Trigonomeetria ülesanded riigieksamil (0)

Trigonomeetria  ülesanded riigieksamil  
1.  (17.05.1997, H, 10 punkti).  Lihtsustage   avaldis  

2
si 
n   
 

 
 si 
n
   2cos
 





cos 
2   tan    

 2

 2


ja arvutage selle väärtus, kui   
. 
4
2.  (17.05.1997, R, 15 punkti). Lahendage võrrand 
 

cos2  cos2x 

cos
 x . 
 2

3.  (23.05.1998, I, 10 punkti). On antud jooned  y  sin x  ja  y  cos x . 
   
1)  Milliste x väärtuste korral lõigust   ,   on nende joonte puutujad paralleelsed? 
 2 2 

2)  Leidke sirgetega  x  0  ja  x 
 ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 
2
4.  (23.05.1998, II, 20 punkti). On antud funktsioon  f x  sin x  cos x . 
1)  Lihtsustage  avaldist   f x f  x. 
2)  Lahendage võrrand  f x  1. 
3)  Lahendage võrratus  f x  0  lõigus   ,
0  . 
4)  Leidke funktsiooni  f x  miinimumkoht vahemikus   ,
0 
2  ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 
5.  (06.06.1998, T, 10 punkti). Leidke argumendi x kõik väärtused, mille korral funktsiooni  y  tan x  x   tuletis  on 0. 
6.  (31.05.1999, I, 15 punkti). Leidke  sin 
2 , kui  sin   rahuldab  võrrandit 
3
cos 
2
2  7 sin   ja    
. 
2
7.  (31.05.1999, II, 15 punkti). Leidke  sin 
2 , kui  co 
s  rahuldab võrrandit 

25cos2   5cos 12  0  ja 
    . 
2
8.  (24.05.2000, I, 15 punkti).  Rombi  ühe tipu juures olev nurk    rahuldab tingimust 
3 sin  cos  2 . 
Leidke rombi pindala, kui pikem  diagonaal on 24. 
9.  (24.05.2000, II, 15 punkti). Kolmnurga ühe tipu juures olev nurk rahuldab tingimust  
sin  3 cos  2 . 
Leidke kolmnurga pindala, kui kolmnurga küljed on erineva pikkusega ja nurga   vastaskülg on 6 ning lähiskülg  6 3 . 
2cos x  1
  3 
10.  (24.05.2000, I, 20 punkti). On antud funktsioon  f x 
, x   ;
  .  
cos x
 2 2 
 3 
1)  Selgitage, kas funktsioon  f x  on määratud lõigul  x   ;
 . 
 2 2 
  3 
2)  Leidke vahemikus  
  
 2 2 
a)  funktsiooni  f x   nullkohad ; 
b)  vahemikud, kus funktsioon  f x  on positiivne ja kus see on negatiivne; 
c)  funktsiooni   f x   kasvamis - ja kahanemisvahemikud; 
d)  funktsiooni   f x  maksimumpunkt. 
  3 
3)  Skitseerige funktsiooni   f x   graafik  vahemikus  
 . 
 2 2 
2sin x 1
11.   (24.05.2000, II, 20 punkti). On antud funktsioon  f x 
, x   ;
0   .  
sin x
1)  Selgitage, kas funktsioon  f x  on määratud lõigul  x  ;
0  . 
2)  Leidke vahemikus   ;
0   
a)  funktsiooni  f x  nullkohad; 
b)  vahemikud, kus funktsioon  f x  on positiivne ja kus see on negatiivne; 
c)  funktsiooni   f x  kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 
d)  funktsiooni   f x  maksimumpunkt. 
3)  Skitseerige funktsiooni   f x   graafik  vahemikus   ;
0  . 
1  2sin x
  7 
12.  (24.05.2000, T, 20 punkti). On antud funktsioon  f x 
, x   
  .  
1  2sin x
 6 6 
  7 
1)  Selgitage, kas funktsioon  f x  on määratud lõigul  x   ;
 . 
 6 6 
  7 
2)  Leidke vahemikus   
  
