Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
sioon, punk, tame, teoreem, tatud, mise, integ, koonduv, tõke, duse, defi, piirväärtus, tingi, juhu, diferent, koonduvus, integraal, juur, võrratus, liku, diferentseeruv, kontrol, defineeri, reaal, muutuja, elemen, võrd, reaalarv, liselt, reaalarvu, jadad, intervall, veen, nide, niisiis, analoog, põhjenda, eelda, parajasti, ratsionaal, monoEeldame, et X ⊂ R on mittetühi alamhulk, mis on alt tõkestatud reaalarvuga m, s.t. m ≤ x iga x ∈ X korral. Omaduse ** kohaselt −x ≤ −m iga x ∈ X korral. Tähistame Y := {−x | x ∈ X} ja paneme tähele, et hulk Y on ülalt tõkestatud. Pidevuse aksioomi (P) põhjal laidub tal ülemine raja c := sup Y. Näitame, et arv a := -c on hulga X alumina raja. Kuna −x ≤ c, siis x ≥ −c = a iga x ∈ X korral , mis tähendab, et a on hulga X alumine tõke. Osutub, et ta on alumistest tõketest suurim. Et selles veenduda, võtame suvalise d > a ja kontrollime niisuguse x0 ∈ X olemasolu, mis rahuldab tingimust x0 < d. Teisisõnu me näitame, et *** on täidetud. Võrratusest d > a tuleneb, et −d < −a = c, ja kuna c = sup Y , siis tingimuse **** põhjal leidub selline y0 ∈ Y , et y0 > −d. Seejuures y0 = −x0 mingi x0 ∈ X korral, mistõttu −x0 = y0 > −d ehk x0 < d. Lause on tõestatud.
1)konstantse PV jada PV on seesama konstant; 2)kui jada {x n} koondub ja PV=a, siis 2). ∀ u ∈ V α ∈ R||αu||=|α |∗¿∨u∨¿ koondub ka {|xn|},kusjuures selle PV on |a|; 3)Iga koonduv jada on tõkestatud; 4)Kui jada PV≠0, siis teatud elemendist alates on jada liikme abs.v. >|a|/2 ; 5)kui jadad {xn} ja {yn} koonduvad ja üldliikmed rahuldavad võrratust x n≤yn, siis sama
4)Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a δ-ümbrus, et iga 0 < |x − a| < δ korral kehtib võrratuste ahel f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), siis funktsiooni h(x) piirväärtus punktis a on samuti b. 5)lim (1 + 1/x)x = e; lim (1+1/x)x = e; lim (1+x)1/x = e x→+∞ x→ - ∞ x→ 0 4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad
f ( φ ( x ) ) φ ( x ) dx=¿ ∫ f ( φ ( x )) dφ ( x ) . kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub kujul S=∫ ψ ( t ) φ ' ( t ) dt f ( t ) dt=¿∫ ¿ α 3. Lebesgue’i teoreem. Erijuhud. Lause(Lebesgue’i teoreem):Funktsioon f on lõigul [a,b] ∫¿ Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis kui ta on tõkestatud lõigul [a,b] ja pideb peaaegu kõikjal lõigul [a,b],, st katkev hulgal, millel Lebesgue’i mõõt on null. Hulga D ⊂ R Lebesgue mõt on null siis
Hulka Uε(a) := {x ∈ V|d(a, x) < ε, ε > 0} nimetatakse punkti a ∈ Vε-ümbruseks. 9. Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ülemine ja alumine raja. Reaalarvu a ∈ R korral saame Uε(a) = {x ∈ R|a − ε < x < a + ε}. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks hulgal X, kui ta on pidev hulga X igas punktis. Tahistatakse Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] parajasti siis, kui selle arvu kaugus f(x) ∈ C(X). arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a
Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) . Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Tõkestatud hulga X elemendid paiknevad lõigus [m, M ] , kus M on hulga X mingi ülemine ja m mingi alumine tõke. Kui M on hulga X ülemine tõke, siis on selle hulga ülemiseks tõkkeks ammugi iga arv M > M , ja kui m on hulga X alumine tõke, siis on selle hulga alumiseks tõkkeks ka iga arv m < m . Ülemine ja alumine raja Definitsioon: Reaalarvude hulga X väikseimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks. Definitsioon: Reaalarvude hulga X suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks.
