Võrrandid Võrrandi mõiste Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2 kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga 3/2, saame samasuse : 3 23 2 3 3 3 3 0. 2 2 Võrrandi lahendite arv Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Nä...
Murd- ja juurvõrrand © T. Lepikult, 2010 Murdvõrrandi definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb murru nimetajas. Murdvõrrandit saab samasusteisenduste abil teisendada kujule f ( x) 0 g ( x) Murdvõrrandi lahendamiseks lahendatakse võrrand f ( x) 0, mis on esialgse võrrandi järeldus (lahendite arv võib olla kasvanud). Et muutuja x lubatavad väärtused on kitsendatud tingimusega g ( x) 0, siis tuleb lahendamisel alati kontrollida, kas saadud muutuja väärtused on esialgse võrrandi lahendeiks või mitte. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Murdvõrrandi lahendamine Näide x2 x 2x Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus Viime vasakul pool võrdusmärki...
1. Diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahend. Väärtus ja raja ülesanne Def 1.1 Võrrandit, milles osalevad sõltumatu muutuja, tundmatu funktsioon ja selle tuletised nim diferentsiaalvõrrandiks. (1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1.1) üldlahendiks nim n-parameetrilist lähtuvat funktsioonide parve või peret, mis muudab võrrandi samasuseks sõltumata parameetrite väärtustest. (1.3) Dif.võr lahendamist nim selle võrrandi integreerimiseks ja selle lahendid integraaliks, lahendi graafikut nim integraaljooneks. Kui n-järku võrrandile lisada n-algtingimust: (1.4) Siis saame algväärtuseks ülesande (1.1). esimest järku...
1.1 VÕRRAND. VÕRDUS. SAMASUS Kui kaks avaldist ühendatakse võrdusmärgiga, saadakse võrdus. Näiteks on võrdused 5 + 3x = 33,5; 2 3 = 6 ; (a + b)(a b) = a2 b2; 3- 1= 2. Võrdust, mis on tõene muutujate kõigi lubatavate väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Ka tõene arvvõrdus on samasus. Näiteks on samasused 1 + 2 = 3; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamiseks nimetatakse tundmatu(te) selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse ehk samasuse. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Võrrandi lahendid moodustavad võrrandi lahendihulga. Kui võrrandil on lõpmata palju lahendeid, siis on see võrrand ühtlasi ka samasus. Näiteks võrrand x2 1 = (x 1)(x + 1) on samasus, võrrand x2 = 1 ei ole samasus. Kui võrrandil leidub lahen...
Võrrandite lahendamine Lineaarvõrrandid Lineearvõrrandeid saab alati esitada kujul ax + b = 0. Sellel võrrandil võib olla · täpselt üks lahend · lahendid võivad puududa · lõpmata palju lahendeid Näide 1. Lahendame võrrandi 3(2x + 5) = 7x. Avame sulud 6x + 15 = 7 x, millest 6x + x = 7 15 ehk 7x = 8. 8 - Selle võrrandi lahend on x = 7. Näide 2. Lahendame võrrandi 3(2x 1) = 6x 3. Avame sulud, saame 6x 3 = 6x 3 (*), ehk 6x 6x = 33 (**), millest 0x = 0. Viimane võrdus kehtib iga tundmatu x väärtuse korral (0 · x = 0). Kuna võrrandi lahendamisel on kasutatud üksnes võrrandi samaväärsusteisendusi, siis kehtivad iga x väärtus...
Lineaarvõrrandisüsteemid Põhikoolis lahendatakse põhiliselt lineaarseid võrrandisüsteeme, aga ka mõningaid lihtsamaid ruutvõrrandisüsteeme. Lineaarvõrrandisüsteeme on mõistlik lahendada kas asendusvõttega või liitmisvõttega (jätame graafilise lahendusmeetodi tähelepanu alt välja). Eespool nimetatud kahest võttest tuleks võimaluse korral eelistada liitmisvõtet. Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Kui korrutame võrrandisüsteemi teist võrrandit (-2)-ga, siis saame võrrandisüsteemi . Kui nüüd süsteemis olevate võrrandite vastavad pooled liita, siis saame võrrandi, kus enam tundmatut x ei ole, -3y = -3, millest y = 1. Asendame saadud y väärtuse süsteemi esimese võrrandisse, siis saame, et 2x + 1 = 3, millest x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1). Liitmisvõtte puhul ei pea võrrandeid ilmtingimata liitma, neid võib teineteisest ka lahutada. Näide 2. Lahendame v...
Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0. Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks: Taandamata ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0 - b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x ...
VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada; 2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada ühe ja sama arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete teisele poole...
DV II teooriatöö kordamisküsimused 1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. V: Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0, kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y(n-1)) (1) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. {y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... (2) (n-1) (n-1)...
Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrand Ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax + b = 0, kus a 0 ja b on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Seejuures nimetatakse korrutist ax lineaarliikmeks ja b vabaliikmeks. Näiteks on lineaarvõrrandid vabaliige lineaarliige 2 x 3 0, (tundmatu on tähistatud tähega x) 5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0) Lineaarvõrrandid ei ole: 2 x 2 3 0, (kuna tundmatu on ruutu tõstetud) 2 3 5, (kuna tundmatut seoses ei esine) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lineaarvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrandi ax + b = 0 ainsaks lahendiks on b x . ...
3. AVALDISTE TEISENDUSI. LINEAARVÕRRAN D Koostajad: Gerli Savila, Janek Käsper, Erik Mandel, Marek Käsper. 3.1 KORRUTISE LIHTSUSTAMINE • Korrutamise vahetuvuse ja ühenduvuse seaduste kohaselt võetakse kõik arvulised tegurid omaette ja tähelised tegurid omaette rühma. 5 x a x (-3) x b x c = -3 x 5 x abc = -15abc • Kordaja 1 jäetakse korrutises kirjutamata. abc • Kordaja -1 asemele kirjutatakse ainult miinusmärk. - abc ÜLESANNE 1: LIHTSUSTA KORRUTIS JA LEIA KORDAJA 1) 5a●(-3)bc= 2) 4x●(-2)= 3) 10●(-a)●0.1= 4) 5a● (-0.2)●b = 5) 3,5●(-2x) ●(- 1)= ÜLESANNE 1: VASTUSED • 1) VASTUS: 5a●(-3)bc=-15abc , kordaja -15 • 2) VASTUS: 4x●(-2)=-8x , kordaja -8 • 3) VASTUS: 10●(-a)●0.1=-a , kordaja -1 • 4) VASTUS: 5a● (-0.2)●b =-ab , kordaja -1 • 5) VASTUS: 3,5●(-2x...
LINEAARVÕRRANDID ja VÕRRATUSED LINEAARVÕRRAND - võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud) Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele. 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (a...
Hariliku Dv Def. Olgu F-n F(x,y,z) määratud xyz ruumi piirkonnas G. Vahemikus (a,b) määratud funktsioon y=y(x) nim. Võrrandi F(x,y,y`)=0 lahendiks, selles vahemikus, kui ta on pidevalt dif-uv ning (x,y(x),y`(x)) kuulub hulka G ja F(x,y(x),Y`(x))=0 x (a , b) Cauchy ülesanne 1-järku võrrandi jaoks seisneb sellise lahendi y(x) leidmises, mis rahuldab algtingimust y( x0 ) = y0 Peano teoreem Olgu f(x,y) pidev kahemuutuja f-n piirkonnas D. Siis läbi iga punkti (x0,y0) D kulgev vähemalt 1 DV integraalkõver. On tuntud ka Dv lahendi olemasomu teoreemina. Cauchy teoreem - Olgu f(x,y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas f ( x, y ) olemas pidev osatuletis y . Siis läbib igat punkti (x0,y0) kuulub hulka D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver. On tuntud DV lahendi ühesuse teoreemina. Kasvamine ja kahanemine tüüpiline võrrand kujul dx/dt=kx, kus otsitav on x=x(t), tema tuletis dx/dt, t sõltumat...
