Nähtavuskaugus Atmosfäärinähtused Lumikatte paksus vaatlusväljakul Lumemõõdistamine põllul Päikesepaiste kestus Maksimaalne aasta temperatuur:21,8kraadi 1 Õhutemperatuurid Vali menüüst Kliima Kliimanormid ... Koosta mõlema ilmajaama andmete alusel joondiagramm. Joonis 1. Keskmine õhutemperatuur °C 19712000. Võrdle ja põhjenda temperatuuri kõikumist antud vahemikes. Võrdle õhutemperatuuri absoluutseid miinimume °C 1971-2000 Võrdle õhutemperatuuri absoluutseid maksimume °C 19712000. Temperatuuri amplituud on mõlemas kohas suur. Vilsandi kõige madalam temperatuur on Veebruaris -2 kraadi. Jõgeva kõige madalam temperatuur on samuti Veebruaris -5,9 kraadi. Nende vahe on 3,9 kraadi, järelikult Jõgevas on külmem talvel, kui Vilsandis. Vilsandis on kõige soojem Augustis 16,6 kraadi. Jõgevas on kõige soojem samuti 16,6 kraadi, aga juulis. See
kui asi nässu läks; siis peab muidugi uuesti tegema) 7. Tehke päring ühte tabelisse. Proovige erinevaid piiravaid tingimusi (WHERE) ja erinevaid kirjete järjestusi (ORDER BY). Proovige ka kõikide veergude väljastust (*) ja ka valikulist veergude väljastust (veergude loend üle koma) (Nüüd pole COMMIT-i ega ROLLBACK-i vaja, sest andmebaasis ei muudetud midagi ainult päriti) 8. Proovige leida üle väljade maksimume ( MAX(...) ), miinimume ( MIN(...) ) ja loendusandmeid ( COUNT (...) ). Seda üle terve tabeli ja ka ainult üle mõne kirje, mis valitakse välja piirangutega WHERE-tingimuses. 9. Tehke päring üle kolme tabeli: a. Esialgu nii, et väljastatakse piiranguteta kõik read b. Lisage piirang (WHERE) nii et väljastataks üks rida c. Muutke piirangut selliselt, et väljastataks mitu rida, aga mitte kõiki ridu.
Lihtsamaks optiliseks difraktsioonivõreks on klaaspalaat, millele on teemantnoaga lõigatud üksteisest võrdsel kaugusel asuvaid vaokesi kriimustusi laiusega b (vaata skeemi), mis on prkatiliselt läbipaistmatud. Kahjustamata kohti laiusega a läbib aga valgus ja nad moodustavad perioodilise pilude süsteemi. Kui paraleelsed monokromaatilised valguskiired langevad võrega risti, siis võrega paraleelselt paigutatud lääts L fokaaltasandis näeme vaheludvaid difraktsioonimaksimume ja miinimume. Suundades, kus kahest naaberpilust tulnud valguskiire käiguvahe sisaldab täisarvu lainepikkusi ( = m ), on valguse intensiivsus maksimaalne, kuna siis kõikidest piludest kiirgunud sekundaarsed lained liituvad samas faasis. Selliseid difraktsioonimaksimume nimetatakse peamaksimumideks ning nende suunad arvutatakse võrrandist: d sinm = m, m = 0, 1, 2, ... , kus m on peamaksimumi (spektri) järk, m peamaksimumi suund (difraktsiooni nurk), d = a+b
aega ja õhutemperatuur on sellepärast ka madalam. Võrdle aasta keskmist õhutemperatuuri. Ristnas on aastate kesmine temperatuur kõrgem , kuna talvel läheb aeglaselt külmaks , sest meri jäätub aeglaselt. Jõgevas on talvel suuremad madalad temperatuurid ning ülejäänud pluss kraadid ei suuda keskmist temperatuuri aasta kohta kõrgemale viia . Võrdle õhutemperatuuri absoluutseid miinimume C 1971-2000 Jõgevas on suuremad miinimumid , Ristna asub mere juures, mis hoiab nende talve temperatuure kõrgemal . Võrdle õhutemperatuuri absoluutseid maksimume C 1971-2000 Jõgevas on suuremad maksimumid ka , sest seal maa soojeneb kiiresti ja maa kohal on soe. Ristna juures meri soojeneb ning sealt ei tule eriti sooja õhku tagasi. 5. Sademete hulga ja reziimi iseloomustus
Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt
2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus · Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. · Fermat' lemma Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis siis 4. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. N järku tuletis Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem
vahemiku kõigis ülejäänud punktides. Ehk teisiti, funktsioonil f ( x ) on punktis x = x1 maksimum, kui f ( x1 + x ) < f ( x1 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul. Funktsiooni miinimumi definitsioon. Funktsioonil f ( x ) on punktis x = x 2 miinimum, kui f ( x 2 + x ) > f ( x 2 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul. Funktsiooni maksimume ja miinimume nimetatakse tema ekstreemumiteks ehk ekstremaalseteks väärtusteks. (ekstreemumi olemasolu tarvilik tingimus). Kui diferentseeruval funktsioonil y = f ( x ) on punktis x = x1 maksimum või miinimum, siis tema tuletis selles punktis on null, s.t. f ( x1 ) = 0 . Argumendi väärtusi, mille puhul funktsiooni tuletis on null või katkev, nimetatakse kriitilisteks punktideks ehk kriitilisteks väärtusteks. 9. Funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud lõigul.
(tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis = 0. 20) Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni = -järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni -1-järku tuletise tuletist ja tähistatakse . Lõplikku -järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse -korda diferentseeruvaks.
ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a; f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Kui leidub punkt x1 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) >= f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a; b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) <= f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks)
külma õhuga. Corilisi jõu mõjul kaldub õhuvool paremale läänetuuled. Maapina lähedal on hõõrdumise tõttu ülekaalus edelatuuled. Vastastiku liikuvad soe ja külm õhumass ei segune omavahel kuigi hästi ja neid jääb eraldama polaarfont ehk tekivadki tõusvad õhuvoolud. [Polaaraladel on domineerivaks õhuvooluks idavool.] 41. Mida nimetatakse ATMOSFÄÄRI MÕJUKESKMETEKS niing miks? kõrgema ja madalama õhurõhuga piirkondi ehk maksimume ja miinimume. nad kujundavad õhuringlust palju suuremal alal, kui on nende endi pindala. 42. Milline on ÕHURINGLUSE MÕJU EESTI KLIIMALE? Islandi miinimum toob pehme ja sajuse talveilmastiku. Grööni ja Siberi maksimumi toob pakaselised talveilmad. Assori maksimum toob suvel palavad ja päikesepaistelised ilmad. Atlandi ookeanilt tulevad läänetuulega maismaale niiske õhu voolud (e sademeid palju [talved pehmed]). 43. Mis on ÕHUMASS?
integraalarvutuse põhiteoreemile (x)=F(x+C Kui x=a, siis Seega F(a)+C=0 ; C=-F(a) Võttes x=b, saame 17. Vaatleme Taylori valemit 19. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse 20. Teoreem 1 (ekstreemumi piisavad tingimused) funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on Olgu x1 funktsiooni y=f(x) kriitiline punkt. Kui läbides funktsiooni y=f(x) miinimum, kui leidub niisugune punkti seda punkti x kasvamise suunas tuletise y'(x) märk: x1 ümbrus U (x1) et 1) -+ => x1 on minimaalne;
Kui on väiksem kõigist tema naabruses asetsevaist funktsiooni väärtustest siis lokaalne miinimum 8. Statsionaarne punkt(definitsioon) Punkti A, kus funktsiooni z kõik esimest järku osatuletised on nullid nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks 9. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm 10.Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. Globaalseid miinimume ja masksimume on ainult üks, aga lokaaseid võib olla mitu. Lokaalsete ekstreemumite leidmisel ei pea hakkama leidma statsionaarseid punkte piirkonna D rajal ja rajatippudes, aga globaalsete ekstreemumite leidmisel peab. 11.Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? z−z 0=f x ( x 0 ; y 0 ) ( x−x 0 ) + f y ( x 0 ; y 0 )( y− y 0) Vastavat lineaarset kahe muutuja funktsiooni
19.1), mis on praktiliselt läbipaistmatud. Joonis 19.1 Kahjustamata kohti laiusega a läbib aga valgus ja nad moodustavad perioodilise pilude süsteemi. Langegu paralleelsed monokromaatilised valguskiired võrele risti. Jälgime läätse L fokaaltasandis tekkivat pilti − vahelduvaid difraktsioonimaksimume ja -miinimume. Suundades, kus kahest naaberpilust tulnud valguskiire käiguvahele ∆ mahub täisarv lainepikkusi (∆ = mλ), on valguse intensiivsus maksimaalne, kuna siis liituvad kõikidest piludest kiirgunud sekundaarsed lained samas faasis. Selliseid difraktsioonimaksimume nimetatakse peamaksimumideks ning nende suunad arvutatakse valemist: ∆ = d sin α m = mλ , m = 0, ± 1, ± 2 , (1)
Sõnastada Fermat' lemma Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x 1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. 22. Sõnastada Rolle'i teoreem (tõestust ei kusi). Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada Lagrange'i teoreem (tõestust ei kusi). Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Rolle'i teoreem
Lokaalne maksimum Lokaalne miinimum x Lokaalne miinimum Funktsiooni lokaalset maksimumi ja lokaalset miinimumi nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks ja kohta, kus lokaalne ekstreemum saavutatakse, lokaalseks ekstreemumkohaks. Üldiselt võib funktsioonil võib olla lõpmata palju lokaalseid maksimume ja miinimume. Funktsiooni nimetatakse kasvavaks mingis vahemikus, kui suurematele argumendi x väärtusele selles vahemikus vastavad suuremad funktsiooni y väärtused : x1, x2 ( a; b) ja x1 < x2 korral y (x1 ) < y ( x2). 5 Funktsiooni nimetatakse kahanevaks mingis vahemikus, kui suurematele argumendi x väärtusele selles vahemikus vastavad väiksemad funktsiooni y väärtused :
ekstreemum. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. 4. Sõnastada ja tõestada Fermat’ teoreem. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f′(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x 1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) − f(x1) ≤ 0, Selles ümbruses asuva arvu x