Fourier’ teisenduse omadusi: • F f(t + Abeli teoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. ∑∞𝒌=𝟏 𝒂𝒌 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +. . . +𝒂𝒌 +. .. , kus 𝒂𝒌 (𝒌 ∈ 𝑵) on reaalarvud, nimetatakse arvreaks
Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni 6. Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga > 0 leidub () > 0, et iga ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuse omadused
Millest sin x < x < tan x Jagame selle võrratuse iga liikme läbi arvuga sin x, tulemuseks saame: x 1 sin x 1< < milest järeldub: cos x < < 1 (1.1) sin x cos x x Kuna punkt a = 0 asub elementaarfunktsioon y= cos x määramispiirkonnas, siis teoreemist (1*) järeldub, et limx0=cos0 = 1. Rakendades võrratusele (1.1) keskmise muutuja omadust, saamegi võrduse (**) M.O.T.T LISA: TEOREEM 1* kui punkt a kuulub elementaarfunktsiooni f määramispiirkonda, siis limxaf(x) = f(a). 1 lim (1 + ) x = e x x 8. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid, nende rakendamine piirväärtuste leidmisel Funktsiooni = (x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui lim xa (x)= 0. Lõpmata väikeseid funktsioone = (x) ja = (x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis x a, kui
piirväärtus on . 3. Iga koonduv jada on tõkestatud. 2. ¿ a∨≥ a Tõkestatud: leidub arv M>0 , et iga 4
kolmekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Df(x,y,z)dV. Piirkonda c R3 nimetatakse regulaarseks, kui tema raja koosneb lõplikust arvust pidevatest pindadest tüüpi z=z(x,y) või Cauchy ülesanne ehk algtingimustega ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesus. Peano teoreem. Cauchy teoreem. y=y(x,z) või x=x(y,z). Cauchy ülesanne esimest järku HDV(harilik diferentsiaalvõrrand) jaoks: Regulaarset piirkonda = {(x,y,z) c R3 | (a <= x <= b) (1(x) <= y <= 2(x)) (1(x,y) <= z <= 2(x,y)) }, kus funktsioonid 1,
A · X = F korrutada (vasakult) pöördmaatriksiga A-1 : A-1 · A · X = A-1 · F. 17 PEATÜKK 2. PÖÖRDMAATRIKS. LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMID Kuna A-1 · A = I ja I · X = X, siis saamegi võrrandisüsteemi lahendi X = A-1 · F. (2.3) 2.3 Pöördmaatriksi leidmine valemi abil Teoreem 2.1 Ruutmaatriksil A = (aij ) leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui tema determinant ei võrdu nulliga. Kui |A| = 0, siis T A11 A12 ··· A1n 1 A21 A22 ··· A2n -1 A = ·
ei lähene nullile. Rida hajub
35. Arvrea koonduvuse Cauchy tunnus (sten)
36. Arvrea koonduvuse integraaltunnus
37. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus
Vahelduvate märkidega rida on rida kujul a1a2+a3a4, ..., kus ai>0
Leibnitzi tunnus
Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et a1>a2>a3>a4>...
