Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2r ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = r² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 r² V = 4 : 3 r³ Silinder: Sp = r² Sk = rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 r²h Koonus: Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioonide korruti...
Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud kõrguse ruut võrdub kaatetite projektsioonide korrutisega..h*=fg EUKLEIDES:täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega.... a*=fc,b*=gc.PYTHAGOROS:täisnurksekolmn. kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga..a*+b*=c* Täisnurkses võrdhaarses kolmnurgas on hüpotenuus 2 korda pikem kaatetist..c=2a
sajandi alguses enne meie ajaarvamist. Ta on esimeste peaaegu täielikult säilinud matemaatikaalaste teoste autor. Tema tähtsaim teos, 13 raamatust koosnev ,,Elemendid", sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetriat ehk geomeetria haru, milles kõrgemat matemaatikat kasutamata uuritakse lihtsamate kujundite põhilisi omadusi. See teos oli ilmumisajast kuni 20. sajandi alguseni kasutusel matemaatika ja geomeetriaõpikuna. Selles leidunud põhitõdesid kutsutakse nüüd Eukleidese geomeetriaks. Eukleidese geomeetrias valitseb range järjepidevus ja sisemine seos. Tema geomeetria aluseks on definitsioonid ja aksioomid, millele tuginevad teoreemid. Iga järgmise teoreemi tõestus põhineb eeltõestatuil. Eukledes tegeles ka astronoomiaga, optikaga, muusikaga ja veel mõne asjadega. Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub korrutisega, mille üks tegur on hüpotenuus ja teine selle kaateti ristprojektsiooni hüpotenuusil. 300
Eukleides oli Kreeka matemaatik, keda tuntakse ka ,,geomeetria isana". Eukleides oli esimeste peaaegu täielikult säilinud matemaatikateoste autor. Eukleidese tähtsaim teos, 13 raamatust koosnev ,,Elemendid", sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetria. See tohutu suur, 465 lauset (definitsioonid, aksioomid, teoreemid) hõlmav töö on kirjutatud ranges loogilises järjekorras ja on olnud paljude aastasadade vältel geomeetriaõpikute koostamise aluseks. Eukleidese aksioomid : Tema põhiteos on 13nest raamatust koosnev "Elemendid", mis kujutab endast kogu Vana-Kreeka matemaatika suursaavutusi. Teos sisaldab geomeetria kõige varasema loogiliselt range ülesehituse. Selle 13nest raamatustt I VI on pühendatud planimeetriale, VII IX aritmeetikale, X ühismõõdututele suurustele, XI XIII stereomeetriale. Eukleidese poolt kasutatud teoreemide tõestamisviis on püsinud tänaseni. Iga tõestus algab eelduse ja väite esitamisega. Seejärel antakse
lahendamiseks: näiteks töötasude arvutamiseks, leivaküpsetamiseks tarvisminevate teraviljahulkade arvutamiseks, pindalade arvutamiseks. Nad tundsid nelja aritmeetika põhitehet, mille nad taandasid liitmisele, harilikke murde ning ühe tundmatuga võrrandite lahendamist. Teine järk on elementaarmatemaatika periood, mis kestis 17. sajandini. Sellel ajal kujunesid suured matemaatika harud, näiteks algebra, aritmeetika ja geomeetria. Sellesse ajajärku kuulub ka Eukleidese teos Elemendid (3. sajand eKr), mis koondas kõik tol ajal teada olnud geomeetriateadmised terviklikuks loogiliseks süsteemiks. Kolmandaks järguks loetakse kõrgema matemaatika perioodi, mis kestis 19. sajandini. Siis olid kesksel kohal muutuja ja funktsiooni mõiste ning loodi kõverate ruumide geomeetriad. Neljas ajajärk hõlmab tänapäevase matemaatika, millele on eriti iseloomulik laialdane arvutite kasutamine (arvutusmatemaatika). Selles järgus on tekkinud mitu
Geomeetria hakkas kujunema umbes 4000 aastat tagasi, sest tekkis vajadus mõõta maatükkide ümbermõõte ja pindalasid. Geomeetriateadmisi oli vaja ka mitmesuguste tööriistade valmistamisel, anumate mahu mõõtmiseks jm. Vana-Kreekas kogutud ja süstematiseeritud geomeetria- teadmised on kokku võetud õpetlase Eukleidese töös „Elemendid“, mis on koostatud umbes 2300 aastat tagasi ja säilinud meie ajani. Fragment Eukleidese tööst. Leitud Oxyrhynchus´est 1896-1897. a. Säilitatakse Pennsylvania Ülikoolis. Nurk matemaatikas Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad Haar A kaks ühest ja samast + alguspunktist väljuvat kiirt. O + Kiiri OA ja OB nimetatakse
pidas Auvergne'i maksuringkonna valitava kuningliku nõuniku ametit. Ema Antoinette Bégon suri, kui Blaise oli kolmeaastane. · Blaise'il oli ka vanem õde Gilberte ning noorem õde Jacqueline mõnekuune. Clermont-Ferrand Haridus · Haridus oli kodune ja Blaise'i puhul suunatud esialgu keeltele. · Kui Pascal 12-aastaselt geomeetriaalaseid saavutusi üles näitas andis isa, kes ka ise matemaatikaga tegeles, talle lugemiseks Eukleidese "elemendid". Blaise luges selle läbi raskusteta, Eukleidese arutlusi isegi täiendades. Hariduse lõpp ja leiutamise · algus Kuna Blaise Pascali isa oli maksunõunik oli tal vaja abi pikkade arvutulpade kokkulöömisel. Blaise otsis abi arvutuste automatiseerimisest ja leiutas 1642 esimese mehaanilise arvutusmasina. · Pascal koolis ei käinudki, sai ainult koduõpet. Pascali arvutusmasin
Pascali panus matemaatikasse ja füüsikasse on märkimisväärne (Pascali teoreem projektiivses geomeetrias, Pascali seadus hüdrostaatikas jne.). Matemaatika kõrval pühendus ta teoloogia uurimisele ja meditatsioonile. Juba 10-aastasena pani Pascal kirja "Traktaadi helidest", sest täiskasvanute vastused teda ei rahuldanud, ja ta pidas vajalikuks nähtust iseseisvalt uurida. Kui Pascal 12-aastaselt raamatute abita geomeetriaalaseid saavutusi üles näitas (jõudes väidetavalt iseseisvalt Eukleidese 32. teoreemini, mille kohaselt kolmnurga nurkade summa võrdub kahe täisnurgaga), andis isa, kes ka ise matemaatikaga tegeles, talle lugemiseks Eukleidese "Elemendid". Blaise luges selle läbi raskusteta, Eukleidese arutlusi isegi täiendades Neljateistkümnendast eluaastast hakkas Blaise Pascal koos isaga osalema Marin Mersenne'i kogunemistel, millest võtsid osa mitmed prantsuse geomeetrid (Roberval, Mydorge, Desargues) ja millest hiljem kasvas välja Prantsuse Teaduste Akadeemia.
