Matemaatika suulise arvestuse punktid (0)

5 VÄGA HEA

Suulise arvestuse punktid

Hulgad

Hulk on määratud, kui on olemas eeskiri , mille abil on võimalik otsustada, kas vaadeldav element kuulub määratud hulka või mitte.

Tühihulk – hulk, milles ei leidu ühtegi elementi. Ø

Alamhulk – hulk, mille kõik elemendid kuuluvad teise(suuremasse) hulka. A ⊂ B

Ühend – hulk, mille elementideks on mõlema hulka kõik elemendid. A ∪ B

Ühisosa – hulk, mille elementideks on kahe(või enama) hulga kõik ühised elemendid. A∩B

Loetelu – hulga elementide loetelu.

Juurde ja mahaarvutamise valem.

Elimineerimismeetod.

Nende esemete arvu leidmiseks, millel pole ühtegi nimetatud omadust, tuleb kogu arvust lahutada nende esemete arv, millel on paaritu arv omadus ja seejärel liita nende esemete arv, millel on paarisarv omadusi.

Naturaalarvud .

Omadused.

a + b = b + a ∀a, b ∈ ℕ liitmise kommutatiivsus (vahetuvusseadus)

a ⋅ b = b ⋅ a ∀a, b ∈ ℕ korrutamise kommutatiivsus

a + (b + c) = (a + b) + c ∀a, b, c ∈ ℕ liitmise assotsiatiivsus (ühenduvusseadus)

a (b ⋅ c) = (a ⋅ b) c ∀a, b, c ∈ ℕ korrutamise assotsiatiivsus

a (b + c) = ab + ac ∀a, b, c ∈ ℕ korrutamise distributiivsus

ℕ- hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes.

Algarvud .

Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu , mis jagub ainult iseenda ja 1-ga.

Eratosthenese sõel.
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰⑱⑲⑳

Nimekiri arvudest 2..N.

Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed .

Algarvud.

Eukleidese teoreem .

Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu.

Tõestus :
Tähistame p1=2, p2=3, p3=5, ...
Oletame vastuväiteliselt, et leidub suurim algarv pn.
Vaatleme naturaalarvu a=p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pn + 1.
Et a on suurem 1-st, siis peab leiduma algarv millega a jagub.
Kuna oletasime, et p1 ... p2 on ainsad algarvud, siis pead leiduma selline i, 1 ≤ i ≤ n, nii et a jagub pi-ga.
Ainus võimalus on pi=1, mis on vastuolus sellega, et pi > 1.

Kordarvud .

1-st suuremat naturaalarvu, mis ei ole algarv, nimetatakse kordarvuks.

Aritmeetika põhiteoreem : iga kordarv on ühesel viisil esitatav algarvude korrutisena. Arvu esitamist algarvude korrutisena, nimetatakse ka algteguriteks lahutamiseks.

Paaris ja paaritud arvud.

Paarisarvud .

Üldkuju 2n n ∈ ℕ

Paarisarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 2n + 2k = 2(n + k) 2n ⋅ 2k = 4nk

Paaritud arvud.

Üldkuju 2n + 1 n ∈ ℕ

Paaritute arvude hulk on kinnine korrutamise suhtes.

Seosed hulkade vahel.

ℕ

ℙ

𝕂

𝔸

𝔹

𝔸\{0; 2} ⊂ 𝕂

ℙ\{2} ⊂ 𝔹

𝔸 ∪ 𝔹 = ℕ

< ∪ 𝕂 ∪ ℙ = ℕ

𝔹\𝕂 ∪ = ℙ ∪

Jaguvuse tunnused.

Arv jagub 2-ga ⇔ ta lõpeb numbriga 0; 2; 4; 6; 8.

Arv jagub 3-ga ⇔ selle arvu ristsumma jagub 3-ga.

Arv jagub 4-ga ⇔ ta lõpeb kahe 00-ga või tema kahest viimasest numbrist moodustuv arv jagub 4-ga.

Arv jagub 5-ga ⇔ ta lõpeb numbriga 0 või 5.