ja nlim an = 0 , siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea
esimest liiget
38. Astmeread. Abeli teoreem
Abeli teoreem
a) Kui astmerida koondub mingi nullist erineva väärtuse x'0 korral, siis koondub ta absoluutselt
iga väärtuse x korral, mille puhulx
5. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid Definitsioon 4. Funktsiooni = (x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui lim xa (x)= 0. Definitsioon 5 Lõpmata väikeseid funktsioone = (x) ja = (x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis x a, kui ( x ) lim xa ( x ) = 1. Kirjutame (x) ~ (x), x a. Teoreem 8. Kui piirprotsessis x a lõpmata väikeste funktsioonide y= (x), y= 1(x), y= (x), y=1(x) korral (x) 1(x), (x) 1(x) ja eksisteerib piirväärtus ( x ) lim x a , 1 ( x ) siis ( x) ( x) 1) lim x a = lim x a 1 , ( x) 1 ( x)
1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39
YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaulikool ¨ [email protected] http://www.ttu.ee/gert-tamberg ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 1 / 25 ~ Oppeaine sisu ~ Oppeaine jaotub kahte ossa: 1 Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9) 2 Integraalarvutus (loengud 10-16) ~ Oppeaine ~ lopphinne pannakse valja¨ viiepallisusteemis. ¨ Tudengil on ~ voimalik saada oma hinne katte ¨ semestri jooksul sooritatud kontrollto¨ ode ¨ ~ pohjal. Selleks tuleb kirjutada kolm teooria to¨ od ¨ (kollokviumi)
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos. Teoreem 2.1 Suurus α on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Teoreem 2.2 Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev. Tõkestatud suurus Muutuvat suurust α nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud, leidub lõplik vahemik (a, b) Lõpmatult kahaneva ja tõestatud suuruse korrutis. Teoreem Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis
f (x)dx = F(b) -F(a) 11). (Integreeruva funktsiooni tõkestatus). Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a,b] tõkestatud. 21). (Muutujavahetus määratud integraalis). Lause: Kui [, ] ja () on Näitame, et funktsioon pole integreeruv. < 0 < 1 < < = . Kuna f pole
0; 3) ei ole funktsioonil f(x,y) ei maksimumi ega miinimumi, kui 𝐴𝐵 − 𝐶 2 < 0 ; 4) küsimus jääb lahtiseks kui ϵ Rn, nimetatakse regulaarseks , kui Ta on üksühene osatuletised xk(t), k=1,…..,n on pidevad piirkonnas 10. Cauchy ülesanne ehk algtingimusega ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesus. Peano teoreem. Cauchy 𝐴𝐵 − 𝐶 2 = 0 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 3. Kahemuutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange’i funktsioon
= lim x = lim tan = tan , x x 0 x x 0 kus on puutuja tõusunurk, tan = k on puutuja tõus. z Geomeetriliselt on osatuletis võrdne pinna z = f ( x, y ) ja tasandi y = const x lõikejoone antud punktis tõmmatud puutja tõusuga k = tan . z Analoogselt on võrdne pinna z = f ( x, y ) ja tasandi x = const lõikejoonele tõmmatud y puutuja tõusuga. 4. Kahe muutuja funktsiooni diferentsiaal. Teoreem diferentsiaali olemasolust. Def. 4.1. Kui kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) täismuudu saab esitada kujul z = Ax + By + ( ) , kus = x 2 + y 2 ning A ja B ei sõltu x ja y-st. ( ) on kõrgemat järku LKS suhtes ( ) lim = 0, 0 siis funktsiooni muudu lineaarne osa (x ja y suhtes) on selle funktsiooni diferentsiaal. dz = Ax + By (4.2) Teoreem 4.1. (teoreem diferentsiaali olemasolust)
Siis x − x1 > 0. Jagades võrratuse positiivse arvuga x − x1 saame f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0. Võtame piirväärtuse: F’(x1) = lim f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0. x→x1 Võrratused näitavad, et f’(x1) ≥ 0 ja f’(x1) ≤ 0. See on võimalik vaid siis, kui f’(x1) = 0. Seega on lemma tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle’i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et f’(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis
14. Katkev funktsioon, esimest liiki katkevus, esimest liiki katkevuspunktide jaotus, teist liiki ..11 katkevuspunktid. Tuua näiteid. ......................................................................................................11 15. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. .................................................................................................................................. 13 16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest, teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast. ........................................................... 13 17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem. ..............................................................................................................................14 18. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (tõestusega)
1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest
Märkus 1: n muutuja funktsioonil võib esineda n esimest järku osatuletist. Nad iseloomustavad funktsiooni muutumise kiirust vastava koordinaattelje sihis. Kui wi > 0 siis funktsioon kasvab i- nda koordinaadi kasvades, kui wi < 0 siis funktsioon kahaneb i-nda koordinaadi kahanedes. Märkus 2: esimest järku osatuletistest arvutatud osatuletisi nimetatakse teist järku osatuletisteks. Tähis on wij . Neist võib edasi arvutada kõrgemat järku osatuletisi. Tähis on wij ...k . Schwarz´i teoreem pidevate funktsioonide segatuletised on võrdsed fxy=fyx Tuletis antud suunas. Granient Definitsioon: kui ühikvektori tähis n-mõõtmelises ruumis on l0, siis defineeritakse funktsiooni w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale
*Tõestus: Fikseerime . Vastavalt piirväärtuse def. Leiduvad arvud n1, n2 N nii, et: n > N1 Xn U(a) - < Xn < a+ n > N2 Yn U(a) - < Yn < a+ Kui N= max(n1; n2),siis vastavalt eeldusele n>N korral - < Xn < Zn < Yn < a + Zn U(a), mis vastavalt piirväärtuse def. annab 7*(Jada tõkestatus. Koonduva jada tõkestatuse tõestus) Jada {Xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0). *Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud. *Tõestus: a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada. b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud. 8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano- Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või mittekahanev. *Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. *Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks.
