100 lindu, kusjuures nii kukkesid, kanu kui tibupoegi pidanud igaühte taas uus kogus olema. Poiss lahendanud ülesande seegi kord. Mitu kukke, kana ja tibupoega tõi talumees valitsejale esimesel, teisel, kolmandal ja neljandal korral? Lineaarne võrrandisüsteem Definitsioon Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ............................................. (2) am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm Arve b1, b2 , ... , bm nimetatakse võrrandisüsteemi (2) vabaliikmeteks, arve aij aga kordajateks. Definitsioon Arve c1, c2 , ... , cn , mis rahuldavad süsteemi (2) kõiki võrrandeid, nimetatakse selle võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarne võrrandisüsteem Näide Lineaarse võrrandisüsteemi
(2) M cn Lahendi (2) korral öeldakse ka, et arvud c1 , c2 , ... , cn rahuldavad võrrandit (1). Def. 2. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 (3) LLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm Arve aij nimetatakse võrrandisüsteemi (3) kordajateks, arve b1 , b2 , ... , bm aga süsteemi (3) vabaliikmeteks. Def. 3. Arve c1 , c2 , ..
xn1 + ... + xnm yn xn Kui tootmistehnoloogia jääb samaks, siis ühe haru toodangu kogus, mida vajatakse teise haru toodangu ühiku tootmiseks jääb samaks. Tootmistehnoloogiat kirjeldavad kulukoefitsendid. Otsekulukoefitsent aij näitab, kui palju kulub i-nda haru toodangut j-nda haru kogutoodangu ühiku valmistamiseks: xij aij = ----- xj Kõik otsekulukoefitsendid moodustavad otsekulukoefitsentide maatriksi A: a11 a1n A = an1 ann Kui avaldada otsekulukoefitsentide valemist vahetarbimine, siis saame xij = aij xj. Nüüd saame harude vahetarbimised xij asendada avaldisega aij xj: a11 x1 + + a1n xn y1 x1 + = an1 x1 + + ann xn yn xn Selline asendus võimaldab uurida lõpptoodangu või kogutoodangu muutuste tagajärgi olemasoleva tootmistehnoloogia korral.
org/wiki/Diego_Vel by_Diego_Vel %C3%A1zquez#mediaviewer/File:Diego_Vel %C3%A1zquez_048.jpg Francisco de Zurbarán ● 1598-1664 ● Teoste temaatika usuline ● Maalides karge ja askeetlik põhitoon ● Joonistusstiil realistlik ● Mungaordude tellimisel tegi pühakupilte ● ● http://et.wikipedia.org/wiki/Francisco_de_Zurbar%C3%A1n#mediaviewer/File:Sewilla-pomnik_Zurbarana.jpg „Agnus dei“ - Francisco de Zurbarán http://en.wikipedia.org/wiki/Agnus_Dei_(Zurbar%C3%A1n) Flandria maalikunst – Lopsakus – Liikuvus – Tohutu tunnete väljendus Peter Paul Rubens ● 1577-1640 ● Teoste temaatiline haare oli lai ● Tellimuste hulk väga suur ● Ühendab eluläheduse ja idealiseerimise – Dünaamilusus
sihifunktsiooni väärtus on maksimaalne ja tundmatud on kõik mittenegatiivsed Min kanooniline põhikuju: Ülesanne on min kanooniline, kui kitsendussüsteemi märk on võrdusmärk ja sihifunktsioonile otsitakse minimaalset väärtust ja tundmatud on mittenegatiivsed. Ülesande kuju: max z = c1 x1 + c 2 x 2 +...+ c n x n + c 0 a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1 a x + a x + ... + a x b 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn bm x1 , x2 , ... , xn 0 , ( ) c1 , c2 , ... , cn sihifunktsiooni kordajad c j , j = 1,2,..., n c0 -- sihifunktsiooni vabaliige; aij -- kitsenduste süsteemi kordajad, (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ..., n); bi -- kitsendussüsteemi vabaliikmed (i = 1, 2, ...,m).
= ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) . 7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, veeruvektor. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. ( m × n ) -maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit a11 a12 K a1n a21 a22 K a2 n A= M M O M am1 am 2 K amn Arve aij maatriksist (1) nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks veerunumbrit. Def. 2. Maatriksit A = ( aij ) m× n
Maatriks arvutus Def 1 : (mxn) m korda n järku arv maatriks A nim mn arvust moodustatud tabelit, milles on m rida ja n veergu. NT filmilint, male- ja kaberuudud. Maatrikselemendid on elemendid, millest maatriks koosneb. Ai-reaindeksj- veeruindeks I= 1, 2, .....m j= 1, 2, ......n A=( a11 a12 a13 ....a1n) ( a21 a22 a23....a2n) ( a31 a32 a33 ....a3n) m=n (ruutmaatriks) nxn n2- maatriks mn (ristkülikmaatriks) Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a11 ; a22 ; a33 ..... akk nimetatakse maatriksi peadiagonaaliks. Maatriksi seda osa, kus paiknevad elemendid a1n ; a2n-1 ; a3n-2 .... akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks. a11 priviligeeritud element. Tehted maatriksiga Def 2 : maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad on sama järku ( ühepalju ridu ja veerge)
MAATRIKSALGEBRA 1. Maatriksi mõiste ja liigitus Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse a ik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n . . . . a am2 ... a mn A= m1 . Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1
MAATRIKSALGEBRA 1. Maatriksi mõiste ja liigitus Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse a ik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A= . . . . . a am2 ... a mn m1 Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1
X reaaltelg m võrdub tema veergude arvuga n. c || , ||c||=|c|*|||| Y immaginaartelg Elemendid a11, a22, ..., amn asuvad maatriksi A Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks Iga kompleksarvu x iy saab xy-tasandil kujutada peadiagonaalil ja elemendid a1n, a2n-1, ..., am1 asuvad teheteks punktina Ax; y, mille maatriksi A kõrvaldiagonaalil. koordinaadid on x ja y, ja vastupidi, xy-tasandi iga punkti M x; ysaab vaadelda Liitmine: kompleksarvu x iy geomeetrilise kujutisena. m × n- maatriksite A = (aij) ja B = (bij) summaks nimetatakse m×n-
MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken Kursuses vajalik matemaatika Lineaarne algebraliste võrrandite süsteem Olgu n tundmatuga m võrrandist koosnev süsteem a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = f 1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = f 2 ................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = f m maatrikskujul AX = F , a11 a12 ... a1n a a 22 ... a 2 n kus A = 21 , ... ... ... ...
= 12 1.7 T¨ ahistusi Analoogiliselt edasi toimides saame defineerida k~orgemat j¨arku determinandid. Olgu aij R ning indeksid i, j = 1, 2, . . . , n. T¨ahistame n-j¨arku ruutmaatriksi A determinandi det A ehk (l¨ uhi- dalt ¨oeldes) n-j¨ arku determinandi j¨argmiselt: a11 a12 ... a1n a11 a12 . . . a1n a21 a22 ... a2n a21 a22 . . . a2n det A := det . .. := .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann Determinandi det A ridade ja veergude all m~oeldakse maatriksi A ustkriipse | · | nimetame determinandi m¨arkideks. ridu ja veerge
skalaarmaatriks (m=n; aij = 0 ij; a11 = a22 = ... = ann) Lineaarsed tehted maatriksitega A = ||aij|| Kmxn; B = ||bij|| Kmxn; c K 1. liitmine: A + B = ||cij|| Kmxn; cij = aij + bij i,j 2. skalaariga korrutamine: cA = ||dij|| Kmxn; dij = caij i,j Samad omadused kui vektorite korral, kus = A, = B, = C, V = Rnxm 7. Maatriksite korrutamine. Korrutamise omadused ja seos lineaarsete tehetega. A = ||aij|| Kmxn; B = ||bjk|| Knxp A reavektorid: 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ... m = (am1; am2; ...; amn) Kn B veeruvektorid: 1 = (b11; b21; ...; bn1) Kn ... p = (b1p; b2p; ...; bnp) Kn AB = A*B = ||ik|| Kmxp; reavektorid: 1 = (11; 12; ...; 1p) Kn ... m = (m1; m2; ...; mp) Kp Maatriksite korrutamise omadused 1. maatriksite korrutamine pole kommutatiivne, st üldjuhul AB BA; kui AB = BA, siis öeldakse, et A ja B on kommuteeruvad 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, st (AB)C = A(BC) 3. maatriksite korrutamise suhtes leiduvad ühepoolsed ühikud
