docstxt/126046136554532.txt
Üliõpilane Sandra Vähejaus Õppemärkmik 081972 Õppejõud Ahti Lohk Õpperühm EALB21 Ülesande kirjeldus Variant 12 Ristkülikmaatriks *leida absoluutväärtuste keskmine maatriksis *leida minimaalne element ja selle asukoht igas reas *liita vektor nendele veergudele, kus esimene element on negatiivne (S) Ruutmaatriks *leida suurim element peadiagonaalil ja selle veeru summa, kus asub leitud maksimum *leida minimaalne element allpool peadiagonaali (S) *moodustada vektor maatriksi nendest elementidest, mis on väiksemad antud arvust (S) b leitud maksimum mad antud arvust Abs. Kesk Maks el. PD Maks PD sum Min all PD Etteantud Spetsifikatsioonid protseduuridest Sub Op_Mas_1() Loeb maatriksi töölehelt VBA massiivi. Värvib negatiivsed arvud. Teeb läbi If-protseduuri kindlaks, ka või ruutmaatriksiga. Käivitab vastavalt maatriksi liigile vajalikud protseduuri.
formaatikainstituut Massiivid Matr.nr Rühm Ülesande kirjeldus Ristkülikmaatriks 1. Jagada iga veeru elemendid selle veeru elementide summaga. 2. Leida absoluutväärtuselt suurim element ja selle koht antud veerus (S) 3. Moodustada uus maatriks nendest ridadest, kus viimane element on positiivn Ruutmaatriks 1. Lahutada vektor maatriksi viimasest veerust. 2. Liita viimane rida nendele ridadele, kus peadiagonaali element on väiksem n 3. Leida maksimaalne element ülalpool peadiagonaali (S). elementide summaga. ja selle koht antud veerus (S). us viimane element on positiivne. iagonaali element on väiksem nullist. Ristkülikmaatriksi absoluutne maksimum ning selle asukohtantud veerus. Abs_max Abs_ve Abs_ri 10 1 3 4 1 2 -4 -4 6 -10 5 7 4 -10 -2
Töö Massiivid Üliõpilane Kaspar Kapp Matrikli nr Juhendaja Jüri Vilipõld Õpperühm aülikool siivid 105202 EAEI-21 Ristkülikmaatriks - leida positiivsete elementide summa antud numbriga veerus (S) - jagada leitud summaga maatriksi iga element - leida maksimaalne element saadud maatriksi igas reas Ruutmaatriks - leida maksimaalne element ülalpool peadiagonaali ja selle asukoht (S) - liita vektor nendele veergudele, kus esimene element on negatiivne - moodustada uus maatriks nendest ridadest, kus peadiagonaali element on positiivne variant 22 maatriksis Massiiv Genereeri ridu 5 veerge 5 Kustuta -55 -79 -80 -41 -20 -18
Def. 7 (m x k) järku maatriksi A ja (k x n) järku maatriksi B korrutiseks nimetame (m x n) järku maatriksi A*B, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine elment Cij saadakse maatriksi A i-nda rea ja maatriksi B j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud tulemuste liitmisel Mõiste 1: Nullmaatriksiks nimetakse maatriksit, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga. =(0) Mõiste 2: Ühikmaatriksiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed arvuga 1 ja kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga Mõiste 3: Diagonaalmaatriksiks nimetakse ruutmaatriksit, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemendid on võrdsed 0-ga Mõiste 4: Skalaarmaatriksiks nimetatakse sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed Mõiste 5: Maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks, kui 0 maatriksist erinevaid maatrikseid A
Variant 19 Ristkülikmaatriks - leida suurus p = 2k + m, kus k on esimese rea positiivsete elementide aritmeetiline keskmine, m maksimaaln - jagada leitud väärtusega maatriksi need elemendid, mis on suuremad nullist - leida maksimaalne element saadud maatriksi igas reas Ruutmaatriks - leida negatiivsete elementide keskmine ülalpool peadiagonaali (S) - liita vektor nendele ridadele, kus viimane element on negatiivne moodustada uus maatriks nendest ridadest, kus peadiagonaali element on suurem nullist etiline keskmine, m maksimaalne element viimases veerus (S) Peaprotseduur OP_Mas() määratleb muutujad ja massiivid loeb töölehelt vastavad massivid kasutades alamprotseduure Loe_Tab ja Loe teeb kindlaks, kas töölehel olev maatriks on ruutmaatriks või ristkülikmaatriks
n Maatriksi ridade arv. A() Esialgne maatriks A. B() Vektor B. C() Uus maatriks C. Uus maatriks C kuvatakse 1-realise vahega maatriksist A allapoole. Funktsioon Yleminemin(A(), n, min) Leiab minimaalse elemendi ülalpool peadiagonaali. n Maatriksi ridade arv. A() Maatriks A. min Abimuutuja, mille abil leitakse väikseim element. Minimaalne element kuvatakse töölehe lahtris "min". Protseduur Uuedread(A(), D(), n) Moodustab uue maatriksi ridadest, kus peadiagonaali element on suurem nullist.
