Maailm Meie päikesesüteem on üks huvitav asi.. Kui seda nüüd kirjeldada: üks suurem keha keskel, väiksemad tiirlevad ümber selle. Mida see teile meenutab? Bohri aatomimudel! Kuigi, päike on tuumaks liiga väikese kaaluga ja lisaks ta pöleb, aga... Aga kust me teame, mis täpselt vöib ühe kummalise aatomi sees toimuda? Ehk ongi meie päikesesüsteem vaid üks kummalist reaktsiooni läbi viiv aatom. Reaktsioon kestab muidugi kauem, kui meie reaalselt aega mööta oskame, aga siiski, aga siiski...! Ja mis köik maailmad vöivad seega olla omakorda meie aatomites. Palju väksemad, palju primitiivsemad, kuid ometigi terved maailmad! Ja vöib-olla on neiski mingi elu. Ja vöib-olla on ka neis omakorda aatomid uute maailmadega ja omakorda... Kuni nii pisikeseks, mida ei ole ühegi abivahendiga inimestel vöimalik tajuda ega aimata. Alati saab ju väiksemaks minna, alati saab ju pooleks teha... Mötle korraks, et...
3 1 4 p(A + B) = p(A) + p(B) = + = . 10 2 5 Välistavate sündmuste korral saab tõenäosuste liitmise lause üldistada n liidetavale, vaadeldes esmalt sündmust (A + B) + C, siis sündmust (A + B + C) + D jne. p(A + B + ... + K) = p(A) + p(B) + ... + p(K). Elementaarsündmuste ruumi korral p(E1) + p(E2) + ... + p(En) = 1 4. Tõenäosuste korrutamine · Kui ühe sündmuse toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine sündmus toimus või mitte, siis nimetatakse neid sündmusi sõltumatuteks sündmusteks. Kahe sõltumatu sündmuse korrutise tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste korrutisega. p(A · B) = p(A) · p(B). Näide 1. On kaks urni, neist esimeses on 5 musta ja 3 valget kuuli, teises on aga 4 musta ja 6 valget kuuli. Kummastki urnist võetakse juhuslikult üks kuul
Lahendused ja vastused 1. Kokku on 13 lõiku. Lõigud on kolmnurgal ABC 3 külge, BD, AE, AD, DC, BE, EC, BO, OD, AO ja OE. SEE SIIS LAHENDUS 1 2 3 1 4 3 4 1 3 2 3 2 4 1 2 1 4 2 4 1 6 2 1 2 3 2. 1 2 3 1 4 3 4 1 3 2 3 2 4 1 2 1 4 2 4 1 6 2 1 2 3 3. 4. Ruut on jaotatud 9-ks väikeseks ruuduks, neist 4 on träniga, mille kogupindala 36 cm². Seega on on ühe ruudu pindala 36 : 4 = 9 cm² ning selle külg 3 cm. Tärniga tähistatud ruutude ümbermõõt on seega 10 · 3 = 30cm 5. 1) 1 = 3 -3 : 3- 3 : 3 6) 6 = 3 · 3 · 3 : 3- 3 2) 2 = 3 · 3 : 3- 3 : 3 7) 7 = 3 · 3- 3 + 3 : 3 3) 3 = 3 + 3 + 3- 3- ...
101 =IF(A16<100;"Väike";"Suur") Suur =COUNTIF(A10:B13;FALSE) 4 COUNTIF Tõeväärsustabel =SUMIF(A10:A16;">1") 200 SUMIF AND OR NOT =SUMIF(A7:A9;"Iirised";B7:B9) 1,05 TÕENE TÕENE VÄÄR VÄÄR TÕENE VÄÄR VÄÄR TÕENE TÕENE VÄÄR VÄÄR TÕENE Selgitus Loogiline korrutamine Loogiline liitmine Loogiline eitamine AND(tingimus1;tingimus2;...) - tõene vaid kõikide tingimuste tõesuse korral NOT(tingimus) - kui tingimus on tõene, väljastab FALSE OR(tingimus1;tingimus2;...) - tõene vaid ühe tingimuse tõesuse korral Väljastab väärtuse FALSE Väljastab väärtuse TRUE IF(tingimus;tõene;väär) - kui tingimus on tõene väljastab sõna "tõene", vastupidisel juhul sõna "väär" COUNTIF(piirkond;tingimus) - loeb antud piirkonnast tingimusele vastavad lahtrid
Pole siiramat armastust, kui armastus toidu vastu. George Bernard Shaw Tsivilisatsiooni aksepteerimine, nii nagu ta on, tähendab allakäigu heakskiitmist. Teadmata Hinda meest tema küsimuste, mitte vastuste järgi. Voltaire Naer annab inimesele tagasi jõu, mille talt võtsid pisarad. Rahvatarkus Selge mõistuse esimeseks eelduseks on enamike arvamusega mittenõustmine. Oscar Wilde Kui meie ei aita üksteist, siis kes seda veel teeb? Barbara Mandarell Andesta oma vaenlastele, kuid ära unusta nende nimesid. John F. Kennedy Oma probleemid oleme ise tekitanud - ja lahendada saame neid ainult me ise. John F. Kennedy Kujutlusvõime on tähtsam kui teadmised. Albert Einstein Me kõik oleme erandjuhtumid. Albert Camus Ainult väga ükskõiksed või väga intelligentsed inimesed saavad muutustele vastu panna. Sokrates Headest asjadest tuleb mõelda sellepärast, et mitte mõelda halbadest asjadest. Kõigi kuritegude põhjuseks on valestimõistmised või ...