Võrrandid x - 3 1) 2 x (3 x - 2) - 31 - ( 2 - x )(2 x + 3) - = 13( 5) 2 2 x - 7 3x + 1 x +6 2) x + - =5- ( 3) 2 5 2 3x - 4 x + 1 x +2 3) 2 x - 1 - = - 1 - ( 2 ) 2 3 2 2x -1 2x +1 8 4) = + (1) 2 x +1 2 x -1 1 - 4x 2 96 2 x - 1 3x - 1 5)5 + 2 = - ( 8) x - 16 x+4 4-x 10 x - 23 5 3 2 6) 3 - + = 0 3 2 x - 5 x - 5 x + 2 2( x + 1) - 7 x x + 1 2 2 ...
Ruutvõrrandi lahendamine - b ± b 2 - 4ac Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on x = . 2a Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused. Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0. Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 6 ± 6 2 - 4 5 1 - 6 ± 36 - 20 - 6 ± 16 - 6 ± 4 x= = = = . 2 5 10 10 10 -6+4 -2 - 6 - 4 - 10 Siit x1 = = = -0,2 ja x2 = = = -1. 10 10 10 10 Näide 2. Lahen...
8. klassi matemaatika mõisted ja valemid Ümardamisel kasutatakse järkusid. Tüvenubriteks loetakse: 1) täisarvus kõik numbrid väljaarvatud arvu lõpus olevad nullid. 2) kümnendmurrus kõik numbrid va. Arvu ees olevad nullid. Arvutamine ligiklaudsete arvudega: 1) liitmisel, lahutamisel ümardatakse lõppvastus ühise madalaima järguni. (Tüvenumbrite madalaima järguni) 2) korrutamisel, jagamisel tuleb lõppvastus ümardada nii, et temas oleks sama palju tüvenumbreid, kui oli seda vähima tüvenumbrite arvuga algandmes. 3) mitme tehtega ülesandes tuleb: a) arvutada iga tehe eraldi ja jätta 1 varunumber ning lõppvastus ümardada täpselt. b) hinnata iga tehte tulemust ja otsustada milleni tuleb vastus ümardada. Protsent: Osa=osamäär * tervik Tervik=osa : osamäär Osamäär=osa : tervik Sagedustabel, sektordiagramm: 1)tunnus on suurus, mis iseloomustab mingit objekti. Tunnus võib olla arvuline(pikkus, kaal, jalanumber jne.) või mittearvuline(ju...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Nimi perenimi HARILIK ITERATSIOONIMEETOD REFERAAT Juhendaja: nimi Tallinn 2016 Sisukord Mis on iteratsioonimeetod?..............................................................................................................3 Harilik iteratsioonimeetod...............................................................................................................4 Meetodi realisatsioon.......................................................................................................................8 Näide 1)........................................................................................................................................8 Näide 2)........................................................................................................................................9 Allikad................................................
Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem · Võrrandisüsteem koosneb kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist · Võrrandisüsteemi lahendiks on kahe sirge lõikepunkti koordinaa...
Murdvõrrandi lahendamine 9. klass Mis on murdvõrrand · Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 3 8 on murdvõrrand x4 x3 6 ei ole murdvõrrand 5 Murdvõrrandi lahendamine 1 · Viime kõik võrrandi liikmed võrrandi vasakule poolele ning anname siis sellele algebralise murru kuju: A( x) 0 B( x) · Kasutame murru nulliga võrdumise tunnust: murru väärtus võrdub 0-ga, kui tema lugeja võrdub 0-ga A( x) A( x) 0 0 B( x) B( x) 0 A( x) Võrrandi viimine kujule 0 B( x) Kõik liikmed tuleb kirjutada ühisele murrujoonele Tuletan meelde murdude liitmise ja lahutamise eeskirja! Murrud tuleb teisendada ühenimelisteks. Algebraliste murdude l...
Murdvõrrandid Võrrandid, mis sisaldavad tundmatut murru nimetajas, on murdvõrrandid. Murdvõrrandite lahendamiseks peab kõigepealt oskama lihtsustada murde sisaldavaid avaldisi. 2x - 3 = 0. Näide 1. Lahendame võrrandi x+2 Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 = 0, ehk x = 2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed. Vastus: x = 1,5. 4 1 + 2 = 1. Näide 2. Lahendame võrrandi x+2 x -4 Kõigepealt leiame vasakul pool ühise nimetaja ja seejärel liht...