 6 6 
a)  funktsiooni  f x  nullkohad; 
b)  vahemikud, kus funktsioon  f x  on positiivne ja kus see on negatiivne; 
c)  funktsiooni   f x  kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 
d)  funktsiooni   f x  miinimumkoht. 
  7 
3)  Skitseerige funktsiooni   f x  graafik vahemikus   
 . 
 6 6 
13.  (21.05.2001, I, 20 punkti).  
1)  Lahendage võrrand  cosx  sin x  1, kui  x  
2

2
. 
x
2)  Leidke parameetri a kõik väärtused, mille korral võrranditel  cosx  sin x  1 ja  cos
 a leiduvad ühised  lahendid , kui 
2
x  
2

2
. 
x
3)  Leidke funktsiooni  y  cos
 periood ja skitseerige selle funktsiooni graafik, kui  x  
2

2
. Skitseerige samale 
2
x
joonisele ka funktsiooni  y  cos
 graafik. 
2
14.  (21.05.2001, II, 20 punkti). 
1)  Lahendage võrrand  cosx  sin x  1, kui  x  
2

2
. 
x
2)  Leidke parameetri b kõik väärtused, mille korral võrranditel  cosx  sin x  1 ja  sin
 b leiduvad ühised lahendid, kui 
2
x  
2

2
. 
x
3)  Leidke funktsiooni  y  sin
 periood ja skitseerige selle funktsiooni graafik, kui  x  
2

2
. Skitseerige samale 
2
x
joonisele ka funktsiooni  y  sin
 graafik. 
2
15.  (21.05.2001, T, 15 punkti). 
si 
n
 x
 




cos
 x
 2

1)  Antud on funktsioon  f x 
. 
tan  x tanx   
Lihtsustage funktsiooni avaldist. 
2
2)  Lahendage võrrand  sin x  cos x  1 vahemikus  x   
2

2
. 
16.  (20.05.2002, I, 15 punkti).  Vaatleme  funktsioone  f x  cos2x  ja  gx  cos x . 
1)  Avaldage  cos2x suuruse  cos x   kaudu. 
2)  Lõigul  

2
0
 
a)  lahendage võrrand  f x  gx ; 
b)  joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide  f x  ja  gx   graafikud ; 
c)  leidke joonise abil x väärtused, mille korral  f x  gx . 
17.  (20.05.2002, II, 15 punkti). Vaatleme funktsioone  f x  cos2x  ja  gx  sin x . 
1)  Avaldage  cos2x suuruse  sin x   kaudu. 
2)  Lõigul  

2
0
 
a)  lahendage võrrand  f x  gx ; 
b)  joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide  f x  ja  gx  graafikud; 
c)  leidke joonise abil x väärtused, mille korral  f x  gx . 
18.  (30.05.2002, T, 15 punkti). Vaatleme funktsioone  f x  sin 2x  ja  gx  sin x . 
1)  Avaldage  cos2x suuruse  sin x   kaudu. 
2)  Lõigul  

2
0
 
a)  lahendage võrrand  f x  gx ; 
b)  joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide  f x  ja  gx  graafikud; 
c)  leidke joonise abil x väärtused, mille korral  f x  ja  gx  mõlemad on samaaegselt positiivsed. 
19.  (30.10.2002, S, 15 punkti).  Vaatleme funktsiooni  f x  2sin x 1 lõigul  

2
0
. 
1)  Lahendage võrrand  f x  0 . 
2)   Moodustage  avaldis  f   x  f   x ja lihtsustage seda. 
3)  Joonestage ühes ja samas teljestikus funktsiooni  y  f x  graafik ja sirge  y  2
 . 
4)  Leidke x väärtused, mille korral funktsiooni  y  f x  graafik asetseb sirgest  y  2
  allpool. 
20.  (20.05.2003, I, 15 punkti). Antud on funktsioon  f x  sin 2x  lõigul  

2
0
. 
1
1)  Lahendage võrrand  f x 
. 
2
2)  Joonestage funktsiooni  y  sin 2x  graafik ja kandke eelmises punktis leitud lahendid joonisele. 