( - 2) 0 (J 11) Siit järeldub, et kas 11É või 11É( - 2), sest vastasel juhul ei saaks jäägiks 0-i. Seega on võrrandil kaks lahendit: # 0 (J 11) ja $ 2 (J 11), sest jäägi null annab - 2, seega peab $ ise andma jäägiks 2-e. Vastus: # 0 (J 11); $ 2 (J 11) ÜLESANNE 2. 25 + 41 = 1 Täisarvuliste kordajatega võrrandil I + I = I leiduvad täisarvulised lahendid parajasti siis, kui gcd(I, I)ÉI. Seega leian alguses kordajad u ja v nii, et 25 + 41 = gcd(25,41) Kasutan selleks Eukleidese algoritmi. gcd(25,41) = gcd(16,25) = gcd(9,16) = gcd(7,9) = gcd(2,7) = gcd(1,2) = 1 Kirjutan välja, kuidas jäägiga jagamine täpselt toimub. 41 = 25 1 + 16 16 = 41 - 25 1 25 = 16 1 + 9 9 = 25 - 16 1 = 25 - (41 - 25 1) = 25 - 41 + 25 1 = 2 25 - 41 16 = 9 1 + 7 7 = 16 - 9 1 = 41 - 25 1 - 2 25 + 41 = 2 41 - 3 25 9 = 7 1 + 2 2 = 9 - 7 1 = 2 25 - 41 - 2 41 + 3 25 = 5 25 - 3 41 7 = 2 3 + 1 1 = 7 - 2 3 = 2 41 - 3 25 - 15 25 + 9 41 = 11 41 - 18 25
1642. Juba 16-aastaselt sai ta Pascali teoreemi tõestusega teadlaste hulgas kuulsaks.Lisaks on ta välja andnud mitmeid raamatuid ja olnud tegev ka teoloogias, millele ta oma elu lõpuosa täielikult pühendas. Pascal oli ühe katoliikliku usuvoolu Jansenismi kuulsamaid teoreetikuid. 1. BLAISE PASCALI ELULUGU Kümne aastaselt pani kirja ,,Trakdaadi helidest." Kaheteist aastaselt head geomeetrilised saavutused täiendas Eukleidese arutlusi. Neljatest aastaselt hakkas isaga osalema Marin Mersenn'i kogunemistel. Kuueteist aastasena pani kirja töö ,,Essee koonuslõikelistest tasapindadest. Blaise Pascal sündis 19. juuni 1623 aastal Prantsusmaal,. Pascal pärineb perekonnast, mille teisedki liikmed on prantsuse kirjandusse või ajalukku oma jälje jätnud. tema isa Étienne Pascal pidas Auvergne'i maksuringkonna valitava kuningliku nõuniku ametit. Ema Antoinette
Pythagorase teoreem Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut on võrdne kaatetite ruutude summaga. Esmalt tõestame seda nii nagu tegi Eukleides oma raamatus "Elemendid." Vastavlalt Eukleidese teoreemile on ja Liites need kokku saame, et Kellele võib olla see sarnaste kolmnurkade ja teise teoreemi kaudu tõestamine ei sobi, siis all on ka natuke teistsugune tõestus. Olgu meil antud ruut küljepikkusega . Selle ruudu pindala avaldub kujul . Konstrueerime ruudu A+B sisse veel ühe ruudu külepikkusega C. Selle ruudu pindala avaldub siis kujul . Avaldame nüüd selle ruudu pindala läbi ruudu A+B pindala ehk
Kolmnurga kesklõik DEF: Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. TEOREEM: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. EELDUS: DE on kolmnurga kesklõik ( millest saame, et AD = DC ja CE = EB) VÄIDE: 1) 2) 1) DE = EF , CE =EB, , (tunnus KNK) BF = DC BF = DC ja DC = AD BF =AD. põiknurgad võime väita, et nelinurk ABFD on rööpkülik. ABFD on rööpkülik, siis on 2) DF = AB (rööpkülik) Järelikult on siis Eukleidese teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Peame näitama, et ja , kus f ja g on siis nende kaatetite ristprojektsioonid. , sest mõlemad on . Analoogsel põhjusel on Kolmnurga s...