Valemid 1) am*an=am+n 2) am:an=am-n 3) (an)m=anm 4) (a*b)n=an*bn 5) (a:b)n=an:bn 6) a-n=1/an 7) ruutjuur a-st on sama, mis a astmes ½ I Võrrandi teisendamine võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed. Näide 1. Lahendame võrrandi 9x+5=81. Teisendame mõlemad pooled arvu 3 astmeteks: (32)x+5=34 32x+10=34 Ühe ja sama arvu astmed on võrdsed vaid siis, kui kui astendajad on võrdsed, järelikult 2x+10=4 2x=-6 x=-3 Kontroll: 9-3+5= 92=81 II Võrrandid, mis peale teisendusi muutuvad I tüüpi võrranditeks. Eraldi tüübina on esitatud need ülesanded sellepärast, et selliste ülesannete lahendamisel tehakse sageli vigu. Seetõttu oleks vaja eriti hoolsalt näited läbi mõelda. Näide 1. Lahendame võrrandi 3x+1+3x = 108 Kaotame summa astendajas 3x * 31 + 3x = 108 3 * 3x + 3x = 108 Toome 3x sulgude ette 3x (3+1)=108 3x * 4=108 3x =108:4 3x =27 3x=33 x=3 Kontroll: 33+1+33 = 34+33=81+27=108 Näide 2. Lahendame võr...
1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. Kõrgemat jär harilikud dvid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y (n)) = 0 (1), kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y (n-1))(2) (( F(x,y, y')=0 (1) ja y' =f(x;y) (2))) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. ***{y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1) ***Lahendi olemasolu : kõrgemat järku DV lahend funktsioon, mille asendamisel võrrandisse saame samasuse F(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y(n)) 0 x. Peano teoreem e. olemasolu teoreem: olgu funktsioon f pidev muutujate x, y, y', y'', ..., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt (x0, y0, y0(n-1) ) D korral on Cauchy ülesanne {(1);(2)} vähemalt 1 lahend. Ca...
Võrrandid ja võrrandisüsteemid Võrrandite koostamine ja lahendamine 1. Arvu ja tema vastandarvu korrutis on 9. Leia need arvud. Lahendus: Tähistame otsitava arvu tähega x. Vastandarv on siis x ja nende arvude korrutis x . (x) = x2. Saame võrrandi x2 = 9. Selle teisendamisel saame x2 9 = 0; (x + 3) (x 3) = 0; x + 3 = 0 või x 3 = 0 x = 3 või x = 3. Otsitav arv võib olla 3 või 3. Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = 3. Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = (3) = 3. Vastus: 3 ja 3 2. Pool otsitava arvu ruudust võrdub 7-ga. Kui suur on otsitav arv? Lahendus: 1 2 Kui otsitava arvu tähistame tähega x, siis pool otsitava arvu ruudust on x . 2 Ü...
Tekstülesannete lahendamine Ülesanne 1 Kaks krohvijat Maaly ja Juuly said kumbki krohvimiseks 96 m2 kiviseina. Maaly jõudis päevas krohvida 4 m2 rohkem kui Juuly ja lõpetas töö kaks päeva varem. Mitu päeva kulus töö tegemiseks Maalyl ja Juulyl? Lahendus: Ülesandes olevad andmed võime kirjutada tabelisse: Töö hulk (m2) Ühes päevas (m2) Tööpäevi Maaly 96 x 96 x Juuly 96 x–4 96 x−4 96 Kuna Maaly töötas 2 päeva vähem, siis murd on 2 võrra väiksem murrust x 96 , seega x−4 ...
4.ptk Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem 8.klass Õpitulemused Näited 1.Kahe tundmatuga lineaarvõrrand - Ül.908 normaalkuju ax+by=c, esimese tundmatuga lineaarliige ax, teise teise | 12 tundmatuga lineaarliige by ja vabaliige c; tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20 NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6 kirjutatakse nii, et lineaarliikmed on 3x-15y+20=-3x+6+6 tähestikulises järjekorr...