3)  Kolmnurgas ABC olgu  C  90 ,  A    ja AB=2. Tõestage, et kolmnurga ABC pindala võrdub väärtusega  f  . 
4)  Leidke nurk   nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala väärtus oleks 1. 
21.  (20.05.2003, II, 15 punkti). Antud on funktsioon  f x  cos2x  lõigul  

2
0
. 
1
1)  Lahendage võrrand  f x 
. 
2
2)  Joonestage funktsiooni  y  cos2x  graafik ja kandke eelmises punktis leitud lahendid joonisele. 

3)  Kolmnurgas ABC olgu  C  90 ,  B    ja AB=1. Tõestage, et kolmnurga ABC kaatetite summa võrdub väärtusega 
f  
. 
cos  sin 
1
4)  Leidke nurk   nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala oleks võrdne 
. 
4
22.  (26.05.2003, T, 15 punkti). Arvsirge piirkonnas, kus  0  x  
2 , vaadeldakse funktsioone  f x  2 cosx  ja 
gx  tan x . 
1)  Lahendage võrrand  f x  gx . 
2)  Joonestage funktsioonide  f x 
2 cosx  ja  gx  tan x  graafikud ja märkige eelmises punktis leitud lahendid 
joonisele. 
3)  Leidke vahemik, kus mõlemad funktsioonid on samaaegselt  
a)  positiivsed, 
b)  negatiivsed. 
2
23.  (01.11.2003, S, 15 punkti). Antud on funktsioon  f x  6 cos x  sin x  6  lõigul  

2
0
. 
1)  Leidke x väärtused, mille korral  f x  0 . 
2)  Tõestage, et iga x korral  f x  0 . 
1
3)  Moodustage funktsioon  gx 
f   x f x ja tõestage, et  gx 2
 cosx .  
6
4)  Joonestage funktsioon  y  2
 cosx graafik lõigul   
2
0
. 
4
4
24.  (17.05.2004, I, 15 punkti). Antud on funktsioon  f x  cos x  sin x . 
1)  Lihtsustage funktsiooni avaldist. 
2
2)  Arvutage  f   täpne väärtus, kui  cos  
. 
7
3)  Määrake, kas  f x  on paaris- või paaritu funktsioon. 
4)  Lahendage võrrand  f x  0  lõigul    ; . 
5)  Joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide  y  cos x  ja  y  cos2x  graafikud lõigul    ; . 
4
4
25.  (17.05.2004, II, 15 punkti). Antud on funktsioon  f x  cos x  sin x . 
1)  Lihtsustage funktsiooni avaldist. 
1
2)  Arvutage  f   täpne väärtus, kui  sin  
. 
5
3)  Määrake, kas  f x  on paaris- või paaritu funktsioon. 
4)  Lahendage võrrand  f x  0  lõigul  

2
0
. 
5)  Joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide  y  cos x  ja  y  cos2x  graafikud lõigul  

2
0
. 
2
2
26.  (01.06.2004, T, 15 punkti). Vaatleme lõigul    ;  funktsioone  f x  cos x  sin x  ja  gx  sin 2x . 
1)  Lahendage lõigul    ;  võrrand  f x  gx . 
2
2
2)  Joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide  f x  cos x  sin x  ja  gx  sin 2x  graafikud. 
3)  Leidke antud funktsioonide graafikute lõikepunktide koordinaadid. 
27.  (21.05.2005, I, 5 punkti). Joonestage samas teljestikus funktsioonide  y  sin x  ja  y  cos x  graafikud. Määrake lõigul 
 
2
 graafikute lõikepunkti koordinaadid. Põhjendage vastust. 
28.  (21.05.2005, II, 5 punkti). Joonestage samas teljestikus funktsioonide  y  sin x  ja  y  cos x  graafikud. Määrake lõigul 
 
0
;  graafikute lõikepunkti koordinaadid. Põhjendage vastust. 
29.  (08.06.2005, T, 5 punkti). Täisnurkse kolmnurga  teravnurk    rahuldab võrrandit  sin2  sin  0 . Leidke kolmnurga 
teravnurkade suurused. 
30.  (02.05.2006, I, 5 punkti). Leidke suuruse a väärtused, mille korral võrrandil  cosx  5a  2 leidub  lahend , mis kuulub lõiku 
  