3. Relatsioonid Olgu R ja S mingid ühel ja samal hulgal määratud relatsioonid. 1. Tõestada, et kehtib sisaldavus R2 U S2 c (R U S)2 2. Tõestada, et ei tarvitse kehtida sisaldavus (R U S)2 c R2 U S2 4. Jagavus 1. Defineerida jagavus. 2. Tõestada vahetu arutlisega, lähtudes jaguvuse mõistest, et kui a | b ja a | c, siis ka a | b + c, a | b c ja a | bc. 3. Vaatleme Eukleidese algoritmi sammu a1b b1r. Tõestada, et kui mingi arv d on vasaku poole arvude tegur, siis on ta ka parema poole arvude tegur ja ümberpöördult. 4. Olgu a, b ja c sellised naturaalarvud, et a | c, b | c, kuid a b. Tõestada, et ei tarvitse kehtida a | c/b. 5. Milliseid tingimusi peab arv a rahuldama, et suvaliste selliste arvude b ja c jaoks, mille puhul a | c, b | c ja a b, kehtiks a | c/b?
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2πr ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = πr² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 π r² V = 4 : 3 π r³ Silinder: Sp = π r² Sk = π rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 π r²h Koonus: Sp = π r² Sk = π rm St = Sp + Sk V = 1/3 π r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=√c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioon...
04.04.10 Küsimused Mille poolest erineb kõver ruum tasasest (eukleidilisest) ruumist? Milline võib olla mittestatsionaarse mudeli areng? Kuidas sõltub mittestatsionaarse mudeli areng Hubble'i konstandist? Mis on kosmoloogiline horisont? Milline on Universumi praegune temperatuur? Milline oli ta minevikus? Kõver ja Eukleidiline ruum Einsteini järgi on ruum kõver ja positiivne ehk meenutab kera Eukleidese 5. aksioom ei kehti Kaht täpselt ühesugust sirget ei ole kõvera ruumi käsitluses Kõver ja Eukleidilineruum Milline võib olla mittestatsionaarse mudeli areng? Mittestatsionaarne mudel on praegu tunnnustatud universumi mudel Sai alguse ülikuumast ja tihedast massist Universum hakkas tekkima (Suur Pauk) Paisus, tänaseks on selgunud, et see paisumis protsess ei ole lakanud Võimalikud tulevikutsenaariumid: Paisumine jätkub Kuidas sõltub
toetuvad empiirilistele ja aprioorsetele argumentidele. Alustatakse esimest klassist, mis on kõige kergem ja lõpetatakse 9-s, mis on kõige raskem. Edasine haridustee on iga ühel võimalik ise valida: gümnaasium või kutsehariduskeskused jne. Matemaatika, füüsika, keemia need on reaalained, kus toetutakse empiirilistele argumentidele. Nendes ainetes on faktid ja valemid juba kirja pandud ajaloos tuntud tarkade isikute poolt, mida kasutatakse tänapäevalgi. Kuulsamad on Pythagorase ja Eukleidese teoreemid. Keemias on tuntud Mendelejevi tabel. Geograafias ja ajaloos toetutakse samuti empiirilistele argumentidele. Geograafias on statistilised andmed, näiteks kui suur on sündimiste ja suremiste vahe e. iive. Geograafias on ka faktid, näiteks mis aegkonnas tekkisid kivimid. Ajaloos on aga säilinud erinevad kirjalikud allikad, tänu millele on üldse võimalik ajalugu uurida. Ajalugu võib muutuda, kuna arheoloogiliste kaevamiste tulemustena leitakse uusi leide
Igasugune matemaatika pidi ootama. Poiss näitas üles erakordset andekust, kuid tema tervis oli ka habras. Isa pidas vajalikuks raamatukappi lukus hoida, et Blaise ennast lugemisega liialt ei kurnaks. Juba 10-aastasena pani Pascal kirja "Traktaadi helidest", sest täiskasvanute vastused teda ei rahuldanud, ja ta pidas vajalikuks nähtust iseseisvalt uurida. Kui Pascal 12-aastaselt raamatute abita geomeetriaalaseid saavutusi üles näitas jõudes väidetavalt iseseisvalt Eukleidese 32. teoreemini, mille kohaselt kolmnurga nurkade summa võrdub kahe täisnurk täisnurgaga, andis isa, kes ka ise matemaatikaga tegeles, talle lugemiseks Eukleidese "Elemendid". Blaise luges selle läbi raskusteta, Eukleidese arutlusi isegi täiendades. Neljateistkümnendast eluaastast hakkas Blaise Pascal koos isaga osalema Marin Mersenne'i kogunemistel, millest võtsid osa mitmed prantsuse geomeetrid Roberval, Mydorge, Gerard
