suunal. b0 on vektori b ühivektor, on nurk vektorite b ja c vahel ning mis saadakse b koordinaatide on nurk vektorite a ja vahel Tasandi võrrand punkti ja normaalvektori jagamisel tema pikkusega. kaudu TÕENÄOSUS JA STATISTIKA Täistõenäosus Bayesi valem Bernoulli valem Keskväärtus: Geomeetriline jaotus Binoomjaotus Dispersioon: Standardhälve: Normaaljaotus
vahetusi lähimas topoloogilises naabruses ja valitakse parim. Alampuu pügamine ja taasühendamine – katkestakse üks haru ning hakatakse seda paigutama erinevatele servadele ning valitakse parima skooriga puu. Puu kaheks jagamine ja taasühendamine – puu mingi serv katkestatakse, tekib kaks puud, mida hakatakse erinevaid servasid pidi ühendama ning valitakse parim. 40. Iseloomustage Bayesi meetodit ja selle kasutamist fülogeneetikas. Bayesi teoreemil põhinev statistiline tööriist, mis võimaldab varasemast teadaolevat infot kombineerida uute hüpoteesidega. Püüab hinnata puu tõenäosust, võttes arvesse eelteadmisi puu kohta. Bayesi meetod võimaldab lisaks DNA järjestusest saadud infole kasutada ka järjestusest sõltumatut infot. Kui on lisateavet, saab mõnele puule anda suurema aprioorse tõenäosuse, kui ei
Tõenäosuste korrutamise lause. binoomjaotusega juhuslikuks suuruseks A vastandsündmus on sündmus, mis toimub siis, kui A Pn(AB)=Pn(A)Pn(B/A) ei toimu. P(A)+P( )=1. Sündmuste A ja B summa A+B parameetritega n ja p ning selle jaotustabel on järgmine: 10. Täistõenäosuse valem tõestusega. Bayesi valem. on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või toimub B Täistõenäosuse valem tõestusega. Kui sündmused või toimuvad A ja B korraga. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) A1+A2+...+An moodustavad sündmuste täieliku süsteemi Sündmuste A ja B korrutis AB on sündmus, mis toimub ja sündmuse B saab toimuda ainult üheda neist siis, kui toimuvad A ja B korraga. sündmustest, siis P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...
ja need sündmused moodustavad täissüsteemi Oletame, et sündmus A võib toimuda koos ühega sündmustest H1, H2, ..., Hk, siis on meil teada ka sündmuse A tinglikud tõenäosused P(A|H1), P(A|H2), ..., P(A|Hk). Sündmuse A tõenäosus avaldub= Valemit nimetatakse täistõenäosuse valemiks. 10. Bayes'i valem. Küsime, millised on Hi (i = 1, 2, ..., n) tõenäosused sõltuvalt sellest, et toimus sündmus A, st meid huvitab tinglik tõenäosus P(Hk|A)? Vastuse sellele küsimusele annab Bayesi valem, mis annab võimaluse pärast sündmuse A toimumist hinnata ümber sündmuste Hi tõenäosusi. Kui tõenäosusi P(Hi) nimetatakse aprioorseteks tõenäosusteks, siis Bayesi valem annab võimaluse nende sündmuste tõenäosuste ümberarvutamiseks kasutades teadmist, et sündmus A toimus. Vastavaid uusi tõenäosusi nimetatakse aposterioorseteks tõenäosusteks. 11. Grupis on 30 õpilast. Kui suur on tõenäosus, et 2 õpilasel on samal päeval sünnipäevad? P= 2/30 12
Kui sündmused A 1, A2,...,Ak on sõltumatud, siis P(A1, A2, ..., Ak)=P(A1)P(A2)....P(Ak). Tõestus !!! P(AB)=m AB/n=(mAB/mA)*mA/n=P(B/A)*P(A)=P(A)*P(B/A). Analoogiliselt saame, et P(AB)=P(B)P(A/B). Kui A ja B on sõltumatud, st. A toimumise tõenäosus ei sõltu B toimumisest või mittetoimumisest ja vastupidi, siis P(AB)=P(A)P(B). 6. Sündmuste täissüsteemi mõiste. Täistõenäosuse valem (tõestusega). Bayesi valem (tõestusega). Sündmuste täielikuks süsteemiks e sündmuste täissüsteemiks nimetame sündmusi A 1, A2, ..., An kui 1) A1+A2+...+An=K, st. P(A1+A2+... +An)=P(K)=1 ja 2) AiAj=V, st. P(AiAj)=P(V)=0, i, j=1,2,...,n, ij. Mingi katse tulemused, mida nimetatakse elementaarsündmusteks, moodustavad sündmuste täieliku süsteemi. Elementaarsündmustest saab korraga ilmuda ainult üks ning üks kindlasti ilmub.
