Saime, et korvpallurite pikkuse aritmeetiline keskmine on 193,4. Moodiks antud pikkuste reas on 195. MEDIAAN Variatsioonirida iseloomustatakse aritmeetilise keskmise ja moodi krval veel mediaaniga (this Me). Mediaan on variatsioonireas tunnuse selline vrtus, millest viksemaid (vi vrdseid) ja suuremaid (vi vrdseid) vrtusi on tpselt hepalju. Kui variatsioonireas on paaritu arv liikmeid nagu korvpallurite nites, siis on mediaan rea keskkohal olev liige. Eeltoodud nites on mediaaniks 5. liige ehk 195 cm. Kummagile poole mediaani jb 4 liiget. Kui variatsioonireas on paarisarv liikmeid, siis on mediaaniks kahe keskmise liikme aritmeetiline keskmine. Nide: variatsioonirea 1, 3, 4, 6, 8, 11 mediaaniks on arvude 4 ja 6 aritmeetiline keskmine ehk 5.
sündmuseks. Sündmuseid , milledel ei ole esiletulekuks soodsamaid võimalusi või mittesoodsamaid võimalusi ehk esiletulekuks on võrdsed võimalused nimetatakse võrdvõimalikeks sündmusteks. Tõenäosus = soodsad võimalused : kogu võimalused Statistika: Aritmeetilise keskmise saamiseks tuleb liita tunnuse väärtused ja jagada nende arvuga. Moodiks nimetatakse rea liiget, mida reas esineb kõige rohkem. Mediaaniks loetakse variatsioonirea liiket, millest suuremaid ja väiksemaid on võrdne arv (võrdsed kaasa arvatud). Kui reas on paaritu arv liikmeid, siis mediaaniks on kõige keskmine liige. Kui reas on paaris arv liikmeid, siis mediaaniks on kahe keskmine. Sarnaste liidetavate koondamine: Tähte nimetatakse matemaatikas kas muutuja või tundmatu või otsitav. Liidetavaid nimetatakse sarnasteks, kui nende muutuja osad on võrdsed ja nad erinevad ainult kordaja poolest.
Füüsika ja matemaatika hinnete standardhälve põhjal võib juba hakata oletama, et nende tunnuste vahel võib olla seos. Füüsika hinnete standardhälve on 0,7 ja matemaatika hinnetel 0,8. Mõlemal tunnuse variatsioonikordaja on umbes 0,2, mille tõttu võime arvata, et mõlema tunnuse keskväärtuse ja standardhälve vahel on seos. Füüsika ja matemaatika mediaanid ja moodid pole küll sarnased, kuna füüsika hinded on kõrgemad, kui matemaatika hinded. Füüsika hinnetel on mediaaniks ja moodiks hinne viis, kuid matemaatikal mediaaniks hinne neli ja moodiks hinne 3. Korrelatsioonivälja põhjal on kõige kergem leida, kas tunnused on üksteisest sõltuvuses või mitte. Korrelatsioonivälja põhjal saame kindlalt järeldada, et siiski matemaatika hinded ja füüsika hinded on mingil määral sõltuvuses. Korrelatsioonikordaja abil saame väita, kas korrelatsioon on tugev, märgatav, nõrk või väga nõrk. Korrelatatsioon on märgatav, kui 0,6 | r | <0,8
Kolmnurga mediaanid Lõik AM on kolmurga ABC üks mediaanidest. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Tõestus: Lõikugu kolmnurgas ABC mediaanid BE ja CF punktis G. Joonestame välja lõigu AG ning pikendame seda nii palju, et ta lõikaks külge BC punktis D. Teoreemi tõestamiseks peame näitama, et 1. AD on mediaan, st. BD = DC ja 2. AG=2GD (BG=2GE ja CG=2GF)
Kolmnurk on hulknurk, millel on kolm tippu, s.t. tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurki liigitatakse külgede järgi: erikülgsteks, võrdhaarseteks ja võrdkülgsteks ja nurkade järgi:tervanurkseteks,nürinurkseteks, täisnurkseteks. Kolmnurga kõrguseks nimetatakse tipuks vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku või selle pikkust.Kolmnurga külge, millele on tõmmatud kõrgus, nimetatakse kolmnurga aluseks. Kolmnurga mediaaniks nim. Kolnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga raskuskese. Kolmnurga külje keskristsirgeks nim. Sirget, mis läbib külje keskpunkti ja on selle küljega risti. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. Kolmnurga iga nurga poolitaja jaotab nurga vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu lähisküljed.