ehituse jms. nudel. Ndisajal rakendatakse matemaatikat kigil inimtegevuse aladel. Matemaatika tekkejrk kestis 4. aastatuhandest 5. sajandini eKr. Sel perioodil sugenesid paljud praktilised, kuid veel sstematiseerimata eeskirjad mitmesuguste arvutuste sooritamise kohta (niteks pindala ja ruumala arvutamiseks). Teises jrgus - elementaarmatemaatika perioodil, mis kestis 17. sajandini - kujunesid suured matemaatika harud, niteks algebra, aritmeetika ja geomeetria. Sellesse ajajrku kuulub ka Eukleidese teos "Elemendid" (3. sajand eKr), mis koondas kik tol ajal teada olnud geomeetriateadmised terviklikuks loogiliseks ssteemiks. Kolmandaks jrguks loetakse krgema matemaatika perioodi, mis kestis 19. sajandini. Siis olid kesksel kohal muutuja ja funktsiooni miste ning loodi kverate ruumide geomeetriad (Lobatevski geomeetria ja Riemanni geomeetria). Neljas ajajrk hlmab ndisaegse matemaatika, millele on eriti iseloomulik laialdane arvutite kasutamine (arvutusmatemaatika). Selles
Õppeained, mis seal õpetatakse, toetuvad empiirilistele ja aprioorsetele argumentidele. Antud juhul toetun ma reaalainetele ja humanitaarainetele. Matemaatika, füüsika, keemia need on reaalained ning seal toetutakse empiirilistele argumentidele. Nendes õppeainetes õpitakse fakte, mis on kunagiste matemaatikute, füüsikute ja keemikute poolt kirja pandud. Keemias ja füüsikas on igasugused katsed, millega tõestatakse ära faktid. Näiteks, kui õpilane ei tea Pythagorase ja Eukleidese teoreemi, siis on väga raske hakkama saada 9. klassis, kus peaaegu terve aasta käivad ülesanded nende teoreemide põhjal. Keemias on jällegi selline väärt asi nagu Mendelejevi tabel, kui seda ei osata kasutada, siis on raske keemilisi valemeid kokku panna. Geograafias ja ajaloos toetutakse samuti empiirilistele argumentidele. Geograafias on igasugused statistilised andmed, näiteks palju elab kuskil linnas inimesi ühe ruutkilomeetri kohta. Geograafias on ka
2 4) S = pr ; abc 5) S = ; 4R a2 3 6) võrdkülgse kolmnurga pindala: S = . 4 Pythagorase teoreem: täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, a2 + b2 = c2 . Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega, a 2 = fc , b 2 = gc . Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrguse ruut võrdub kaatetite projektsioonide korrutisega, h2 = f g . Rööpkülik Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist.
Math.log10(x) – tagastab 10 logaritmi x-st. N: log(x, 10) Math.pow(x, y) – tagastab x astmes y-i Math.sgrt(x) – tagastab ruutjuure x-st Trigonomeertilised funktsioonid Math.acos(x) – tagastab arcus koosinuse x-st, radiaanides Math.asin(x) – tagastab arcus siinuse x-st, radiaanides Math.atan(x) – tagastab arcus tangensi x-st, radiaanides Math.atan2(y, x) – tagastab atan(y / x), radiaanides. Math.cos(x) – tagastab koosinuse x radiaanist Math.hypot(x ,y) – tagastab Eukleidese normi, sqrt(x * x + y * y) Math.sin(x) – tagastab siinuse x radiaanist Math.tan(x) – tagastab tangens x radiaanist Nurga (conversion?) Math.degrees(x) – teisendab x-i radiaanidest-kraadidesse Math.radians(x) – teisendab x-i kraadidest-radiaanidesse Hüperbooli funktsioonid Math.acosh(x) – tagastab pöördvõrdelise hüperboolse koosinuse x-st Math.asinh(x) - tagastab pöördvõrdelise hüperboolse siinuse x-st Math
kõik nurgad 60°; 2. samast tipust tõmmatud kõrgus, mediaan ja nurgapoolitaja ühtivad, st sise- ja ümberringjoone keskpunkt samas punktis (mediaanide lõikepunktis); 3. , , , . Täisnurkne kolmnurk: 1. Pythagorase teoreem ; 2. Eukleidese teoreem , , ; 3. ümberringjoone keskpunkt asub hüpotenuusi keskel ; 4. siseringjoone raadius . Ruut nurgad 90°, küljed võrdsed, diagonaalid risti ja poolitavad teineteist, võrdse pikkusega.
= 1) a on paarisarv 2) a on paaritu arv y = sin x y = cos x y = tan x Perioodide pikkused: y = sin x periood: y = cos x periood: y = tan x periood: TRIGONOMEETRIA 1 + tan2 = 1 + cot2 = sin (+) = sin (-) = cos (+) = cos(-) = tan (+) = tan (-) = sin 2 = cos 2 = tan 2 = sin /2 = cos /2 = tan /2 = Võrrandid: sin x = m x= cos x = m x= tan x = m x= Eukleidese teoreem: Teoreem kõrgusest: Siinusteoreem: 2R = Koosinusteoreem: NB! p pool ümbermõõtu, r siseringjoone raadius, R ümberringjoone raadius Ebatavalised pindala valemid: S = 0,5 bc sin S = pr S = abc/4R NB! Vaata üle ka nt Thalese teoreem JADA Aritmeetiline jada an = Sn = Geomeetriline jada an = Sn = Hääbuva jada summa: Sn = Potentseerimise teoreemid: NB! a^ loga N = N loga Nm = Uuele alusele viimine: loga N =