Negatiivsete ja positiivsete arvudega arvutamine 1) Liidan samamärgilised arvud ja vastuses sama märk Lahutan erimärgilised arvud ja vastuses absoluutväärtuselt suurema arvu ees olev märk (see, mis on nullist kaugemal) 2) Märgid korrutamisel ja jagamisel Kaks samamärgilist annavad alati positiivse vastuse ja kaks erimärgilist annavad alati negatiivse vastuse Võrrandi omadused Kõiki liidetavaid võib jagada või korrutada ühe ja sama nullist erineva arvuga Liidetavaid võib viia vasakult paremale ja vastupidi kui muudad liidetava ees oleva märgi vastupidiseks Vii tundmatut sisaldavad liikmed võrrandi vasakule poole ja arvud paremale poole 1) a - 7 = -3 2) 25 y =11 3) 2x = 3 - x 4) b = 3b - 8 Korruta võrrandi mõlemat poolt sobiva arvuga, nii et vabaned murdudest x y 1 3 5 3 1) =8 2) + = 3) + a =a 6 ...
Kodune ülesanne Murdvõrrandi koostamine ja lahendamine Minu ülesanne: Üks suusataja läbis 20 km pikkuse distantsi 20 min kiiremini kui teine. Leia mõlema suusataja kiirus, kui esimese kiirus on 2 km/h suurem kui teisel. Lahenduskäik: Kuna „esimene“ ja „teine“ võivad ülesande lahendamisel ja lahenduse selgitamisel segadusse ajada, siis olgu esimese suusataja nimi Mati ja teise suusataja nimi Kati. Ülesandes antud andmete kohta koostasin tabeli. Järgenvalt selgitan, miks on tabelis andmed just nii kujutatud: Kati kiirus pole teada, seetõttu tähistan tema kiiruse x’iga. Kuna Mati kiirus on 2 km/h suurem kui Katil, saan Mati kiiruseks x+2. Teepikkuse (distantsi) läbimiseks kulunud ajad tuletasin valemist teepikkus teepikkus kiirus = aeg ehk aeg = kiirus Mati läbitud distantsi pikkus oli 20 km, tema kiirus x+2 ja sell...
Margit Arro Türi Gümnaasium Protsentülesanded koos lahendustega gümnaasiumile 1. Teravilja niiskussisaldus oli enne kuivatamist 23%, pärast kuivatamist aga 12%. Mitme protsendi võrra vähenes teravilja mass kuivatamisel? Lahendus: Olgu teravilja mass x kg, niiskussisaldus 23% ehk 0,23kg, seega täiesti kuiva(puhast) teravilja oli 0,77x kg. See ei muutu kaaluliselt ka uues kuivatatud segus, kus niiskussisaldus on 12%, seega on selles täiesti kuiva teravilja 88%. Leiame teravilja uue koguse y. 0,77x=88% y=100% siit y=0,77x*100/88=0,875x kg. Leiame, mitu protsenti on see esialgse teravilja massiga võrreldes: 0,125x=z% x=100% 0,125x*100/x=12,5% Vastus: teravilja mass vähenes 12,5%. 2. Kaupluse kaks filiaali müüsid ühe kuuga kokku 360 jalgratast. Järgmisel kuul müüs esimene filiaal 12% ja teine filiaal 10 % rohkem jalgrattaid kui esimesel kuul, müües kokku 400 jalgratast. Mitu jalgratast müüs kumbki fi...
1. Ligikaudse arvu absoluutne viga on
...
Võrrandil on mõned omadused: 1) Võrrand vastab tõele, kui mõlemad pooled on samaväärsed NÄIDE: 4x=8 , kui sa saad leiad x väärtuse , siis pead seda ka kontrollima asendades x'i (või mõne muu tähe) sinu saadud väärtusega.Kui mõlemad pooled on samaväärsed, siis on võrrand õige. 2)Võrrandis saab liikmete pooli vahetada NÄIDE: 4x-34+9 = 6x- 65+ 2x Võrrandi liikmete poolte vahetamine käib nii, et sa võtad arvud, kus on sees tundmatu (seekord x) ja viid kõik need arvud ühele poole , kuid sa pead vahetama selle ees oleva märgi , kui sa viid selle teisele poole näiteks viime tundmatut sisaldavad arvud vasakule poole (4x-34+9 = 6x- 65+ 2x) , kuna 4x on juba vasakul pool, siis teda liigutama ega ta märki muutma ei pea, kuna 6x on paremal pool ,siis viime selle vasakule, muutes selle märki seega 4x-6x... sama lugu on ka 2x'iga ,kuna see on valel pool siis viime selle märki muutes vasakule , seega 4x-6x-2x (rohkem tundm...