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm kordajateks, arve b1 , b2 ,..., bm aga süsteemi vabaliikmeteks. Arve c1 , c 2 ,..., c n , mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarse võrrandisüsteemi (3)
x 2 = h( w) dw x1 dw x 2 dw w x1 = g (u; v) 10)mis on Crameri valem? Crameri reegel- Kui võrdse otsitavate ja võrrandite x2 = h(u; v) arvuga lineaarvõrrandite süsteemi maatriks A on regulaarne (D A0), siis on süsteemil üks lahend xj=Dj/DA (j=1,2,...,n) tingimus n=m Dj saadakse süsteemi determinandist D j-nda veeru a11a12 . .d1. .a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n asendamisel vabaliikmete veeruga. xj = = Kui r=n siis on täidetud A A.............. an1an 2. .d n . .ann Crameri peajuhu tingimused *m=n *D ei=0-ga ning seega on süsgteemil üks lahend, mis esitatakse Crameri valemitega: xk = Dk /D (k=1,2,..n) Gauss-selle puhul maatriksi AL ridadele
7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, veeruvektor. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. Arve aij maatriksist nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks veerunumbrit. Arvud a11 , a 22 ,..., a nn asuvad maatriksi A peadiagonaalil ja arvud a1n , a2 n-1 ,..., an1 - asuvad maatriksi A kõrvaldiagonaalil. Maatriksi reavektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid. Maatriksi veeruvektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid. (m× n) - maatriksite A = (aij ) ja B = (bij ) summaks nimetatakse (m× n) - maatriksit A + B = (cij ) , kus cij = aij + bij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksi
Duaalne simpleksmeetod Lineaarse planeerimise ülesanne Lineaarse planeerimise ülesanne: n maksimiseerida cjxj j 1 n kitsendustel aij x j bi (i 1,2, , m) j 1 x j 0 ( j 1,2, n). LP ülesanne maatrikskujul. Kasutades maatrikssümboolikat ja tähistades a11 a12 a1n x1 b1 c1 a21 a22 a2 n x2 b2 c2 A , x , b , c , am1 am 2 amn xn bm cn võime lineaarse planeerimise ülesande kirjutada maatrikskujul maxcT x : Ax b, x 0. Lubatavate lahendite hulk on kirjapandav kujul R x : Ax b, x 0 .
22 - 123 - 126 1.13. 1.14. - 74 - 42 1.15. 12 - 11 30 2 - 41 52 - 68 7 49 47 - 150 1.16. 2. Determinandid 2.1. Põhimõisted a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a an2 ... a nn Ruutmaatriksile A= n1 saab panna vastavusse arv : a11 a12 ... a1n
-11 -123 -126 30 2 - 41 1.16. 52 - 68 7 49 47 -150 2. Determinandid 2.1. Põhimõisted a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n Ruutmaatriksile A= saab panna vastavusse arv : ... ... ... ... a an 2 ... a nn n1 - 11 -
Maht tundides: 160 Hindamisviis: eksam, + teha kõik kontrolltööd tundides (2 matemaatikas ja 1 statistikas) + 1 kodune uurimus Statistika valdkonnas (nt. Omad kulud). MAATRIKSID Maatriks - ristküliku kujuline arvude tabel, kus m-arvud on pandud m-ridasse ja n-arvud on pandud n-veergu. Maatriksis olevaid arvu nim. elementideks, neid pannakse sulgudesse () või [] või ||. a11 a12 ... a1n A= a21 a22 ... a2n = (aij)mn m rida am1 am2 ... amn Arves kõige oluliseim info on summa, hinded, kogus. n - veerg Igal real on oma number. MAATRIKSITE PÕHIKUJUD 1. RISTKÜLIKUMAATRIKS mn 4 -2,7 3 A=
Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p~ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (1.1) .................... am1 am2 . . . amn Selles maatriksis element aij asub i-ndas reas ja j-ndas veerus, ele- ment ast asub s-ndas reas ja t-ndas veerus. Kui maatriksi elemendi aij reaindeks i muutub hulgas Nm := {1, 2, ..., m} ja veeruindeks j muutub hulgas Nn := {1, 2, ..
Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p˜ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (1.1) .................... am1 am2 . . . amn Selles maatriksis element aij asub i-ndas reas ja j-ndas veerus, ele- ment ast asub s-ndas reas ja t-ndas veerus. Kui maatriksi elemendi aij reaindeks i muutub hulgas Nm := {1, 2, ..., m} ja veeruindeks j muutub hulgas Nn := {1, 2, ..
sõltumatu vektor 7) Maatriksi mõiste, maatriksite liigid ja lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vekrorruum. Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n . . . . a am2 ... a mn m1
3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , … , bm). 4. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunkt- siooni kordajad cj (). 5. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks, seega a11 a12 … a1n A = a21 a22 … a2n ……………………… am1 am2 … amn a11 a21 … am1 A’ = a12 a22 … am2 ……………………… a1n a2n … amn 6. Duaalse ülesande sihifunktsiooni väärtusele w nõuda miinimumi, kui esialgse ülesande sihifunktsiooni väärtusele z nõutakse maksimumi; ja vastupidi. 3 7
Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristküliku- ehk arvuga -1 läbikorrutatud maatriksit A. kujulist arvude tabelit a11 a12 a13 ··· a1n a21 a22 a23 ··· a2n . (1.1) . .. .. .. .. .. . . . .
ERIKUJULISI MAATRIKSEID DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi Am × n kõik elemendid aij võrduvad nulliga, siis nimetatakse maatriksit NULLMAATRIKSIKS. Maatriksi ridade ja veergude arvud m ja n on tema PÕHIPARA- MEETRID. Kui m n, siis on tegemist RISTKÜLIKMAATRIKSIGA. Kui m = n, siis on tegemist RUUTMAATRIKSIGA ja arvu n nimetatakse selle maatriksi JÄRGUKS. Ruutmaatriksi elemendid a11 , a22 , . . . , ann moodustavad tema PEADIAGONAALI ja elemendid a1n , a2 n-1 , . . . , an 1 vastavalt KÕRVALDIAGONAALI. DEFINITSIOON 2. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali elemendid ei ole nullid ja kõik ülejäänud elemendid võrduvad nulliga, siis nimetatakse seda maatriksit DIAGONAALMAATRIKSIKS. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel võrdsed, siis nimetatakse seda maatriksit SKALAARMAATRIKSIKS. Kui skalaarmaatriksi peadiagonaali elemendid võrduvad ühega, siis nimetatakse seda maatriksit ÜHIKMAATRIKSIKS ja tähistatakse E.
ERIKUJULISI MAATRIKSEID DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi Am × n kõik elemendid aij võrduvad nulliga, siis nimetatakse maatriksit NULLMAATRIKSIKS. Maatriksi ridade ja veergude arvud m ja n on tema PÕHIPARA- MEETRID. Kui m n, siis on tegemist RISTKÜLIKMAATRIKSIGA. Kui m = n, siis on tegemist RUUTMAATRIKSIGA ja arvu n nimetatakse selle maatriksi JÄRGUKS. Ruutmaatriksi elemendid a11 , a22 , . . . , ann moodustavad tema PEADIAGONAALI ja elemendid a1n , a2 n-1 , . . . , an 1 vastavalt KÕRVALDIAGONAALI. DEFINITSIOON 2. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali elemendid ei ole nullid ja kõik ülejäänud elemendid võrduvad nulliga, siis nimetatakse seda maatriksit DIAGONAALMAATRIKSIKS. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel võrdsed, siis nimetatakse seda maatriksit SKALAARMAATRIKSIKS. Kui skalaarmaatriksi peadiagonaali elemendid võrduvad ühega, siis nimetatakse seda maatriksit ÜHIKMAATRIKSIKS ja tähistatakse E.