Ratsionalismi seisukohalt ei saa kogemuse põhjal otsustada, kas miski on paratamatu ja üldkehtiv. Ratsionalismi seisukohalt tulenevad näiteks matemaatika teooriad mõistusest enesest. Just matemaatika ongi olnud selleks valdkonnaks, millele ratsionalism on sajandeid viidanud, kui jutt on tõsikindla teadmise võimalikkusest. 19. sajandil loodi aga mitteeukleidilised geomeetriad ning see röövis ratsionalismilt tugeva pooltargumendi. Nimelt ei saa ju korraga mõistusest tuleneda nii Eukleidese kui ka näiteks Riemanni geomeetria. Mõlemal suunal on asjadest omad kindlad arusaamad ja samas ka komistuskivid. Näiteks empiristide komistuskiviks on peetud matemaatika teoreemide olemasolu: nende tõesus ei sõltu kogemusest ning neid on võimalik teada kogemuse-eelselt. Ma ei saa öelda, et pooldan täiesti üht või teist filosoofilist suunda, kuid siiski pean end pigem empiristiks kui ratsionalistiks, kuna ma ei usu, et teadmised on kaasasündinud, nagu arvavad ratsionalistid
mõningad võimed. Hellenismiperioodi Kreeklasi mõjutas oluliselt Idamaade religioon. Omaks võeti Idamaa jumalaid ning neid sobitati enda omadega. Kõik vanad Jumalad jäid küll alles. Kõige armastatumaks jumalaks HellenistLikus maailmas sai Egiptuse jumAlanna Isis. Veel üks erinevus on teadus. Nagu teada, lugesid enamikes Idamaades pigem Praktilised kui teoreetilised teadmised. Kreekas oli oluline aga süvenemine ning oskus asju ka teoreetliselt seletada. Osad Kreeka matemaatik Eukleidese loodud põhitõed kehtivad siiani ning leiavad tihti rakeNdust. Kreeklased olid esimesed, kes võtsid kasutusele tähestiku, mis võimadas hääldust korralikult üles märkida. Selle nimi oli alfabeet ning koosnes nii täis-kui kaashäälikutest. Kuid ka tähestik võeti üle foiniiklastelt ning ainult muudeti seda endale sobivamaks ja arusaadavamaks. Varastes Idamaades ei tegeldud filosoofiaga sellisel tasemel nagu seda tehti Kreekas. Kreeka
e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus 2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud. 1) Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu, mis jagub ainult iseenda ja 1-ga. 2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N. b) Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed. 5. Algarvud. 1) Eukleidese teoreem. a) Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu. b) Tõestus : Tähistame p1=2, p2=3, p3=5, ... Oletame vastuväiteliselt, et leidub suurim algarv pn. Vaatleme naturaalarvu a=p1 p2 ... pn + 1. Et a on suurem 1-st, siis peab leiduma algarv millega a jagub. Kuna oletasime, et p1 ... p2 on ainsad algarvud, siis pead leiduma selline i, 1 i n, nii et a jagub pi-ga.
Selle seisukohalt tulenevad näiteks matemaatika aksioomid mõistuses enesest. Ratsionalismi seisukohalt ei saa kogemuse põhjal otsustada, mis on paratamatu ja üldkehtiv. Näiteks võib joonistada tuhandeid kolmnurki ning mõõta nende külgi ja nurki, kuid saadud andmed ei tõesta siinusteoreemi kehtivust. 19. sajandil loodi aga mitteeukleidilised geomeetriad ning see röövis ratsionalismilt tugeva pooltargumendi. Nimelt ei saa ju korraga mõistusest tuleneda nii Eukleidese kui ka näiteks Riemanni geomeetria. Empirismis ei ole alati tarvis isiklikku kogemust, et midagi teada saada - sageli me tugineme hoopis ühiskondlikule kogemusele. Empirism rõhutab, et just nimelt lõppkokkuvõttes pärinevad teadmised tegeliku maailma kohta kogemusest. Mina isiklikult toetan rohkem empirismi, kui midagi nendest valima peaksin. Loomulikult ei käitu ma täiesti nende järgi, kuid arvan, et oma otsused ja elulised tegevused teen ikkagi
Robert oli pärit auväärsest ja prominentsest perekonnast. Hooke'i õpingud Noorena oli Robert lummatud mehaanikast, joonestamisest, maalimisest ja eksperimenteerimisest. Roberti isa suri 1648 aastal ja jättis Robertile päranduseks 40£. Robert alustas selle raha eest õpinguid Westminister'i koolis Londonis Dr Rusby käe all. Hooke õppis kiiresti selgeks ladina ja kreeka keele, õppis ka heebrea keelt. Westminister'i koolis õppis ta selgeks ka Eukleidese elemendid ja sealt algas ta elukestev mehaanika õpe. Oxford Aastal 1653 hakkas ta Oxfordi kristlikus kirikus koorilauljaks. Sel ajaperioodil kohtus ta keemiku ja füüsiku Robert Boyle'iga, kes värbas ta oma õpilaseks. On arvatud, et Boyle'i seaduse tõestas tegelikult Robert Hooke, kuna Boyle ei olnud matemaatik. Aastal 1655, vastavalt tema autobiograafilise märkmetele, hakkas Hooke huvi tundma astronoomia vastu.
Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood. Märgendatud puude loendamine. Cayley teoreem. [37]
Esimesed loodusfilosoofid soovisid tõlgendada maailma just tema enda muutuste kaudu. Ei soovitud enam jääda ustavaks tõlgendustele, mis toetusid müütidele. Kuulus teadlane Demokritos oli atomistide koolkonna eestvedaja, kes uskus, et maailm koosneb väikestest muutumatutest osakestest ehk aatomistest. Phytagorase teoreeme täisnurksest kolmnurgast teab tänapäeval peaaegu igaüks. Phytagoras leidis, et maailm on seletatav arvude abil ning kõik on omavahel arvuliselt seoses. Matemaatik Eukleidese geomeetria põhialused kehtivad tänapäevani. Vana-Kreeka arst Hippokrates pani aluse inimese tervisliku seisundi defineerimisele ning temast alates on kasutusel mõiste ,,arsti eetika", mis lähtub Hippokratese vandest. Hellenismiperioodi kuulsaim füüsik Archimedes avastas füüsikas kehade veeväljasurve seaduse. Kreeka filosoofide Sokratese, Platoni ning Aristotelese mõtted ning arutlused panid aluse filosoofia sünnile. Sokrates juurdles inimese vooruse ja hüve leidmise üle
22. Kolmnurga alus - Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 23. Kolmnurga kõrgus - Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 24. Pythagorase teoreem - täisnurkses kolmnurgas kaatetite (a ja b) ruutude summa võrdub hüpotenuusi (c) ruuduga. Sellel teoreemil on kõige rohkem tõestusi maailmas (370). 25. Eukleidese teoreem - Teoreem väidab, et täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Tähistame täisnurkse kolmnurga kaatetid tähtedega a ja b ning hüpotenuusi tähega c. Hüpotenuusi aluseks võttes tõmbame kolmnurgale kõrguse. Kõrgusest ühele poole jääb nüüd kaateti a projektsioon mille tähistame a'. Kõrgusest teisele poole jääb kaateti b projektsioon, mille tähiseks võtame b'
planeetidega tiirleb ümber Päikese. Merkuuri ja Veenuse orbiidid on Maa omast seespool, seepärast ei ilmu nad kunagi taevasse Päikesest kaugel. Teised planeedid liiguvad Maa omast suurematel orbiitidel ja läbivad neid aeglasemalt. Kui Maa läheb ühe sellise välisplaneedi ja Päikese vahelt läbi, näib planeet liikuvat tagurpidi. Eukleides (ca 300 eKr) – Kreeka matemaatika ja teaduse süda oli geomeetria (maa mõõtmine). Geomeetria tähtteoseks on Eukleidese „Elemendid“. Seda õpime koolides tegelikult tänini. Eukleidese koolkond, kelle põhitõeks oli: Arv on asjade sisu ja olemus. Archimedes (287-212 eKr) - sündis Sitsiilias Sürakuusas. Õppis Aleksandrias ja pöördus kodulinna tagasi. Oli esimene füüsik, kes hakkas kasutama matemaatikat. Archimedese seadus: vedelikku asetatud kehale mõjub üleslükkejõud, mis arvuliselt võrdub keha poolt välja tõrjutud vedeliku kaaluga.
teravnurgaga; 3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13. Täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreem (a2+b2=c2), Eukleidese teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h= jaS = 2 4 NELINURGAD Rööpkülik, ristkülik. ruut, romb
õlitati masseeriti, turgutati väsinud nägu turgutati eesli piima, mee, jahu ja veinipäradega. Nii mehed kui ka naised kandsid parfüüme, mis olid tehtud lilledest ja vürtsidest. Make up oli Kreeklaste omast palju värvikam ja sarnanes rohkem kreeka prostituutide omaga. Meigi põhi oli valge ja nagu Kreeka naisedki, saavutati see puuderdades nägu seatina pulbriga. Antiik-Kreekast said alguse kuurordid: mineraalvee- ja kuumaveeallikad. Kirjakeel mida tunneme tänapäevalgi. Pythagorase ja Eukleidese teoreemid on ka tänapäeval kasutusel. Hippokratesi vanne, mis lubab kaitsta patsiendi elu, annavad tänapäevalgi arstid. Archimedesi leiutatud kruvi on asendamtu ka tänasel päeval. Antiik-Roomast saime teed, nende äärde ehitati külalistemaju ja kõrtse ehk tavernid. Veel ka tallid, sissesõiduhoovid ja postijaamad. 12 tahvli seadsusest saanud alguse Rooma seadusandlus, pani aluse õigusteaduse tekkele. Rooma on kunsti- ja arhitektuurimälestiste
3. ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on võrdelised teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.) 12. Teoreeme sarnaste kolmnurkade kohta. ( 1. sarnaste kolmnurkade küljed on võrdelised vastavate kõrgustega; 2. sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu nende vastavad küljed; 3. sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud.) 13. Täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreem (a2+b2=c2), Eukleidese teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h jaS 2 4 NELINURGAD Rööpkülik, ristkülik. ruut, romb
Nüüdisajal rakendatakse matemaatikat kõigil inimtegevuse aladel. Matemaatika tekkejärk kestis 4. aastatuhandest 5. sajandini eKr. Sel perioodil sugenesid paljud praktilised, kuid veel süstematiseerimata eeskirjad mitmesuguste arvutuste sooritamise kohta (näiteks pindala ja ruumala arvutamiseks). Teises järgus - elementaarmatemaatika perioodil, mis kestis 17. sajandini - kujunesid suured matemaatika harud, näiteks algebra, aritmeetika ja geomeetria. Sellesse ajajärku kuulub ka Eukleidese teos Elemendid (3. sajand eKr), mis koondas kõik tol ajal teada olnud geomeetriateadmised terviklikuks loogiliseks süsteemiks. Kolmandaks järguks loetakse kõrgema matemaatika perioodi, mis kestis 19. sajandini. Siis olid kesksel kohal muutuja ja funktsiooni mõiste ning loodi kõverate ruumide geomeetriad (Lobatsevski geomeetria ja Riemanni geomeetria). Neljas ajajärk hõlmab nüüdisaegse matemaatika, millele on eriti iseloomulik laialdane arvutite kasutamine (arvutusmatemaatika).