f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a,b]. Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a,b] Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: · Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. · Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def
f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a,b]. Def. Kui leidub punkt x lõigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x ) f(x), siis nimetatakse arvu f(x ) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a,b] Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: · Lõigul pidev funktsioon saavutab suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. · Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 18. Def. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt Def
a.1.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.1.2. Igakorral kehtib võrratus; a.2. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.2.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.2.2. Iga korral kehtib võrratus a.3. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. b. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma Sõnastus: Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x)=0. Tõestus: b.1. b.2. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem
korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x)>f(x), siis nimetatakse arvu f(x) funktsiooni suurimaks väärtuseks lõigul [a,b] Suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt. Kui leidub punkt x lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x)f(x), siis nimetatakse arvu f(x) funktsiooni vähimaks väärtuseks lõigul [a,b] Vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ning miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17.Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega Esimene omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse selle lõigul.
Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. T~oestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v~orratus f(x) - f(x1) 0
kasvuga lõigul [a, x]. Joonis: tan = QR = AR · tan QR = f'(x0) · x QR = dy PR = y PQ = PR PQ PQ = 7. Diferentsiaali omadused. (omaduse 2 tõestus). 1. d(u ± v) = du ± dv, 2. d(uv) = vdu + udv, 3. d = , kui v0. 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, Tõestus: d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = u'vdx + dv'dx = u'dx · v + u · v'dx = vdu + udv 8. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Definitsioonid. Lokaalsed ekstreemumid. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Definitsioon. Lokaalne maksimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Definitsioon. Lokaalne miinimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2
laiuskraadil külma õhuga. Coriolisi jõu mõjul kaldub õhuvool paremale läänetuuled. Maapinna lähedal on hõõrdumise tõttu ülekaalus edelatuuled. Vastastikku liikuvad soe ja külm õhumass ei segune omavahel kuigi hästi ja neid jääb eraldama polaarfront - tekivad tõusvad õhuvoolud. Polaaraladel on domineerivaks õhuvooluks idavool. · Kõrgema ja madalama õhurõhuga piirkondi ehk maksimume ja miinimume nim. atmosfääri mõjukeskmeteks, sest nad kujundavad õhuringlust palju suuremal alal, kui on nende endi pindala. ÕHURINGLUSE MÕJU EESTI KLIIMALE · Islandi miinimum- toob pehme ja sajuse talveilmastiku, Assoori maksimum- suvel palavad ja päikesepaistelised ilmad. Pakaselised talveilmad tulevad Grööni või Siberi maksimumi mõjust. Atlandi ookeanilt kanduvad läänetuultega maismaale niiske õhu voolud- sademeid palju, talved pehmed
a.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) a.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) b. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui: b.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) b.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) c. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks d. Kui funktsioon ei ole konstantne lokaalse maksimumipunkti ümbruses, siis on selles punktis funktsiooni graafikul "tipp". Läbides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". Läbides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. e
[a, b]. Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. Funktsiooni suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt ja funktsiooni vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega: 1. Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Seda omadust võib selgitada järgmiselt. Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a, b], siis on selle funktsiooni graafik antud lõigu kohal pidev joon. Taolisel pideval joonel on olemas nii kõrgeim kui ka madalaim punkt