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4)
, 6. Maatriksi definatsioonid,lineaartehted ja nende omadused. (m*n) maatriks on m reast ja n veerust koosnev ristküliku kujuline arvude tab.,tähistatakse suurte tähtetega (A,B,C),arvud aijon maatriksite elemendid (kus i=1,2,3,...m rea indeks ja j=1,2,3...n-veeru indeks)kõigi (m*n) maatriksite hulk tähistatakse . Maatriksit A=aij - ruutmaatrikskui m=n ,eristatakse pea- ja kõrvaldiogonaale (a11,a12,a13...ann peadiogonaali elemendid) jan (a1n,a2n-1...an1 kõrvaldiogonaali elemendid). Diogonaalmaatriks on ruutmaatriks milles kõik elemendid mis ei ole peadiogonaalil on nullid(0) Maatriksi A=aij ridade elemente nimetatakse selle maatriksi reavektoriks (aritm. vektorid)=) , Maatriksi veeruvektorid on aritm.vektorid ) , Maatriksi lineaar tehete orrel kehtivad vektorruumide lin.tehete omadused,kui ja A=aij B=bij abc
Qd1=a0+a1P1+a2P2 Qd2=a0+a1P1+a2P2 Qs1=b0+b1P1+b2P2 Qs2=b0+b1P1+b2P2 (a0-b0)+(a1-b1)P1+(a2-b2)P2=0 n hüvisega: kõik hüvised sõltuvad kõigist hindadest. Koefitsendid arvulisedlahend arvuline. 5. Maatriksid ja vektorid, maatriksitehted, vektortehted. Maatriks: Olgu i reaindeks ja j veeruindeks siis x1-1.ve-s, xj- j-ndas veerus, aij i-nda võrrandi j-nda muutuja koef., dj i-nda võrrandi vabaliige. a11 a12 a1n x1 d1 x d a21 a22 a2n [ ] A = ai j = , x= 2 , d = 2 . ... ... i = 1,2,..., m j = 1,2,..., n a am2 ann m1 x m dm
haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes. Sel juhul asetseb parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega. y²=2px Maatriksid Ruutmaatriks ja ristkülikmaatriks Kui ühe ja sama vektori koordinaadid asetseksid ühes reas ning samanimelised koordinaadid ühes ja samas veerus, saame tabeli, mida nim maatriksiks ja tähistatakse A= (a11 a12... a1n)(a21 a22 ... a2n)...(am1 am2 ... amn) kui m=n siis saame maatriksi mida nim ruutmaatriksiks, ehk n²- maatriksiks. Kui mn siis nim maatriksit ristkülikmaatiksiks ehk mn-maatriksiks. Lühidalt tähistatakse maatriksit A= (aik) kus sümbol aik tähistab maatriksi mistahes elementi. I näitab elemendi asukohta ridades, indeks k-veergudes. Maatriksi elemendid võivad olla nullid aga ühegi elemendi asukoht ei tohi tühi olla. Maatriksite teisendamisel kasutatakse
Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse .
Crameri peajuhuga on seega tegemist, kui lineaarvõrrandisüsteem on kujul a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = a1, a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai , ................................. an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = an, ja tema maatriks a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A= ........... an1 an2 . . . ann on regulaarne, s.t. |A| 0. Crameri valemid lahendi avaldamiseks Crameri peajuhul- Tähistame D := |A| ning Di := a11 . . . a1,i-1 a1 a1,i+1 . . . a1n a21 . . . a2,i-1 a2 a2,i+1 . . . a2n ..................... an1 . . . an,i-1 an a1,i+1 . . . ann , iga i Nn. Viimases valemis on determinandi arvutamisel i -s veerg maatriksis A asendatud vabaliikmete veeruga.