(-1)*B summaga. A-B=A+(-1)B Def7: maatriksite korrutiseks nimetakase maatriksit, mille i- nda rea ja j-nda veeru ühine element saadakse maatriksi A i-nda rea ja j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud tulemuste liitmisel. Maatriksite korral korrutis üldjuhul sõltub tegurite järjekorrast. Maatriksite, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse nullmaatriksiks. Tähis oomega. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed ühega ning ülejäänud elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse ühikmaatriksiks. Tähis E. Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaalmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemandeid on võrdsed nulliga. Sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali piknevad elemendid on võrdsed nimetatakse skalaarmaatriksiks. Ruutmaatriksit nimetatakse involutiivseks maatriksiks, kui on
20 54 -10 -46 -17 -32 46 Ristkülikmaatriks *leida maatriksi viimase veeru ja vektori skalaarkorrutis (S) *jagada iga rea elemendid selle rea elementide summaga *moodustada uus maatriks veergudest, kus viimane element on suurem antud arvust Ruutmaatriks *lahutada esimene rida nendest ridadest, kus kõrvaldiagonaali element on positiivne *leida minimaalne element antud veergude vahemikus *leida positiivsete elementide keskmine allpool peadiagonaali (S) Kesk Skalaar Antud arv Veerg_1 Veerg_2 Min_elem -12189 20 1 3 Vektor Iga rea elemendi jagamine selle rea elementide summaga -48 -0,4 0,5 0,4 0,3 -92 0,3 -0,6 0,5 0,3 4 0,5 0,4 0,4 -0,2 -82 -0,2 0,2 0,3 0,3
7. Def. 7 (m x k) järku maatriksi A ja (k x n) järku maatriksi B korrutiseks nimetame (m x n) järku maatriksi A*B, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine elment Cij saadakse maatriksi A i-nda rea ja maatriksi B j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud tulemuste liitmisel 8. Mõiste 1: Nullmaatriksiks nimetakse maatriksit, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga. =(0) 9. Mõiste 2: Ühikmaatriksiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed arvuga 1 ja kõik ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga. 10. Mõiste 3: Diagonaalmaatriksiks nimetakse ruutmaatriksit, kui selle maatriksi kõik väljaspool peadiagonaali paiknevad elemendid on võrdsed 0-ga 11. Mõiste 4: Skalaarmaatriksiks nimetatakse sellist diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed 12. Mõiste 5: Maatrikseid nimetatakse 0-teguriteks, kui 0 maatriksist erinevaid maatrikseid A ja B (A ; B),
loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)·B summa A-B=A+(-1)·B; A-B=(a ij-bij). (MxK) maatriksi A ja (KxN) B korrutist nim (MxN) järku maatriksiks A·B, milles i-nda rea ja j-nda veeru lõikekohal paiknev ühine element C ij saadakse A i-nda rea ja j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutisena ja saadakse tulemuste liitmisel; A·BB·A. Maatriksit mille kõik elemendid on võrdsed nulliga nim nullmaatriksiks . Maatriksit mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed 1-ga ja ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga nim ühikmaatriksiks E; E·A=A ja A·E=A. Maatriksite liitmisel, maatriksi korrutamisel arvuga ja maatriksite omavahelisel korrutamisel kehtivad järgmised omadused: 1)A+B=B+A; 2)(A+B)+C=A+(B+C); 3)A+ =A; 4)A+(-A)=; 5)1·A=A; 6)a·=; 7) 0·A=; 8)(a+b)·A=a·A+b·A; 9)a(A+B)=a·A+a·B; 10)a(b·A)=b(a·A); 11)a(b·A)=(a·b)A; 12)(a·A)·B=A(a·B)=a(A·B); 13)A·=·A=; 14)E·A=A·E=A;
võnkumise võrrandit nimetatakse harmoonilise võnkumise võrrandiks: x = A sin · Lõik- Lõik ehk sirglõik on sirge kaht punkti A ja B ühendav osa, punktid A ja B kaasa arvatud. Seda lõiku tähistatakse AB.[1] Punkte A ja B nimetatakse lõigu otspunktideks. Jordani maatriks- Jordani maatriksiks nimetatakse blokk- diagonaalset maatriksit, mis koosneb Jordani kastidest. Jordani kastiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed, vahetult peadiagonaali kohal asuvad elemendid on ühed, ent ülejäänud elemendid on nullid. · Lemma- Lemma ehk abiteoreem on teoreem, millel pole küll iseseisvat tähtsust, kuid mis osutub vajalikuks vaadeldava matemaatilise teooria mõne teise teoreemi sõnastamisel. · Fundamentaaljada- Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse jada vn, mille elemendid teineteisele indeksi n kasvades lõputult lähenevad.
