Tallinna Tehnikaülikool Automaatjuhtimissüsteemid, ISS0021 Labor nr. 1 Antenni mudel Rain Jõearu 040737 IASB Tallinn 2008 1. Mudeli lähteandmed [X1]- antenni nurk [rad] '[X2] - antenni nurga muutumise kiirus J - kõikide keerlevate osade inertsmoment [kg*m2] J = 20 Bs - igasuguste sumbumiste summaarne koefitsient [kg*m2/s] Bs = 16 M - mootori poolt arendatav moment [kg*m2/s2], M = k*U(t) Md - tuule häiringu moment [kg*m2/s2] e olekuhäiring Xh U(t) - mootori sisendpinge [V] A = 0 1.0000 - olekumaatriks 0 -0.4000 B=0 - sisendmaatriks 0.1945 C - väljundmaatriks D - otsesidemaatriks G - häiri...
Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 - - a13a22a31 - a11a23a32 - a12 a21a33 A R 3×3 det A = a11a22 - a12a21 A R 2×2 Ruutmaatriksi determinant Determinant on ruutmaatriksit iseloomustav arv Pöördmaatriks AA-1 = A-1 A = E det A 0 Ruutmaatriks on regulaarne, kui Regulaarse ruutmaatriksi pöördmaatriks on sama järku ruutmaatriks. Maatriksi ja tema pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit võib leida, kui: -transponeerida maatriks
3. Koondise laos hoiti kolme partiid ettevõtetele kuuluvat kaupa: I partii kaaluga 60 t hinnaga a' 123.00 euri 5 päeva II partii kaaluga 55 t hinnaga a' 140.00 euri 6 päeva III partii kaaluga 45 t hinnaga a' 120.00 euri 12 päeva Jaotada hoiukulud 25000,00 eurot kolme partii vahel proportsionaalselt kaalule, hinnale ja hoiul olevale ajale. 4. Leida A2 – 2AT +4E , kui A = 1 5 -3 ja E on 3.järku ühikmaatriks. 0 -2 3 3 1 4 5. Arvutada determinandi väärtus: 5 -8 5 8 9 -8 5 10 3 22 2 6 -5 4 7 6. Muutuvkulu ühe toote kohta on 6 eurot. Lisaks sellele kulub kuus 2000 eurot ruumide rentimiseks ja 10 000 eurot kontoritöötajate palkadeks. Leida firma kulufunktsioon. 7.Leida firma tulufunktsioon, kui pakutakse teenust hinnaga 15 eurot tund. 8.On antud firma kulufunktsioon C(q)=21q+4000, kus q on toodete kogus
6)Maatriks, parameetrid, erikujulised maatriksid. Maatriksiks nimetame nende arvude tabelit, milles on m rida ja n veergu. Maatriksi rea elemendid on vaadeldavad n-mõõtmelise vektori koordinaatidena(reas asuvad sama vektori koordinaadid); veerud aga m-mõõtmelise vektori koordinaatidena(veerus on samanimelised koordinaadid). m=n ruutmaatriks; mn ristkülikmaatriks. Lisaks veel trapetskuju maatriks, kolmnurkkuju maatriks, diagonaalmaatriks, nullmaatriks, ühikmaatriks. Peadiagonaal ja kõrvaldiagonaal. Parameetrid: a ij- maatriksi elemendid; m-ridade arv; n-veergude arv; reaindeks-i ja veeruindeks-j. 7)Maatriksite liitmine, arvuga korrutamine ja maatriksite korrutamine. Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid elementhaaval ning summaks saame samade parameetritega maatriksi, mille elemendid on liidetavate maatriksite vastavate elementide summad. Maatriksi korrutamisel arvuga saadakse samade parameetritega maatriks, mille elemendid saadakse
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Automaatikainstituut ANTENNI ASENDI (NURGA) JUHTIMINE KODUNE TÖÖ NR 1 aines "Automaatjuhtimissüsteemid" Miko Allikmäe 061643IASB IASB51 Juhendaja:Eduard Petlenkov Esitatud: 26.10.2008 Kaitstud: Õppejõud: Tallinn 2008 Tähistuste selgitused X(t) antenni nurk [rad] X2 antenni nurga muutumise kiirus [rad/s] X2max maksimaalne lubatud antenni nurga muutumise kiirus [rad/s] J kõikide keerlevate osade inertsmoment [kg*m2] Bs igasuguste sumbumiste summaarne koefitsient [kg*m2/s2] M mootori poolt arendatav mom...