TTU¨ Matemaatikainstituut http://www.staff.ttu.ee/math/ Ivar Tammeraid http://www.staff.ttu.ee/itammeraid/ ¨ US MATEMAATILINE ANALU ¨ I Elektrooniline ~oppevahend Tallinn, 2001 Tr¨ ukitud versioon: Ivar Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu ¨ Kirjastus, ¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6}, {2,4}} 2. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Kujutist P: F → [0;1] nimetatakse tõenäosuseks, kui: 1) P(Ω) = 1 2) AB = ∅ => P
kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn a või lim xn = a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Tõkestatud suuruse definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem 2.1. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1 / on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suurused
a. Arvu L2 nimetatakse funktsiooni f(x) vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga ε>0 korral leidub niisugune arv δ> 0 , et kui a−δ < x Teoreem : Piirväärtus f ¿ on olemas parajasti siis, kui lim ¿ lim ¿ x→a x→ a 8. Piirväärtuste tehetega seotus omadused: a. Eeldame, et kõik paremal pool olevad piirväärtused eksisteerivad. i. Kui c on konstant, siis lim[cf(x)] = c[lim f(x)] s. t
= 0,1,2,... korral. T: Olgu L = L (M ), kus M = (Q , Σ, δ , Q0 , F ) ja Q = {q0 ,1 , . . . , qn }. Valime p = n. Siis sõne z = a1a2...an+1 aktsepteerimiseks peab automaat M tegema n+1 sammu. Järelikult vähemalt 1 olek peab korduma. Järelikult uw ∈ L(M), uvw ∈ L(M), uv2w ∈ L(M) jne. Keel L = {0n1n|n > 0} pole regulaarne. Sellise keele jaoks on vaja mälu. 6 Myhill-Nerode teoreem. DEF: Olgu keele L ⊆ Σ* (keel on kõigi sõnede hulga alamhulk) jaoks antud ekvivalentsiseos HL ⊆ Σ* × Σ* selline, et xHLy kehtib parajasti siis, kui iga z ∈ Σ* korral kehtib xz ∈ L yz ∈ L (iga suvalise z lisamisel x ja y sappa, kuuluvad saadud xz ja yz mõlemad keelde L või ei kuulu mõlemad). Teoreem: Keel L on regulaarne parajasti siis, kui seose HL ekvivalentsiklasside hulk on lõplik.
y 2 x 1 1 Joonis 1.13: y = arccos x 16 y 2 x 2 Joonis 1.14: y = arctan x y 2 x Joonis 1.15: y = arccot x 17 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunkt- sioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y = f (x) ja y = g(x) u ¨hise m¨a¨aramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y v¨a¨artuse valemiga y = f (x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨ahis on f + g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f (x) + g(x).
2 Joonis 1.12: y = arcsin x y 2 x 1 1 Joonis 1.13: y = arccos x 16 y 2 x 2 Joonis 1.14: y = arctan x y 2 x Joonis 1.15: y = arccot x 17 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunkt- sioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y = f (x) ja y = g(x) u ¨hise m¨a¨aramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y v¨a¨artuse valemiga y = f (x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨ahis on f + g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f (x) + g(x).
annaabi.ee 