2) Variantsioonirida(kasvavalt või kahanevalt järjestatud tunnuse väärtuste rida) 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3,5; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 8; 10; 10; 11; 12; 12; 13; 14 3) Mood(tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus) Mo = 6 (antud tunnuste väärtuste mood on 6) 4) Mediaan(arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonreas ühepalju) Kuna variatsioonreas on paarisarv liimeid, siis on mediaaniks kahe keskmise liikme poolsumma: Me = (4+5)/2 = 4,5 5) Minimaalne ja maksimaalne element(vähim ja suurim väärtus) Minimaalne element Min = 1 ; maksimaalne element Max = 14 6) Variatsioonrea ulatus(maksimaalse ja minimaalse elemendi vahe) Antud variatsioonrea ulatus on Max Min = 14 1 = 13 7) Ülemine(tunnuse väärtus, millest väiksemaid liimeid on variatsioonreas ligikaudu 25 %) ja alumine
vastaskaatet lähiskaatet tan gens = koo tan gens = lähiskaatet vastaskaatet 1 Ümberringjoone raadius. R = c 2 ab ch Pindala: S = = 2 2 VÕRDHAARNE KOLMNURK Võrdhaarse kolmnurga alusele (a) tõmmatud kõrgus (h) on kolmnurga sümmeetriateljeks, mediaaniks ( ma ) , tipunurga poolitajaks ja aluse keskristsirgeks. Alusnurgad on võrdsed. VÕRDKÜLGNE KOLMNURK Võrdkülgse kolmnurga iga kõrgus on ka selle kolmnurga sümmeetriateljeks, mediaaniks, nurgapoolitajaks ja külje keskristsirgeks. Võrdkülgses kolmnurgas sise- ja ümberringjoone keskpunktid ühtivad. a 3 h= = R + r = 3r 2 6/6
kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Trapetsi kesklõik Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. Kolmnurga mediaanid Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.
kolmanda küljega. Teoreem: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. 1Mis on trapetsi kesklõik? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem trapetsi kesklõigust. Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab haarade keskpunkte ning on paralleelne alustega ja võrdub nende aritmeetilise keskmisega. 1Mis on kolmnurga mediaan? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem mediaanide lõikepunkti kohta. Kolmnurga mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Igal kolmnurgal on kolm mediaani. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipu poolne osa on kaks korda pikem, kui küljepoolne osa. 1 Mis on kõõl? Tee selgitav joonis. Kõõluks nimetatakse ringjoone kaht punkti ühendavat lõiku. Pikim kõõl on ringjoone diameeter. 1Mis on kesknurk? Tee selgitav joonis.
Suhteline sagedus (%) 2,9 0 32,4 44,1 20,6 1.2 Joonestan sageduspolügooni kirjandi tulemustest. 1.3 Arvutan mediaani, moodi ning keskväärtuse. Arvutan mediaani: Variatsioonirida: 4,45,49,50,50,50,55,55,55,56,60,60,65,65,65,65,65,65,70,70,75,75,75, 80,80,80,80,85,85,85,90,90,93,95 6 Kuna variatsioonireas on paarisarv liikmeid, siis mediaaniks on kahe keskmise liikme poolsumma. Kaks keskmist liiget varitsioonireas on 65. Seega Me =(65+65):2=65 Kirjanditulemuste mediaan on 65. Leian moodi: Variatsioonirida: 4,45,49,50,50,50,55,55,55,56,60,60,65,65,65,65,65,65,70,70,75,75,75, 80,80,80,80,85,85,85,90,90,93,95 Kuna mood on tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus, seega on kirjanditulemuste mood 65. Arvutan keskväärtuse: Variatsioonirida: 4,45,49,50,50,50,55,55,55,56,60,60,65,65,65,65,65,65,70,70,75,75,75,
antud väärtuse ning nende väärtuste sagedust protsentides. 7. Jaotustabel tabel, mis näitab tunnuse väärtuste suhtelist esinemissagedust. 8. Statistiline rida tunnuse väärtuste järjestamata rida. 9. Variatsioonirida tunnuse väärtuste rida kasvavad või kahanevas järjekorras. 10. Mood variatsioonirea kõige suurema esinemissagedusega liige. Tähis Mo. 11. Mediaan variatsioonirea keskmine liige; paarisarvulise variatsioonirea korral on mediaaniks variatsioonirea esimese poole viimase ja teise poole esimese liikme aritmeetiline keskmine. Tähis Me. _ 12. Aritmeetiline keskmine ehk tunnuse keskväärtus. Tähis x. 13. Hajuvusmõõdud näitavad kui palju erineb tunnuse väärtus keskväärtusest või mediaanist. 14. Tunnuse minimaalne väärtus esineva tunnuse vähim väärtus. Tähis MIN. 15. Tunnuse maksimaalne väärtus esineva tunnuse suurim väärtus. Tähis MAX. 16
esine Keskmine on alati reaalne väärtus uuritud valimi väärtuste hulgast Mediaan võib olla ka selline väärtus, mida reaalsete vastuste hulgas ei esine Kui variatsioonireas on paarisarv elemente, siis mediaani arvutamiseks liidetakse kaks keskmist elementi kokku ning jagatakse kahega. Mediaaniks saab väärtus, mida reaalselt vastuste hulgas ei esine. Samuti võib aritmeetilise keskmise arvutamisel tekkida väärtus, mida reaalselt andmete hulgas ei esine. Mood on aga kõige enam esinenud väärtus, seega on mood alati reaalne väärtus valimi väärtuste hulgast.