i 1 või i²1 =r(cos+sin) Transporeeritudmaatriks: Maatriksi A transporeeritud maatriks AT saadakse kui Kompleksarv: kirjutatakse maatriksi A read vastavateks veergudeks. Avaldis x iy,kus x ja y on reaalarvud ja i on niinimetatud Kordumine: nA imaginaarühik. pAT 1* 2=r1*r2*(cos(1+2) +i sin(1+2)) ...
Maatriksi veergude elementaarteisendamieks 1) , CR , C, CR , C Kasutatakse lineaarvõrrandite süsteemide, maatriksvõrrandite lhendamiseks ja pöördmaatriksi leidmiseks.Maatriksi astaku r(A) leidmiseks on 2 meetodit.selle aluseks on elementaarteisendamine A .1) kui m.A on saadud teisenduste 1)ja 2) abil m.B A siis on nende astakud r(A)=r(B). Iga (m*n) maatriksit võib teisendada nii et tekib antud maatriksi vastav K-järku ühikmaatriks,kõik ülejäänud elemendid on nullid.siit atak r(A)=K 9. Lineaarvõrrandite süsteem ja selle maatriks kuju. .lineaarne võrrand süsteemiks on maatriksi lõplikust arvust lin.võrrandist koosnevat süsteem.. aij (i-m,j-n)-süsteemi kordajad,b-süsteemi vabaliikmed,x-tundmatud.arvud mis rahuldvad süsteemi (()) ongi süsteemi lahendus. A=-süst.maatriks. B=- süst.laien maatriks. - süst.tundmatute maatriks. B=-süst.vabaliikme maatriks
ladina tähtedega A, B, . . . , X, Y, Z. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame Mat(m, n) abil. Maatriksite liigid: ● ruutmaatriks Maatriksit, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. ● ristkülikmaatriks Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristkülikmaatriksiks. ● ühikmaatriks Maatriks, mille peadiagonaalil olevad numbrid on ühed ja ülejäänud nullid. ● nullmaatriks Me nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid. Nullmaatriksi tähiseks on Θ. ● vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on −A. Seega (m, n)-maatriks B = (bkl) on (m, n)-
elemendi akj alamdeterminant. Analoogselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral . Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis det( AB) = (det A) (det B) 4. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E, kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Pöördmaatriksi elementide 1 ~ leidmise eeskiri: A -1 = A. det A 5. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus.
= ( xij) + ( yij) = (xij) + (yij) = X + Y (X + Y ) = X + Y; Omadus 1.15. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m,m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X, EmX = X Tõestus Maatriksite X = (xij ), kus i Nm, j Nn, ja n-järku ühikmaatriksi E1 = (ij) korrutise XE1 = (yij) üldelement avaldub = = , , , =1 mistõttu XE1 = X. Juhul kui E2 on m-järku ühikmaatriks, siis 2 = = = =1 Teoreem 2.2. Kui permutatsioonis omavahel ära vahetada kaks elementi, siis permutatsioon muudab paarsust. Tõestus. Tõestame esmalt teoreemi, kui permutatsioonis vahetatavad arvud on kõrvuti, s.o. permutatsioonist 1 ... +1 ... saame permutatsiooni 1 ... +1 ...
Sirged ja tasandid Joonte ja pindade võrrandite mõiste Võrdust F(x,y,z)=0 nim pinna S võrrandiks antud koordinaatide süsteemis, kui selle pinna kõikide punktide koordinadid rahuldavad seda võrdust ja nende punktide koordinadid, mis ei asu sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuld...
1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi, (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on nn. imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = - 1 või i 2 = -1 . Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z 2 = a 2 + b2 i loetakse võrdseteks ( z1 = z 2 ) , kui a1 = a 2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0. z = a + bi = r cos + i sin ehk z = r (cos + i sin ) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suur...
Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks Maatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse, selllist maatriksit mille korral A*A-1 = A-1*A = E, kus E on sööbivat järku ühikmaatrkis (AGA 1. A on ruutmaatriks ja det A pole võrdu 0-ga) Elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu Leiame det A: Pärast .................... Maatriksit nimetatakse regulaarse maatriksi pöördmaatriksiks, kui = = , kus on ühikmaatriks 6. Lihtsamad maatriksvõrrandid. A*X=B lahendus: X = A-1*B või X*A=B lahendus: : X = B*A-1 7. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks: 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem
22. september 2008.a. Majandusmatemaatika ja Statistika Õppejõud: Silvi Malv Ainepunkte: 4,0 Maht tundides: 160 Hindamisviis: eksam, + teha kõik kontrolltööd tundides (2 matemaatikas ja 1 statistikas) + 1 kodune uurimus Statistika valdkonnas (nt. Omad kulud). MAATRIKSID Maatriks - ristküliku kujuline arvude tabel, kus m-arvud on pandud m-ridasse ja n-arvud on pandud n-veergu. Maatriksis olevaid arvu nim. elementideks, neid pannakse sulgudesse () või [] või ||. a11 a12 ... a1n A= a21 a22 ... a2n = (aij)mn m rida am1 am2 ... amn Arves kõige oluliseim info on summa, hinded, kogus. n - veerg Igal real on oma number. MAATRIKSITE PÕH...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Infotehnoloogia teaduskond Automaatikainstituut Automaatjuhtimise ja süsteemianalüüsi õppetool Daniel Tuulik 111618 IASM Praktikumide aruanne Aines ISS0022 Automaatjuhtimissüsteemide jätkukursus Juhendaja: Eduard Petlenkov Dotsent Tallinn 2012 Praktikum 1_1: Etalonmudeliga adaptiivsüsteemid...............................................2 Praktikum 1_2: Identifitseerimisega adaptiivsüsteemid ........................................2 Praktikum 2: Palli juhtimine rennil........................................................................3 Praktikum 3: Närvivõrkude õpetamine..................................................................3 Praktikum 4: Mittelineaarsete süsteemide juhtimine tehisnärvivõrkudega ...........4...
Ülejäänud väärtused 0 ja 1 vahel on hallskaala. Lahendusmeetodite valik Lahendan ülesande kahel meetodil. Mõlemad põhinevad närvivõrgul. Esimene lahendus on supervised learning, närvivõrgule antakse ette etalonväljund. Teine lahendus on selflearning kus närvivõrk ise tuvastab sisendandmetest vastava hulga erinevaid kombinatsioone. Lahendusmeetodite realiseerimine Esimese lahenduse realisatsioon Fail kreeka_tahestik.m on antud. Sinna lisan lõppu targets maatriksi, mis on ühikmaatriks suurusega 24. Järgmiseks loon närvivõrgu ja treenin selle. Närvivõrk etalonväljundiga on tüüpi FF. Närvivõrku õpetatakse müraga (5%, 10%, 20%, 30%). net=newff(minmax(greek_alphabet),[12 24],{'logsig','logsig'},'traingda') net.trainParam.epochs=5000; net.trainParam.show=25; net.trainParam.min_grad=1e-12; P=[greek_alphabet, greek_alphabet+randn(35,24)*0.05,... greek_alphabet+randn(35,24)*0.1,... greek_alphabet+randn(35,24)*0.2,... greek_alphabet+randn(35,24)*0.3,...