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn a>0 d = 2r r= a = a = - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn 0, kui a = 0 (a...
arvutusseadused: 1. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C; 2. A + B = B + A; 3. A + O = A. 4. Maatriksi korrutamisel nullist erineva arvuga c, korrutatakse kõiki elemente selle arvuga cA = ( caik ); näiteks 3 15 3 - 6 0 21 15 - 3 12 3A = . 5. Maatriksite korrutamine. Olgu antud maatriksid A = ( aik )ml ja B = ( bik )ln. Maatriksite A ja B korrutiseks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik leitakse järgmise eeskirja kohaselt: c ik = ai1b1k + ai2b2k + . . . + ailblk. Korrutise tulemusena saadakse mn tüüpi maatriks. Näide: 2 - 1 3 2 8 1 1 - 3 ×
2. A + B = B + A; 3. A + O = A. 4. Maatriksi korrutamisel nullist erineva arvuga c, korrutatakse kõiki elemente selle arvuga cA = ( caik ); näiteks 3 15 3 3A = - 6 0 21 . 15 -3 12 5. Maatriksite korrutamine. Olgu antud maatriksid A = ( aik )ml ja B = ( bik )ln. Maatriksite A ja B korrutiseks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik leitakse järgmise eeskirja kohaselt: cik = ai1b1k + ai2b2k + . . . + ailblk. Korrutise tulemusena saadakse mn tüüpi maatriks. Näide: 2 - 1 3 2 8 1 1 - 3 11 0
kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. Kui tegemist on mn-maatriksiga siis ei saa moodustada miinorit, millisel oleks enam kui m rida või enam kui n veergu, seega rm rn. Maatriksi astaku hõlpsamaks leidmiseks teisendatakse maatriksit enne nii et ta kõrgemait järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Selleks vajatakse järgmisi elementaar-teisendusi. Need on: 1. maatriksi rea/veeru korrutamine nullist erineva teguriga a; 2. ühele reale/veerule k-kordse teise rea veeru liitmine; 3. maatriksi kahe rea veeru ümberpaigutamine. Elementaarteisenduste abil teisendatakse maatriksit nii et kõik maatriksi elemendid ühel pool peadiagonaali saaksid nullideks. Niisugusest maatriksi kujust võib kergesti välja lugeda maatriksi astaku r. Teoreem maatriksi astakust Kui vektorite hulga S={a1,a2...ar...am}koordinaatide maatriksi astak on r, siis on r vektorit
1) klassikalise vaste. i S Valides lainefunktsiooni kujul = e h , saame i S = , t h t i S s t piirjuhul vastab operaatorile L^ avaldisega korrutamine. Teiselt poolt, h t S klassikalises mehhaanikas - = H , kus H on Hamiltoni funktsioon. Seega võime t h operaatorit - L^ analoogia põhjal nimetada Hamiltoni operaatoriks ehk i hamiltoniaaniks ja tähistatakse sümboliga H^ . Võrrandi (27.1) kirjutame h
gümnaasium Protsessor kui närvisüsteem Referaat Koostaja: Juhendaja: Tallinn 2012 Sisukord 1.Teema sissejuhatus mis on protsessor? 1.1.Protsessori kirjeldus 1.2.Data ja Address Buses (andme ja adresseerimise kanalid) - Protsessor ja mälu 2.Inimese närvisüsteem 3.Kiibistik ehk protsessori närvisüsteem 4.Seos närvisüsteemi ja protsessori vahel 5.Skeemid 1.Teema sissejuhatus mis on protsessor? Arvuti protsessor on arvuti aju. Nii ütlevad figuratiivsed narratiivid. Aga tõsi, protsessor on see aparaat (mikroskeem ehk chip) mis reaalselt liidab ja korrutab kahendarve. Arvutamine protsessoris toimub sama tehnikaga nagu tavaliste st. kümnendarvudega paberi ja pliiatsiga arvutamisel. Miks talle just meelepärsed kahendarvud on sellepärast, et tema tegeleb tegelikult elektriga: 1 on signaali kõ...
See võimaldas ka arvutitootjatel toota väiksemaid arvuteid. Kasutades seda uut tehnoloogiat valmistas Digital Equipment Inc. miniarvuti, mida nad müüsid aastal 1962 15000 USD tükk. (Web zone, 2014) 3.4 Mikroprotsessorid Aastal 1971 valmistas Intel esimese mikroprotsessori, nimega Intel4004. Intel4004'l oli 2300 transistorit. Selle mikroprotsessori transistorid olid võimelised sooritama kõiki arvuti protsessori ülesandeid näiteks liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine. Kuna Intel4004 tootmine oli odav ja protsessor ise suhteliselt kiire oma aja kohta, siis hakkasid tekkima esimesed personaalarvutid, mis olid tänapäeva kiirete personaalarvutite esivanemad. Personaalarvutite algusaastatel räägiti küll suurest revolutsioonist, kuid tegelikult ei teadnud enamus inimesi, mis need arvutid endast kujutavad ja milleks neid üldse vaja on. Alates mikroprotsessorite leiutamisest on nad kogu aeg kiiresti edasi arenenud. (Web zone, 2014)
elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid teineteise vastandarvud. = ( a -b) (b a) Def1 Kui hulgas on määratud tehe/ arvutus operatsioon ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus on uuesti selle hulga element, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinni. Hulk C on osutunud kinniseks kõigi 4 aritmeetilise tehte suhtes (liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine). Omadused hulgas C: Om1 + ( + ) = ( + ) + Om2 +=+ Om3 += Om4 + (-) = Om5 = Om6 ( ) = ( ) Om7 ( + ) = + Om8 E= Hulka, kus kehtivad nimetatud 8 arvutusseadust nimetatakse kommutatiivseks korpuseks. Samas moodustab antud hulk vektorruumi ja baasiks on arv 1, i. i = -1 = ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks.