väärtuseks lõigul [a,b] Suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt. b. Kui leidub punkt x lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x)f(x), siis nimetatakse arvu f(x) funktsiooni vähimaks väärtuseks lõigul [a,b] Vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. c. Funktsiooni absoluutseid maksimume ning miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. a. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega a.i. Esimene omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja
1. 2. 3. 4. 5. 24. Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui saame näidata: 1. Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( 2. Igal puhul kehtib võrratus Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui saame näidata: 1. Funktsioon on määratud mingis ümbruses 2. Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat'lemma - Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on samas punktis diferentseeruv siis Tõestus Vaatleme juhtu, kus funktsioonil on lokaalne maksimum, mistõttu peab kehtima võrratus järelikult Nüüd võime võtta -i -st paremalt või vasakult. Võtame ta vasakult. Jagame võrratuse selle negatiivse arvuga. (Negatiivse arvuga jagamine muudab võrratust!)
= = =1- >1 n+2 n+2 n+2 n+2 n Seega M 0 Ka valemit (18.7) võib rakendada vahemikus - 1 < x < 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 33 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). Kriitilised punktid. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on funktsiooni y = f (x) miinimum, kui leidub niisugune punkti x1 ümbrus U ( x1 ), et f ( x) > f ( x1 ), kui x U ( x1 ), x x1 { (19.1) U ( x1 ) = x x - x1 < } Punktis x 2 on funktsiooni y = f (x) maksimum, kui leidub niisugune punkti x 2 ümbrus U ( x 2 ), et f ( x) < f ( x 2 ), kui x U ( x 2 ), x x 2 { (19.2) U ( x 2 ) = x x - x 2 < } Miinimume ja maksimume nimetatakse täpsemalt lokaalseteks ekstreemumiteks.
= = =1- >1 n+2 n+2 n+2 n+2 n Seega M 0 Ka valemit (18.7) võib rakendada vahemikus - 1 < x < 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 33 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). Kriitilised punktid. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni maksimume ja miinimume. Punktis x1 on funktsiooni y = f (x) miinimum, kui leidub niisugune punkti x1 ümbrus U ( x1 ), et f ( x) > f ( x1 ), kui x U ( x1 ), x x1 { (19.1) U ( x1 ) = x x - x1 < } Punktis x 2 on funktsiooni y = f (x) maksimum, kui leidub niisugune punkti x 2 ümbrus U ( x 2 ), et f ( x) < f ( x 2 ), kui x U ( x 2 ), x x 2 { (19.2) U ( x 2 ) = x x - x 2 < } Miinimume ja maksimume nimetatakse täpsemalt lokaalseteks ekstreemumiteks.
Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonnas pidevad. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhiliselt elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus säilib, siis on ka kõik elementaarfunktsioonid oma määramispiirkonnas pidevad.(Näited konspektis) 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Absoluutne maksimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks lõigul [a, b]. Absoluutne miinimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f vähimaks
Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus : funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); Polünoomi P_n nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks ehk n-järku lähendiks punkti 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). a ümbruses. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Kui x a, siis kehtib ligikaudne valem f(x)P_n (x). Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis,
tarvilik tingimus.
Kahemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne maksimum kui
1. funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,)
2. iga PU(P1,), PP1 kehtib võrratus f(P)
Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonnas pidevad. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhiliselt elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus säilib, siis on ka kõik elementaarfunktsioonid oma määramispiirkonnas pidevad.(Näited konspektis) 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Absoluutne maksimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f( ) funktsiooni f suurimaks väärtuseks lõigul [a, b]. Absoluutne miinimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f( ) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f( )
Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) < f (P1 ). ¨ Oeldakse et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti P1 mingis u ¨mbruses U (P1 , ) 2. iga P U (P1 , ), P = P1 korral kehtib v~orratus f (P ) > f (P1 ). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Lokaalsed ekstreemumid on seotud funktsiooni statsionaarsete punktidega. Funktsiooni z = f (P ) statsionaarseks punktiks nimetatakse punkti P , kus ke- htivad v~ordused fx1 (P ) = fx2 (P ) = . . . = fxm (P ) = 0 (ehk grad f (P ) = 0). Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Olgu funktsioonil z = f (P ) punk- tis P1 lokaalne ekstreemum ja eksisteerigu osatuletised fx1 (P1 ), fx2 (P1 ), . . . , fxm (P1 ).
