argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui viimane suvaliselt läheneb nullile. Seega definitsiooni põhjal saame: f'(x)= . Tuletist tähistatakse f'(x). Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. Funktsiooni f(x) ühepoolsed tuletised aga märgime vastavalt f'(a+) ja f'(a-), ehk f'(a+)= ning f'(a-)= . 27*(Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis) Funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel kehtib järgmine seos: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse seost võimalik tõestada ka Lagrange teoreemil baseerudes: f(x)= ln(1+x) |x=0 =ln 1 =e0 ; f'(x)= (1+x)-1| x=0 =1 ; f''(x)= (-1)(1+x)-2| x=0 =(-1)*1=-1 ; f'''(x)=(-1)(-2)(1+x)-3 | x=0 =(-1)*(-2)*1=2
diferentseerimiseks. Kui funktsioonil y = f (x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. Teoreem. Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal. 10 Näide Seega on pidevus funktsiooni diferentseeruvuse tarvilik tingimus. See tingimus ei ole aga piisav, sest leidub funktsioone, mis on küll pidevad, aga mõnedel x väärtustel neil tuletist pole. Näide: Vaatleme funktsiooni y = 3 x, mille graafik on määratud ja pidev muutuja x kõigi
Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad loigul [a, b] ja diferentseeruvad liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures Tõestus: Tähistame u=f(x). Siis y=g(u). Kui vahemikus (a, b), kusjuures g'(x) =/= 0, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, et u0, siis g pidevuse tõttu y=0 ning seega Kuna u0, siis g diferentseeruvuse tõttu on tõkestatud. Seega valem kehtib. Muudel juhtudel y'= (diferentseeruvusest järeldub pidevus)== g'(f(x))f'(x). Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b], st leidub L>0 nii, et iga x1 ja x1 korral lõigust [a,b] kehtib (M.O.T.T.) 7. L'Hospitali reegel. 5
Teooria 2. kollokvium 1.Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. Kui funktsioonil 𝑓′ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni 𝑓 teist järku tuletiseks kohal a. 𝑓′ (𝑥)−𝑓′ (𝑎) 𝑓 ′′ (𝑎) ≔ [𝑓 ′ (𝑎)]′𝑥=𝑎 = lim𝑥→𝑎 𝑥−𝑎
*Funktsiooni f(x) nim. Lipschitzi mõttes pidevaks funktsiooniks hulga X c R, kui y y / x y / x lim y / x f ' ( x) leidub selline C ∈R , et iga a,b ∈ X korral |f(a) –f(b)| ≤C 27*(Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis) Funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel |a-b|. kehtib järgmine seos: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev.
Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X Bolzano-Cauchy teoreem: Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete on määratud (ühene) funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse kas y= f(x) (x ∈ X) voi x (f →) y. väärtuste vahel. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x ∈ X ∧ y = f(x)} ⊂ 10. Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk pidevuse seos. sõltumatuks muutujaks ja elementi y sõltuvaks muutujaks Funktsiooni y = f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y = f(x) muudu ∆y ja argumendi Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et muudu ∆x suhte piirväärtust, kui argumendi muut laheneb nullile.