Arv jagub 6-ga ⇔ ta on paarisarv ning ristsumma jagub 3-ga.

Arv jagub 7-ga, 9-ga või 13-ga ⇔ tema kolmest viimasest numbrist moodustatud arvu ja ülejäänud numbritest moodustatud arvu vahe jagub vastavalt 7-ga, 11-ga või 13-ga.

Arv jagub 8-ga ⇔ ta lõpeb kolme 0-ga või tema kolmest viimasest numbrist moodustuv arv jagub 8-ga.

Arv jagub 9-ga ⇔ tema ristsumma jagub 9-ga.

Arv jagub 10-ga ⇔ ta lõpeb numbriga 0.

Arv jagub 25-ga ⇔ ta kaks viimast numbrit on 0-d või moodustuvad arvu 25, 50 või 75.

Suurim ühistegur.

Antud arvude ühisteguriks nimetatakse sellist arvu, millega kõik antud arvud jaguvad.

Antud arvude suurimaks ühisteguriks(SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jagub iga antud arv.

Arvud tuleb lahutada algteguriteks ja leida nende kõikide ühiste algtegurite korrutis.
SÜT(126; 630; 540) = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18
126
2
630
2
540
2
63
3
315
3
270
2
21
3
105
3
135
3
7
7
35
5
45
3
1
7
7
15
3
1
5
5
1

Eukleidese algoritm .

Jagame suurema arvu väiksemaga.

Jagame väiksema arvu esimese jäägiga.

Jagame esimese jäägi teise jäägiga.

Jne, kuni tekib jääk 0.
Viimane, nullist erinev jääk ongi SÜT.
108
∶
42
2
84
42
∶
24
1
24
24
∶
18
1
18
18
∶
6
3
18
0

Vähim ühiskordne.

Antud arvude vähim ühiskordseks nimetatakse arvu, mis jagub iga antud arvuga.

Antud arvude vähimaks ühiskordseks(VÜK) nimetatakse vähimast 0-st erinevat arvu, mis jagub iga antud arvuga.

Algoritm leidmiseks.

Lahutame antud arvud algteguriteks.

Saadud algarvude astmete seast valime kõigi erinevate algarvude suurima astendajaga astmed .

Nende astmete korrutis ongi VÜK.
VÜK(360; 140; 35) = 23 ⋅ 32 ⋅ 51 ⋅ 71 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 ⋅ 7 = 2520
360
2
140
2
35
5
180
2
70
2
7
7
90
2
35
5
1
45
3
7
7
15
3
1
5
5
1

Iga naturaalarvu a ja b korral kehtib võrdus :
a ⋅ b = SÜT(a; b) ⋅ VÜK(a; b)

Ratsionaalarvud .

Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena.

Ratsionaalarvude hulk on tihe, sest iga kahe mittevõrdse ratsionaalarvu vahel leidub veel lõpmata palju ratsionaalarve.

Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes v.a. 0-ga jagamine.

Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.
Iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd avaldub ratsionaalarvuna.
x=0,(36)
x=1.2(43)
100x
36,(36)
1000x
1243,(43)
x
0,(36)
10x
12,(43)
99x
36
990x
1231
x
x

Ratsionaalarvud.

Teoreem : iga kahe ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarv.
Eeldus : olgu a ja c ratsionaalarvud, a Väide : leidub ratsionaalarv b, a Tõestus :
Et a Valides
, saame, et a Kuna a ja c on suvaliselt valitud, siis tõesti iga kahe ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarv.

Irratsionaalarvud.

Arvu, mis avaldub lõpmatu, mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks.

Irratsionaalarvude hulk on lõpmatu.

Irratsionaalarvud.