1)kirjuta välja mtx (AlI) 2)reateisendusi kasutades teisendada mtx kujule, kus mtxi A kohal on I, saame kuju (IlA -1) 3)kirjutada välja pöördmtx 4)kontrollida võrdsust AA-1=I Determinant Ruutmtxi korral saab def ruutmtx det, st igale ruutmtxle A seab vastavusse üks reaalarv. Seega on det funktsioon, mis igale ruutmtxle A seab vastavusse kindla arvu detA. Teisiti öeldes, funktsiooni det argumentideks on ruutmtxid ja väärtusteks reaalarvud. Det(A)=l a 11 a12..a1n ; an1 an2 .. ann l .Maatriksi A=(a b ; c d) korral nim arvu ad-bc mtx A determindandiks ja tähistatakse det(A) või lAl. Permutatsioon n-järku permutatsionniks nim n esimese naturaalarvu mistahes ümberjärjestust(kus iga arv esineb üks kord). Det omadusi. 1)kui mingi omadus kehtib det ridade kohta, siis kehtib sama omadus ka veergude kohta. 2)det mistahes reast(veerust) võib tuua ühise teguri det märgi ette.
4 × 1 maatriks Maatrikseid tähistatakse enamasti suurte tähtedega ja nende elemente väikeste tähtedega: A ' ( aij ) . Maatriksit, millel on m rida ja n veergu, nimetatakse m × n dimensionaalseks ehk m × n mõõtmeliseks maatriksiks. Sellise maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n ... ... ... ... ... ... ai1 ai2 ... aij ... ain ... ... ... ... ... ... am1 am2 ... amj ... amn Maatriksi dimensiooni märgitakse ka tähekombinatsiooniga dim. Näiteks, kui dim A = 2 × 3, siis
(veeru) elementide alamdeterminantidega on võrdne nulliga e. ak1 Ai1 + ak 2 Ai 2 + ... + akn Ain = 0, kui k i (2) Tõestus. Eeldame, et k i . Vaatleme maatriksi B, kus reas i paiknevad elemendid ak1 ,K, akn ning ülejäänud ridades maatriksi A elemendid. Rakendame eelmise paragrahvi teoreemi põhjal ja arendame maatriksi B determinandi rea i järgi: a11 a12 ... a1k ... a1n ... ... ... ... ... ... i ak1 a k 2 ... .a kk .. ... a kn det B = ... ... ... ... ... ... = a k1 Ai1 + a k 2 Ai 2 + ... + a kn Ain . a ak 2 ... a kk ... a kn k k1 ... ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nk ... a nn
hulga S punkte ja r1 rm+1 = m . (7.15) 2 Hulga A t˜okestatuse t˜ottu leidub lahtine kera B(θ; r) nii, et A ⊂ B(θ; r). Kera B(θ; r) sisaldub kuubis keskpunktiga θ = (0; . . . ; 0) ja serva pikkusega 2r. Selle kuubi valimegi kuubiks K1 . Seega K1 = [−r; r] × . . . × [−r; r], a11 = . . . = a1n = −r, b11 = . . . = b1n = r, r1 = 2r, S ⊂ A ⊂ K1 . 7.4 Heine-Boreli teoreem 81 Kuup K1 sisaldab l˜opmata palju hulga S punkte. Oletame, et juba on konstrueeritud kuup Km ja n¨aitame, kuidas konst- rueeritakse Km+1 . Jaotame kuubi Km iga serva [ami ; bmi ] ka- heks v˜ordse pikkusega osaks 1 1 [ami ; ami + rm ], [ami + rm ; bmi ]
2 Arvuta funktsiooni y= √3 x +2 x +5 väärtused ja koosta joonegraafik. Redigeeri graafikut. Sisestage maatriksid A ja B leidke maatriksite korrutis. Funktsiooni võib kasutada oma tulemuse kontrolliks. Maatriksi A mõõtmed on m*n ja maatrksi B mõõtmed on n*v ning korrutismaatriksi C mõõtmed on m*v. Maatriksi C esimese rea ja esimese veeru element arvutatakse c11= a11*b11+a12*b21+….a1n*bm1 Seega ülesanne taandub vaid eelnevasse valemisse õigesti absoluutse aadressi (dollarimärkide) kasutamiseks. 1 2 3 4 1 2 50 5 6 7 8 3 4 114 9 10 11 12 5 6 178
annaabi.ee 