tähistatakse inf X Pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Weierstrassi teoreemid - Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul. Bolzano-Cauchy teoreem – Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste vahel. 10.Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Tuletis – funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. Diferentseeruvus – Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis deferentseeruv. Tähistame f ∈ C¹ (a) või f ∈ D(a). (Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks) Ühepoolsed tuletised - def
f (x ) eksisteerib ja võrdub arvuga f(a). See järeldub järgmisest võrduste reast: f ( x ) −f (a) lim f ( x )=lim f ( x )−f ( a ) + f ( a )=lim lim (x−a)+ f ( a )=f ' ( a ) ∙ 0+ f ( a ) =f ( a) x→ a x →a x →a x−a x→ a 4. Milline on diferentseeruvuse geomeetriline sisu? Diferentseeruvuse geomeetriliseks tähenduseks on pideva joone siledus. Punktis, kus funktsioon ei ole diferentseeruv, esineb tema graafikul murdepunkt. 5. Defineerida hulgas diferentseeruv funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f′(x). Seega on f′ funktsioon, mis on määratud hulgas D. 6
Pidevus Definitsioon Funktsiooni u = f (x1; ...; xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas , kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas punktis. Lause Iga mitme muutuja elementaarfunktsioon on pidev omamääramispiirkonna sisepunktides 5) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 6) Diferentseeruvus. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral. Kusjuures on kõrgemat järku lõpmata väike usurus võrreldes vektori(x, y) pikkusega ||(x, y)||2 piirprotsessis (x, y)->(0,0) Kui funktsioonil z = f (x; y) on pidevad osatuletised fx ja fy punktis P(x; y), siis funktsioon z=f(x; y) on diferentseeruv selles punktis. Kui funktsioon z = f (x; y) on diferentseeruv punktis P(x; y), siis funktsioon f on pidev selles punktis. Suurust df := fx (x; y)dx + fy (x; y)dy;
muudu ja argumendi muudu suhte korral x on olemas poorväärtus, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f(x) tuletiseks kohal x Füüsikaline ja geomeetriline tõlgendus: füüsikaline tõlgendus – KIIRENDUS; geomeetriline tõlgendus – funktsiooni TÕUSUNURK Näited: Tähistused: Millal funktsiooni tuletis puudub: funktisoonides, kus esinevad teravad tipud, tuletist ei leidu 14. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (Teoreem lk 13). Teoreem: Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal 15. Liitfunktsiooni tuletise leidmine. 16. Kõrgemat järku tuletiste leidmine. 17. Lineaarne lähendamine (selgitada ideed, valemid). Kasutusalasid. Joone puutujat L(x) kasutatakse originaalse funktsiooni f(x) lokaalseks lineaarseks lähendamiseks f(x)≈f(a)+f’(a)(x-a)
, mil viisil x nullile ka ei läheneks. Uurides analoogiliselt kõiki elementaarseid põhifunktsioone, saab tõestada, et iga elementaarne põhifunktsioon on on pidev punktis, milles ta on määratud. Pidevuse tunnus: f(x) arv; ; lim y=0 Pideva funktsiooni korral lõpmata väikesele argumendi muudule vastab lõpmata väike arv. 3. Defineerida funktsiooni y = f (x) tuletis y'. Sõnastada ja tõestada funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vaheline seos. Definitsioon: Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Funktsiooni y=f(x) tuletist punktis x tähistatakse f ' ( x ) , st f'(x) = def. ,kus muut (mis vastab argumendi muudule lim(xx0) y/x = lim(xx0) [(f(x0+ x)-f(x0)/ x] (*)
1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt,pikkuühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita,et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks realarv ja vastupidi:igale realarvule vastab üks ja ainult üks avtelje punkt. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab üks ja ainult üks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab üks ja ainult üks tasandi punkt. Matemaatikas tähistatakse tavaliselt ühel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy-teljestikuga ja me saame rääki...
2. Leizbnizi tähistus: d ¿ dy =¿ dx b. Füüsikaline tõlgendus: c. Geomeetriline tõlgendus: Funktsiooni muutumis kiirust d. Funktsiooni tuletis puudub kui graafik katkeb või kui tekivad teravad tipud. 15. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel : 16. Liitfunktsiooni tuletise leidmine: y´=yu´ ∙ u´ 17. Kõrgemat järku tuletise leidmine: 18. Funktsiooni puutuja: a. Lineaarne lähenemine: b. Kasutusalad: 19. Funktsiooni diferentsiaal: a. Digerentsiaal näitab funktsiooni puutuja muutumise kiirust. 20. L´Hospitali reegel: Kui f ja g on diferentseeruvad funktsioonid, f(a)= g(a)=0 ja g´(a) ≠ 0, siis x =¿ ¿ g¿
Funktsiooni y = f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtus kohal x argumendi muudu lähenemisel 0 nimetatakse selle funktsiooni tuletiseks kohal x ja x lim x 0 y tähistatakse y', f'(x) või st: y' = Kui viimane piirväärtus on lõplik, siis funktsioon y = f(x) on diferentseeruv kohal x. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Seos funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel (vastava teoreemi tõestus, Teoreem 16.1.) Seos. Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv punktis x, siis on ta selles punktis pidev. Kuid funktsiooni pidevust mingis punktis ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis. Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1) a X triviaalne, kuna muidu poleks võimalik leida f(a) tuletist avaldamises. 2) f(x) f(x) = (f(x) f(a) + f(a)) = = = f'(a) · 0 + f(a) = f(a) 3) on tõestatud punktis 2.
funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone normaalsirge definitsioon - Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. 19.1 Joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A(a,f(a)) : y f(a)=f'(a) Joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) : Diferentseeruvuse geomeetriline sisu : Argumendi väärtusel x=a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A=(a,f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole /2. 1. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on määratud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid parameetreid saab punktidele teljel märkida kõik reaalarvud. Igale reaalarvule vastab arvteljel ainult üks koht ja vastupidi. Absoluutväärtus on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist. |a| =a kui a 0
Seega f'(x)=. Funktsiooni x= argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult . Analoogiliselt saame funktsiooni , mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose . Kasutades neid valemeid saame: 22. Joone puutuja definitsioon. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Joone normaalsirge definitsioon. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. a. Joone puutuja definitsioon Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel mööda joont y=f(x). (JOONIS) b. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Joone y=f(x) puutujaks punktis
Füüsikaliselt on tuletis funktsiooni muutumise kiirus. Geomeetriliselt on funktsiooni tuletis f-ni puutuja tõusunurga tangens. 19. Näited sellest, millal funktsioonil tuletis puudub. • Absoluutväärtus (teravnurkne graafik) • Lõpmatult kahanevad/kasvavad funktsioonid (vertikaalne puutuja on risti x-teljega) • „Hüpetega“ ehk katkestuskohtadega funktsioonid 20. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal. Vastupidine väide ei ole õige. Näide: f(x) = |x| on pidev funktsioon, aga 0-punktis tuletis puudub nö „tearvates tippudes“ tuletisi ei leidu. 21. Liitfunktsiooni tuletise leidmine. Kui funktsioonidel g(x) ja f(u) on lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja u = g(x), siis on liitfunktsioonil
mööda joont lõikaja läheneb teatud asendile M 0 T , siis seda sirget nimetatakse joone puutujaks punktis M0. 51.Funktsiooni tuletise mõiste Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. 52.Diferentseeruva funktsiooni mõiste Antud funktsiooni f (x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. 53.Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel 54.Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletis Konstandi tuletis on null C =0 55.Liitfunktsiooni tuletis 56.Pöördfunktsiooni tuletis 57.Ilmutamata kujul oleva funktsiooni diferentseerimine 58.Kirjeldage logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? 59.Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis 60.Mida nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks? Korrutist f'(x)x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse
Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna =+ ja tan =f'(a), siis Seega punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x võetud puutuja muutu, so lõigu AB pikkust.
Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna =+ ja tan =f'(a), siis Seega punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x võetud puutuja muutu, so lõigu AB pikkust.
iga x (a-(), a) korral kehtib võrratus |f(x) - b| < . 9. Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ü lemine ja alumine raja. limxa- f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa- ) Pidevuse aksioom.Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem. Def. Def. Arvu b nim. fun-ni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga >0 leidub () 10. Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja pidevuse >0, et iga x (a, a+()) korral kehtib võrratus |f(x) - b| < . seos. limxa+ f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa+ ) Lause. Fun-nil f eksisteerib piirväärtus punktis a parajasti siis kui iga jada { xn}, mis koondub 1. Normiks vektorruumis V nim
........ 13 16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest, teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast. ........................................................... 13 17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem. ..............................................................................................................................14 18. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (tõestusega). ....................................... 14 19. Funktsioonide y=sin x, y=cos x , y=loga x , y=ax tuletiste leidmine. .....................................14 20. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. Funktsioonide y = tan x , y = cot x tuletiste leidmine. ........................................................................................................................................ 16 21. Eeskiri pöördfunktsiooni tuletise leidmiseks
saamegi puutuja v~orrandi y - f(a) = f'(a)(x - a). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) norxmaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Normaalsirge v~orrandi tuletamiseks peame arvutama tema t~ousu p = tan. Kuna = + /2 ja tan = f'(a), siis p = tan = tan( +/2)= -1/tan= -1/f'(a) y - f(a) = -1/f'(a) * (x - a) Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. argumendi v¨a¨artusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A = (a,f(a)) sile joon, mille puutuja t~ousunurk ei ole 2.