Raudvara: defineerimine ja tõestamine 1.hulkade ühisosa ja ühend. Hulka B kuuluvad elemendid: h,i,j,k,l,X,Y. elemendid X ja Y on hulkade A ja B ühisosa: ja märk tähendab sõna ,,ja". Hulka Akuuluvad elemendid: c,d,e,f,g,X,Y. Kulkade A ja B ühendi moodustuvad kõik elemendid, mis kuuluvad nendesse hulkadesse: c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,X JA Y. Kuna hulgad A ja B on geomeetrilised kujundid, mis asetsevad tasapinnal, võib nende kohta öelda ka punktikulk 2. Defineerimine. Mõistete seletamist lihtsamate ja tuntumate mõistete abil nimetatakse mõiste defineerimiseks ja mõiste seletust nimetatakse definitsiooniks. Mõisteid mida ei ole vaja defineerida ning nende tõesuse üle ei saa vaielda nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted on näiteks: punkt, sirge, tasand, ruum jne. Mõitet defineeritakse mõiste eritunnuse kaudu. Näiteks ruudu definitsiooni: ruut on nelinurk, mille kõik nurgad ja küljed on võrdsed eritunnus ...
Kas see tõesti on nii? Kui tarkus on teadmine, siis miks see ei võiks olla näiteks teadmine või oskus - kuidas keeta suppi või kuidas pesta just seda pluusi? Miks ei meenu esimesena just selline mõte? Võib olla sellepärast, et koolis seda ei õpetata. Arvatakse, et eluks vajalikud oskused saame ise selgeks ning seepärast õpetatakse meile matemaatikat, füüsikat, keemiat jms. Selle tulemusena me teame, et lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastasküljega, nimetatakse kolmnurga mediaaniks, aga me ei tea kuidas keeta suppi või kuidas kasutada pesumasinat. Koolis me õpime kasutama Mendelejevi tabelit, tuubime pähe matemaatika reegleid ja valemeid, saame teada loodusvööndidest, aga kui me küsime midagi, mida pole õpikus, aga mis meid tõeliselt huvitab, ei oska õpetaja alati vastata või ütleb, et sa ise uuriksid, sest tunnis pole selle jaoks aega. L.Tolstoi on väga tabavalt öelnud: „Tähtis pole mitte teadmiste kogus, vaid nende kvaliteet
14 kõrgus on 20 mm. Leia trapetsi Kolmnurga mediaanid Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Ülesann Kui pikkadeks lõikudeks jaotab mediaanide e: lõikepunkt mediaanid, mille pikkused on 1215cm,
kesklõiguks. * Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja trapetsi kõrguse korrutisega. S = k * h Teoreem: Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega ( poolsummaga ) . Eeldus: EF on trapetsi ABCD kesklõik: AE = ED ja BF = CF Väide: 1. 2. EF || AB || DC 10. KOLMNURGA MEDIAANID * Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Eeldus: AE ja CD on kolmnurga ABC mediaanid, mis lõikuvad punktis O Väide: AO = 2OE, CO = 2OD ja kolmas mediaan läbib punkti O .
samal sirgel. · Jaotustabel tabel, mis näitab tunnuse väärtuste suhtelist esinemissagedust · Statistiline rida tunnuse väärtuste järjestamata rida · Variatsioonirida tunnuse väärtuste rida kasvavad või kahanevas järjekorras · Mood variatsioonirea kõige suurema esinemissagedusega liige. Tähis Mo. · Mediaan variatsioonirea keskmine liige; paarisarvulise variatsioonirea korral on mediaaniks variatsioonirea esimese poole viimase ja teise poole esimese liikme aritmeetiline keskmine. Tähis Me. _ · Aritmeetiline keskmine ehk tunnuse keskväärtus. Tähis a. · Hajuvusmõõdud näitavad kui palju erineb tunnuse väärtus keskväärtusest või mediaanist: · Tunnuse minimaalne väärtus esinev tunnuse vähim väärtus. Tähis Min · Tunnuse maksimaalne väärtus esinev tunnuse suurim väärtus. Tähis Max
Välisnurgaks nimetatakse kolmnurga nurga kõrvunurka. Igal kolmnurgal on 6 välisnurka, mis on paarikaupa võrdsed kui tippnurgad. · Kolmnurga sisenurkade summa on 180 . · Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Kolmnurga küljepoolitajaks ehk mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga · Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. 7. Trapetsi kesklõik Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. · Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega.
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest
mitteparalleelsed. 44. Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. 45. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega. 46. Trapetsi kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. 47. Trapetsi ümbermõõt P= a+b+c+d 48. Trapetsi pindala S= a+b : 2 x h või S= k x h 49. Trapetsi paralleelsed külgi nimetatakse trapetsi alusteks. 50. Trapetsi kõrguseks nimetatakse trapetsi aluste vahelist kaugust. 51. Kolmnurga mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu selle vastaskülje keskpunktiga. 52. Mediaanide lõikepunkt jaotab iga mediaani suhtes 2:1 . 53. Iga mediaan jaotab kolmnurga kaheks pindalalt võrdseks ehk pindvõrdseks kolmnurgaks. 54. Kesknurgaks nimetatakse ringi kahe raadiuse vahelist nurka. 55. Piirdenurgaks nimetatakse ringoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka. 56. Piirdenurk võrdub poolega temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. 57
Teoreem kolmnurga välisnurgast Välisnurk on võrdne mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. Teoreem vastavalt paralleelsete haaradega nurkadest Kolmnurga kesklõik Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Trapetsi kesklõik Lõiku mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. Kolmnurga mediaan Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem kolmnurga kesklõigust Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Teoreem trapetsi kesklõigust Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega. Teoreem kolmnurga mediaanist Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.