aastal sisseastumiseksamid Pisa ülikooli. Galileo esimesed ülikooliaastad lõid talle professoritele vasturääkija maine. Aastaid hiljem tehtud märkmetes kirjeldab ta oma kahtlusi, mis väitis, et tegelikult kehad langevad kiirusega, mis on võrdeline nende suurusega. Galileo oli aga näinud väga erineva suurusega kehi koos maha langemas. Terve mõistuse kohaselt pidanuks nad oma teekonda samalt kõrguselt ka koos alustama. 1583. aastal kuulas Galileo mõnda loengut Eukleidese geomeetriast, kuid mitte ülikoolis, vaid Toscana suurhertsogi teenistuses tegutseva matemaatiku juures. See innustas teda alustama Eukleidese ,,Elementide" uurimist ka omal käel. Õukonna matemaatik Pstilio Ricci tunnustas peagi Galileol andekust-küsimuste järgi, mida noormees talle esitas. Pärast seda palus Ricci, et Vincenzio lubaks Galileo end täielikult matemaatikale pühendada, kuid isa nõudis, et poeg lõpetaks kõigepealt pooleli olevad meditsiiniõpingud
C. Õige! tõene kasutatud sümbolite tähenduste tõttu Millises arutluses lähtutakse tõe kooskõlateooriast? A. ? Võib-olla see meditatsiooni-värk sinu puhul toimib, aga minu puhul ei toimi. B. Õige! See ei saa tõsi olla, et ta Jaan Tõnissoniga koos on õppinud: ta pole ju koolis käinudki. C. ? See on tõsi, et ta käis kinos - ma ise nägin. Rudolf Carnapi arvates ("Füüsika filosoofilised alused") A. ? järeldub Eukleidese paralleelide aksioom teistest aksioomidest ning seetõttu ei saa teda asendada uue aksioomiga, sest siis tekiksid vasturääkivused B. Õige! on Eukleidese paralleelide aksioom sõltumatu teistest aksioomidest ning selle saab asendada uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi C. ? on Eukleidese paralleelide aksioom mõistusest tulenev ilmselge tõde ning sõltumatu teistest aksioomidest
Hiinas hakati kirja kasutama II-st a-tuh. Hulk olulisi leiutisi tehti seal sajandeid varem kui mujal: (kompass,seismoskoop,püssirohi,paber,portselan). "Matemaatika üheksas raamatus"(Zhang Cang). Sun Zi lahendas lineaarvõrrandisüsteemi täisarvudega. 3.saj. Võttis Liu Huei kasutusele kolmnurkade sarnasuse mõiste,samuti ka piirprotsessi mõiste. Yang Huei võttis kasutusele kümnendmurrud. Itaalia matemaatik M.Ricci tõlkis hiina keelde esimesed 6 osa Eukleidese "Elementidest". Filosoofia Alged ulatuvad I a-tuh. algusesse. Klassikaline ajajärk oli 5.-3.saj. kujunesid põhikoolkonnad. I filosoof pärimuste põhjal on Laozid. 4.-3.saj. tekkis legismi koolkond. Kirjandus Vanimad mälestised on mütoloogia pärimused ja rahvalaulud. Shijing sisaldab 11.-6.saj-st pärinevaid luuletekste. I a-tuh. Keskpaiku sugenes kirjavara. Kirjandus oli peamine aine riigiametisse ja õpetlaseseisusesse pääsemise eksamitel.
Hando Runnel Luuleanalüüs Koostaja: Juhendaja: Kuressaare Gümnaasium 12B ELU Hando Runnel on sündinud 24. novembril 1938. aastal Järvamaal Liutsalu külas. Õppis Jalgsema, Ambla, Järva-Jaani, Tartu ja Paide koolides. Aastail 1957-1962 õppis Eesti Põllumajanduse Akadeemias agronoomiat, mis jäi lõpetamata. 1971. aastast vabakutseline kirjanik. ELU Töötas ajakirjas "Akadeemia" ja Tartu Ülikoolis. Oli Eesti Kongressi liige. Kirjastuse ,,Ilmamaa" üks asutajaid ja omanikke, avaldab ,,Eesti mõtteloo" sarja. Lisaks luulele kirjutab Runnel esseid ja arvustusi, on uurinud ja trükiks ette valmistanud paljude eesti kirjanike loomingut. Iseloomustused "Ilma Hando Runnelita ei oleks üldse olnud laulvat revolutsiooni. Ta pole ainult luuletaja, vaid ka ...
Seosed täisnurkses kolmnurgas neljapäev, 29. jaanuar 2015. a Teoreem: Täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusile joonestatud kõrgus jaotab selle kolmnurga kaheks kolmnurgaks, mis on sarnased esialgse kolmnurgaga ja C omavahel. B A D A A C D B D C D C B BDC BCA (NN tunnus) CDA BCA (NN tunnus) BDC CDA (NN tunnus) m.o.t.t. Geomeetriline keskmine Kui a, b ja x on mittenegatiivsed arvud, siis nimetatakse arvu x arvude a ja b geomeetriliseks keskmiseks, kui ta on ruutjuur nende arvude korrutisest x a b Kaatetite projektsioonid Hüpotenuusile ...
P = na sin = cos = tan = =k = k2 c c a P´ S´ Püströöptahukas Kera Pr Eukleidese teoreem S= Sp =ah 2 a2 =fc Kolmnurkne püstprisma S = ah
Poiss näitas üles erakordset andekust, kuid tema tervis oli habras. Isa pidas vajalikuks raamatukappi lukus hoida, et Blaise ennast lugemisega liialt ei kurnaks. Juba 10-aastasena pani Pascal kirja "Traktaadi helidest", sest täiskasvanute vastused teda ei rahuldanud, ja ta pidas vajalikuks nähtust iseseisvalt uurida. Kui Pascal 12-aastaselt raamatute abita geomeetriaalaseid saavutusi üles näitas andis isa, kes ka ise matemaatikaga tegeles, talle lugemiseks Eukleidese "elemendid". Blaise luges selle läbi raskusteta, Eukleidese arutlusi isegi täiendades. 1650 jättis Pascal katki oma matemaatika- ja füüsikauuringud, mis selleks ajaks olid andnud mõnegi nimetamisväärse tulemuse, ja pühendus religioonile. 1651 suri Pascali isa. 1653 pidi Pascal üle võtma oma isa majapidamise ja leidis ühtlasi jälle aega füüsika ning matemaatika jaoks. Samal perioodil tutvus ta hertsog de Roannez ning viimase õe Charlotte'iga. Esimesest sai Pascali hea
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S ...