.. a mn m1 A= . Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: aik A= mn . Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk üheveeruliseks maatriksiks; näiteks 4,5 2,3 3,2 12 A= . Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks. 4
Kristiina Stõkova Matrikli nr: 105281 Kristina Murtazin Õpperühm: EAEI-23 Variant: 11 Ristkülikmaatriks: 1) leida maksimaalne element ja selle asukoht igas reas 2) leida maatriksi nende elementide summa, mis on väiksemad antud arvust 3) moodustada uus maatriks veergudest, kus esimene element on negatiivne (S) Ruutmaatriks: 1) liita vektor nendele ridadele, kus kõrvaldiagonaali element on negatiivne 2) leida maksimaalne element väljaspool peadiagonaali ja selle asukoht (S) 3) vahetada viimane veerg veeruga, kus asub leitud maksimum arvust atiivne (S) atiivne oht (S) Tee maatriks Tee vektor Lahenda Kustuta Ristkülik: Vali arv: Summa: 10 ektor Ruut: Max.el: Rida: Veerg: Sub Tee_Maatriks() Koostab vabalt valitud ridade ning veergude arvuga maatriksi töölehele. Sub Tee_Vek() Koostab vabalt valitud ridade arvuga vektori töölehele. PEAPROTSEDUUR Sub Lahenda()
determinandiga C, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine element cij saadakse determinandi A i-nda rea ja determinandi B j-nda veeru vastavate elementide korrutamisel ning saadud tulemuste liitmisel. Om8 Kui determinandi mingi rea/veeru kõik elemendid on nullid, siis võrdub determinant nulliga. Om9 Kui determinandis kõik allpool/ülal peadiagonaali paiknevad elemendid on nullid, siis võrdub determinandi väärtus tema peadiagonaali elementide korrutisega ehk pealiikmega. Om10 Determinandi väärtus võrdub nulliga parajasti siis ( siis ja ainult siis), kui selle determinandi ridade/veergude hulk on lineaarselt sõltuv. Ridade ja veergude lineaarne sõltuvus on tarvilik ja piisav tingimus selleks, et determinandi väärtus oleks samane nulliga. Crameri peajuhtum Determinandi abiga saab lahendada l.v.s, kus tundmatuid ja võrrandeid on sama palju.
Informaatikainstituut Töö Tabelid Üliõpilane Tõnis Rohula õppemärkmik 083135 Õppejõud Ahti Lohk õpperühm EAKI-21 Variant: 5 Ristkülikmaatriks leida maatriksi iga rea skalaarkorrutis vektoriga leida minimaalne element antud ridade vahemikus (S) moodustada uus maatriks ridadest, kus esimene element on suurem antud arvust Ruutmaatriks lahutada esimene veerg veergudest, kus peadiagonaali element on positiivne leida saadud maatriksi elementide aritmeetiline keskmine leida minimaalne element ülalpool kõrvaldiagonaali (S) Ülesande realisatsioon Ruutmaatriksi puhul Min ülalpool m n kõrv.diag. 8 6 Genereeri
Def 7: (m×k) maatriksi A ja (k×n) maatriksi B korrutiseks nimetatakse m×n järku maatriksi AB, millest i'nda rea ja j'nda veeru ühine element cij saadakse maatriksi A i'nda rea ja maatriksi B j'nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ja saadud elementide liitmisel. Maatriksi korrutis sõltub tegurite järjekorrast. BAAB 1. Maatriksi, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga nimetatakse nullmaatriksiga. =0 A+=A 2. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed ühega ja ülejäänud võrdsed nulliga nimetatakse ühikmaatriksiks E. EA=AAE=A Maatriksite liitmisel, nende korrutamisel arvuga ja nende omavahelisel korrutamisel kehtivad omadused: · A+B = B+A (liitmise kommutatiivsus) · (A+B)+C = A+(B+C) liitmise assotsiatiivsus · A+ = A · A+(-A) = · 1A= A · A= · 0A = · (a+ b ) A= aA + bA · a (A+B) = aA + aB · a( b A) = b (a A) · a (b A) = (ab) A