Trapetsi aluste kaugust nim trapetsi kõrguseks. Trapetsi liigid: võrdhaarne trapets, täisnurkne trapets, trapets Trapetsi kesklõiguks nim lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. Omadus 1: trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega. Omadus 2: trapetsi kesklõigu pikkus võrdub poolega aluste poolsummaga. Trapetsi P= a+b+c+d Trapetsi S= a+b/2*h S= k*h Traaketsi kesklõik k= a+b/2 · Kolmnurga mediaanid Def: kolmnurga mediaaniks nim lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu selle vastasküle keskpunktiga. Omadused: mediaanide lõikepunkt jaotab iga mediaani suhtes 2:1, iga mediaan jaotab kolmnurga kaheks pindalalt võrdseks ehk pindvõrdseks kolmnurgaks. · Kolmnurga sise- ja ümberringjoon Kolmnurga siseringjooneks nimetatakse ringjoont, mis puutub ringjoone külgi. Tema keskpunkt asub külgedest ühekaugusel, see tähendab et ristlõigud keskpunktist iga küljeni on võrdsed.
Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Kolmnurkade summa on alati 180' 33. Nurgapoolitaja on kiir, mis lähtub nurga tipust ja poolitab antud nurga. Nurgapoolitaja iga punkt on nurga mõlemast haarast ühel ja samal kaugusel. Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust selle tipu vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku ja samuti selle ristlõigu pikkust. Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje ke skpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. 34.Kõrvunurgad(Näide31) Tippnurgad-võrdsed(Näide32) Lähisnurgad-asuvad kõrvuti ühel ja samal sirgel(Näide 33) Põiknurgad-asuvad ühel ja samal sirgel aga mitte kõrvuti(Näide34) 35.Kesknurk on ringjoone kahe raadiuse vaheline nurk.
väärtuse. · Statistiline rida tunnuse väärtuste järjestamata rida · Variatsioonirida tunnuse väärtuste rida kasvavad või kahanevas järjekorras · Arvjoonis andmete esitamise graafiline viis, mis aitab neid paremini analüüsida ja nähtuste olemusest aru saada. · Mood variatsioonirea kõige suurema esinemissagedusega liige. Tähis Mo. · Mediaan variatsioonirea keskmine liige; paarisarvulise variatsioonirea korral on mediaaniks variatsioonirea esimese poole viimase ja teise poole esimese liikme aritmeetiline keskmine. Tähis Me. _ · Aritmeetiline keskmine ehk tunnuse keskväärtus. Tähis x. · Hajuvusmõõdud näitavad kui palju erineb tunnuse väärtus keskväärtusest või mediaanist: · Tunnuse minimaalne väärtus esinev tunnuse vähim väärtus. Tähis Min · Tunnuse maksimaalne väärtus esinev tunnuse suurim väärtus. Tähis Max
äht sigma).(dispersio - lad. keeles hajumine). a suurem on tunnuse väärtuste hajuvus. Tavaliselt üle poole tunnuse väärtustest paiknevad lõigus [ x kesk - , xkesk + ] s.t üle poole tun s2 s 5,205444 27,80972 5,273492 0,985763 0,997301 0,99865 61,66177 3902,231 62,46784 e. Suure kogumi korral on mediaaniks statistiliste andmete 50% punkt. mise kvartiili vahele jäävad pooled tunnuse väärtustest. Kvartiilide erinevus näitab tunnuse hajuvust (st kvartiilihaare on ühtlasi hajuvuse mise kvartiili vahele jäävad pooled tunnuse väärtustest. Kvartiilide erinevus näitab tunnuse hajuvust (st kvartiilihaare on ühtlasi hajuvuse esk - , xkesk + ] s.t üle poole tunnuse väärtustest erinevad keskväärtusest vähem kui standardhälbe võrra.
