil z = f ( x, y ) on punktis M 0 ( x0 ; y 0 ) (s.o. z = f ( x, y ) on x = x0 , y = y 0 puhul x = x0 ja y = y 0 korral) maksimum, ekstreemum, siis argumentide nende
arvutmiseks. Analüüs 1 Teooriatöö lühiküsimused. 1. Defineerida millal on punktis x = x0 funktsioonil f(x) miinimum (või maksimum) Maksimum on kui Piltlikult öeldes on maksimum graafiku tipp ja miinimum graafiku org. Ekstreemumpunkt näitab millal graafik muutub kasvavast kahanevaks ja vastupidi 2. Sõnastada f(x) ekstreemumi olemasolu jaoks tarvilik tingimus.Mis on kriitilised punktid.? Funktsiooni argumendi väärtusi mille korral kas tuletis võrdub nulliga voi lõplik tuletis puudub nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks(täpsemini:esimest jarku kriitilisteks punktideks). Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum siis x1 on selle funktsiooni kriitiline punkt. Vastupidine vaide kehti
Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon
Matemaatiline analüüs I (Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni
19. Nabla. Divergents, solenoidaalne väli. Rootor, keerisevaba väli. Potentsiaalse välja ja potentsiaali mõisted. Tuletada tingimused vektorvälja komponentide jaoks, mida nad peavad rahuldama selleks, et väli oleks potentsiaalne. Näidata, et potentsiaalne väli on keerisevaba. 20. Tuletada kahemuutuja funktsiooni teise astme Taylori polünoom. 21. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kahemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused. 22. Kahemuutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange'i funktsioon. Kahemuutuja funktsiooni tinglike ekstreemumite seos Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktidega. 23. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 24. Kahekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 25
f (a) f (x) f (x) f (x) f (a) 0 x a x x 0 x a x x Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Punkti (a; f (a)) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks (maksimum- või miinimumpunktiks). 9 Ekstreemumi tarvilikud ja piisavad tingimused Ekstreemumi tarvilik tingimus: Lokaalne ekstreemum võib funktsioonil olla vaid tema kriitilises punktis. Ekstreemumi piisavad tingimused: Olgu funktsioon y = f (x) pidev kriitilises punktis a. 1) kui f (x) > 0 (s.t. f kasvab) punkti a vasakpoolses ümbruses ja f (x) < 0 (s.t. f kahaneb) punkti a parempoolses ümbruses, siis funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum. 2) kui f (x) < 0 (s.t. f kahaneb) punkti a vasakpoolses ümbruses ja
lõigul [ a, b] mittenegatiivne tuletis, s.t. f ( x ) 0 . 2) Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev ja vahemikus ( a, b ) diferentseeruv, kusjuures a< x 0 , siis see funktsioon lõigul [ a, b] kasvab. 1) Kui funktsioon f ( x ) lõigul [ a, b] kahaneb, siis sellel lõigul f ( x ) 0 . 2) Kui f ( x ) < 0 vahemikus ( a, b ) , siis f ( x ) kahaneb lõigul [ a, b] . 8. Funktsiooni maksimumi ja miinimumi definitsioonid. Funktsiooni ekstreemumi mõiste. Ekstreemumi olemasolu tarvilik tingimus tõestuseta. Kriitilise punkti mõiste. Ekstreemumi olemasolu piisavad tingimused koos joonisega (tõestuseta). Skeem diferentseeruva funktsiooni maksimumi ja miinimumi leidmiseks esimese tuletise abil. Funktsiooni maksimumi definitsioon. Funktsioonil f ( x ) on punktis x1 maksimum, kui funktsiooni f ( x ) väärtus punktis x1 on suurem tema väärtustest mingi seda punkti sisaldava vahemiku kõigis ülejäänud punktides