Kui faktorite arv on väiksem mõõdetud tunnuste arvust, siis tunnuse kommunaliteet (faktorite poolt seletatav hajuvus) on väiksem kui 1 , st osa vastava muutuja hajuvusest jääb kirjeldamata (kommunaliteediprobleem). Kui eraldatakse kaks faktorit, siis reeglina seletavad nad koguhajuvusest suurema osa kui seda teeks üks faktor hi2 D i21 D i22 Kommunaliteetide algväärtused valitakse ette ja lisatakse korrelatsioonimaatriksi peadiagonaali elementidele. Kehtib reegel: mida suurem on muutujate arv, seda vähem oluline on kommunaliteetide täpne hindamine (sest peadiagonaali elementide osakaal kõigi elementide hulgas väheneb kiiresti maatriksi mõõtmete suurenedes). Näites oletame, et eksisteerib kaks varjatud tegurit (faktorit), mida mõõdetud suurused siis esitavad. x1 , x 2 ja x3 väljendavad faktorit ,,tervis", x 4 ja x5 aga faktorit ,,majanduslikkus". Faktoreid vaadeldakse seega kui muutujate kimpe
7 ERIKUJULISI MAATRIKSEID DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi Am × n kõik elemendid aij võrduvad nulliga, siis nimetatakse maatriksit NULLMAATRIKSIKS. Maatriksi ridade ja veergude arvud m ja n on tema PÕHIPARA- MEETRID. Kui m n, siis on tegemist RISTKÜLIKMAATRIKSIGA. Kui m = n, siis on tegemist RUUTMAATRIKSIGA ja arvu n nimetatakse selle maatriksi JÄRGUKS. Ruutmaatriksi elemendid a11 , a22 , . . . , ann moodustavad tema PEADIAGONAALI ja elemendid a1n , a2 n-1 , . . . , an 1 vastavalt KÕRVALDIAGONAALI. DEFINITSIOON 2. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali elemendid ei ole nullid ja kõik ülejäänud elemendid võrduvad nulliga, siis nimetatakse seda maatriksit DIAGONAALMAATRIKSIKS. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel võrdsed, siis nimetatakse seda maatriksit SKALAARMAATRIKSIKS. Kui skalaarmaatriksi peadiagonaali elemendid võrduvad ühega, siis
7 ERIKUJULISI MAATRIKSEID DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi Am × n kõik elemendid aij võrduvad nulliga, siis nimetatakse maatriksit NULLMAATRIKSIKS. Maatriksi ridade ja veergude arvud m ja n on tema PÕHIPARA- MEETRID. Kui m n, siis on tegemist RISTKÜLIKMAATRIKSIGA. Kui m = n, siis on tegemist RUUTMAATRIKSIGA ja arvu n nimetatakse selle maatriksi JÄRGUKS. Ruutmaatriksi elemendid a11 , a22 , . . . , ann moodustavad tema PEADIAGONAALI ja elemendid a1n , a2 n-1 , . . . , an 1 vastavalt KÕRVALDIAGONAALI. DEFINITSIOON 2. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali elemendid ei ole nullid ja kõik ülejäänud elemendid võrduvad nulliga, siis nimetatakse seda maatriksit DIAGONAALMAATRIKSIKS. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel võrdsed, siis nimetatakse seda maatriksit SKALAARMAATRIKSIKS. Kui skalaarmaatriksi peadiagonaali elemendid võrduvad ühega, siis
üks kindel y hulgast W, siis öeldaksem et on määratud ühene kujutus hulgast V hulka W. Hulka C, mille elementideks on kõik sellised 2x2 järku ruutmaatriksid, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning 1. £(a+b)= £(a)+ £(b) lineaarkujutuse Muutujte regulaarse teisendamise tulemusena saame esialgse
leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant 4 Avaldist kujul a d b c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu: a b ad bc c d Arve a, b, c ja d nimetatakse determinandi elementideks. Elemendid a ja d moodustavad determinandi peadiagonaali, b ja c kõrvaldiagonaali. Kolmerealise determinandi väärtuse arvutamiseks kasutatav skeem:
leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant 4 Avaldist kujul a d b c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu: a b ad bc c d Arve a, b, c ja d nimetatakse determinandi elementideks. Elemendid a ja d moodustavad determinandi peadiagonaali, b ja c kõrvaldiagonaali. Kolmerealise determinandi väärtuse arvutamiseks kasutatav skeem:
- leida maksimaalne element saadud maatriksi igas veerus - liita vektor maatriksi (ette) antud numbriga reale (S) Ruutmaatriks - leida minimaalne element kõrvaldiagonaalil ja selle asukoht - leida selle rea positiivsete elementide keskmine, kus asub leitud miinimum moodustada uus maatriks veergudest, kus peadiagonaali element on suurem nullist (S) -10,75 20 17,375 -19 1,581395 -3,375 36 5,640288 11,25 49 -26,96296 94 (2 ; 1) 1