e hulkade ühend t B i ( hulkade liitmine ) A t A B u hulkade ühisosa v B r ( hulkade korrutamine ) A A hulkade vahe AB ( hulkade lahutamine ) "A ilma B-ta" A B hulkade ühisosa t hulkade sümmeetriline vahe u A B u
· graafina · analüütiliste avaldistena 18. OPERATSIOONIAUTOMAAT: REGISTERMÄLU, ALU. Operatsiooniautomaadil on aritmeetika- loogika seade, mis teostab juhtautomaadi poolt lahendatud loogikaülesandeid. ALU (arithmetic- logic- unit) Aritmeetika- loogikaploki põhifunktsioonideks on mitmekohaliste kahendarvude summeerimine, nende nihutamine vasakule või paremale, loogiline eitus (inversioon), loogiline liitmine (disjunktsioon), loogiline korrutamine (konjuktsioon) ning loogiline alternatiiv ehk välistav või. Nende põhifunktsioonide kombineerimisega ning rakendamisega kindlas järjekorras sooritatakse kõiki tuntud aritm- loogikatehteid. Näiteks toimub kahendarvude korrutamine järjestikuste summeerimis- ja nihkeoperatsioonide abil. Elementaartehete sooritamise järjekord on määratud arvutuste (näiteks korrutamise) algoritmiga, mida täidetakse vastavalt mällu salvestatud programmile. Seejuures juhitakse arvutusprotsessi ehk aritm-
t. D = b2 - 4ac 0). Esimesel juhul on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist 2Sõna "kompleksne" tähendab eesti keeles "liitne"; selle nimetuse andis arvudele lahendit, teisel juhul on lahendid võrdsed. a + bi esmakordselt saksa matemaatik Gauss (1777-1855). Missugused on aga ruutvõrrandi lahendid siis, kui võrrandi diskriminant on Kompleksarvude korrutamine ja jagamine negatiivne ? Vaatleme mõnda näidet. Korrutame arvud a + bi ja c + di. Kaksliikmete korrutamise reegli järgi 2 2 4 2 Näide 4. Lahendame võrrandid x + 16 = 0, x - 2x + 10 = 0 ja x - 3x - 4 = 0. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac - bd + (ad + bc)i. Seega 1) Kui x2 + 16 = 0, siis x = ± -16 = ± 16·i2 = ± 4i. Seega x1 = -4i ja x2 = 4i
Arvu ja maatriksi A korrutise tähiseks on A. Vastavalt defnitsioonile on seega reaalarvu R ja maatriksi A = (aij ) Mat (m, n) korrutiseks maatriks: A= ehk A = ( aij ) Mat (m,n). Maatriksi reaalarvuga korrutamise omadused. Mistahes R ja mistahes X,Y Mat(m,n) korral kehtivad: 1). 1X = X. 2) (-1)X = -X. 3) 0X = . 4) = 5) ()X = (X). 6) (X + Y ) = X +Y . 7) (+ )X = X + X. 8) (X - Y ) = X - Y . 9) ( - )X = X - X. Maatriksite korrutamise omadused. 1. Maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. mistahes kolme maatriksi X Mat(p, q), Y Mat(q, r ) ja Z Mat(r ,s) korral (XY )Z = X(YZ): 2. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m;m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X; EmX = X: 3. Mistahes kolme maatriksi X,Y Mat(p, q) ja Z Mat(q,r ) korral (X±Y )Z = XZ ±YZ: 4. Mistahes kolme maatriksi X Mat(p, q) ja Y , Z Mat(q, r ) korral X(Y±Z) = XY ±XZ: Maatriksite transponeerimise omadused. 1. Mistahes maatriksite X, Y Mat(m, n) korral
Järelikult ei ole ühest ega kerget teed raviõpetuseks või edukaks õpetamiseks. See tähendab, et matemaatika õppimisel/õpetamisel on kaks olulist aspekti: teema ja käitumine, mida ei saa vaadelda lahus. 4. Terminite ,,akalkuulia", ,,düskalkuulia" ja ,,düsmatemaatika" määratlus ja kasutus. - Akalkuulia arvutusvõimetus ; kahjustus, mille puhul on inimesel raskusi lihtsate matemaatiliste ülesannetega nagu liitmine, lahutamine, korrutamine ja isegi määramaks, kumb kahest numbrist on suurem. Erineb düskalkuuliast selle poolest, et akalkuulia tekib vanemas eas põhjustatuna neuroloogilisest kahjustusest. Tihti esineb ühe sümptomina mõne haiguse esinemisel. Eraldi seisvana raskem diagnoosida. - Düskalkuulia ehk düsmatemaatika - on spetsiifiline arvutamisvilumuste häire, mis ei ole seletatav üldise vaimse mahajäämusega või ebaadekvaatse õpetamisega. Düskalkuulia
õppeaines: ELEKTROTEHNIKA Õpperühm: Üliõpilane: Kontrollis: Tallinn 2010 SISUJUHT 2 OTEHNIKA PÕHISUURUSTE VAHELISED SEOSED Elektrotehnika põhisuurused: · pinge - suurus, mis iseloomustab elektrivälja · voolutugevus juhi ristlõiget läbinud elektrihulk ühes sekundis · takistus elektriahelale või selle osale rakenda- 3 tud pinge ja seda elektriahelat või ahela osa läbiva voolutugevuse suhe · võimsus elektriahelas tehtav töö ühes sekundis 4 TAKISTITE VÄRVIKOODID Püsitakistitele on määratud E-sarja standardväärtused: 10; 12; 15; 18; 22; 27; 33; 39; 47; 56; 68 ja 82 kokku 12 takistuse väärtust. Kõik muud takistuste väärtused saadakse standardväärtuste koma koha muutmisega. 5 PRAKTILINE TÖÖ 1: ARVUTUS...