(x'(t0); y'(t0); z'(t0)) kui skalaarkorrutis (n, (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) = n1x'(t0) + n2y'(t0) + n3z'(t0) = 0: Seega puutujatasandi normaalvektoriks sobib n = (Fx (P); Fy (P); Fz (P)) 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääklikme Lagrange kuju. Kahe muutuja funktsioonia z=f(x,y) jaoks, kusjuures 13. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. DEF: Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses U(A). Kui iga punkti P U (A) (P A) korral f (P) f (A), siis on funktsioonil f punktis A lokaalne maksimum. DEF: Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses U(A). Kui iga punkti P U (A) (P A) korral f (P) f (A), siis on funktsioonil f punktis A lokaalne miinimum. DEF: Kui eelnevates definitsioonides kasutada rangeid võrratusi f (P) < f (A) ja f (P) >
Valime kaks suvalist punkti ja vahemikust (a, b) nii, et kui õnnestub näidata, et siis on f kasvav vahemikus (a, b) Larange teoreemi põhjal leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral Selle võrduse paremal poolel olev tuletis kuna eeldasime positiivsust vahemikus (a,b). On ka vahe järelikult on ka millest järeldub soovitud võrratus . Teine väide tõestatakse analoogiliselt. 7. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Tarvilik tingimus kui funktsioon f omab punktis x1 lokaalset ekstreemumit siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Funktsiooni kriitiline punkt Funktsiooni argumendi väärtused, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (I). Olgu funktsiooni f kriitiline punkt. 1. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub plussist
siis selles punktis zxy = zyx. 15. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus. +graafik 16. m-muutuja täisdiferentsiaal, m-muutuja funktsiooni diferentseeruvus, kõrgemat järku täisdiferentsiaal. +vihik +tõestus 19. Kahe muutuja ilmutamata funktsiooni osatuletised. 22. Defineerida lokaalne miinimum, lokaalne maksimum, statsionaarne punkt 24. Tõestada kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused 25. Mitme muutuja funktsiooni globaalne ekstreemum.
Df f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) + ( x 0 , y 0 ) + D f ( x0 , y 0 ) + R2 ( x, y ) 1! 2! 3 D f kus R2 ( x, y ) = ( x , y ) (13.11) 3! x ( x0 , x) y ( y0 , y ) Valemit (13.11) saab kirjutada ka kolme või enama muutuja korral. 14. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilikud tingimused. Def. 14.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) on punktis P ( x1 , y1 ) miinimum kui leidub selline punkti ümbrus ( x, y ) U ( P ) U ( P ) , et f ( x, y ) > f ( x1 , y1 ) , ( x, y ) ( x1 , y1 ) (14.1) Punktis Q( x 2 , y 2 ) on funktsiooni maksimum kui leidub selline punkti ümbrus U ( Q ) , et ( x, y ) U ( Q) f ( x, y ) < f ( x 2 , y 2 ) ,
Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine: 25. FUNKTSIOONI KASVAMISE JA KAHANEMISE SEOS TULETISE MÄRGIGA (SÕNASTADA VASTAV TEOREEM, TÕESTUST EI KUSI) Teoreem : Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b). 26. FUNKTSIOONI KRIITILISE PUNKTI DEFINITSIOON. LOKAALSE EKSTREEMUMI TARVILIK TINGIMUS. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE PIISAVAD TINGIMUSED Funktsiooni kriitilisteks punktideks (ehk esimest järku kriitilisteks punktideks) nimetatakse funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti
x3
+ 1 3 * (a,b)(x-a)2(y-b) + 1 3 * (a,b)(x-a)(y-b)2 + 1 3 * (a,b)(y-b)3
2! x2y 2! xy2 3! y3
Antud valem suvalise n korral oleks:
n k
Pn(x,y) = 1 k k * (a,b)(x-a) k-i(y-b)i
k=0 i=0
k! i xk-iyi
25) Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ja statsionaarsed punktid. Lokaalse
ekstreemumi tarvilik tingimus.
· Lokaalseteks ekstreemumiteks nim selle punkti lokaalseid miinimum ja masksimumkohti.
Öeldakse et funktsioonil on punktis P1 lokaalne maksimum, kui:
1) funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,e)
2) iga PU(P1,e), P P1 korral kehtib võrdus (P)
x3
+ 1 3 * (a,b)(x-a)2(y-b) + 1 3 * (a,b)(x-a)(y-b)2 + 1 3 * (a,b)(y-b)3
2! x2y 2! xy2 3! y3
Antud valem suvalise n korral oleks:
n k
Pn(x,y) = 1 k k * (a,b)(x-a) k-i(y-b)i
k=0 i=0
k! i xk-iyi
25) Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ja statsionaarsed punktid. Lokaalse
ekstreemumi tarvilik tingimus.