Üliõpilane Matriklinumber Õppejõud Õpperühm Ülesannete püstitus 6 7) märgid, string luua vektorist valitud juhuslikest märkidest 17) vektori negatiivsete elementide summa 8 29) jada järgmine liige, näiteks: 2, 5, 8,… jada ja tulem luua programmiga 39) veeru number, kus asub maatriksi minimaalne element 14=>4 45) elementide summa ruutmaatriksis ülalpool peadiagonaali 55) maatriksi elementide absoluutväärtuste summa juhuslikus veerus oma 63)pindala 73)nurk 100) viktoriin aeg_1 64.253906 trahv 20 7 39 aeg_2 rekord 17 J 55 Start 29 17 7 29 73 73 39 7 45
Sub genmas(a(), n, m, c, d) Dim i, j Randomize For i = 1 To n For j = 1 To m a(i, j) = Int((d - c) * Rnd + c) Next j Next i End Sub Sub mas_lehele(a(), n, m, koht) Dim i, j For i = 1 To n For j = 1 To m koht.Cells(i, j) = a(i, j) Next j Next i End Sub C ja D lugeda töölehelt. Maatriksi ridade ja veergude arv (N ja M) sisestada klaviatuurilt. Kui maatriksi ridade arv on võrdne veergude arvuga (N = M), leida peadiagonaali elementide hulgas suurim e (rea ja veeru number). Leida väikseim element ja selle rea number, mis asub tabeli selles veerus, kus asub le Kui maatriksi ridade arv ei ole võrdne veergude arvuga (N M), väljastada vastav teade. Kõik tulemused kirjutada töölehele. Maatriksi (massiivi) genereerimiseks, selle töölehele väljastamiseks ning vajalike tulemuste arvutamiseks kas Nendesse andmete saatmisel ja tulemuste tagasisaamiseks kasutada argumente ja parameetreid.
EAEI-21 Õppejõud: Kristina Murtazin Ristkülikmaatriks - leida minimaalne element antud veergude vahemikus - leida maatriksi selle rea elementide keskmine, kus asub leitud miinimum (S) - moodustada uus maatriks ridadest, kus esimene element on väiksem leitud keskmisest Ruutmaatriks - lahutada vektor maatriksi igast veerust (S) - leida ülalpool kõrvaldiagonaali asuvate elementide absoluutväärtuste keskmine vahetada read, kus asub maatriksi peadiagonaali minimaalne ja maksimaalne element 41 7 16 -42 -40 55 -98 52 63 42 -91 -17 73 58 -25 93 75 -89 90 -27 Tee maatriks Maatriks ridadest, kus esimene element on väiksem leitud keskmisest:
8)n-järku determinandid. Teist ja kolmandat järku determinandid kui erijuhtumid. N-järku ruutmaatriksile seatakse vastavusse realarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat järku determinandiks, mis on sobivalt valitud märgiga. Kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja veergudest. Teist järku determinant sisaldab 2 liidetavat mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe. Kolmandat järku determinant koosneb 3 liidetavast, mis on maatriksi 3 elemendi korrutused ja nende märgid määratakse vastavalt
-0.0465 0.00884 Järgnevalt saame leida kaaluühiku standardhälbe S0. Selleks on meil vaja hälvete maatriski transponeeritud maatriksit VT, kaalumaatriksit W ja hälvete maatriksit V. Lisaks suuruseid m (mõõtmiste arv) ja n (tundmatute arv). Tulemuseks saame S 0= 8,967. Viimase lähenduse andmete põhjal saame leida punkti B tasandatud koordinaatide täpsushinnangud Sx ja Sy. Selleks on meil vaja eelnevalt leitud kaaluühiku standardhälvet ning kovariatsioonimaatriksi Qxx (Tabel 10) peadiagonaali elemente. Täpsushinnanguteks saame Sx= 0,0694 ja Sy= 0,057. Tabel 10. Kovariatsioonimaatriks Qxx 0.00006 0 0 0.00004 Viimase lähenduse andmete põhjal leiame ka tasandatud nurkade ja joonepikkuste täpsushinnangud. Selleks on vaja eelnevalt leitud kaaluühiku standardhälvet ning kovariatsioonimaatriskit Qjj (Tabel 11). Nurkade täpsushinnanguteks saame SA= 9,469, SB= 14,457, SC= 13,429 ja joonte täpsushinnanguteks SA-B= 0,063 ning SB-C= 0,063. Tabel 11
Determinandi arvutamist lihtsustada. Gaussi ja Gauss-Jordani meetod. nende punktide hulka, mille Maatriks, tehted maatriksitega Näited Gaussi meetodi puhul kauguste vahet tasandi kahest Kirjutades nende vektorite teisendatakse laiendatud maatriksi antud punktist on koordinaadid välja tabelina, nii et AB kõik elemendid allpool absoluutvdäärtuselt konstantne. ühe ja sama vektori Koordinaadid peadiagonaali nullideks, II järku jooned. Parabool asetseksidt ühes reas ning opereerides sealjuures eranditult Parapooliks nimetatakse tasandi samanimelised koordinaadid ühes vaid maatriksi ridadega. Veergusid niisuguste punktide hulka. mis ja samas veerus, saame tabeli, on vaid lubatud vahetada, mis asuvad võrdsel kaugsel antud mida nimetatakse maatriksiks