õhuvoolu meander. Tavaliselt on neid õhuvoolude lookeid ühel poolkeral korraga 4-5. Need tekivad Coriolisi jõu sõltumise tõttu laiuskraadist (mida väiksem laius, seda nõrgem on Coriolisi jõu mõju). Rossby lainetel on ilmale ja ilmastikule otsene mõju, sest need määravad polaarfrondi vonklemise. Mediaan on variatsioonirea keskmise liikme väärtus. Näiteks variatsioonirea {3, 3, 5, 9, 11} mediaan on 5. Kui reas on paarisarv liikmeid, loetakse mediaaniks tavaliselt kahe keskmise liikme aritmeetiline keskmine, näiteks {3, 5, 7, 9} mediaan on (5 + 7) / 2 = 6. Kui rea keskel on mitu sama väärtusega liiget, ei identifitseeri mediaan neist ühte liiget, vaid peegeldab nende igaühe väärtust. Mediaan on 2. kvartiil ehk keskmine kvartiil. Moodiks nimetatakse vaadeldava suuruse kõige sagedamini esinevat väärtust. Standardhälve on statistiline väärtus, mis näitab, kui palju väärtused erinevad keskmisest väärtusest
a Füüsika 60 4 3 3 Keemia 40 3 5 4 17 Jalgrattur sõitis 48km kiirusega 16km/h, 60km keskmise kiirusega 15km/h ja 65km kiirusega 13km/h. Arvuta jalgratturi keskmine kiirus. 18 Mediaan on arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonireas ühepalju. Tähis Me Kui variatsioonireas on elemente paarisarv, siis mediaaniks on kahe keskmise liikme poolsumma. 19 Mediaani eelised: 1) lihtsamini leitav 2) vähem mõjutatud eranditest 20 Mediaani puudused: 1) ei kasuta kogu infot 2) tunnuse muutudes allpool või ülalpool mediaani jääb mediaan samaks. 21 Kumba eelistada, kas keskväärtust või mediaani? I grupp 8000 kr. 10 000 kr. 14 000 kr. 17 000 kr. 19 000 kr. II grupp 7000 kr. 11 000 kr. 13 000 kr
29. Kolnurga vlisnurga omadus. * Kolmnurga vlisnurk vrdub nende sisenurkade summaga, mis ei ole tema krvunurgad. Vlisnurkade summa vrdub tisprdega ehk 360 kraadi. 30. Kolmnurga kesklik. * Kolmnurga keskliguks nimetatakse tema kahe klje kekspunkte ahendavat liku. *Kolmnurga kesklik on lik, mis hendab kolmnurga klgede keskpunkte 31. Trapetsi kesklik. * Trapetsi kesklik on paralleelne alustega ja vrdub aluste poolsummaga. 32. Kolnurga mediaan. * Kolmnurga mediaaniks nimetatakse liku , mis hendab kolmnurga tippu selle vastasklje keskpunktiga. 33. Kesknurk. * Kesknurgaks nimetatakse nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis. 34. Ringjoone kaar. * Ringjoone osa tema kahe punkti vahel koos nende punktidega nimetatakse ringjoone kaareks. 35. Ringjoone kl. * Ringi kl on ringlik , mis hendab kaht ringjoone punkti. 36. Ringi sektor. * Mingit osa ringist nimetatakse ringi sektoriks. (Tisprde suurus on 380kraadi). 37. Piirdenurk.
antud väärtuse ning nende väärtuste sagedust protsentides · Jaotustabel tabel, mis näitab tunnuse väärtuste suhtelist esinemissagedust · Statistiline rida tunnuse väärtuste järjestamata rida · Variatsioonirida tunnuse väärtuste rida kasvavad või kahanevas järjekorras · Mood variatsioonirea kõige suurema esinemissagedusega liige. Tähis Mo. · Mediaan variatsioonirea keskmine liige; paarisarvulise variatsioonirea korral on mediaaniks variatsioonirea esimese poole viimase ja teise poole esimese liikme aritmeetiline keskmine. Tähis Me. _ · Aritmeetiline keskmine ehk tunnuse keskväärtus. Tähis x. · Hajuvusmõõdud näitavad kui palju erineb tunnuse väärtus keskväärtusest või mediaanist: · Tunnuse minimaalne väärtus esinev tunnuse vähim väärtus. Tähis Min · Tunnuse maksimaalne väärtus esinev tunnuse suurim väärtus. Tähis Max
f2 = N k = 25 3 = 22 Fkr = F1-(f1, f2) = F0,95(2, 22) = 3,43 Kuna FN < Fkr, siis võtame nullhüpoteesi vastu. 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, kontrollida olulisuse nivoo = 0,05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Kontrollin aegrea juhuslikust olulisuse nivoo = 0,05 juures. Kuna punktis 1. on juba rida ümberjärjestatud mediaani leidmiseks, siis pole siin ümberjärjestust vaja teha ning mediaaniks on 51. Teen lähterea, märgirea ja käänupunktide tabeli: 7 4 5 1 5 2 2 3 5 5 8 3 5 8 3 6 5 9 1 1 7 5 1 3 6 7 6 9 9 4 3 4 3 1 0 6 4 4 3 9 5 2 1 2 5 1 5 - + - + - + - + - + + - + + - + - + - + - + - k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k
· Protsent · Keskmine vt valemit. Keskväärtuse puuduseks on tema suur tundlikkus üksikute äärmuslike vaatluste suhtes. Kui selliseid vaatlusi esineb, on mõttekam kasutada mediaani · Standardhälve leitakse kui ruutjuur dispersioonist vt valemit. · Standardviga · Mediaan ehk teine kvartiil- järjestatud valimi keskpunkt väärtus, millest nii suuremaid kui väiksemaid väärtusi on valimis 50%. Kui valimi suurus on paaritu, siis on mediaaniks keskmine vaatlus järjestatud valimis. Kui tegu on paarisarvulise suurusega valimis, siis on mediaaniks kahe keskmise väärtuse aritm kesk. · Kvartiilid saab hinnata valimi varieeruvust. Alumine kvartiil on tunnuse selline väärtus, millest väiksemaid väärtusi on valimis 25% ja suuremaid 75%. Ülemine kvartiil e 3.kvartiil tunnuse selline väärtus, millest väiksemaid väärtusi on valimis 75% ja suuremaid 25%. · Miinimum lihtsaimad statistikud