· Lokaalseteks ekstreemumiteks nim selle punkti lokaalseid miinimum ja masksimumkohti.
Öeldakse et funktsioonil on punktis P1 lokaalne maksimum, kui:
1) funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,e)
2) iga PU(P1,e), P P1 korral kehtib võrdus (P)
Õpilane: Lõiming läbiva Tuletise rakendused Joone puutuja 1) koostab funktsiooni graafiku teemaga võrrand. puutuja võrrandi; keskkond ja Funktsiooni 2) selgitab funktsiooni kasvamise ühiskonna kasvamis- ja ja kahanemise seost funktsiooni jätkusuutlik kahanemisvahemi tuletise märgiga, funktsiooni areng k; funktsiooni ekstreemumi mõistet ning (ressursside ekstreemum; ekstreemumi leidmise eeskirja; säästev ekstreemumi 3) leiab funktsiooni kasvamis- ja kasutamine: olemasolu tarvilik kahanemisvahemikud, optimaalsete ja piisav tingimus. ekstreemumid; funktsiooni lahenduste Funktsiooni suurim graafiku kumerus- ja otsimine ja vähim väärtus nõgususvahemikud ning ekstreemumül lõigul
Lahendades viimase võrratuse, saame - < x < 1 ja 3 < x < + , mis annabki kasvamispiirkonna. Lahendades võrratuse y < 0 , saame 1 < x < 3 . 1 y = x 3 - 2 x 2 + 3x - 2 Seega funktsioon 3 kasvab vahemikes - < x < 1 ja 3 < x < + ning kahaneb vahemikus 1 < x < 3 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb
Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja väärtuse sellel lõigul vastavalt lõigul pidevate funktsioonide omadusele 1. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui , siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi korral kehtib. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st ja teoreemi väide on täidetud iga korral. Kui võib funktsioon oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed.
Tuletis gradiendiga ristuvas suunas võrdub nulliga. Järeldus 1 on ilmne, sest antud juhul =/2. Järeldus 2. Tuletis on suurim gradiendi suunas ja arvuliselt võrdne gradiendi pikkusega. Põhjenduseks piisab märkida, et koosinusfunktsioon saavutab oma maksimaalse väärtuse 1, kui =0. Järeldus 3. Funktsiooni tuletis nivoojoone puutuja suunas võrdub nulliga. 15. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemum, kriitilised punktid, statsionaarsed punktid (definitsioonid). Lokaalse ekstreemumi olemasoluks tarvilik tingimus. Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi olemasoluks. Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis M0(x0,y0) maksimum, kui f(x0,y0)>f(x,y) kõigi punktile (x0;y0) küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x;y) puhul. Funktsiooni maksimum ja miinimumi nim. tema ekstreemumiks, st. öeldakse, et funktsioonil on antud punktis ekstreemum, kui tal on selles punktis maksimum või miinimum.
mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21. Esimest järku osatuletiste mõisted, nende geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22. Liitfunktsiooni osatuletised. 23. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali mõiste, valem 24. Ligikaudsed arvutused täisdiferentsiaali abil. Kõrgemat järku osatuletised. 25. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsete ja globaalsete ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi leidumise tarvilikud ja piisavad tingimused. 26. Tinglikud kriitilised punktid. Lagrange’i kordajate meetod tinglike ekstreemumite leidmiseks 27. Gradient, tuletis antud antud suunas. 28. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline tõlgendus - kõversilindri ruumala, tasandilise kujundi pindala. Kahekordse integraali omadused, arvutamine. 29. Muutuja vahetus kahekordses integraalis, üleminek polaarkoordinaatidele 30
30. Teoreem määratud integraali olemasolust üks selline punkt , mille korral kehtib valem 17. Taylori valemi jääkliige Lagrange'i ja Cauchy (tõestusega). kujul. Teoreem 1 Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigul 19 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus [a,b], siis eksisteerib määratud integraal (tõestusega). Kriitilised punktid. m=inf f(x) x [a,b] ; M=sup f(x) x [a,b] 20. Ekstreemumi piisavad tingimused (tõestusega).