Esimeseks elektronarvutiks loetaksegi ENIACi. Selle arvuti pikkus oli üle 30 m (30-50 jalga), kaalus 30 tonni, paiknes 150 m2 suuruses saalis, sisaldas 40 paneeli, umbes 18 000 vaakum-elektronlampi (17480) arvutuste teostamiseks kiirusega (töökiirus) 5 000 operatsiooni (tehet) sekundis (op/s) ja 1 500 elektromehaanilist releed. ENIAC tarbis võimsust 150 kW. Elektronlampide kasutuselevõtt mehaaniliste ja elektromehaaniliste elementide asemel võimaldas järsult suurendada arvuti kiirust. Korrutamine võttis aega vaid 0,0028 sekundit. Töökiirus oli kõvasti suurem inimese omast, kuid palju aeglasem tänapäeva arvutitest. Puudus paindlik programmjuhtimine. Arvud sisestati arvutisse perfokaartidelt. Programm arvutuste järjekorra määramiseks koostati enne ülesande lahendamise algust pistikute ümberpaigutuse teel erilisel kommutatsioonitahvlil, millega loodi sobivad ühendused arvuti üksikute seadmete vahel.
Muusikakeskkooli koostöö EMA-ga · Individuaalõpe toimub tavaliselt kas koduõppena või mentorite juhendamisel. · Väljatõstmine ehk pull-out. Õpilased eemaldatakse koolitundidest ning koondatakse eraldi klassiruumi või teise (huvi)kooli, kus nad saavad süvendatud õpet · Mitteformaalhariduslikud programmid. Üritused, konkursid, võistlused väljaspool kooli. Olümpiaadid Arvutusvilumuste häire (raskused matemaatikas) · Liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine (lisaks matemaatiline arutlemine, prbleemide lahendamine) · Aladiagnoositud (arvatakse et võiks olla kuni 6%) · Tihti koos lugemis- ja kirjutamisraskustega · F 81.2 Spetsiifiline arvutamisvilumuste häire · Vanusele mittevastavad protseduurilised oskused (noorematele lastele iseloomulikud strateegiad, nt näppudel loendamine liitmisel) · Algklassides vanusega paraneb · Matemaatiliste faktide mitteteadmine · Korrutustabeli päheõppimine
Analoogiline VLOOKUP’iga. Nt. HLOOKUP("Poldid",A1:C4,4) 7 Andmebaasifunktsioonid Kõigil 3 kohustuslikku argumenti: database - andmebaasitabel koos väljanimedega field - selle välja nimi, millele funktsiooni rakendada criteria - töölehe lahtritesse kirjutatud tingimus (nagu Advanced Filteri korral) DAVERAGE Aritmeetiline keskmine DMAX Maksimumi leidmine DMIN Miinimumi leidmine DPRODUCT Korrutamine DSUM Summeerimine DCOUNT Loendab numbreid sisaldavaid välju DCOUNTA Loendab mittetühje välju DSTDEV, DSTDEVP Standardhälve DVAR, DVARP Dispersioon DGET Ühe tingimusele vastava kirje eraldamine EXCEL – Funktsioonid 10 - 11 A. SUBTOTAL SUBTOTAL(function_num, ref, ..
Vastus 000001011 11110101 0001011 110101 + ----------------------- 1110010010 V: 0000000000 6) Korrutades kahte arvu (mõlemad kahe täiendkujul) Booth'i algoritmi järgi, teeme alljärgnevad tehted: -----10101 (NB! see on negatiivne arv) ----*01010 ----------------------- 0000000000 000001011 11110101 Vastus 110101 + ----------------------- 1110010010 V: 0001011 7) Milline alljärgnevatest tehetest on vaja teha teise kordajaga M (multiplicand) i- ndal nihkepositsioonil, kui tehteks on korrutamine bit-pair recording tehnikat kasutades ja esimeses kordajas (multiplier) on positsioonidel i+1, i, i-1 bitijada 000. V: 0 x M 8) Milline alljärgnevatest tehetest on vaja teha teise kordajaga M (multiplicand) i- ndal nihkepositsioonil, kui tehteks on korrutamine bit-pair recording tehnikat kasutades ja esimeses kordajas (multiplier) on positsioonidel i+1, i, i-1 bitijada 111. V: 0 x M 9) Milline alljärgnevatest tehetest on vaja teha teise kordajaga M (multiplicand) i-
mõõdulinti ning joonlauda ning seda ilma abilist kasutamata. Lihtsamad mudelid võimaldavad kauguse mõõtmist ning pindala ja ruumala arvutamist. Keerukamatel mudelitel on võimalus mõõteandmeid salvestada (kuni 800 mõõtmist) ning ka otse arvutisse saata. Samuti on kaugusmõõtjatel mitmeid funktsioone: pidevmõõtmine, suurima ning vähima distantsi leidmine, pindala ning ruumala arvutamine, mõõteandmete liitmine, lahutamine ning korrutamine, ajastatud mõõtmine (viivitusega) jne. Laserkaugusmõõtjaga mõõtmine on kiire, tõhus, täpne, usaldusväärne (mõõtekaugus kuni 200m täpsusega +/-3mm), mitmekülgne (sise- ja välistöödeks), turvaline (pole redelit vaja). On võimalik mõõta pikkust, laiust, kõrgust ka juhtudel, kui mõõdetavale objektile päris ligi ei saa (distantsmõõtmine) kasutades ka + ja - mõõtmisi. Võimalik mõõta statiivilt distantse kahes suunas, seega maksimaalne distants oleks kuni 400m
0 0 1 0 0 0 0 1 E= . 8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või . 8) Maatriksite korrutamine ja selle omadused. mn np Maatriksite A R ja B R korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt 1 reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= 2 ja 12n )korrutise leidmiseks kasutatakse m skalaarkorrutist.
vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v V seab vastavusse skalaari d(u; v) R, kusjuures on täidetetud järgmised tingimused: Aritmeetilseks punktiruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetilseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgnevalt (x1;...; xn) + (y1;...; yn) := (x1 + y1; ... ; xn + yn) (x1; ... ; xn) := (x1; ... ;xn) kus (x1; ... ; xn); (y1; ... ; yn) Rn, R. Näidata et... 2. Ühe reaalmuutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuste mõistete üldistamine vektorruumile. E-ümbrused . Lause Funktsiooni f on pidev kohal a parajasti siis kui iga jada {xn} n =1 korral, mis koondub
Reaalarvu absoluutväärtus: | | - absoluutväärtuse märgid. Nt. |-5| = 5 ; |5| = 5 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. Teineteise vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed. 1 Ratsionaalarvude liitmine ja lahutamine: +(+a) = +a +(-a) = -a -(-a) = +a -a(+a) = -a Ratsionaalarvude korrutamine ja jagamine: (+)*(+) = + (+) : (+) = + ( - )* ( - ) = + (-):(-)=+ ( - ) * (+) = - (+) : ( - ) = - (+) * ( - ) = - ( - ) : (+) = - Kui negatiivseid tegureid on paarisarv on korrutis positiivne. Kui negatiivseid tegureid on paaritu arv on korrutis negatiivne. Kahe samamärgilise arvu jagatis on positiivne. Kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne. Arvu aste: 2³=222=8 a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0).
Loogika kombinatsiooni X1 selgitus Matemaatiline elemendi tähis 0011 esitus X2 0101 f1 Konjunktsioon e. 0001 Väljundis on 1, f1=X1*X2 X1 -> & ->y loogikaline kui kõikkides f1=x1x2 korrutamine e. sidendites on 1 f1=x1^x2 X2-> NING f7 Düjunktsioon e. 0111 Väljundis on f7=x1+x2 X1 ->1 ->y loogiline liitmine e. signaal 1 kui VÕI kas või ühes f7=x1v x2 X2-> sisendis on 1 f10 X2 inversioon e
Floppy Diski kasutamine võimaldas 3 korda rohkem andmete salvestuse ruumi ja kiiremat ligipääsu infole. 9. Neljanda Generatsiooni arvutid Aastal 1971 valmistas Intel esimese mikroprotsessori, nimega Intel4004. Intel4004'l oli 2300 transistorit, mis katsid 12 mm2 pinna. Selle mikroprotsessori transistorid olid võimelised sooritama kõiki arvuti protsessori ülesandeid näiteks liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine. Kuna Intel4004 tootmine oli odav ja protsessor ise suhteliselt kiire oma aja kohta, siis hakkasid tekkima esimesed personaalarvutid, mis olid tänapäeva kiirete personaalarvutite esivanemad. 1981 aastal valmistas IBM esimese personaalarvuti (PC), mida võis kasutada nii kodus, koolis kui ka töökohtades. Tänu sellele suurenes arvutite arv maailmas järsult, mis aastal 1981 oli 2 millionit ja järgmisel aastal tänu PC'le juba 5,5 miljonit
Hulkade H1,....,Hn, otsekorrutiseks e Cartesiuse korrutiseks H1x...xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuseks nim arvu cos (nurk x,y)=x*y/|x||y|
so sõltumatute sündmuste korral võrdub sündmuste korrutise tõenäosus korrutatavate sündmuste tõenäosuste korrutisega. 6. Tõenäosuste liitmislause 2 ja 3 sündmuse korral. teineteist mittevälistavate sündmuste tõenäosus Olgu A ja B suvalised ühe ja sama katsega seotud sündmused. Kehtib järgmine avaldis. P(A U B) = P(A + B)= P(A) + P(B) - P(AB). Kolme sündmuse A, B, C korral on tõenäosus: P(A + B + C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) P(BC) + P(ABC). 7. Tõenäosuste korrutamine 2 ja 3 sündmuse korral. kahe sündmuse korral avaldub: P(AB) = P(A) P(B|A). Kolme sündmuse korral: P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB). 8. Kombinatsioonid, variatsioonid, nende kasutamine arvutustes. Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi välja valimine nende elementide hulgast. Niisuguse katse võimalike tulemuste arvuks on kõikvõimalike k elemendiliste valikute arv m elemendi hulgast. (NB! valimine toimub selliselt, et elementide valimise järjekord pole tähtis
NÄIDE 5: 3a2 + 4xy - a2 + xy - 5xy - 2a2 = (3 - 1 - 2)a2 + (4 + 1 - 5)xy = 0 NÄIDE 5: 7yw – 4w² - 8w² - 10w² = 7yw – 22w² 5. Hulkliige, hulkliikmete liitmine ja lahutamine. Hulkliige on üksliikmete summa. 2a + b ; 2a + b + 7c + 2 ; 3yzx NÄIDE 1: (3 + 7v²) + (3 + 6v) = 3 + 7v² + 3 + 6v = 6 + 7v² + 6v NÄIDE 2: (-6w² - 4) – (5 + 7w² - 8w) = -6w² - 4 – 5 -7w² + 8w = 13w² - 9 + 8w NB! Miinus märk sulu ees, muudab märgi sulu sees!!! 6. Hulkliikmete korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. a (b + c + d) = ab + ac + ad Hulkliikme jagamisel üksliikmega jagame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. (a + b + c) : k = a/k + b/k + c/k 7. Hulkliikmete tegurdamine. Hulkliikmete tegurdamine on hulkliikme esitamine korrutisena. NÄIDE 1: 2x² + 5x = x (2x + 5) NÄIDE 2: 7y + 14x + 35 = 7 (y + x + 5) 8
Iga hulk on universaalhulga osahulgaks. Astmehulk on hulga kõikide osahulkade hulk. Astmehulgaks n-elemendilisele hulgale on 2^n. Lõplik hulk on hulk, kus on teatud arv hulgalemente. Lõpmatu hulk on hulk, kus on lõptmatu arv hulgaelemente. Loenduv hulk on hulk, mille igale elemendile saav vastavusse seada nat. arv. Hulgaaritmeetilised tehted on ühend, ühisosa, täiend, vahe ja sümmeetriline vahe. Korrutamine on nagu ühisosa. Liitimine nagu ühend. Ühendisse kuuluvad hulkade need elemendid, mis ei kuulu mõlemasse hulka. Ühisossa kuuluvad vaid need elemendid, mis on mõlemal hulgal olemas. Mittelõikuvad hulgad on need, millel pole ühisosa. Võimsus on hulga elementide arv. Grassmanni valemid on valemid, mis aitavad leida hulkade ühendi võimsust ning ühisosa võimsust.