Eksponentvõrrandid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi definitsioon Eksponentvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb astendajas. Näiteks võrrand 4 3 + 8 0,1 - 4 = 0 on eksponentvõrrand. x x Võrrand 2 x 2 - 4 = 0 ei ole eksponentvõrrand (on ruutvõrrand). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi lahendamine Eksponentvõrrandi lahendamiseks puuduvad üldised võtted, seetõttu vaatleme mõningaid erivõtteid. 1. Võrrandi viimine ühe ja sama alusega astmete võrdusele. Lahendamiseks kasutatakse järgnevate võrrandite samaväärsust: a f ( x) = a g ( x) f ( x) = g ( x), a > 0, a 0. Näide Lahendame võrrandi 0,125 x -1 = 2 4 x. 0,125 x -1 =2 4x (1 / 8) x -1 ...
Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y ...
PARABOOL Parabooliga puututakse kokku juba koolimatemaatikas. Joonistatakse graafikuid, mis avanevad üles- või allapoole, mille haripunkt on koordinaatide alguspunktis või mitte, mis lõikavad x-telge või mitte jne. Järgmine joonis kirjeldab, millise tasandiga tuleb koonust lõigata, et nende lõikejoon oleks parabool. Järgnevalt vaatleme, kuidas parabool defineeritakse. Tegeleme parabooli võrrandiga, mis erineb pisut koolimatemaatikas õpitust. Lisaks joonistame paraboole, mis võivad avaneda nii üles või alla kui ka vasakule või paremale. Esitatud on nii teooria kui näiteülesanded. Iseseisvalt on võimalik läbi lahendada harjutusülesandeid, kus tuleb siiski paber ja pliiats appi võtta. Arvuti teel saab lahendada testi, mis aitab parabooli võrrandist selgust luua. Parabool on joon, mille iga punkti X(x; y) kaugus ühest kindlast sirgest (juhtjoonest) võrdub selle punkti kaugusega ühest kindlast p...
n Kõrgemat järku harilik DV-Üldkuju(F,x,y,y’,y’’,.., y ),kus x-sõltumatu muutuja,y=y(x) otsitav funkt ja y’.. ' n x , y , y , .. y on otsitava fun tuletised.Lahendiks y=y(x)>y=y(x,C1,C2,..,Cn). Normkuju: y =f ¿ , (n ) y (n−1) ¿(1) . Algtingimused y( x 0 ¿= y 0 ; y( x 0 ¿= y 0 ' ; ...
HARILIK ITERATSIOONIMEETOD 2014 SISUKORD 1.Mis on iteratsioonimeetod?......................................................................................................3 2.Harilik iteratsioonimeetod........................................................................................................4 3.Kasutatud kirjandus..................................................................................................................7 1. Mis on iteratsioonimeetod? Iteratsioonimeetodiks nimetatakse teatud võtet võrrandite, võrrandisüsteemide, ekstreemumülesannete jms. Ligikaudseks lahendamiseks. Enamus võrrandi f(x) = 0 ligikaudsetest lahendamismeetoditest on nn iteratsioonimeetodid. Põhimõtteliselt võib iteratsioonimeetodi jagada kaheks osaks: 1) leitakse alglähend x0, milleks on mingi otsitavale lahendile küllaltlähedal paiknev arv (mitmesammulise meetodi puhul läheb vaja mitut alglähendit). 2) T...