Teoreem : ühikruudu diagonaali pikkus ei esitu ratsionaalarvuna.
Eeldus : olgu antud ruut küljepikkusega 1.
Väide : ruudu diagonaali pikkus pole ratsionaalarv.
Tõestus :
d = √2 d
1
1
Oletame vastuväiteliselt, et √2 on ratsionaalarv. Kui √2 on ratsionaalarv, siis esitub ta taandumata kujul .
Tõstes mõlemad pooled ruutu
2n2 = m2
Vasakul on paarisarv, seega ka paremal on paarisarv. Kui m2 on paarisarv, siis m on paarisarv.
m=2k
Tõstes mõlemad pooled ruutu jõuame kujuni m2 = 4k2
Arvestades eespool toodut 2n2 = 4k2
n2 = k2
Paremal pool on paarisarv, seega ka vasakul on paarisarv.
n2 on paarisarv ⇒ n on paarisarv.
Murd
pidi olema taandumatu, kuid selgus, et m ja n on paarisarvud.
Seega murdu on võimalik taandada 2-ga. Saime vastuolu.
Seega murdu
pole.
Et aga ratsionaalarvu saab alati avaldada taandatud murruna, siis √2 ei ole ratsionaalarv.

Reaalarvud.

Reaalarvude hulk on pidev. S.t arvtelje igale punktile vastab üks kindel reaalarv ning vastupidi.

Reaalarvude hulk on järjestatud. S.t iga kahe erineva reaalarvu a ja b korral kehtib üks väidetest :
a a

Omadused :

∀a, b ∊ ℝ a + b = b + a liitmise kommutatiivsus

∀a, b, c ∊ ℝ (a + b) + c = a + (b + c) liitmise assotsiatiivsus

∀a, b ∊ ℝ korral on võrrandil b + x = a olemas lahend lahutamise seadus
x = a – b

∀a, b ∊ ℝ ab = ba korrutamise kommutatiivsus

∀a, b, c ∊ ℝ a(bc) = (ab)c korrutamise assotsiatiivsus

∀a, b ∊ ℝ b≠0 korral on võrrandil b ⋅ x = a olemas lahend

∀a, b, c ∊ ℝ (a + b)c = a ⋅ c + b ⋅ c korrutamise distributiivsus liitmise suhtes.

Reaalarvude piirkonnad.
Nimetus
Tingimus
Tähis
Lõik
a ≤ x ≤ b
[a; b]
Vahemik
a ]a; b[
Poollõik a-st b-ni
a ≤ x a [a; b[
]a; b]
Lõpmatu poollõik
x ≥ a
x ≤ b
[a; ∞[
]- ∞; b]
Lõpmatu vahemik
x > a
x ]a; ∞[
]- ∞; b[

Reaalarvu absoluutväärtus.

Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse arvu a, kui a ≥ 0 ja arvu a vastandväärtust –a, kui a

Arvu absoluutväärtus on teda määrava punkti kaugus nullpunktist arvteljel .

Omadused.

|a| ≥ 0

|-a| = |a|

|a| ≥ a , |a| ≥ -a

||a|-|b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|

||a|-|b|| ≤ |a – b| ≤ |a| + |b|

|a ⋅ b| = |a| ⋅ |b|

, b≠0

Arvu mõiste laiendamine tabeli või skeemina .
Arvud 1; 2; ...
Arv 0
↓
↓
ℕ: Naturaalarvud
Naturaalarvude vastandarvud
-1; -2; -3; ...
↓
↓
ℤ: Täisarvud
Murdarvud
↓
↓
ℚ: Ratsionaalarvud
Irratsionaalarvud √2;
↓
↓
ℝ: Reaalarvud

.DOCX Laadi alla originaalfail 4 lk · .docx · 6 allalaadimist

Matemaatika suulise arvestuse punktid #1

Matemaatika suulise arvestuse punktid #2

Matemaatika suulise arvestuse punktid #3

Matemaatika suulise arvestuse punktid #4

10 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.