1.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses (x - , x + ); 2. Iga x ( x - , x + ) korral kehtib võrratus f ( x) f (x ) ; 2.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1.Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses ( x 1- , x 1+ ) ; 2.Iga x (x - , x + ) korral kehtib võrratus f (x) f (x ) . 3.Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks b Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f '(x1) = 0. a. Tõestus: 1. X asub punktist x1 vasakul f ( x )-f ( x1 ) 0 1 x¿
lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) − f(x1) ≤ 0
FPGA-de loogiline implementatsioon (Tehnoloogiast sõltuv loogiline optimiseerimine ning FPGA-de füüsiline disain, paigutus) Reeglina ei ole mõistlik kogu skeemi jaotada vaid kaheks partitsiooniks. Otstarbekas on tekitada alampartitsioone (nn. hierarhiline partitsioneerimine) Lisaks eelpooltoodutele kasutatakse ka nn. stohhastilisi paigutusalgoritme mis proovivad läbi palju erinevaid kombinatsioone püüdes leida lokaalseid miinimume seejuures halvendamata üldist optimiseerimise tulemust. Disainerid võivad seada paigutusele ka piiranguid järgnevaid aspekte silmas pidades: I/O sõlmede paigutus võib olla piiratud süsteemi kaardi skeemiga. Ühildatavuse piirangud Mõned loogikaelemendid võivad olla nn. eelpaigutatud, eriti kui loogika kirjeldamiseks kasutatakse makrosid Toomas Ruuben. TTÜ Raadio ja sidetehnika 161
( x, y ) U ( P ) U ( P ) , et f ( x, y ) > f ( x1 , y1 ) , ( x, y ) ( x1 , y1 ) (14.1) Punktis Q( x 2 , y 2 ) on funktsiooni maksimum kui leidub selline punkti ümbrus U ( Q ) , et ( x, y ) U ( Q) f ( x, y ) < f ( x 2 , y 2 ) , ( x, y ) ( x2 , y 2 ) Funktsiooni miinimume ja maksimume nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks. Teoreem 14.1. Mitme muutuja funktsioonid saavad ekstreemumid olla vaid nendes punktides, kus selle funktsiooni esimest järku osatuletised on nullid või ei eksisteeri. Vastavaid punkte nimetatakse kriitilisteks või statsionaarseteks punktideks. Tõestus. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) . Sellel funktsioonil saab olla ekstreemum
24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tostada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) - f(x1) 0. (3.21) Selles
kehtib v~orratus f (x2 ) f (x), siis nimetatakse arvu f (x2 ) funktsiooni f v¨ ahimaks v¨ a¨artuseks (absoluutseks miinimumiks) l~oigul [a, b]. Funktsiooni suurima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul k~orgeim punkt ja funktsiooni v¨ahima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Loetleme kolm l~oigul pidevate funktsioonide olulist omadust. Seejuures omadused 1 ja 2 anname t~oestusteta. Esitame vaid nende omaduste u¨ldisi sel- gitusi ja toome illustreerivaid n¨aiteid. Omadus 1. L~ oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ ahima v¨ a¨artuse sellel l~
kehtib v~orratus f (x2 ) f (x), siis nimetatakse arvu f (x2 ) funktsiooni f v¨ ahimaks v¨ a¨artuseks (absoluutseks miinimumiks) l~oigul [a, b]. Funktsiooni suurima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul k~orgeim punkt ja funktsiooni v¨ahima v¨a¨artuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Loetleme kolm l~oigul pidevate funktsioonide olulist omadust. Seejuures omadused 1 ja 2 anname t~oestusteta. Esitame vaid nende omaduste u¨ldisi sel- gitusi ja toome illustreerivaid n¨aiteid. Omadus 1. L~ oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ ahima v¨ a¨artuse sellel l~
annaabi.ee 