Kompleksarvud · Kui vaatleme ruutvõrrandit x2+1=0 siis selline ruutvõrrand ei ole lahendatav. Kui aga eeldame, et arvu i olemasolu, mille korral i2 =-1 x2=1 x=+- 1. · olgu hulk C kõigi selliste (2*2) ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ja kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud. · Def1: Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub uuesti selle sama hulga elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinnine. · Tuginedes maatriksarvutustele võime väita, et hulgas C kehtivad järgmised omadused: · Hulk C osutub algebralise süsteemi mõttes kommutatiivseks korpuseks.
Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber vahetada, Kui determinandis on kaks rida (veergu)omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks, Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga kurrutub kogu determinant selle teguriga. Kui determinandis on kahe rea (veeru) elemendid omavahel võrdelised, siis võrdub determinant nulliga. Determinant, milles ühel pool peadiagonaali asuvad ainult nullid, on võrdne peadiagonaali elementide korrutisega 14. Determinandi elemendi minoor ja alamdeterminant,determinandi arendis k-nda rea (veergu) järgi. Determindi aij elemendi minoor on-kui kõrvldame determinandist i-nda rea ja j-nda veergu ja tähistame Mij.alam determinant on- kui determindi aij ongi tema minoor Mij,mis võetakse ,,+" märgiga kui i+j on paaris arv,ja ,,-,, märgiga kui i+j on paaritu arv ja ähistatakse Aij
kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, et M-i astak on r. A-1 = (1/ |A|) A, kus |A| on M-i A determinant, nimetatakse M-i A pöördmaatriksiks. M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem: Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi küik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega, välja arvatud tundmatute ümbernummerdamine e. veergude transponeerimine, kui see osutub vajalikuks. 4. Vektorid. Kahe vektori skalaar, vektor ja segakorrutis (defenitsioon) + valem. Parallelsuse ja risti tunnused. Arvutamine koordinaatide abil. Vektoriks nimetatakse suunaga sirglõik Ühikvektor vektor, mille pikkus võrdub 1-ga
i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks ridade arv = veergude arv m=n diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0. ühikmaatriks diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1. tähistus E. 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). Korrutamine arvuga: maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse kõik tema elemendid selle arvuga. (m x n)-maatriksi A = (aij) korrutiseks reaalarvuga c nimetatakse (m x n)- maatriksit cA = (bij), kus indeksite i ja j kõigi väärtuste korral bij = caij
a1 b1 c1 nulliga. Determinandi a2 b2 c2 a b Tõepoolest, = ab ab = 0. a3 b3 c3 a b elemente a1, b2 ja c3 nimetatakse peadiagonaali elementideks ja 4. Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja elemente c1, b2 ja a3 nimetatakse kõrvaldiagonaali elementideks. sama teguriga korrutub determinant selle teguriga. Sarruse reegli järgi on determinandi väärtust küll lihtne arvutada, kuid arvutus- a b
.. a 2 n . . . . a am2 ... a mn A= m1 . Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk 4,5 2,3
A= . . . . . a am2 ... a mn m1 Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali. 2. Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ). 3. Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk 4,5 2,3