~ 4 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2013-10-16 Kuupäev, millal dokument üles laeti

6 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

Kaisux_x Õppematerjali autor

Algselt suulise arvestuse/vastamise punktid. On kirjavigu, seega soovitan kasutada ka natuke mõtlemist ja enda teadmisi, et minu kirjavead parandatud saaks. :)

ratsionaalarv jagub ratsionaalarvu paarisarv algarv algarvu korrutamise reaalarv arvude hulk reaalarvu

Sarnased õppematerjalid

docx

Reaalarvud

mingi kindel punkt arvteljel. · Reaalarvude hulk R on kinnine liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. REAALARVUDE PIIRKONNAD Reaalarve võime kujutada punktidena arvteljel. Valime arvteljel kaks suvalist reaalarvu a ja b nii, et a < b. Kandes need reaalarvud kasvavas järjekorras arvteljele, näeme ,et punktid a ja b jaotavad arvtelje kolmeks osaks e. piirkonnaks. x b x Sellised piirkonnad kujutavad endast reaalarvude osahulki. Mõnedele neist hulkadest on antud spetsiaalsed nimetused ja tähised. Need on esitatud järgmises tabelis. Nimetus Tingimus Tähis Graafiline esitus Lõik a-st b-ni Axb [a; b]

Matemaatika

ppt

Reaalarvud ( slaidid )

kui periood ei järgne vahetult komale. Reaalarvude hulk Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Irratsionaalarvud ei ole avaldatavad lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I moodustavad kokku reaalarvude hulga R. Reaalarvude hulga omadused Reaalarvude hulk on järjestatud lõpmatu hulk Reaalarvude hulk on pidev nendele arvudele vastavad punktid katavad kogu arvtelje Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on reaalarv. Ülesannete lahendamisel on vaja teada tehetes osalevate liikmete nimetusi liidetav +liidetav = summa; vähendatav - lahutatav = vahe; tegur · tegur = korrutis; jagatav : jagaja = jagatis. NB! Lahutamine on liitmise pöördtehe ning jagamise on korrutamise pöördtehe.

Matemaatika

pdf

Arvuhulgad loeng 1

Arvuhulgad Arvuhulgad Naturaalarvud N 0, 1, 2, 3, ... , n , ... Negatiivsed täisarvud Positiivsed murrud -4, -100, ... 1/2, 7/9, 18/33, ... Täisarvud Z Negatiivsed murrud -3/4, -17/9, ... Ratsionaalarvud Q Irratsionaalarvud 2, , Reaalarvud R Imaginaararvud - 1, - 5, Kompleksarvud C 2 Naturaalarvud N = {0, 1, 2, ..., n, ...} Naturaalarvude jada on lõpmatu (igale naturaalarvule järgneb veel naturaalarve). Liites

Matemaatika

docx

Arvuhulgad

ARVUHULGAD Referaat Koostaja:Elerin Luuk 10.klass Juhendaja: Silja Risthein Aravete2011 Naturaalarvud N= {0; 1; 2; 3;....} Et Loendamisel teel on nulli rakse saada, siis ei kuulunud see arv esialgu tuntud arvude hulka. Alles 7.sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Oleme õppinud nelja põhitehet naturaalarvudega. · Liitmine · Korrutamine · Lahutamine · Jagamine NATURAALARVUDE HULK N 1. On järjestatud lõpmatu hulk,milles on vähim,kuid pole suurimat arvu. 2. On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. 3. On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus on täisarvude hulk, on naturaal

Matemaatika

doc

Arvuhulgad

Arvuhulgad Referaat Sisukord Naturaalarvude hulk N........................................................................................................ 2 Negatiivsete täisarvude hulk z ......................................................................................... 2 Täisarvude hulk Z............................................................................................................... 2 Murdarvude hulk.................................................................................................................2 Ratsionaalarvude hulk Q.....................................................................................................2 Irratsionaalarvud................................................................................................................. 3 Reaalarvud R.......................................................................................................................3 Naturaalarvude hulk

Matemaatika

doc

X klassi matemaatika lühikonspekt

X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b  N korral a  b  b  a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b  N korral a  b  b  a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c  N korral a   b  c    a  b   c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c  N korral a   b  c    a  b   c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c  N korral a   b  c   a  b  a  c

Matemaatika

doc

X klassi matemaatika lühikonspekt

Matemaatika

doc

Mõisted matemaatikas

Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vaba

Matemaatika

Rohkem sarnaseid