X Xe X X 2. Leia antud graafikul kujutatud funktsiooni määramis-, muutumis-, kasvamis-, kahanemispiirkond, nullkohad, ekstreemumkohad, ekstreemumi liik, negatiivsus- ja positiivsuspiirkond. X Y X0 X X Xe X
X Xe X X 2. Leia antud graafikul kujutatud funktsiooni määramis-, muutumis-, kasvamis-, kahanemispiirkond, nullkohad, ekstreemumkohad, ekstreemumi liik, negatiivsus- ja positiivsuspiirkond. X Y X0 X X Xe X X 3
kasumit? Tulufunktsioon on hinna ja koguse korrutis R = px = 50 x Kasumifunktsioon on = 50 x - 0,01x 2 - 22 x - 50 = 28 x - 0,01x 2 - 50 Statsionaarne punkt (kus tuletis võrdub nulliga) on = 28 - 0,02 x 28 - 0,02 x * = 0 x * = 1400 Ekstreemumi piisav tingimus (teist järku tuletise märgi järgi) = -0,02 ( x * ) = -0,02 < 0 Funktsioonil on statsionaarses punktis x * = 1400 lokaalne maksimum. max = ( x * ) = 28 1400 - 0,01 1400 2 - 50 = 19550 2. (10) Leidke tulufunktsiooni z = x 2 + y 2 + 2 xy - x 4 - y 4 kõik esimest ja teist järku osatuletised ( x ja y on müüdud kogused). Leidke funktsiooni kõik
0. Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f(x) 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M m tuleneb, et f(x) v.a.artused lõigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et
1! 2! ! 22) Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Olgu funktsioon diferentseeruv vahemikus , . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui > 0 iga , korral, siis on kasvav vahemikus , . 2. Kui < 0 iga , korral, siis on kahanev vahemikus , . 23) Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi). Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus: Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum, siis on selle funktsiooni kriitiline punkt. Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused:
f (a, b)(x - a)(y - b)2 + 3 f (a, b)(y - b)3 . xy y n k 1 k k Pn (x, y) = f (a, b)(x - a)k-i (y - b)i . (6.61) k! i=0 i xk-i y i k=0 25) Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ja statsionaarsed punktid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. ¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) < f (P1 ). ¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) > f (P1 ).
5-2 3 3 Ülesanne 4.4. Oletame , et üliõpilane õpib t tunni jooksul selgeks n punkti, kusjuures n = 40 t , 0 t 10. Leida 4 a) keskmine omandamise kiirus vahemikus 4-st 9 nda tunnini (vt.Ül.4.3.); b) omandamise kiirus 4 . tunnil. 4.2. Lokaalsed ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi piisav ja tarvilik tingimused Funktsioonil y = f (x) on lokaalne maksimum kohal a , kui leidub punkti a ümbrus U(a), nii et iga punkti x U(a) korral f(x) < f(a) . Funktsioonil y = f (x) on lokaalne miinimum kohal a , kui leidub punkti a ümbrus U(a), nii et iga punkti x U(a) korral f(x) > f(a) . y Lokaalne maksimum Lokaalne
Teiste sõnadega: vektor grad f(A) ristub punkti A läbiva nivoopinna
f(x,y,z)=C puutujatasandiga punktis A
12. Pinna puutujatasand ja normaalsirge
Pinna puutujatasand ja tema võrrand
Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y)
puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b))
Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja
ristub puutujatasandiga selles punktis
13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik
tingimus
Punkti (x0,y0) nim funktsiooni z=f(x,y) maksimumpunktiks, kui punkti (x0,y0) küllalt
läheduses on f(x0,y0)>f(x,y), ja miinimumpunktiks, kui f(x0,y0)