antud väärtuse ning nende väärtuste sagedust protsentides · Jaotustabel tabel, mis näitab tunnuse väärtuste suhtelist esinemissagedust · Statistiline rida tunnuse väärtuste järjestamata rida · Variatsioonirida tunnuse väärtuste rida kasvavad või kahanevas järjekorras · Mood variatsioonirea kõige suurema esinemissagedusega liige. Tähis Mo. · Mediaan variatsioonirea keskmine liige; paarisarvulise variatsioonirea korral on mediaaniks variatsioonirea esimese poole viimase ja teise poole esimese liikme aritmeetiline keskmine. Tähis Me. _ · Aritmeetiline keskmine ehk tunnuse keskväärtus. Tähis x. · Hajuvusmõõdud näitavad kui palju erineb tunnuse väärtus keskväärtusest või mediaanist: · Tunnuse minimaalne väärtus esinev tunnuse vähim väärtus. Tähis Min · Tunnuse maksimaalne väärtus esinev tunnuse suurim väärtus. Tähis Max
väärtuse ning nende väärtuste sagedust protsentides · Jaotustabel tabel, mis näitab tunnuse väärtuste suhtelist esinemissagedust · Statistiline rida tunnuse väärtuste järjestamata rida · Variatsioonirida tunnuse väärtuste rida kasvavad või kahanevas järjekorras · Mood variatsioonirea kõige suurema esinemissagedusega liige. Tähis Mo. · Mediaan variatsioonirea keskmine liige; paarisarvulise variatsioonirea korral on mediaaniks variatsioonirea esimese poole viimase ja teise poole esimese liikme aritmeetiline keskmine. Tähis Me. · Aritmeetiline keskmine ehk tunnuse keskväärtus. Tähisx. · Tunnuse minimaalne väärtus esinev tunnuse vähim väärtus. Tähis Min · Tunnuse maksimaalne väärtus esinev tunnuse suurim väärtus. Tähis Max · Variatsioonirea ulatus tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahe. Tähis U
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest
b) mahukeskmised (keskväärtus, kaalutud aritmeetiline keskmine, harmooniline keskmine, geomeetriline keskmine, ruutkeskmine) - sõltuvad rea mahust. ASENDIKESKMISED Mediaan variatsioonrea keskmine liige. Tähis Me. Kui liikmeid on paaritu arv, siis keskmine liige. Kui liikmeid on paaris arv, siis kahe keskmise liikme aritmeetiline keskmine. Suure kogumi korral on mediaaniks statistiliste andmete 50% punkt. Mediaani kasutatakse juhul, kui andmete hulgas on ekstremaalseid väärtusi, mis oluliselt mõjutavad keskväärtust. Mood variatsioonrea kõige suurema esinemissagedusega liige. Tähis Mo Bimoodaalne - 2 moodi; multimoodaalne - rohkem moode (tegelikult mood puudub); antimodaalne - andmete reas esinevad ainult ühesuguse sagedusega tunnuse väärtused. Mood on tunnuse kõige tüüpilisem väärtus
ED = ½ AB ; EF = ½ CB ; DF = ½ AC 31.Trapetsi kesklõik Trapetsi kesklõiguks nimetatakse haarade keskpunkte ühendavat lõiku. Trapetsi kesklõik on AB + DC paralleelne alustega ja on võrdne poolega aluste summast. EF = 2 Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja kõrguse korrutisega : S = k *h .Lõik EF on kesklõik. 32.Kolmnurga mediaan Kolmnurga mediaaniks nimetatakse kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis. 33.Kesknurk Kesknurgaks nimetatakse nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis ja mille haarad lõikavad ringjoont. Kesknurka mõõdetakse kraadides. AOB on kesknurk 34.Ringjoone kaar Ringjoone kahe punkti vahele jäävat osa nimetatakse ringjoone kaareks. Kaart mõõdetakse kraadides. Kaks punkti jaotavad ringjoone kaheks kaareks. AB on kaar. 35
Statistiline ülesanne on konkreetne, isegi arvuline. Objekt ese, nähtus, indiviid või muu sarnane, mida uuritakse. Üldkogum kõik objektid, kelle kohta soovitakse saada infot. Loend vahend (loend, nimekiri, register) üldkogumi objektide määramiseks. Valim uuringusse kaasatud üldkogumi objektid. Järjestades objektide tunnuse x väärtused saame tunnuse x variatsioonrea Mediaan - variatsioonrea keskpunkt. Kui objektide arv on paaritu, siis on mediaaniks variatsioonrea liige järjekorranumbriga (n+1)/2 Kui objekte on paarisarv, siis on mediaaniks varitsioonrea 2 keskmise liikme poolsumma Uuringu etapid Planeerimine Probleemülesande (sisulise ülesande) põhjal statistilise ülesande määramine; Uuritavate (üldkogumi) määratlemine; Valimi valikumeetod, võimalusel üldkogumi loendi hankimine;
Ruudul on kõik rombi ja ristküliku omadused. 20. Trapetsi kesklõik, selle omadused. Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. Trapetsi kesklõik on paralleelne alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega. Trapetsi pindala on võrdne kesklõigu ja kõrguse korrutisega. 21. Kolmnurga mediaan. Mediaanide lõikepunkti omadus. Kolmnurga kõrgus. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik mediaanid lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust selle tipu vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku ja samuti selle ristlõigu pikkust. 22. Ringjoon, ring. Ringjoon on punktide hulk, mille kaugused ringjoone keskpunktist on võrdsed. Ring on ringjoonega piiratud tasandi osa. 23. Kesknurk, ringjoone kaar, kõõl.