See arv kirjeldab juhusliku P(A) = i =1 P(paaritu ja 3) = P(paaritu)*P(3) suuruse hajutatust tema keskväärtuse 0,25·0,05 + 0,35·0,04 + 0,40·0,02 = 0,0345. suhtes.Dispersiooni mõõtühikuks on esialgse =1/2×1/3=1/6 Näide20. Vaatluse all on Bayesi valem. antud hüpoteeside täielik kaks elektrilist komponenti. Tõenäosus, mõõtühiku ruut, dispersioon on keskväärtuse süsteem H1 ,... , Hn ning olgu teada nende suhtes arvutatud hälbe ruudu et üks komponent läheb rikki on 10%. hüpoteeside tõenäosused P(H1), ... , P(Hn). keskväärtus.Dispersiooni definitsioonist
Täistõenäosuse valem – on ühe keerulise sündmuse tõenäosuse arvutamiseeskiri. Saagu sündmus A kaasneda ühega sündmustest B1,B2..Bn, mis moodustavad sündmuste täieliku süsteemi. Sündmuste Bi(i=1..n) tõenäosused P(Bi) olgu teada. Samuti olgu teada ka sündmuse A sündmustega Bi koostoimumise tinglikud tõenäosused P(A/Bi). Sündmuse A tõenäosus P(A) leidmiseks kehtib täistõenäosuse valem. P(A)=P(B1)*P(A/B1)+P(B2)*P(A/B2)+..+P(Bn)*P(A/Bn). 19. Bayesi valem – Olgu teada sündmuste B tõenäosused ning samuti olgu teada ka sündmuse A tinglikud tõenäosused tingimusel, et mingi sündmus Bi on toimunud tingliku tõenäosusena P(A/B). Sooritame katse ja selle käigus toimub sündmus A. See sunnib ümber hindama sündmuste B tõenäosusi. Tuleb leida sündmuse Bi tõenäosus pärast seda kui sündmus A on juba toimunud. Seda tõenäosust võimaldabki arvutada bayesi valem. P(Bi/A) = P(Bi)*P(A/Bi)/∑P(Bi)*P(A/Bi) 20
n mA n Sõltumatud sündmused: P(B/A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) Sündmused A ja B on sõltumatud, kui sündmuse A toimumise tõenäosus ei sõltu sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest ja vastupidi. P(AB)=P(A)*P(B) Enam kui kahe sõltumatu sündmuse A1, A2, ... ,An korral: P(A1* A2* ... *An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An) 6. Sündmuste täissüsteemi mõiste. Näiteid sündmuste täissüsteemist. Täistõenäosuse valem (tõestusega). Bayesi valem (tõestusega). Sündmuste täielikuks süsteemiks ehk sündmuste täissüsteemiks nim sündmusi A1, A2, ... ,An , kui 1) A1+ A2+ ... +An=K , st P(A1+ A2+ ... +An)=P(K)=1 2) AiAj=V, st P(AiAj)=P(V)=0 ; i, j=1,2,...,n ij Nt ühe korra veeretan täringut, saab toimuda ainult üks sündmus. Täistõenäosuse valem tõestusega Kui sündmused A1+ A2+ ... +An moodustavad sündmuste täieliku süsteemi ja sündmus B saab toimuda ainult ühega neist sündmustest, siis
13860 Pa= 0.075018 äringul tuleb 5 silma? ineteisest erinevad) ja valib need juhuslikult. Kui tõenäone on, et ta valib õiged numbrid? ja 3 defektiga detaili. Esimesest kastist pannakse üks juhuslikult võetud detail teise kasti. Leida tõenäosus, et seejärel teise gi ühe lasu ja tabati kahte palli. 6 ja Antsul 0,6. Leida tõenäosus, et möödalaskja oli Ants. (Kasutage Bayesi valemit) enäosus, et seejärel teisest kastist juhuslikult võetud detail on standardne.
iteratsioonimeetodil. [13]. Tasandi tükeldamine n sirgega ja n nurgaga. [14]. Lineaarsed rekurrentsed võrrandid. [15]. Rekurrentsete võrrandite lahendamine genereerivate funktsioonide meetodil. [16]. Fibonacci arvud. Üldliikme valem ja rakendused. [17]. Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test
P ( A )=P ( A ∩ H 1 ) + P ( A ∩ H 2) + …+ P ( A ∩ H n ) ehk P ( A )=∑ P( A ∩ H i ) , i=1 kasutades seejuures iga liidetava juures korrutamisteoreemi, saame valemi n P ( A )=∑ (P ( H i ) ∙ P ( A|H i ) ) mida nimetatakse täistõenäosuse valemiks. i=1 20. Bayesi valem ja tema tähendus. Bayesi valem näitab tinglikku tõenäosust P(H k|A), et sündmus A toimus just nimelt P(H k )∙ P (A∨H k ) P ( H k| A )= n sündmusega Hk. ∑ (P ( H i) ∙ P ( A|H i ) ) i=1 DISKREETNE JUHUSLIK SUURUS 21. Mis on juhuslik suurus? Juhuslik suurus on suurus, mis sõltuvalt juhusest võib omandada erinevaid väärtusi. 22. Mis on erinevus diskreetse ja pideva juhusliku suuruse vahel?