-g(a))f(x). Lagrange'i keskväärtusteoreemi põhjal leidub punkt c (a, b), kus 0 = (f(b)-f(a))(g(b)-g(a)- (g(b)-g(a))(f(b)-f(a)) = h(b)-h(a) 13. Näidata, et kui funktsiooni tuletis on positiivne (negatiivne), siis funktsioon kasvab (kahaneb). 17. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Kõrgemat järku tingimused (f''(a) või fn+1 (a) märk). 14. Taylori valemi tuletamine (n=2 või üldjuhul). 18. Näidata, et f''märk määrab kas meil on tegemist antud punktis kumera või nõgusa
Edasi, Q* = q 1* + q 2* , P* = a - b Q* , kuhu on tehtud vastavad asendused. Kogus q 1* =a / (3 b ) on konstant c suhtes, seega "kulumarginaali c muutmine ei muuda esimese firma optimaalset tootmiskogust q 1* ". 5. Monopolisti toodang mõjutab turuhinda P nõudlusfunktsiooniga P = 3 Q 1/2 . Monopolisti kasum on = TR - TC = P Q w L r K = [pärast asendusi ]=3 ( L K )1 / 3 w L r K . Kasumi maksimeerimine on mat- se analüüsi II keeles lokaalse ekstreemumi leidmine. Osatuletiste nulliga võrdsustamisel saate võrrandisüsteemi K 1 / 3/ L 2 / 3 = w , L 1 / 3/ K 2 / 3 = r . Saadud süsteem on peaaegu alati teatud mõttes sümmeetriline, mis võimaldab kasutada erivõtteid, näiteks võrrandite jagamist/korrutamist. Antud süsteemi on lihtne lahendada vahetu asendusmeetodiga (jagamisel/korrutamisel tuleb lõpuks ka asendada !). I-st saame K 1 / 3 = w L 2 / 3 ning asendades II-
Edasi, Q* = q 1* + q 2* , P* = a - b Q* , kuhu on tehtud vastavad asendused. Kogus q 2* =a / (3 b ) on konstant c suhtes, seega "kulumarginaali c muutmine ei muuda teise firma optimaalset tootmiskogust q 1* ". 5. Monopolisti toodang mõjutab turuhinda P nõudlusfunktsiooniga P = 4 Q 1/ 4 . Monopolisti kasum on = TR - TC = P Q w L r K = [pärast asendusi ]=4 L 1 / 4 K 1 / 2 w L r K . Kasumi maksimeerimine on mat- se analüüsi II keeles lokaalse ekstreemumi leidmine. Osatuletiste nulliga võrdsustamisel saate võrrandisüsteemi K 1 / 2/ L 3 / 4 = w , 2 L 1 / 4/ K 1 / 2 = r . Saadud süsteem on peaaegu alati teatud mõttes sümmeetriline, mis võimaldab kasutada erivõtteid, näiteks võrrandite jagamist/korrutamist. Antud süsteemi on lihtne lahendada vahetu asendusmeetodiga (jagamisel/korrutamisel tuleb lõpuks ka asendada !). I-st saame K 1 / 2 = w L 3 / 4 ning asendades II-
9. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Seos tuletisega. TEOREEM- Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f′(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b). 10. Lokaalsed ekstreemumid. Statsionaarsed ja kriitilsed punktid. Tarvilikud ja piisavad tingimused. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f′′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a, b). 2
2! ( y b) 2 + f yy (a, b) + 2! Ühe muutuja funktsiooni ekstreemum X Y Lõikepunkt x-teljega y = 0 y + y = 0 y = 0 + y = 0 + y y=0 + + + järeldus Max KP Min Ekstreemumi ei ole a) tarvilik tingimus y = 0 b) b) piisav tingimus Max üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märgi + -lt -le Min üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märgi -lt + -le Ekstreemumi ei ole üleminekul üle kriitilise punkti y ei muuda märki Käänupunkt a) tarvilik tingimus y = 0 b) piisav tingimus üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märki
2! ( y b) 2 + f yy (a, b) + 2! Ühe muutuja funktsiooni ekstreemum X Y Lõikepunkt x-teljega y = 0 y + y = 0 y = 0 + y = 0 + y y=0 + + + järeldus Max KP Min Ekstreemumi ei ole a) tarvilik tingimus y = 0 b) b) piisav tingimus Max üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märgi + -lt -le Min üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märgi -lt + -le Ekstreemumi ei ole üleminekul üle kriitilise punkti y ei muuda märki Käänupunkt a) tarvilik tingimus y = 0 b) piisav tingimus üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märki