Funktsiooni y = f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtus kohal x argumendi muudu lähenemisel 0 nimetatakse selle funktsiooni tuletiseks kohal x ja x lim x 0 y tähistatakse y', f'(x) või st: y' = Kui viimane piirväärtus on lõplik, siis funktsioon y = f(x) on diferentseeruv kohal x. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Seos funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel (vastava teoreemi tõestus, Teoreem 3.1.) Seos. Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv punktis x, siis on ta selles punktis pidev. Kuid funktsiooni pidevust mingis punktis ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis. Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1) a X triviaalne, kuna muidu poleks võimalik leida f(a) tuletist avaldamises. 2) f(x) f(x) = (f(x) f(a) + f(a)) = = = f'(a) · 0 + f(a) = f(a) 3) on tõestatud punktis 2. 3
Selle p~ohjal on punkti A=(a, f (a)) 0 l¨abiva normaalsirge võrrand j¨argmine: y - f (a) = (x - a) . Selline v~orrand kehtib juhul, kui f (a) = 0. 0 Kui f (a) = 0, siis on normaalsirge ytelje sihiline ja tema v~orrand on x=a. 41) e) Diferentseeruvuse geomeetriline sisu Kui funktsiooni graafik punktis A=(a,f(a)) on sile (so mittemurduv), siis on lõikaja AP piirsirge punktis A üheselt määratud, sõltumata sellest kummalt poolt punktiga P punktile A lähenetakse. Seega on sel juhul punktis A puutuja üheselt määratud. · Kui puutuja tõusunurk , ei võrdu, siis on arvutatav ka puutuja tõus ehk funktsiooni tuletis f'(a).
Selle p~ohjal on punkti A=(a, f (a)) 0 l¨abiva normaalsirge võrrand j¨argmine: y - f (a) = (x - a) . Selline v~orrand kehtib juhul, kui f (a) = 0. 0 Kui f (a) = 0, siis on normaalsirge ytelje sihiline ja tema v~orrand on x=a. 41) e) Diferentseeruvuse geomeetriline sisu Kui funktsiooni graafik punktis A=(a,f(a)) on sile (so mittemurduv), siis on lõikaja AP piirsirge punktis A üheselt määratud, sõltumata sellest kummalt poolt punktiga P punktile A lähenetakse. Seega on sel juhul punktis A puutuja üheselt määratud. · Kui puutuja tõusunurk , ei võrdu, siis on arvutatav ka puutuja tõus ehk funktsiooni tuletis f'(a).
ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) : Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + /2 ja tan = f(a), siis Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: Muidugi kehtib selline võrrand juhul, kui f(a) = 0. Kui f(a) = 0, siis on normaalsirge y - telje sihiline ja tema võrrand on x = a. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu: argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A =(a, f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole /2.
Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Valemid · Joone normaalsirge ja selle võrrand Joone normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone puutujaga selles punktis. Arvutame normaalsirge leidmiseks tõusu kuna ja siis Punkti läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: , kui · Diferentseeruvuse geomeetriline sisu - Argumendi väärtusel diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis sile joon mille puutuja tõusunurk ei ole 23. Funktsiooni peaosa ja jääkliige Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus
joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone normaalsirge võrrand punktis A = (a,f(a)). Joonisel on kujutatud joone y = f(x) puutuja s ja normaalsirge n koos oma tõusunurkadega ja . Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu . Kuna ja , siis . Valemite põhjal on punkti A = (a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: . Võrrand kehtib juhul, kui f `(a) 0. Kui f `(a) = 0, siis on normaalsirge y-telje sihiline ja tema võrrand on x = a. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu Kui funktsiooni graafik on punktis A = (a,f(a)) sile (mittemurduv), siis on lõikaja AP piirsirge punktis A üheselt määratud, sõltumata kummalt poolt punktiga P punktile A lähenetakse. Seega on sel juhul punktis A puutuja üheselt määratud. Kui puutuja tõusunurk , siis on arvutatav ka puutuja tõus ehk funktsiooni tuletis f'(a). Kui aga punktis A esineb graafikul murdepunkt, siis ei ole selles punktis võimalik puutujat üheselt määrata
Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult (t) = dx/dt . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) = dy/dt . Kasutades neid valemeid arvutame: f (x) =dy/dx=dy/dt/dx/dt=(t)/(t) . See tõestabki valemi. 22. Joone puutuja definitsioon. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Joone normaalsirge definitsioon. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Joone puutuja ja selle võrrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi y - b = p(x - a) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi x a
Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y f (x) normaalsirge võrrand punktis A (a, f (a)) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan Kuna = + ja tan = f'(a), siis (3.13) Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: Diferentseeruvuse geomeetriline sisu Argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A =(a, f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole . (Joonis 3,5 lk 68(?))
Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y f (x) normaalsirge võrrand punktis A (a, f (a)) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan φ Kuna φ = α + ja tan α = f’(a), siis (3.13) Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: Diferentseeruvuse geomeetriline sisu Argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A =(a, f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole . (Joonis 3,5 lk 68(?))
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.2 Bolzano–Cauchy teoreemide tõestus Heine-Boreli lemma abil . . . . . . . . . 84 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . 85 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Diferentseeruvad funktsioonid 87 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.3 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . 91 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused . . . . . . . . . . 93 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem . . . . . . . . . . . . .
Kui funktsiooni z=f(x,y) osatuletised fxx , fxy ja fyy on pidevad selle funktsiooni statsionaarses punktis S(a,b), siis fxx (a,b) fyy (a,b) f2xy (a,b) < 0 punktis S(a,b) ei ole lokaalset ekstreermumit, Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost fxx (a,b) fyy (a,b) f2xy (a,b) > 0 & fxx (a,b) < 0 punktis S(a,b) on lokaalne maksimum, ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral. fxx (a,b) fyy (a,b) f2xy (a,b) > 0 & fxx (a,b) > 0 punktis S(a,b) on lokaalne miinimum.
= (x )2 + (y )2 , seega x, y 0 0 ning = 1, 1. (x ) 2 + (y ) 2 Funktsiooni f diferentseeruvuse tõttu 1 , 2 0 kui x, y 0 . x y f (Q ) - f (P ) Seega 1 +2 0 , kui 0 ning lim = f x (P ) cos + f y (P ) cos . 0 6 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) Def
3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat' lemma
3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat' lemma
piirväärtus. Seetõttu , mis tähendabki funktsiooni f pidevust punktist a Näidata, et absoluutväärtusega määratud funktsioon ei ole kohal 0 diferentseeruv (näide 5.3). Vaatleme funktsiooni f : R → R, f (x) := |x| , mis teatavasti on pidev igas punktis a ∈ R (vt. näide 4.1). Osutub, et funktsioonil f ei ole kohal a = 0 tuletist. Tõepoolest, ühepoolsed piirväärtused On erinevad, seega piirväärtust ei eksisteeri. 22. Diferentseeruvuse geomeetriline tähendus (*) Lähtudes tuletise definitsioonist, defineerida diferentseeruva funktsiooni graafiku puutuja antud punktis kui seda punkti läbivate lõikajate piirseis. Kohal a ∈ D diferentseeruva funktsiooni f : D → R graafiku puutujaks punktis (a, f (a)) nimetatakse sirget, mis on määratud võrrandiga y = f′ (a) (x − a) + f (a) Niisiis, punktis a diferentseeruva funktsiooni f korral
Kui tähistada = 𝝎𝒌, siis 𝚫𝝎𝒌 = 𝝎𝒌 − 𝝎𝒌−𝟏 = 𝒌𝝅/𝒍 − (𝒌 − 𝟏)𝝅/𝒍 = 𝟏 +∞ +∞ 10. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja taisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja 𝒍 𝒍 𝒍
Definitsioon Funktsiooni y = f (x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust def y f (x+) = lim . x0+ x ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 12 / 25 Funktsiooni tuletis Reaalmuutuja funktsioon Diferentseeruvuse ja pidevuse seos Lause Funktsioon f (x) on diferentseeruv punktis a parajasti siis, kui punkti a umbruses ¨ f (x) on esitatav kujul o(x - a) f (x) = f (a) + f (a)(x - a) + o(x - a), kus lim = 0. xa x - a Lause ¨
annaabi.ee 
