Matemaatika põhimõisted. Definitsioon. Milline peab olema definitsioon? Lühike, tabav ja täpne. Adekvaatne ning ei tohi defineeritavaga sõnaliselt kattuda. Milline peab olema algmõiste? Ei vaja selgitust, on sobiv klassifitseerimiseks. Mis on aksioom? Väide, mille tõesuses pole kahtlust. Teoreem-lause, mille õigsus tõestatakse faktidele tuginedes arutluse kaudu. Millest koosneb teoreem? Eeldus ja väide Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad 2 ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone Kõrvunurgad-2 nurka, millel 1 haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge Tippnurgad-ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu Täisnurk-nurk, mis on 90 kraadi Nürinurk-nurk, mis on suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Tipunurk-võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk Harilik murd-näitab, mitmeks võrdseks...
Kordarvu lahutamine algteguriteks Ajaloolisi andmeid Arvude ühistegurid Arvude ühiskordsed Alg- ja kordarvud Jagaja arv, millega antud arv jagub Arvudel on erinev arv jagajaid: Arv 1 jagub ainult iseendaga; Arvud 2, 3, 5 ja 7 jaguvad arvuga 1 ja iseendaga; Arvudel 6, 8 ja 10 on jagajaid neli; Arvul 24 on palju rohkem jagajaid: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24; Alg- ja kordarvud Algarv naturaalarv, mis jagub ainult kahe arvuga (arv 1 ja arv ise) Kordarv naturaalarv, millel on rohkem kui kaks jagajat Algarvude tabel koostatatud selleks, sest suuremate arvude korral on raske otsustada, kas arv on alg või kordarv; Arvu tegurid ja kordsed Arvu tegur kõik arvud, millega antud arv jagub; Nt. Number 6 jaguneb arvudega 1, 2, 3 ja 6, st need on arvu 6 jagajad. Kuna 6=16 ja 6=23, siis on arvud 1, 2, 3 ja 6 ka arvu 6 tegurid Arvu tegurid ja kordsed Arvu kordsed kõik need arvud, mis
soojuskadude leidmiseks kõigi üksikute piirdetarindite soojuskaod kokku liita: Rakett 21 Ehitusinseneri kodutöö Õhuvahetusest tingitud soojuskaod tekivad, kuna hoones puhta õhu tagamiseks on vaja tuua ruumidesse värsket välisõhku ja eemaldada sealt saastunud õhk. Selleks kasutatakse ventilatsioonisüsteeme. Ruumide õhuvahetust on näiteks võimalik iseloomustada mõiste õhuvahetuse kordarv abil. Õhuvahetuse kordarv näitab mitu korda tunnis antud ruumi õhk vahetub. Tänapäevased ventilatsioonisüsteemid on soojustagastusega, mis tähendab, et osa väljatõmmatava õhu soojusest antakse sissepuhkeõhule tagasi. Soojustagastuse puhul näitab selle protsessi efektiivsust soojustagasti kasutegur. Õhuvahetusest tingitud soojuskaod saab arvutada seosest: õ õ 1
Algmõiste mõiste, mida ei defineerita (punkt, sirge, tasand, ruum, hulk, arv, suurus) Ülesanne: defineeri ja õpi selgeks järgmised mõisted: 1. Lõik, murdjoon, hulknurk 2. Nelinurk, rööpkülik, ristkülik, ruut, romb, trapets. 3. Ristuvad ja lõikuvad sirged, paralleelsed sirged. 4. Täis-, nüri- ja teravnurkne kolmnurk; võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk. 5. Kolmnurga kõrgus. 6. Ring ja ringjoon, diameeter, raadius, kõõl. 7. Alg- ja kordarv, naturaalarv, täisarv. 8. Liig- ja lihtmurd. 9. Murru taandamine ja laiendamine. 10. Nurk, sirgnurk, täisnurk, kõrvunurgad, tippnurgad. 11. Üks- ja hulkliige, sarnased üksliikmed. 12. Võrrand, võrre, võrratus. 13. Protsent. 14. Ristsumma. 15. Aritmeetiline keskmine. 16. Aksioom. Lõik Lõik ehk sirglõik on sirge kaht punkti A ja B ühendav osa, punktid A ja B kaasa arvatud. Seda lõiku tähistatakse AB.