 ;
0
 . 
 2 
31.  (02.05.2006, II, 5 punkti). Leidke suuruse a väärtused, mille korral võrrandil  sin x  2a  3 leidub lahend, mis kuulub lõiku 
  
 ;
0
 . 
 2 
32.  (22.05.2006, T, 15 punkti).   
1)  Lahendage võrrand  sin x  sin2x  0 , kui  x 

2
0
. 
2)  Leidke funktsiooni  y  sin 2x periood. Joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide  y  sin 2x ning  y  cos x  
graafikud lõigul  

2
0
. 
3)  Leidke punktis 2 joonestatud graafikute abil funktsioonide  y  sin 2x ja  y  cos x  ühised nullkohad, kui  x 

2
0
. 
33.  (18.05.2007, I, 10 punkti). Antud on funktsioon  y  2sin x lõigul  

2
0
. 
1)  Leidke funktsiooni nullkohad ja  muutumispiirkond . 
2)  Joonestage funktsiooni graafik. 
3)  Kasutades saadud  graafikut , leidke 
a)  funktsiooni positiivsus - ja  negatiivsuspiirkond ; 
b)  argumendi x väärtused, mille korral  y  1
 . 
34.  (18.05.2007, II, 10 punkti). Antud on funktsioon  y 
5
0 cosx lõigul  

2
0
. 
1)  Leidke funktsiooni nullkohad ja muutumispiirkond. 
2)  Joonestage funktsiooni graafik. 
3)  Kasutades saadud graafikut, leidke 
a)  funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond; 
1
b)  argumendi x väärtused, mille korral  y  
. 
4
35.   (16.05.2008, I, 15 punkti). 
1)  Lihtsustage avaldis  cos2x  sin2x tan x  cosx . 
2)  Joonestage funktsioonide  f x  cos x  ja  gx  cos2x  graafikud lõigul  

2
0
 ühes ja samas teljestikus ning leidke 
graafikute lõikepunktide abstsissid. 
3)  Leidke osa 2) joonise abil argumendi x väärtused lõigul  

2
0
, mille korral  gx f x. 
36.  (16.05.2008, II, 15 punkti). 
1)  Lihtsustage avaldis  cos2x  sin2x tan x  sin x . 
2)  Joonestage funktsioonide  f x  sin x  ja  gx  sin 2x  graafikud lõigul  

2
0
 ühes ja samas teljestikus ning leidke 
graafikute lõikepunktide abstsissid. 
3)  Leidke osa 2) joonise abil argumendi x väärtused lõigul  

2
0
, mille korral  f x gx. 
37.  (02.06.2008, T, 15 punkti).  
sin 2x
cos x
5
1)  Lihtsustage avaldis 

x 
. 
1 
 ja arvutage selle täpne väärtus, kui 
cos2x
2
1  cos x
3
2)  Joonestage lõigul    
2
 funktsioonide  f x1 cosx ja  gx sinx  graafikud ning määrake nende 
lõikepunktide koordinaadid. 
3)  Leidke osa 2) joonise abil lõigul    
2
 argumendi x väärtused, mille korral on  f x gx. 

 
 5

38.  (15.05.2009, I, 15 punkti). On antud funktsioonid  f x  si 
n x 
  si 
n
 x ja  gx  sin2x . 

6 
 6

1)  Näidake, et  f x  cosx .  
2)  Leidke võrrandi  gx   cos x  lahendid, mis asuvad lõigul  

2
0
. 
3)  Joonestage ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide   y  f x  ja   y  gx  graafikud ning lahendage joonise 
põhjal võrratus  f x  gx  lõigul  

2
0
. 
 2


 
39.  (15.05.2009, II, 15 punkti). On antud funktsioonid  f x  sin 2x gx  co 
s
 x  co 
s x 
  ja. 
 3


3 
1)  Näidake, et  gx   cos x .  
2)  Leidke võrrandi  f x   cos x  lahendid, mis asuvad lõigul  

2
0
. 
3)  Joonestage ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide   y  f x  ja   y  gx  graafikud ning lahendage joonise 
põhjal võrratus  f x  gx lõigul  

2
0
. 
40.  (.05.2009, T).