64.68 € vahel liikumise asemel kasutada hoopis nimesid. 11.55 € 34.65 € 9.24 € 27.72 € - € Protsentarvutused - € nt 35%=0,35 nt 135%=1,35 Protsentarvutustes on tehtemärgiks korrutamine, st arv tuleb korrutada Protsentarvutused nt 35%=0,35 - € nt 135%=1,35 - € - € Protsentarvutustes on tehtemärgiks - € korrutamine, st arv tuleb korrutada - € protsendiga! - € - € - € - € - € 380.16 € - € 11,421.96 € 5,270.76 € - € 1,648.68 € 616.28 € 330.79 € 323.73 € - €
Skalaarid ja vektorid: Suurused, mille määramiseks piisab ainult arvväärtusest nimetatakse skalaarideks. (aeg, mass, inertsmoment). Suurused, mida iseloomustab arvväärtus (moodul) ja suund nimetatakse vektoriteks. (Kiirus, jõud, moment). Tähistatakse sümboli kohal oleva noolega F(noolega) . Tehted nendega: Korrutamine skalaariga - a*Fnoolega =aF(mõlemad noolega) Liitmine - Fnoolega = F1noolega + F2noolega. Skalaarne korrutamine: Kahevektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga cos korrutisega. (V1V2) = v1*v2*cosa, kusjuures v1*v2=v2*v1. Vektoriaalse korrutamise tulemuseks on aga vektor, mis on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga sinusega, siht on risti tasandiga, milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga. [v1*v2]=v1*v2*sina.
kaetud]. · Juhuslikud sündmused on võrdvõimalikud ühel sündmusel ei ole rohkem võimalusi esile tulekuks kui teisel. · Juhuslikud sündmused on üksteist välistavad, kui nad ei saa korraga toimuda. Klassikaline tõenäosuse valem p(A)=m/n, kus m on selle sündmuse jaoks soodsad võimalused ja n on kõik võimalused. · p()=1 · p(V)=0 Tõenäosuse liitmine ja korrutamine Liitmiselause · Kahe teineteist välistava sündmuse (ei saa korraga toimuda) summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, p(A või B)=p(A)+p(B). · Kahe teineteist mitte välistava sündmuse (võivad ka koos toimuda) summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud nende sündmuste koostoimumise tõenäosus, p(A või B)=p(A)+p(B)-p(A ja B). Korrutamiselause
Vabade vektorite rakenduspunkt võib olla meelevaldne. Libisevate vektorite rakenduspunkti võib ümber paigutada mööda sirget millel vektor asub. Rakendatud vektorid on vektorid mille rakenduspunkt on kinnistatud. Tehted vektoritega kahe vektori liitmine a=a1+a2 mitme vektori liitmine a123=a12+a3=a1+a2+a3. Mitem vektori geom. summa võrdub nulliga kui vektorite hulknurga korral viimase vektori lõpp langeb ühte esimese vektori algusega Vektorite lahutamine c=a-b=a+(-b) Vektori korrutamine ja jagamine skalaariga vektori a ja pos. skalaari n korrutiseks nim veketorit mille suurus on an ja mis on suunatud samuti nagu a. Jagatiseks a/n kus n>0 nim vektorit mille suurus on a/n ja mis on suunatud samuti nagu a Vektorkorrutis a x b=-b x a. Samasihiliste vektorite vektorkorrutis on null. sel juhul vektorite vaheline nurk alfa =0kraadi või 180kraadi ja sinalfa =0 Jõupaari põhiomadused
Vabade vektorite rakenduspunkt võib olla meelevaldne. Libisevate vektorite rakenduspunkti võib ümber paigutada mööda sirget millel vektor asub. Rakendatud vektorid on vektorid mille rakenduspunkt on kinnistatud. Tehted vektoritega kahe vektori liitmine a=a1+a2 mitme vektori liitmine a123=a12+a3=a1+a2+a3. Mitem vektori geom. summa võrdub nulliga kui vektorite hulknurga korral viimase vektori lõpp langeb ühte esimese vektori algusega Vektorite lahutamine c=a-b=a+(-b) Vektori korrutamine ja jagamine skalaariga vektori a ja pos. skalaari n korrutiseks nim veketorit mille suurus on an ja mis on suunatud samuti nagu a. Jagatiseks a/n kus n>0 nim vektorit mille suurus on a/n ja mis on suunatud samuti nagu a Vektorkorrutis a x b=-b x a. Samasihiliste vektorite vektorkorrutis on null. sel juhul vektorite vaheline nurk alfa =0kraadi või 180kraadi ja sinalfa =0 Jõupaari põhiomadused
sõnast/tühjast lahtrist . Lisa tühi või tekstiga lahter siis, kui on vaja osa andmeid tehetest välja jätta ! Matemaatiliste valemite kasutamine tabelites Valemi tunnus on : = NB! Valemis tühikuid olla ei tohi ! N! =Sum(Above) Ülal asuvate andmete summeerimine Aste : AltGR+Ä Tabel 1 Matemaatiliste valemite kasutamine 1.arv 2.arv Tehe Valem Tulemus 3 5 Korrutamine =3*5 15 34 4 7 Jagamine =4/7 0,57 2 8 Liitmine =2+8 10 3 5 Lahutamine =3-5 -2 2 8 Astendamine =2^8 256 Keskmiste arvutamiseks sisesta ise valem ! Lisa vajadusel uus veerg loendamiseks ( v
Definitsioon. Libisevateks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mille alguspunkti võib suvaliselt nihutada teda kandval sirgel. Näiteks jäigale kehale rakendatud jõud. Definitsioon. Vabadeks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis võivad olla rakendatud suvalisest ruumi punktist, igat vektorit võib üle kanda paralleelselt iseendaga suvalisse ruumi punkti. Siin vaatleme just viimaseid. LINEAARTEHTED VEKTORITEGA Lineaarteheteks vektoritega on vektorite liitmine, vektorite lahutamine, vektori korrutamine arvuga. Definitsioon. Vektorite a ja b summaks nimetatakse vektorit c a b , mille alguspunkt langeb kokku vektori a alguspunktiga ja lõpp-punkt vektori b lõpp-punktiga eeldusel, et vektor b on rakendatud vektori a lõpp-punkti.