korrutatatud mistahes teine rida või veerg, siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga Kui determinandis on kaks ühesugust rida või veerdu, siis on determinant null 53.Pöördmaatriks-Olgu A n-järku maatriks. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist n-järku maatriksit B, mis rahuldab tingimuse AB=E=BA, kus E on n-järku ühikmaatriks. Pöördmaatriks leidub parajasti siis, kui ta on regulaarne. Tähitatakse A−1 . Arvutamine T 1 A 11 A 12 A−1= ( | A| A 21 A 22 ) 54.regulaarne maatriks- n-järku maatriks A on regulaarne kui | A|≠ 0 55.singulaarne maatriks- n-järku maatriks A on singulaarne kui | A|=0 56.pöördmaatriksi omadused:
kus Ai j on elemendile ai j vastav alamdeterminant ja rea elementidele vastavad alamdeterminandid moodustavad valemis (B) uue maatriksi veerud, st toimub alamdeterminantidest moodustatud maatriksi transponeerimine. Tulemust saab kontrollida tingimuse ( A ) abil. 2) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ELEMENTAARTEISENDUSTE ABIL || A | E || || E | A-1 ||. Teostades elementaarteisendusi laiendatud maatriksi ridadega nii, et lähtemaatriksi A kohale tekib ühikmaatriks E, osutub, et lisatud ühikmaatriksi E asemele tekib otsitav pöördmaatriks A-1. Seda on võimalik kontrollida, kasutades tingimust ( A ). VEKTORI KOORDINAADID ERINEVATES BAASIDES Kui baasis en×1 = ( e1, e2, . . . , en )T on vektori x koordinaadid xn×1 = (x1, x2,. . . , xn )T ja baasis e´n×1= ( e´1, e´2, . . . , e´n )T vastavalt x´n×1= (x´1, x´2, . . . , x´n )T , siis kerkib küsimus, kas ja kuidas on kõnesoleva vektori koordinaadid nendes eri baasides omavahel seotud.
kus Ai j on elemendile ai j vastav alamdeterminant ja rea elementidele vastavad alamdeterminandid moodustavad valemis (B) uue maatriksi veerud, st toimub alamdeterminantidest moodustatud maatriksi transponeerimine. Tulemust saab kontrollida tingimuse ( A ) abil. 2) PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ELEMENTAARTEISENDUSTE ABIL || A | E || || E | A-1 ||. Teostades elementaarteisendusi laiendatud maatriksi ridadega nii, et lähtemaatriksi A kohale tekib ühikmaatriks E, osutub, et lisatud ühikmaatriksi E asemele tekib otsitav pöördmaatriks A-1. Seda on võimalik kontrollida, kasutades tingimust ( A ). VEKTORI KOORDINAADID ERINEVATES BAASIDES Kui baasis en×1 = ( e1, e2, . . . , en )T on vektori x koordinaadid xn×1 = (x1, x2,. . . , xn )T ja baasis e´n×1= ( e´1, e´2, . . . , e´n )T vastavalt x´n×1= (x´1, x´2, . . . , x´n )T , siis kerkib küsimus, kas ja kuidas on kõnesoleva vektori koordinaadid nendes eri baasides omavahel seotud.
veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks ridade arv = veergude arv m=n diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0. ühikmaatriks diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1. tähistus E. 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). Korrutamine arvuga: maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse kõik tema elemendid selle arvuga. (m x n)-maatriksi A = (aij) korrutiseks reaalarvuga c nimetatakse (m x n)- maatriksit cA = (bij), kus indeksite i ja j kõigi väärtuste korral bij = caij
Maatriksi elemendid, mis asuvad diagonaalil maatriksi vasakupoolse ülemisest nurgast paremapoolse alumisenurgani, moodustavad maatriksi peadiagonaali. Definitsioon 3. Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali kõik elemendid on ,,1", aga kõik ülejäänud elemendid on ,,0", nimetatakse ühikmaatriksiks. Tavaliselt seda tähistatakse E (või I ) tähega. Näide 2: 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 E3x3 on 3 järku ühikmaatriks, 1 0 0 0 1 0 = 0 0 1 E n -järku ühikmaatriks. nxn Ruutmaatriksit, mille elemendid (välja arvates peadiagonaali) on ,,0" ja asuvad ühel pool peadiagonaalist, nimetatakse kolmenurksemaatriksiks: või Maatriksit, mis koosneb ainult nullidest, nimetatakse nullmatriksiks : 0 0 0
paremapoolse alumisenurgani, moodustavad maatriksi peadiagonaali. Definitsioon 3. Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali kõik elemendid on ,,1", aga kõik ülejäänud elemendid on ,,0", nimetatakse ühikmaatriksiks. Tavaliselt seda tähistatakse E (või I ) tähega. Näide 2: 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 E3x3 on 3 järku ühikmaatriks, -1- Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1 0 0 0 1 0 Enxn = n -järku ühikmaatriks. 0 0 1 Ruutmaatriksit, mille elemendid (välja arvates peadiagonaali) on ,,0" ja asuvad ühel
Lineaaralgebra I kontrolltöö teooriaküsimused 1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i loetakse võrdseteks ( z1 = z2 ) , kui a1 = a2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. ...
TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise...
(17.2) kus aij (i,j= 1.....n) on arvkonstandid. Sellele süsteemile võib lisada algtingimuse kujul (17.3) (17.4) kus sõltumatuks muutujaks on t. Ja . Toome sisse maatriksi tähistuse (17.5) Ning vektorid siis ja süsteemi (17.4) saab kirjutada maatriksi kujul (17.6) Esialgu vaatleme homogeense süsteemi lahendamist. (17.7) Otsime lahendit kujul , kus , mis on tundmatu vektor. Leiame tuletise . Asendades võrrandisse (17.7) saame, et , kuid seega jääb järgi , kus on esimest järku ühikmaatriks. Siit siis (17.8) Võrrandi (17.8) on maatriks kujul esitatud homogeenne lineaarne algebraline võrrandisüsteem 1 ja 2 suhtes. Selline süsteem saab omada nullist erinevat lahendit vaid siis kui süsteemi determinant on null. (17.9) See on võrrandisüsteemi (17.7) karakteristiline võrrand, mille lahendiks on maatriksi A omaväärtused k 1 ja k2. (17.10) Vektor aga omaväärtusele k1 ( või k2) vastav omavektor, mille saab määratleda konstantse kordaja täpsusega. Kirjutame (17
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij =...
.. + a kn Ain = ik det A. (3) Tõepoolest, kui i = k, siis ik = 1 ning saame valemi (1), vastasel juhul ik = 0 ning saame valemi (2). Et determinandi võib arendada ka veeru järgi, siis analoogilise aruteluga saame: (4) Valemeid (3) ja (4) nimetatakse determinantide teooria põhivalemiteks. 9. Maatriksi pöördmaatriks Olgu ning n-ndat järku ühikmaatriks. Determinantide omaduse 7 kohaselt det E = 1 1 K 1 = 1. Definitsioon 1. Maatriksit A nimetatakse regulaarseks, kui detA 0. Definitsioon 2. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit A-1 , mille korral A -1 A = AA -1 = E . Teoreem. Kui maatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt. Tõestus. Olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmaatriksid, st
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liit...
Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis det ( AB ) = ( det A ) ( det B ) . 4.Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Def. 1. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E , (1) kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Võrdustes (1) on korrutamine võimalik, kui A on ruutmaatriks. Seega pöördmaatriks võib leiduda ainult ruutmaatriksil. Teoreem 1. Maariksi A pöördmaatriks, juhul, kui ta eksisteerib, on üheselt määratud. Tõestus. Olgu B1 ja B2 maatriksi A pöördmaatriksid. Siis AB1 = B1 A = E , AB2 = B2 A = E ja
Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis). Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit. Pöördmaatriks on olemas vaid regulaarsel maatriksil. Def: Ruutmaatriksit A nim regulaarseks kui selle determinant ei võrdu 0ga ja singulaarseks kui võrdub 0. Def: Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1 peab rahuldama võrrandit A*A-1=A-1*A=E, kus E on vastavat järku ühikmaatriks. Lahendskeem: (A!E)- >Gaussi teisend->(E!A-1). N: 248 -2 0 2 468 2. Leontjevi staatiline mudel 1 2 lõpptoodang y kogutoodang x 1 100=x11 160=x12 240 500 2 275 40 85 400 sisemine tarbimine Leontjevi mudel aitab leida samasugust tabelit järgmise aasta jaoks, kui uus lõpptoodang y=(200, 100) Otsekulude maatriks A, aij=xij/xj (1) 100/500 160/400
1. mingile reale skalaarikordse mingi teise rea juurde liitmine 2. mingi rea korrutamine nullist erineva skalaariga (3. kahe rea omavaheline vahetamine) Kui maatriks B on saadud maatriksist A ridade ja veergude elementaarteisendustega, siis r(A) = r(B) Maatriksi A astaku r(A) leidmiseks teisendatakse see maariks ridade ja veergude elementaarteisendustega selliseks maatriksiks B, mille astak r(B) on maatriksi B kujust hõlpsasti leitav. (r(B) suurune ühikmaatriks, ülejäänud nullid) 21. Teoreem maatriksi astakust (tõestusega). Järeldusi sellest. Kui maatriksi A astak on k, siis maatriksil A leidub k lineaarselt sõltumatut reavektorit, millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik reavektorid. A = ||aij|| Kmxn. Olgu r(A) = k ja reavektorid 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ; ...; m = (am1; am2; ...; amn) Kn => leidub k-ndat järku nullist erinev miinor M i1, ...;ikj1;...jk 0 ja kõrgemat järku miinorid on nullid
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks,...