Maatriksi astaku hõlpsamaks leidmiseks teisendatakse maatriksit enne nii et ta kõrgemait järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Selleks vajatakse järgmisi elementaar-teisendusi. Need on: 1. maatriksi rea/veeru korrutamine nullist erineva teguriga a; 2. ühele reale/veerule k-kordse teise rea veeru liitmine; 3. maatriksi kahe rea veeru ümberpaigutamine. Elementaarteisenduste abil teisendatakse maatriksit nii et kõik maatriksi elemendid ühel pool peadiagonaali saaksid nullideks. Niisugusest maatriksi kujust võib kergesti välja lugeda maatriksi astaku r. Teoreem maatriksi astakust Kui vektorite hulga S={a1,a2...ar...am}koordinaatide maatriksi astak on r, siis on r vektorit hulgast S lineaarselt sõltumatud, kuna ülejäänud m-r vektorit on nende r vektori lineaarsed kombinatsioonid. Vektorite hulk S={a1,a2...ar...am} on lineaarselt sõltumatud parajasti siis kui hulga S vektorite kordinaatide maatriksi astak on m
.d 2 . .a2n asendamisel vabaliikmete veeruga. xj = = Kui r=n siis on täidetud A A.............. an1an 2. .d n . .ann Crameri peajuhu tingimused *m=n *D ei=0-ga ning seega on süsgteemil üks lahend, mis esitatakse Crameri valemitega: xk = Dk /D (k=1,2,..n) Gauss-selle puhul maatriksi AL ridadele rakendatavate elementaarteisendustega teisendatakse allpool peadiagonaali asuvad elemendid nullideks ja avaldatakse siis lahend. täisdiferentsiaal-dw=Wxdx+Wydy+Wzdz (osatuletised liita)
a. refleksiivseks, kui iga x X korral (x, x) R. Nt samasusrelatsioon. Maatriksil on peadiagonaalis kõik ühed, graafis on iga tipu juures silmus. b. antirefleksiivseks, kui iga x X korral (x, x) R. Nt relatsioon . Maatriksi peadiagonaal koosneb nullidest, graafis ei ole ühegi tipu juures silmust. c. sümmeetriliseks, kui (x, y) R korral alati (y, x) R. Nt relatsioonid = ja . Maatriks on sümmeetriline peadiagonaali suhtes, suunatud graafis iga kaare jaoks on olemas ka vastupidise suunaga kaar. d. antisümmeetriliseks, kui (x, y) R ja (y, x) R korral alati x = y. Nt võrratused. Maatriksi iga väljaspool peadiagonaali asuva elemendi 1 suhtes on sümmeetriline element 0, suunatud graafis pole kahte vastassuunalist kaart. e. transitiivseks, kui (x, y) R ja (y, z) R korral alati (x, z) R. Nt võrratused ja alamhulgaks olemised
PEADIAGONAAL moodustavad võrdsete indeksitega elemendid (Nt.: a11, a22, ... ann). KÕRVALDIAGONAALi moodustavad peadiagonaaliga risti olevad elemendid. 3. DIAGONAALMAATRIKS peaelemendid on 0-st erinevad, aga väljaspool peadiagonaalist on nullid. 1 0 0 A= 0 3 0 0 0 5 4. ÜHIKMAATRIKS tähistatakse (E) või (I) (selle peadiagonaali kõik elemendid on ühed). 1 0 0 E (I) = 0 1 0 0 0 1 6 Majandusmatemaatika ja Statistika (RP089) 5. SÜMMEETRILINE MAATRIKS vastavate ridade ja vastavate veergude elemendid on võrdsed (Nt.: linnade vahelised kaugused).
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij.
Sellel juhul on n =0 5 pöördekoefitsent mõtekas kohe välja arvutada, kuna tehteid tuleb korrata ja ei ole ratsionaalne seda koguaeg uuesti arvutada. Hea on esitada pöördekoefitsendid kahemõõtmelise massiivina WN(n,k) maatriksina. See annab meile hea ülevaate (on sümmeetriline algusest lähtuva peadiagonaali suhtes). Algoritmi miinuseks on ,et selle korral tuleb sooritada palju lisatehteid (kompleksarvude korrutamine). Komplekssignaali kiire Fourier teisendus(FFT) Kahese alusega FFT Selleks , et DFT algoritmi kiirendada peab teisenduse periood N olema esitatud kahe (või enama) täisarvu korrutisena. Näiteks (N=4=2x2). Algoritmid on realiseeritavad siis kui N=2c , c0. Sagedusala tükeldatakse kaheks. Paaris ja paarituteks spektrikomponentiteks. Saame valemid N -1
· Kui maatriksi Am*n kõik elemendid aij võrduvad 0ga, siis nim seda nullmaatriksiks.
Ridade ja veergude arvu m ja n nim põhiparameetriteks. Kui mn, siis nim maatriksit
ristkülikmaatriksiks. Kui m=n, siis ruutmaatriksiks.
· Kui ruutmaatriksi peadiogonaali element 0 ja kõik ülejäänud elemendid =0, siis nim
maatriksit diagonaalmaatriksiks. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel
võrdsed, siis nim seda skalaarmaatriksiks.
· Kui skalaarmaatriksi kõik peadiagonaali elemendid =1, siis nim seda ühikmaatriksiks.
Tähistatakse E.