erineva naturaalarvuga 1.13 Juurte koondamine · Juuravaldisi, mis erinevad üksteisest ainult juure kordaja poolest või ei erine üldse, nimetatakse sarnasteks. · Koondada saab vaid summas, mille liidetavate hulgas leidub sarnaseid juuravaldisi 1.14 Astme mõiste üldistamine 1.15 Tehted astmete ja juurtega Avaldised 2.1 Ratsionaalavaldised · Ratsionaal on avaldis, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude +, -, korrutamine, jagamine ning astendamine · Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega · Avaldist kujul a/b, kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks · Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega · Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Ühiseks
V=ds/dt ning a=dv/dt. Ühtlaselt muutuv sirgliikumine on sirgjooneline liikumine, kus kiirendus muutub võrdsetes ajavahemikes võrdsete suuruste võrra, st kiirendus on jääv Skalaarid ja vektorid - skalaarid on suurused (aeg, mass, inertsmom), mis on määratud üheainsa arvu poolt Mõnede suuruste määramisel on lisaks väärtusele vaja näidata ka suunda (jõud, kiirus, moment). Selliseid füüsikalisi suurusi nim vektoriteks. Tehted a)vektori korrutamine skalaariga ______ b) vektorite liitmine ________ c) kahe vektori skalaarkorrutsi on skalaar, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega _____________________________________________d) kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nende vahelise nurga siinuste korrutisega, siht on risti tasandiga,
laps kuuluma konkreetsete operatsioonide perioodi. Lapsel kujuneb selgelt eristatav ja täiuslikum mõtlemisvõime. Laps suudab mõelda loogilisemalt, kuid siiski ei suuda nad alati teha loogilisi järeldusi asjade kohta.. Mõtlemine muutub paindlikumaks,kuid jääb piiratuks. Laps suudab lahendada klassifitseerimise ja loendamise ülesandeid ning saab aru sõltuvustest. Laps saab aru arvu jäävuse mõistest, kaalu- ning mahu jäävuse mõistest. Liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine muutuvad lihtsamaks.[1] Üks oluline muutus on see, et lapsed suudavad selles vanuses mõtteliselt ajas tagasi minna (sündmuste käiku mõtteliselt tagasi pöörata) ja minevikust rääkida. Selle perioodi alguses on lapsed suhteliselt egotsentristlikud, kuid mida vanemaks nad saavad, seda rohkem nad sellest vabanevad. Laps suudab nüüd näha sündmuste põhjuseid ka väljaspool iseennast. Samas suudab laps juba ka mõningal määral omaks võtta teiste
01.2000" viited lahtritele ja lahtriplokkidele (muutujad): - aadressid: B5, H13, C5:H28, $B$5, H$13, ..., Sheet2!B5, ... - nimed: a, x, x_1, c_, pikkus, palk, ... , Sheet2!palk, ... funktsiooniviidad ehk lihtsalt funktsioonid: SIN(B3), SQRT(a^2+b^2), SUM(C3:C103), MAX(palk), LEFT(nimi;1) Tehted ja tehtesümbolid, tehete prioriteedid 1. % protsent: 18% = 0,18 10%*130 = 13 2. ^ astendamine (Alt+94): (x+2)^2 (x+2)^(1/3) 3. * , / korrutamine, jagamine: a*b a/b 2*(a+b)/d 4. + , - liitmine, lahutamine: a+b a-b 5. & sidurdamine (tekstide ühendamine): enimi&" "&pnimi 6. = , <> , < , <= , > , >= võrdlustehted: A3>C4 palk<=5000 x>0 B2="N" NB! Võrdse prioriteediga tehteid täidetakse järjest vasakult paremale, tehete täitmise järjekorra määramiseks võib kasutada ümarsulge. =2,67*(13,7-2,68)/14,1 =B3*B4/B5 =B3/(B4*B5) =(a+b)/(x+y) =(a+b)/(1+x/(a+d)) =(a+b)^(1/3)
4 x1 - x2 + 5 x3 = 10 . 4 - 1 5 x 3 10 Vektorid: Erilist tüüpi maatriksid (m*n maatriks e. ristkülik m-ks.; m=n ruutm-ks). Veerg veerumaatriks e. veeruvektor. xj reana kirjutades 1*n maatriks e. reamaatriks e. reavektor, mille tähis X'=[x1x2...xn]. Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Tehted vektoritega: Vektorite u'=(u1u2....un), v'=(v1v2...vn) sisekorrutiseks on avaldis: u*v=u1v1+u2v2+...+unvn. Veeruvektori ja reavektori korrutiseks tuleb ristkülikmaatriks: 3 3 1 3 4 3 5 3 12 15 u = , v = [1 4 5] , uv = = . 2 ( 2×3) 2 1 2 4 2 5 2 8 10 6. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus Vektorite hulk v1,..