f(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f(x) 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0
m m m realiseerub 172% kasv. 16. Optimumväärtused ja extreemväärtused, relatiivne miinimum ja maksimum, esimese tuletise test, teise tuletise test, n-ndat järku tuletise test. a) Optimeerimine on maksimeerimine või minimeerime (n kasumi max, kulu min-mine). Ekstreemum on maksimum või miinimum. Optimeerimisül püstitamisel tuleb määrata sihifunk (üldkujul y=f(x)) ning leida valikmuutujate väärtuste komplekt, mis tagab sihifunk-i ekstreemumi. b) Relatiivne miinimum ja maksimum: (e suhteline) y=f(x) korral f'(x)-e tähtis roll ekstreemumite leidmisel. Kui relatiivne ekstreemum esineb kohal x=x0, siis f'(x0)=0. c) Esimene tuletise test: Kui f'(x0), siis funk-i väärtus f(x0) on: 1. relat max, kui f'(x)-e märk on vasakul + ja paremal- (x 0 suhtes). 2. relat min, kui f'(x)-e märk on vasakul- ja paremal +. 3. ei kumbki, kui f'(x)-e märk säilub (punkti x0 ümbruses). d) Teise tuletise test: Kui f'(x0)=0, siis f(x0) on: 1
teoreem, tõestust ei küsi). Kui f´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kasvav vahemikus (a;b). Kui aga f´ (x) on väiksem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kahanev vahemikus (a;b). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. 1. olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale tuletise märk muutub plussilt miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides x1 vasakult paremale tuletise märk muutub miinuselt
25. Rolle'i teoreem Kui funktsioon on: · Lõigul [a,b] pidev · Diferentseeruv vahemikus (a,b) · Rahuldab tingimust Siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt kus Tõestus Kuna on pidev lõigul [a,b] siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse just sellel lõigul. Olgu M suurim ja m vähim väärtus. Kui M=m siis on funktsioon lõigul konstantne, mis tähendab, et tema tuletis Kui siis võib funktsioon oma ekstreemumi saavutada lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Kui ekstreemumid saavutatakse otspunktides siis on x-i väärtus ühes otspunktis M ja teises m, mis läheb vastuollu tingimusega . Funktsioon peab saavutama vähemalt ühe oma ekstreemumitest vahemikus (a,b). Vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum omab funktsioon lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on funktsioon diferentseeruv selles punktis, mistõttu fermat'lemma põhjal saamegi
1. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on täidetud tingimus f(x,y)>=g(x,y). Kahekordse integraali 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe omaduse tõttu ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Mõlemad kahekordsed 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑
Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja väärtuse sellel lõigul vastavalt lõigul pidevate funktsioonide omadusele 1. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M=m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x[a,b] korral kehtib f(x)=M=m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x)=0 ja teoreemi väide on täidetud iga c(a,b) korral. Kui Mm võib funktsioon oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed. Järelikult polnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige.