P = na sin β = cos β = tan β = =k = k2 c c a P´ S´ Püströöptahukas Kera Pr Eukleidese teoreem S= Sp =ah 2 a2 =fc Kolmnurkne püstprisma S = ah
9. Märgi teadusliku loomingu 5 etappi. 1) Probleemi sõnastamine + teadmiste kogumine 2) probleemi lahendamine või mittelahendamine 3)Töö "laagerdumise" aeg 4) Intuitsioon, mõttesähvatus, idee- lahenduse leidmine HEUREKA 5)Idee kõlblikuse kontrollimine. 10. Iseloomusta pragmatismi tõeteooriat. Tõesed on need uskumused, mis „töötavad”, millest lähtudes saab sihipäraselt tegutseda, mis ennast õigustavad. Absoluutne tõde on ähmane. Tõde meile kasulik. Poliitikute teooria. Eukleidese geomeetria, klassikaline loogika. 11. Mis on ja mida uurib aksioloogia? Ehk väärtusõpetus Uurib eesteetiliste ja eetiliste (kõlbeliste) väärtuste olemust ning nende põhjendamise võimalikkust. Probleemid: Kuivõrd vaba saab inimene ühiskonnas olla? Kas inimesi tuleb vaadelda võrdsetena, kas demokraatia on kõige inimväärsem valitsemisviis? Milline on moraalselt õige käitumine? 12. Mis on ratsionalism + nõrgad küljed
TARTU KOMMERTSGÜMNAASIUM Oliver Lopato Hando Runnel ,,Kiikajon ja kaalepuu" luulekogu analüüs Juhendaja: Merike Kütt Tartu 2012 SISUKORD SISUKORD ...............................................................................................................................2 1. ELULUGU JA LOOMING....................................................................................................3 2. ,,KIIKAJON JA KAALEPUU"..............................................................................................4 3. KOKKUVÕTE..........................................................................................................
b. Nõuda tõestust seal, kus on saavutatav vaid tõenäosus III osa. Tõeteooriad. Tõesus matemaatikas 1 Sattunud kesklinna, mõtleb Jaak: "Nagu näha, on siin autosid tõesti palju". Millisest tõeteooriast ta niimoodi mõeldes lähtub? a Ei ole õige Tõe kooskõlateooriast b ? Tõe vastavusteooriast c Ei ole õige Pragmatismi tõeteooriast 2 Rudolf Carnapi arvates ("Füüsika filosoofilised alused") a Õige! on Eukleidese paralleelide aksioom sõltumatu teistest aksioomidest ning selle saab asendada uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi b ? järeldub Eukleidese paralleelide aksioom teistest aksioomidest ning seetõttu ei saa teda asendada uue aksioomiga, sest siis tekiksid vasturääkivused c ? on Eukleidese paralleelide aksioom mõistusest tulenev ilmselge tõde ning sõltumatu teistest aksioomidest
kohaselt raskemad esemed kukuvad kiiremini, kui kergemad. Keegi polnud tõsiselt seda aga uurinud ja katseid teinud, sest keegi ei kahelnud Aristotelese sõnades. Galileo Galilei tahtis samuti proovida. Ta ronis Pisa torni otsa ja viskas sealt alla erineva suuruse ja raskusega palle. Ning need kõik maandusid täpselt üheaegselt. Nii selgus, et Aristoteles oli siiski eksinud. 1592. aastal kutsuti Galileo Galilei aga juba Padua ülikooli matemaatikaprofessoriks ning tema ülesandeks sai Eukleidese geomeetria ja geotsentrilise astronoomia õpetamine meditsiinitudengitele. 1593 aastal Galileo Galilei isa suri ja nüüd oli Galileo vastutav oma pere heaolu eest. Seetõttu vajas ta plaani kuidas rohkem raha teenida. Tema leiutatud algeline termomeeter oli leidlik seade, kuid ei leidnud kahjuks mingit turgu. 1596.a saatis teda mõningane edu seoses militaarkompassiga mida kasutati kahurväes. Galileo nautis Padua linna ja leidis seal endale palju sõpru. Paduas tekkisid tal ka head
Nietzsche rikkust, edukust jne. religiooni (jumalausu) allikaks - mure oma saatuse pärast Pragmatism: James ning soov seda mõjutada. väitis, et iga kultuur hukkub kord. See tähendab, et inimesed jäävad, kuid ei ole enam kultuuri (väärtuste süsteemi) - juhul kui ei sünni uut Spengler kultuuri. Loogiline positivism: Carnap arvates ("Füüsika filosoofilised alused") on Eukleidese paralleelide aksioom sõltumatu teistest aksioomidest ning selle saab asendada jt uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi ühe paradigma asendamine teisega teaduses on harv nähtus: paradigmavahetus on teaduse arengus vaid äärmine abinõu. *arvates loobuti Ptolemaiose astronoomiast seetõttu, et Ptolemaiose astronoomia muutus liiga keeruliseks (näiteks üha uute epitsüklite lisamise
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