moode on kaks, siis on tunnus bimodaalne. Pideva tunnuse puhul saab määrata moodklassi, pidevale tunnusele ühearvulist moodi leida ei saa (ei ole mõtet). Miinimum ja maksimum on vastavalt valimis esinenud tunnuse väikseim ja suurim väärtus. Järjestades objektide tunnuse väärtused miinimumist maksimumini saame tunnusele variatsioonrea. Seega saame variatsioonrea leida vaid arv- ja järjestustunnustele. Variatsioonrea keskpunkti nimetame mediaaniks. Kui objektide arv on paaritu, siis on mediaaniks variatsioonrea keskel asuv liige (järjekorranumbriga (n+1)/2). Kui objekte on paarisarv, siis on mediaaniks variatsioonrea keskel asuvate liikmete poolsumma (nende vahel asuv väärtus). Mediaan jaotab variatsioonrea kaheks osaks: alumiseks (siia kuuluvad mediaanist väiksemad väärtused) ja ülemiseks (kuhu kuuluvad mediaanist suuremad väärtused). Variatsioonrea alumise poole mediaani nimetatakse
tõlgendus: jaotuse raskuskeskme projektsioon x-teljele. Dispersioon ja standardhälve on arvkarakteristikud juhusliku suuruse hajuvuse iseloomustamiseks keskväärtuse suhtes. Juhusliku suuruse p-kvantiil xp on selline juhusliku suuruse väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p. Kvantiile nim ka protsentiilideks, siis tõenäosus p väljendatakse protsentides. 10% kordseid protsentiile nim detsiilideks, 25%kordseid protsentiile nim kvartiilideks, 50% korral mediaaniks. Mediaan on jaotuse keskpunktiks tõenäosuse järgi: mediaanist nii vasakule kui paremale sattumise tõenäosus on võrdelt 0.5 Asümmeetria näitab jaotuse sümmeetrilisust. Sümmeetriliste jaotuste puhul iga x asümmeetria võrdub nulliga. Kui erineb nullist, siis tema märkr näitab, kumb jaotuse saba on suhteliselt väljavenitatum: negatiivne asümmeetria puhul on pikem vasakpoolne saba, positiivse puhul parempoolne saba.
P(täpselt üks töötab) = P(I töötab ja II on keskväärtus on:EX=(a+b)/22. Poissoni jaotuse raskuskeskme x koordinaadiks. rikkis) + P(I on rikkis ja II töötab) = jaotusega juhusliku suuruse Diskreetse juhusliku suuruse = 0,9 * 0,05 + 0,1 * 0,8 = 0,125 dispersioon on:DX=lamda X mediaaniks (tähistame Med) nimetatakse 3.Binoomjaotusega juhusliku suuruse juhusliku suuruse niisugust väärtust, mille keskväärtus on:EX=np puhul on võrdtõenäoline, et juhuslik suurus on kas suurem või väiksem mediaanist, soP(X < sobib kasutada näiteks mõõtmistulemuse Med) = P(X > Med)
keskväärtuse suhtes. dispersioon on standardhälve ruudus ja standardhälve on vastavalt dispersiooni ruutjuur. Juhusliku suuruse p-kvantiil xp on selline juhusliku suuruse väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p. Kvantiile nim ka protsentiilideks, siis tõenäosus p väljendatakse protsentides. 10% kordseid protsentiile nim detsiilideks, 25%kordseid protsentiile nim kvartiilideks, 50% korral mediaaniks. Mediaan on jaotuse keskpunktiks tõenäosuse järgi: mediaanist nii vasakule kui paremale sattumise tõenäosus on võrdelt 0.5. Sümmeetrilise jaotuse korral mediaan võrdub keskväärtusega. Asümmeetria näitab jaotuse sümmeetrilisust. Sümmeetriliste jaotuste puhul iga x asümmeetria võrdub nulliga. Kui erineb nullist, siis tema märkr näitab, kumb jaotuse saba on suhteliselt väljavenitatum(raskem): negatiivne asümmeetria puhul on pikem vasakpoolne saba, positiivse puhul
1 1 25 3 3 5 4 Paaritu arvu 4 Paarisarvu 2 Excelis ei pea mediaani 5 elementide korral 4 elementide korral 5 leidmiseks arve eelnevalt 5 on mediaaniks 5 on mediaan kahe 6 sorteerima keskmise elemendi keskmise 6 väärtus 6 aritmeetiline 23 6 7 keskmine 7 6 7 10