siis funktsioon f on punktis rangelt kasvav. Seega lokaalsed ekstreemumid saavad tekkida punktides, kus f ' = 0 (Fermat' teoreem) või f ' ei eksisteeri. Definitsioon (statsionaarne punkt) Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks, kui f '(a) = 0: Definitsioon (kriitiline punkt) Punkti a nimetatakse funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks, kui a onstatsionaarne punkt või punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist. 15. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Esimest järku tingimused (f ' märgi muutus). Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Eesmärgiks on tuletada piisavaid tingimusi lokaalsete ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange' keskväärtusteoreemi ja Taylori valemit. Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused) Kui leidub selline > 0, nii et funktsioon f on pidev lõigul [a - ; a + ] ja diferentseeruv vahemikes (a - ; a) ja (a; a + ), kusjuures f '(x) 0; x (a - ; a)
1. Kahe muutuja funktsioon ja selle osatuletise rakendused: ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal, näiteid Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem
argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x 1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 Järgnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades võrratuse positiivse arvuga x - x1 saame selle funktsiooni kriitiline punkt. Funktsioonil (lk.88 joonis) on punktides koordinaatidega (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) ja (d,
punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f''(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f''(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum * Kui f'ni f(x) korral f'(a)=...=f(m)(a)=0 ja f(m+1)(a)0 ning f(m+1)(x) on pidev punkis a siis 1. Juhul kui m on paaritu, siis on f'il f punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f(m+1)(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f(m+1)(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum.2. Juhul kui m on paarisarv, siis ei ole f'il f punktis a lok ekstreemumi. * Eeldame, et f f(x) on pidev lõigul [a-,a+] ning diferentseeruv vahemikel (a-,a) ja (a,a-) suvalise >0 korral. 1. Kui f'(x)>0 vahemikul (a-,a) ja f'(x)<0 vahemikul (a,a+), siis on f'il f punktis a lok maksimum 2. Kui f'(x)<0 vahemikul (a-,a) ja f'(x)>0 vahemikul (a,a+), siis on f'il f punkis a lok mii nimum. * Öeldakse, et f'ni f(x) graafik on kumer punktis a, kui leidub punkit a selline -ümbrus, et f'ni f(x)
17.Milliseid punkte nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks, kriitilisteks punktideks, maksimum ja miinimumpunktideks. Joonis: Lokaalsed maksimumid ja miinimumid. Kolm statsionaarset punkti (a) lokaalne miinimum (b)lokaalne maksimum (c) lokaalne ekstreemum puudub Punkti a nim. funktsiooni y=f(x) statsionaarseks punktiks kui f`(a)=0 Punkte kus ei eksisteeri funktsiooni nim. selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. 18.Nimetage funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilik ja piisav tingimus. Funktsiooni ekstreemumid on vaadeldava funktsiooni suurimad (vähimad) väärtused naaberväärtustega võrreldes.Funktsiooni y=f(x) on punktis a(lokaalne) maksium, kui selle punkti ümbruses kehtib f(x) f(a) ja miinimum kui kehtib f(x) f(a). Punkti a nim. sel juhul funktsiooni y=f(x) ekstreemumkohaks väärtust f(a) aga funktsiooni ekstreemumiks
=1 = = =1 saame 15. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Esimest järku tingimused (f ’ märgi = = =1 muutus). Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused
funktsioonil z = f(x; y) on lokaalne maksimum punktis M(xo; yo), kui f(xo; yo) > f(x; y) kõigile punktile M lähedaste, kuid siiski erinevate punktide P(x; y) korral. funktsiooni z = f(x; y) kriitilisteks punktideks nimetatakse määramispiirkonna punkte, mis on funktsiooni statsionaarsed punktid (kõik esimest järku osatuletised on nullid) või kus esimest järku osatuletised pole määratud. iga kriitiline punkt pole ekstreemum. ekstreemumi tingimused: ekstreemumite leidmine: 1) leida esimest järku osatuletised f'x ja f'y 2) lahendada nende võrranditest koosnev süsteem, vastuseks on statsionaarne punkt M(x; y) 3) leida kõik teist järku osatuletised f''xx f''yy f''xy 4) kontrollida, kas statsionaarne punkt on ekstreemum: lahendada f''xxf''yy (f''xy)2 5) leida ekstreemumkoht f (M) 33. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused.
eeldasime, et f'(x) positiivsest vahemikust (a,b). Nullist suure on ka vahe x2-x1, kuna valisime punktid x1 ja x2 selliselt, et x1 < x2. b.vi. Seega valemi parem pool on nullist suurem: saame f(x 2)-f(x1) > 0. Sellest järeldubki soovitud võrratus f(x1) < f(x2) b.vii. Väide 2 tõestatakse analoogiliselt 8. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Tarviliku tingimuse põhjendus. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Piisavate tingimuste põhjendused. a. Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitiliseks punktiks(esimest järku kriitiliseks punktiks) b. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus: Kui funktsioonil f on punktis x1
annaabi.ee 