· Kui ruutmaatriksi peadiagonaal all (või kohal) olevad elemendid on kõik 0 (akl=0; k
Determinandi järk tähistab determinandi môôtmeid (read = veerud). Tähistused: Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|. Miinor rittaarendamise meetodit kasutades leitavad determinandid (alamdeterminandi osa) Alamdeterminant miinor, koos nende positsiooni kirjeldavate kordajatega algdeterminandis 4. Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku determinandi arvutuseeskiri: peadiagonaali elementide ja teise diagonaali elementide korrutiste vahe. Kolmandat järku determinandi arvutuseeskiri: Sarruse reegli järgi. 5. Kõrgemat järku determinantide arvutuseeskiri. Kôrgemat järku determinantide arvutuseeskiri: rittaarendamise meetodiga. 6. Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi môiste kui maatriksi A korral leidub selline maatriks B, et AB=BA=E, siis maatriks B on A pöördmaatriks ja täh B = A-1.
Antireflektsiivsus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse antirefleksiivseks, kui iga x∈X korral (x,x)∉R o Antirefleksiivse relatsiooni maatriksi peadiagonaal koosneb nullidest. o Antirefleksiivse relatsiooni suunatud graafis ei ole ühegi tipu juures silmust. Sümmeetrilisus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse sümmeetriliseks, kui (x,y)∈R korral alati (y,x)∈R o Sümmeetrilise relatsiooni maatriks on sümmeetriline peadiagonaali suhtes, sest elemendid r ij ja r ji on võrdsed. Antisümmeetrilisus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse antisümmeetriliseks, kui (x,y)∈R ja (y,x)∈R korral alati x=y o Antisümmeetrilise relatsiooni Boole’i maatriksis on iga väljaspool peadiagonaali asuva elemendi 1 suhtes sümmeetriline element 0. 20 o Antisümmeetrilise relatsiooni graafis pole kahte vastassuunalist kaart.
liitmist 3. süsteemi kaks võrrandit omavahel vahetamist. Lahenduv LVS Võrrandisüsteemi nimetatakse kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt üks lahend. Vastuoluline LVS Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse vastuoluliseks, kui tal ei ole lahendeid. Gaussi meetod Gaussi meetod baseerub võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi elementaarteisendustel. Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Vabad tundmatud Maatriksi astakust lahutada juhtelemendid, siis saab vabad tundmatud. Neid kasutame juhtelementide arvutamiseks. Maatriksi astak Maatriksi astak on nullist erinevate täiendusmiinorite kõrgeim järk. Astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Maatriksi rea juhtelement Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Treppkujuline maatriks
· Trükkida välja kõige pikem järjest leiduv kasvavas järjekorras elementide jada. 2. On antud täisarvuline ruutmaatriks (10 punkti) · Leida nende ridade elementide summa, kus puuduvad negatiivsed arvud 12 · Igas reas leida suurim element ja vahetada see kohtadega vastava peadiagonaali elemendi vastu. · Maatriksi elementi loetakse lokaalmiinimumiks, kui ta on rangelt väiksem kõigist naaberelementidest. Lugege, mitu lokaalmiinimumi on antud maatriksis 3. Hollandi rahvuslipu ülesanne (E.Deikstra). N-pikkusega massiivis juhuslikus järjekorras paiknevad elemendid `p' (punane), `v' (valge) ja `s' (sinine). Reastage need ümber Hollandi
2x3 12 23 Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m . Definitsioon 2. Maatriksit, millel ridade arv on võrdne veergude arvuga (m = n ), nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksi elemendid, mis asuvad diagonaalil maatriksi vasakupoolse ülemisest nurgast paremapoolse alumisenurgani, moodustavad maatriksi peadiagonaali. Definitsioon 3. Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali kõik elemendid on ,,1", aga kõik ülejäänud elemendid on ,,0", nimetatakse ühikmaatriksiks. Tavaliselt seda tähistatakse E (või I ) tähega. Näide 2: 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 E3x3 on 3 järku ühikmaatriks, 1 0 0 0 1 0 = 0 0 1
0 1 - 6,5 Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m . Definitsioon 2. Maatriksit, millel ridade arv on võrdne veergude arvuga (m = n ), nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksi elemendid, mis asuvad diagonaalil maatriksi vasakupoolse ülemisest nurgast paremapoolse alumisenurgani, moodustavad maatriksi peadiagonaali. Definitsioon 3. Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali kõik elemendid on ,,1", aga kõik ülejäänud elemendid on ,,0", nimetatakse ühikmaatriksiks. Tavaliselt seda tähistatakse E (või I ) tähega. Näide 2: 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 E3x3 on 3 järku ühikmaatriks, -1- Lineaaralgebra elemendid. M
annaabi.ee 