Uued mõisted ja valemid Kahe tundmatuga lineaarvõrrand: 1) pooled vahetada- ei muutu ükski märk 2) „Iga roju oma koju“- üksikuid liikmeid võib viia ühelt võrdusmärgi poolt teisele, selle liikme ees olev märk muutub. 3) sarnased liikemd koondada. 4) korrutada või jagada võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga Kahe tundmatuga võrrandi normaalkuju on: esimesel kohal tähestikus eespool oleva tähega liige, teisel kohal tähestikus tagapool oleva tähega liige ja paremal pool võrdusmärki vabaliige. Muutuja avaldamine: 1) avaldatavat muutujat sisaldav liige või liikmed vasakule poole ja kõik ülejäänud paremale poole võrdusmärki. 2) Koonda, kui saab või tegurda. 3) Jagada avaldatava muutuja kordajaga Graafiline võte: 1)Võtan esimese võrrandi ja avaldan muutuja y. 2) Teen tabeli graafiku joonestamiseks 3) Võtan teise muutuja ja avaldan muutuja y ja teen tabeli. 4) joonistan sirged ühele ja samale koo...
Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium Test nr. 1. a 0,5 - 16b 0, 5 1. Leia avaldise - 4b 0, 25 , kui a = 16. a 0, 25 - 4b 0, 25 1) 6 2) -2 3) 4 4) 2 2. Leia antud arvudest suurim ( 2) ( 2) 3, 2 3 1 4, 7 1) 2) 3) 4) 3 4 5 2 3 1- log 3 6 - log 4 0 ,125 3. Arvuta avaldise 27 -4 väärtus. 1) 0 2) 7,875 3) 7,875 4) 3,8...
Põhivara 7. klass Protsendi mõiste: Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%). Jagatise väljendamine protsentides: Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest. Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga. Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab? 3 : 4 = 0,75 0,75 * 100 = 75% Tekstülesannete lahendamine % abil: Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati? Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil. võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24 16% on 16 * 24 = 384 16% 2400-st on 384 Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud. võimalus: Mitu puud on 16% ? 2400 puud on 100% x puud on 16% x = 2400 * 16/100 = 384 Mitu puud istutati?...
1.5 RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax2 + bx + c = 0, kus a 0. Kordajad a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt: ax2 ruutliige, kus a on ruutliikme kordaja; bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu. Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis. Tekstülesande korral peab ...
Uued mõisted · Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat · Kahe liikme summa ja samade liikmete vahe korrutis võrdub nende liikmete ruutude vahega · Kahe liikme summa ruut võrdub esimese liikme ruut pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut · Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimese liikme ruuduga miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teise liikme ruut · Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega, tulemused koondada · Kahe üksliikme summa ja nende üksliikmete vahe mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide summaga · Kahe üksliikme vahe ja nende üksliikmete summa mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende üksliikmete kuupide vahega · Kahe üksliikme summa kuup võrdub esimene liige kuubis pluss kolmekordne esimese liikme ruudu ja teise liikme korrutis pluss kolmekordn...
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid ...
Tallinna Tehnikaülikool Mehhatroonikainstituut trollolloo Kodutöö S-2 Variant nr 11 Jäiga keha toereaktsioonide leidmine tasapinnalise jõusüsteemi korral Tallinn 2011 Variant 11. 1) Lisan x,y teljestiku, avaldan Q . Q= l*lq Q= 0,5*4=2kN Y X I 1) Leian X'i projektsioonide võrrandi. Et on 45 kraadi ning on täisnurk, eeldan, et kui jõule P joonistada täisnurkne kolmnurk nii, et P on hüpotenuusiks tekib nurk : 2, mis on 45 kraadi, sest ka nurk on 45 kraadi. Xa+ P*sin /2=0 2) Leian Y'i projektsioonide võrrandi. Ya-Q-P*cos /2=0 3) Leian momentide võrrandi punkti A suhtes. Sealjuures eeldan, et kuna kolmnurk CBD on täisnurkne ning ülejäänud kaks nurka on omavahel võrdsed on kolmnurk ka v...
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine LIITMISVÕTTEGA Liitmisvõtte idee seisneb ühe muutuja kõrvaldamises ehk elimineerimises võrrandite liitmise või lahutamise kaudu ning tulemuseks saame ühe muutujaga võrrandi. Sealt on juba lihtne vastav muutuja väärtus leida. Teise muutuja väärtuse saame, kui asendame leitud muutuja väärtuse ühte esialgsetest võrranditest. x+2y=11 *(5) 5x3y=3 1.) Viin võrrandi normaalkujule. 5x10y=55 2.) Liidan võrrandid. 5x3y=3 3.) Lahendan saadud võrrandid. 13y=52 :(13) 4.) Arvutan teise tundmatu väärtuse. Y=4 5.) Teen kontrolli. x=114*2 6.) Kirjutan vastuse. ...