sündmus B. Sündmuste korrutis A B on sündmus, mis toimub siis kui toimuvad sündmused A ja B. Sündmuste vahe A B on sündmus, mis toimub siis kui toimub sündmus A ja ei toimu sündmus B. Vastand sündmus A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. Sündmuse tinglik tõenäosus P( A / B) on sündmuse A toimumise tõenäosus, kui on toimunud sündmus B. Täistõenäosuse valem: n P ( A) P( H i ) P ( A / H i ) , i 1 Bayesi valem: P( A / H i ) P ( H i / A) , P ( A) Bernoulli valem: n! Pnm C nm p m (1 q n m ) p m (1 q ) n m m!(n m)! Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduse lihtsaimaks esitamisvormiks on tabel, kus on esitatud juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja neile vastavad tõenäosused (vt. Tabel. 4.1)
Tõenäosuste korrutamise teoreem: Sündmuste A ja B korrutise tõenäosus avaldub järgmiselt: P(A∩B) = P(A/B)*P(B) Järeldus1. Kuna sündmused A∩B ja B∩A ei erine teineteisest, siis P(A/B)P(B) = P(B/A)P(A). Järeldus2. Kui sündmused A ja B on teineteisest sõltumatud, siis P(A∩B) = P(A)P(B) Kui sündmuse A toimumine sõltub mitmest erinevast sündmusest, siis sündmuse A täistõenäosus avaldub kujul: P(A) = P(A/B1)P(A/B2). . .P(A/Bn). 1.7 Bayesi valem. Olgu antud täielik sündmuste süsteem B1, B2, . . . , Bn ning olgu teada nende tõenäosused P(B1), P(B2), …., P(Bn).Tehakse katse, mille tulemuseks on mingi sündmus A, mille tinglikud tõenäosused on P(A/B 1), P(A/B2), . . . ,P(A/Bn) teada. Sündmuse Bi tinglik tõenäosus avaldub kujul: P ( H i ) P( A / H i ) P(Hi/A) = n . P( H ) P ( A / H ) i 1 i i
0.06 Ülesanne: Komes kastis on sama tüüpi tooted. Esimeses 10 toodet millest 3 praaki, teises 15 toodet millest 5 praaki, kolmandas 20 toodet millest 6 praaki. Võetakse juhuslikult 1 toode (juhuslikult ühest kolmest kastidest), mis osutus praagiks, leida tõenäosus, et võetud toode pärines teisest kastist. Nagu näite põhjal näeme: Juhul kus P( H i ) = pi = const siis eelnev Bayesi valem lihtsustub kujule P( A | H i ) P( H i | A ) = k P( A | H j =1 j ) kuna hüpoteesi tõenäosust väljendava teguri saame võtta summa märgi ette ja taandada. 6 3. Bernoull'i valem n sõltumatut katset, igal katsel on sündmuse A toimumise tõenäosus P(A)=p. Tõenäosus, et sündmus toimub m korda on: Pm ,n = C nm p m (1 - p ) n-m
Minimaksi meetod. Leitakse variant maksimaalsete võimaluste seast, mille väärtus on minimaalne. Maksimaksi meetod. Kasutatakse äärmiselt optimistlikus olukorras ja valitakse variant, mis võimaldab saada parimat tulemust. Hurwitzi meetod. Lähtutakse põhimõttest, et kõige optimistlikum ja pessimistlikum hinnang on vaevalt õigustatud. Seepärast soovitatakse valida kuldne kesktee. Selleks valime iga variandi kõige väiksema ja kõige suurema tulemuse ning arvutame nende keskmise. Bayesi-Laplace´i kriteeriumi puhul loetakse kõikide olukordade esinemissagedused võrdseiks, seega leitakse iga strateegia tulemuste aritmeetiline keskmine. Valitakse strateegia, mille aritmeetiline keskmine on suurim. Nimetatakse mitteküllaldase aluse printsiibiks. Savage`i kriteeriumi rakendamiseks arvutame kahetsusmaatriksi, püüdes minimeerida kahetsust. Kahetsusmaatriksi arvutamisel on aluseks järgmine loogika: kui teatud
mahajääjad. Praktikas sõltub innovatsiooni rakendamise täpne muster nõudluspoole ja pakkumispoole vastastikmõjust: 1. Nõudluspoole mudelid, peamiselt statistilised. · Epideemiline, aluseks otsekontakt eelnevate rakendajatega või nende jäljendamisel; · Bassi mudel, aluseks rakendajate koosnemine innovaatoritest ja jäljendajatest; · Probiti mudel, aluseks on rakendajate erinevad kasulävendid; · Bayesi mudel, aluseks on rakendajate erinev kasu ja riski taju. 2. Pakkumispoole mudelid, peamiselt sotsioloogilised: · Rakendatavus kasu tootmiseks, mis asetab rõhu innovatsiooni suhtelisele eelisele; · Levik, mis asetab rõhu info kättesaadavusele; · Kasutus, mis asetab rõhu kasutamisbarjääride vähendamisele; · Kommunikatsioon, mis asetab rõhu arendajate ja kasutajate vahelisel tagasisidele.
annaabi.ee 