Aritmeetiline keskmine – antud arvude summa jagatis nende koguarvuga. Hinnete aritmeetiline keskmine on (5 + 5 + 5 + 4 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1) : 9 3,67 Mood – variatsioonireas kõige sagedamini esinev suurus Variatsioonirea 1, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7 puhul on mood Mo = 4 Võib olla ka kaks moodi, näiteks variatsioonireas 3, 5, 5, 6, 6, 7 on Mo = 5 kui ka Mo = 6 Mediaan – variatsioonirea keskmine element Variatsioonireas 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9 on mediaaniks Me = 7 NB! Kui variatsioonireas on paarisarv elemente, siis loetakse mediaaniks arv n järjekorranumbriga 1 , kus nurksulud tähendavad arvu täisosa. 2 Variatsioonirea 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6 mediaan Me = 4 Hälve – juhusliku suuruse x ja selle suuruse keskväärtuse (aritmeetilise keskmise) a vahe, s.t. x – a Dispersioon – hälvete ruutude keskväärtus Standardhälve – ruutjuur dispersioonist
Tunnus ei lähene normaaljaotusele (vt. Tabel 16). 6 Matemaatika test Tunnus testi punktide väärtused muutusid vahemiku 1 kuni 15. Keskmine näitab, et testi eest on saadud keskmiselt 8,29 punkti. Mood on 6, mis tähendab, et kõige rohkem oli teste, kus saadi kuus punkti (vt. Joonis 4). Joonis 4. Sagedusjaotus tunnusele test. Kuuese punktisummaga teste oli 12,14 %. Mediaaniks on 8 ja kuna testi eest saadud punktidest oli 15 kõige suurem, siis ei ole ei punktid 1-7 kui punktid 9-15 ülekaalus. Standardhälve on 3,1, mis iseloomustab elementide paiknevust keskväärtuse suhtes (vt. Tabel 15). Tunnuse test jaotus ei lähene normaaljaotusele, aga palju puudu ei ole (vt. Tabel 17). 7 Seoste analüüs 1) Esmalt uurime, kas matemaatika riigieksami tulemus sõltub matemaatika keskkooli hindest. Püstitame hüpoteesid:
kasulikkuse maksimumi. 136. Millist hääletajat nimetatakse mediaanhääletajaks? Kuidas mediaanhääletaja välja selgitatakse? Mediaanhääletaja on mingi tunnuse alusel järjestatud hääletate rea (variatsioonirea) keskmine liige. Kõigepealt kontrollida, kas kõigil hääletajatel on ühetipulised eelistused. Kui on, siis saab hääletajad järjestada nende eelistatuima alternatiivi järgi ja leitakse mediaaniks olev alternatiiv. 137. Millistel tingimusel kujuneb mediaanhääletaja valik Pareto-efektiivseks? Mediaanhääletaja eelistused ei peegelda ühiskonna eelistusi isegi siis, kui need on ühetipulised. Enamushääletusel saadav tulemus on Pareto-efektiivne ainult siis, kui kõik indiviidid maksavad võrdset maksu ja saavad avalikust hüvest võrdse kasulikkuse. 13. VALITSUSE ROLL AVALIKE HÜVEDE JA HÜVISTE PAKKUMISEL 138
siis saame öelda, et mediaan on 4 (tundi nädalas). Kui meil on aga paaris arv vaatlustulemusi, siis ei saa me nende hulgast leida ühte, millest oleks võrdne arv väiksemaid ja suuremaid väärtusi. Seepärast leitakse sel juhul väärtus, mis asub täpselt kahe keskmise väärtuse vahel. Meie näites tudengite pulsisageduste kohta on 25-es väärtus 79 ning 26-es 80. Et leida täpselt nende vahel paiknevat väärtust, tuleb need väärtused kokku liita ning jagada kahega: Seega mediaaniks on 79.5 lööki minutis. Mediaan on üks statistikas kasutatavaid keskmist tendentsi väljendavaid suurusi. Kuid märksa sagedamini kasutatakse ARITMEETILIST KESKMIST, mida tavaliselt kutsutaksegi lihtsalt keskmiseks või siis keskväärtuseks. Aritmeetilise keskmise leidmiseks tuleb kõik vaatlustulemused kokku liita ning saadud summa jagada vaatlustulemuste arvuga. Leiame nüüd tudengite raamatukogus töötamise aja aritmeetilise keskmise:
KOKKU 100 304 65 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Mediaan on jaotuse keskmine liige, millest mõlemale poole jääb võrdne arv elemente. Mediaan jaotab järjestatud statistilise rea kaheks. Kui reas on paarisarv elemente, on mediaaniks kahe keskmise elemendi poolsumma. NB! Mediaani leidmiseks tuleb kogumi liikmed eelnevalt järjestada! =MEDIAN(piirkond) Näide 10-6 Mediaan Olgu meil viie mõõtmise tulemused: 7, 1, 2, 1, 3. Järjestatud rida on: 1, 1, 2, 3, 7. Mediaan on 2. Näide 10-7 Mediaan On antud kogum: 25, 5, 2, 5, 6, 23, 7, 10, 22, 15, 21, 23.
annaabi.ee 