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrand...
Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21 ÜLESANNE 1 = 2 # + 8 $ , # = 1, $ = 1 Kirjutan välja karakteristliku võrrandi: $ - 2 - 8 = 0 Leian karakteristliku võrrandi lahendid. = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3 # = 4 I $ = -2 Seega on rekurrentse võrrandi lahend: = I# 4 + I$ (-2) Leian I# ja c$ . I# 4# + I$ (-2)# = 1 4I# - 2I$ = 1 4I# = 1 + 2I$ I# = 0,25 + 0,5I$ I# 4 + I$ (-2) = 1 $ $ 16I# + 4I$ = 1 16(0,25 + 0,5I$ ) + 4I$ = 1 4 + 8I$ + 4I$ = 1 12I$ = -3 I$ = -0,25 I I# = 0,125 Vastus: = 0,125 4 - 0,25 (-2) ÜLESANNE 2 Koostan rekurrentse seose. Olgu An eri vi...
Matemaatiliste valemite loomine 1. Käivita programm Word: StartKõik programmidMicrosoft OfficeMicrosoft Word 2010. 2. Matemaatilised valemid leiad menüüst Lisa. Menüüst vali Võrrand (vajuta nupul). 3. Avaneb mitmeid valikuid erinevatest võrrandi koostamise variantidest. Vali endale sobiv. Omaenese soovide kohaselt võrrandi koostamiseks vajuta tekstile Lisa uus võrrand. 4. Lehele tekib kast kuhu saad sisestada oma valemi.
Tööleht 1 Täida tööleht programmi GeoGebra abil. 1. Missugused järgmistest lahendipaaridest on võrrandi x + 2y = 3 lahendiks? (On lahend / ei ole lahend) (3; 0) On lahend (0,5; 2) Ei ole lahend (-1; 5) Ei ole lahend (2; 1) Ei ole lahend (-5; 4) On lahend (4; -0,5) On lahend (1; 1) On lahend (3; -3) Ei ole lahend (-7; 5) On lahend 2. Leia võrrandi 4x + 0,5y = 2 lahendid, kui x {-1;0;-1,6;3,7} 1) y=12 2) y= 4 3) y=16.8 4) y=-25.6 3x - 2 y y 1 3. Leia võrrandi + = lahendid, kui y {0;-1;-3;1,5} ...
Neutralisatsioonireaktsioon Neeme Katt Neutralisatsioonireaktsioon Happe ja aluse vahel H+ + OH H2O HCl + NaOH H2O + NaCl Na OH + H Cl H OH + Na Cl Punase kapsa mahl Neutralisatsioonireaktsiooni võrrandi koostamine · Koostame lähteainete valemid, kasutades ioonilaenguid · Kirjutame välja saadused soola ja vee · Koostame soola valemi, kasutades ioonilaenguid · Tasakaalustame võrrandi Neutralisatsioonireaktsiooni tähtsus · Soolade valmistamine · Happeliste muldade ja veekogude neutraliseerimine lubjaga · Happelise või aluselise keemiareostuse likvideerimine · Esmaabi hapete või leeliste sattumisel nahale, riietele · Maomahla ülehappesuse neutraliseerimine
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil, mida õpetatakse nii kitsas kui laias kursuses 10. klassi viimase teemana ja analüütiline geomeetria ruumis, mida õpetatakse vaid laias matemaatikas 12. klassis. Esimene kursus kannab pealkirja ,,Vektor tasandil. Joone võrrand" nii laias kui kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja...
Funktsiooni väärtuse Funktsiooni väärtus Andmete arvutamise koht kohal x ARVUTA sisestamine x1= y1= a= x2= y2= Nupu "ARVUTA" vajutamisel b= x3= y3= lahendatud võrrandi vastus: n= x4= y4= h= x5= y5= 2,6242658837 x6= y6= x7= y7= x8= y8= Gr x9= y9= x10= y10= x11= y11= 12 x12= y12= x13= y13= x14= ...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