summeerimisega. 52. Vandermondi võrrand, selle lahendamine ja tema seos koodide dekodeerimisega. (raamat lk.63-65- raamatus on väga hästi seletatud) Lahendiks on lokaatorhulkliige, mille, kordajad. Kui suur, mis tüüpi. Kuulub mittelin võrrandite klassi. Esimene rida koosneb ühtedest. Vigaste sümbolite asukohad annavad C1. Hea: esimene, kolmas, viies, seitsmes aste jne. Kui õnnestuks vahele panna teine, neljas, ..., saaks lahendada. Vandermondi maatriks * tundmatu ja võtta trasp ühikmaatriks = C0. -> b0 on kõik 1-d, jne... Ruudud annavad c2-e. Laiendame. Kõikide astmete vigaste sümbolite asukohad astmega 0 annavad c0-i. Võrrandil on olemas lahendus. Lahenduseks on lokaatorhulkliige. Kordajad leitakse lineaarsest võrrandisüsteemist. Kuuluvad GF(2) 53. Lokaatorhulkliige ja tema kujud ja omadused. (Loeng 16, slaidid 24-29) Lokaatorhulkliige on polünoom, mille abil on võimalik BCH koodide dekodeerimisel
Süsteemi mõiste. Süsteemimudel. Muutujad ja parameetrid. Sisend-, oleku- ja väljundmuutujad. Millest sõltub süsteemi käitumine. Süsteemi matemaatiline mudel ja selle koostamine. Algolek ja selle sisu. Dünaamiline süsteem. Pidev- ja diskreetaja süsteemid. Süsteemi mõiste: Süsteem on omavahel seotud objektide terviklik kogum. Süsteem on see, mida saab vaadelda süsteemina (süsteem on subjektiivne – kui tahan, vaatan süsteemina, kui ei taha, ei vaata). Süsteem on funktsioon sisendist ja siseolekust, kui see võrrand teada, siis see võrrand on süsteem ehk süsteemimudel. Süsteemi omadused: element/objekt, sidemed (mistahes seosed elementide vahel, võivad olla orienteeritud, vastastikused, muutlikud, juhuslikud jne), terviklikkus, süsteemil on hierarhia, süsteemil on kindel käitumine. Põhiülesanded: süsteemide modelleerimine (mudelite koostamine), süsteemide analüüs (meetodid süsteemide uurimiseks), süsteemide süntees (meetodid süsteemide loomi...
Rakendame Z-teisendust olekumudelile: X (k + 1) = X (k ) + U (k ) Z zX ( z ) - zX (0) = X ( z ) + U ( z ) Y (k ) = CX (k ) Y ( z ) = CX ( z ) Siit saame zX ( z ) - X ( z ) = U ( z ) + zX (0) Y ( z ) = CX ( z ) ( zE - )X ( z ) = U ( z ) + zX (0) , kus E on ühikmaatriks Y ( z ) = CX ( z ) X ( z ) = ( zE - )-1 U ( z ) + ( zE - )-1 zX (0) Y ( z ) = CX ( z ) 40 Järelikult, Y ( z ) = C ( zE - ) U ( z ) + C ( zE - ) zX (0) -1 -1 14442444 3 144 42444 3 sundliikum ine vabaliikum ine
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ...
.. .. . . .. . . . . 0 0 ... 1 Märkus 2.1 Suvalise n-järku ruutmaatriksi A korral kehtib A · I = A, I · A = A, (2.1) kus I on n-järku ühikmaatriks. Definitsioon 2.3 Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit A-1 , mille korrutis maatriksiga A võrdub ühikmaatriksiga: A · A-1 = A-1 · A = I. (2.2) Märkus 2.2 Maatriksi A pöördmaatriks, juhul, kui ta eksisteerib, on üheselt mää- ratud (vt. [26]). 16
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