aritmeetilisi avaldisi. Matemaatikast tuntud loogiline avaldis on võrratus, mille puhul on tulemuseks samuti tõeväärtus: 2 < 8 ==> tõene 2 = 8 ==> väär x + 3 > 10 ==> tõene, kui x >= 8, muidu väär Lisaks operaatoritele, mida kasutatakse operandide võrdlemiseks, on loogilistes avaldistes kasutusel loogikatehted JA (loogiline korrutamine ehk konjunktsioon), VÕI (loogiline liitmine ehk disjunktsioon), POLE (loogiline eitus ehk negatsioon) ja mõned teised. Need tehted jäävad kahjuks väljapoole meie koolide matemaatika programmi, kuid programmeerimine ilma neid kasutamata läbi ei saa. Loogikatehetest saab kõige paremini aru, kui õppida selgeks vastavad tõeväärtustabelid (analoogia korrutustabeliga, see tuli ka pähe õppida): JA | tõene | väär | Selgituseks:
suunadiagramm, sisendtakistus, sagedusriba Laius, kiire efektiivsus, polarisatsioon) Antennid_suurkonspekt.pdf 3. Antenni suunadiagrammi laius 0 ja 3 dB nivool. 4. Elektromagnetvälja tsoonid. Antennid_suurkonspekt.pdf lk 10, ptk 3 5. Antennide tüübid. 5. Friisi valem. Antennid_suurkonspekt.pdf lk 74, ptk 20 7. Radari valem. Antennid_suurkonspekt.pdf lk 75, ptk 21 2. VÕREANTENNID 1. Elementaarne võreantenn. Suunadiagrammide korrutamine. Võreantenni miinimumid ja maksimumid. Antennid_suurkonspekt.pdf lk 44, ptk 12 3. RUUPORANTENNID 1. Ruuporantenni parameetrid ja kasutusala. Antennid_suurkonspekt.pdf lk 59, ptk 17 4. PARABOOLANTENNID 1. Paraboolantenni parameetrid ja kasutusala. Antennid_suurkonspekt.pdf lk 65, ptk 18 5. LÄÄTSANTENNID 1. Läätsantennide parameetrid ja kasutusala. Antennid_suurkonspekt.pdf lk 68, ptk 1
·Iga impulsi saabumisel muudab faasipööraja väljund-ignaal oma faasi ±2/n, kus njagamis on faasipööraja korrigeerivate impulsside jagamistegur. 4.4.2. Järgivdetektorid ADM ga enne ringahelat- Järgiva detektori realiseerimisel mikroprotsessori baasil on sobivam asetada ADM enne faasjärgi- häälestussüsteemi. ADM väljundis saadakse kas reaalsed või siis komplekssed sisendlugemid, milledega sooritatakse siis vastavad matemaatilised tehted (liitmine, korrutamine vms). Vajalikud käsud nende operatsioonide tegemiseks on salves-tatud püsimällu. Korrutise imaginaarne osa zd[r]=Im(*r) on DFJH süsteemi veasignaaliks olles samaaegselt FM signaali detekteerimise tulemus. Korrutise reaalosa Re(*z) on aga AM signaali detekteerimise tulemus, olles kasutatud ühtlasi ka suletud ringahela haardumise indikaatoriks sisendsignaaliga
Aastal 1970 tegi IBM "floppy disk"i seadme, mida nad kasutasid oma 3740 süsteemi arvutitel. Floppy Diski kasutamine võimaldas 3 korda rohkem andmete salvestuse ruumi ja kiiremat ligipääsu infole. 5 Neljanda Generatsiooni arvutid. Aastal 1971 valmistas Intel esimese mikroprotsessori, nimega Intel4004. Intel4004'l oli 2300 transistorit, mis katsid 12 mm2 pinna. Selle mikroprotsessori transistorid olid võimelised sooritama kõiki arvuti protsessori ülesandeid näiteks liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine. Kuna Intel4004 tootmine oli odav ja protsessor ise suhteliselt kiire oma aja kohta, siis hakkasid tekkima esimesed personaalarvutid, mis olid tänapäeva kiirete personaalarvutite esivanemad. Aastal 1976 ehitasid Steve Jobs ja Steve Wozniak esimese Apple arvuti ühes Garaais Kalifornias. Aastal 1981 valmistas oma esimese personaalarvuti USA firma IBM. Kuna personaalarvuti oli nii revolutsiooniline aparaat ja sellelt oodati väga suuri muutuseid
NB! Kui summa vektori tipp langeb kokku esimese vektori alguspunktiga, siis nim sellist vektorite hulka nurka suletuks hulknurgaks, mis võrdub 0'ga. Vektorite lahutamine- kahe vektori a ja b vaheks nim vektorit c, mis lahutatavaga liidetult annab vektori c e. c= a-b Ühe vektori lahutamisel teisest tuleb vähendatava ja lahutatava alguspunkt asetada samasse punkti. Vektori vahe alguspunkt on lahutatava vektori lõpppunkt a ja lõpppunkt vähendatava vektori lõpppunkt. Vektori korrutamine ja jagamine skalaaarvuga: Vektori a ja positiivse skalaari n korrutiseks on vektor, mille suurus on an ja see on suunatud samas suuna s kui vektor a. Vektori projektsioon teljel: olgu meil telg x ja vektorid, mis pole paralleelsed selle teljega. Vektori AB projektsioon teljel x nim telje lõigu a1b1 pikkust, mille alguseks on vektori alguspunkt projektsioon teljel ja lõpppunkt.... Projektsioon on võetus positiivne kui lõigu
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