1 jagub 1-ga; 2 jagub 1-ga ja 2-ga; 3 jagub 1-ga ja 3-ga; 4 jagub 1-ga, 2-ga ja 4-ga; 5 jagub 1-ga ja 5-ga; 6 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga ja 6-ga; 7 jagub 1-ga ja 7-ga; 8 jagub 1-ga, 2-ga, 4-ga ja 8-ga; 9 jagub 1-ga, 3-ga ja 9-ga; 10 jagub 1-ga, 2-ga, 5-ga ja 10-ga. Arve, millega antud arv jagub, nimetatakse selle arvu jagajateks. Näeme, et näitena toodud arvudel on erinev arv jagajaid. Arv 1 jaguneb ainult iseendaga, st tal on ainult üks jagaja. Seega ei ole ta ei alg- ega kordarv, sest tal on ainult üks tegur. Arvudel 2, 3, 5 ja 7 on kaks jagajat: arv 1 ja tema ise. Arvudel 6, 8 ja 10 on jagajaid kõige rohkem neli. Mõnel arvul võib jagajaid olla rohkemgi: näiteks arvu 24 jagajad on 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24. Sellest põhjal saab öelda, et naturaalarvu, mis jagub ainult kahe arvuga (arv 1 ja arv ise), nimetatakse algarvuks ning naturaalarvu, millel on rohkem kui kaks jagajat, nimetatakse kordarvuks.
halvemad inimesed seal olid. Kõige põhjas oli Lucifer. Tema lõugade vahel oli Juudas (reetis Jeesus Kristuse) ja Brutus, Cassius ( reetis Caecari). · Puhastusmägi Inglid viisid paadiga puhastusmäe jalamile, kus kirjutati kõigile otsa ette 7 pattu: uhkus, laiskus, viha, kadedus, kitsidus, pidutsemine, liiderlikkus. · 3 teos jaguneb 3meks, kolmikvärsid, Lusiferi 3 nägu, esimene rida riimub kolmandaga. · 9 3me kordarv, põrgu jagunes 9saks ringiks, 9 planeetidega taevas, puhastusmäel 9 ringi. · 10 (100) - surma täiuslikkuse matemaatiline kujund, taevas kristliku jumala paik, kokku 100 laulu.
Algarv- algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Kordarv- positiivne naturaalarv,mis jagub peale 1 ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga. Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine 1 ja sama arvuga. Liigmurd- harilik murd mille lugeja on suurem või võrdne kui nimetaja. Lihtmurd- harilik murd. Mille lugeja on väiksem, kui nimetaja. Sirgnurk- on nurk, mille haarad moodustavad sirge. Kõrvunurgad- on nurgad, millel on 1 ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Tippnurgad- on nurgad, millel on ühine tipp ja haarad moodustavad sirged. Täisnurk- on pool sirgunurgast väiksemad nurgad. Teravnurgad- on täisnurgast väiksemad nurgad. Nürinurk- on täisnurgast suuremad nurgad. Lõikuvad sirged- on tasandil asuvad sirged, millel on ühine punkt. Ristuvad sirged- on lõikuavd sirged, mille lõikumisel tekivad täisnurgad. ...
KOMBINATOORIKA k soodsate võimaluste arv P(A) = n = kõigi võimaluste arv Liitmislause – A või B, siis võimalusi n + m Korrutamislause – A ja B, siis võimalusi n m Permutatsioonid – ühe hulga erinevate järjestuste arv Faktoriaal – n! = n (n-1) (n-2) ... – 3 2 1 = n! nt 4! = 4 3 2 1 = 24 NB! 0! = 1, 1! = 1 3,7! – ei saa (-8)! – ei saa ÜLESANDED 1. 8 õuna, 13 ploomi, 6 pirni Mitu võimalust on, kui võtta.. a) Üks õun või üks ploom või üks pirn? Liitmislause (või) – 8 + 13 + 6 = 27 võimalust b) Üks õun kui ka üks pirn kui ka üks ploom Korrutamislause (ja/kui ka) – 8 13 6 = 624 võimalust 2. Tähestikus on 27 täht, mitu võimalust on kahetähelise kombinatsiooni moodustamiseks? a) Sama ei saa olla. 26 27 = 702 b) Sama sa...
siis on kolmnurgad võrdsed 7. võrdhaarne 33. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed 8.ristkülik 34. Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed 9.võrsed 10.Romb 11. kaht punkti 12. läbib keskpunkti 13. ringjoon 14. algarvuks 15. kordarv 16. naturaalarvu kordne 17.naturaalarvu tegur 18.lihtmurd 19.on murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga 20.on murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nulist erineva arvuga 21.nürinurk 22.teravnurk 23.kõrvunurkadeks 24.ühe 25.sama nurga 26.üksliikmete summa
Matemaatika definitsioonid 1.Lõikuvad sirged on sirged, millel leidub ühine punkt. 2.Paralleelsed sirged on sirged, mis paiknevad ühel ja samal tasandil ning ei lõiku. 3.Ristuvad sirged on kaks lõikuvat sirget, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 4.Sirgnurk on sirge, mille haarad moodustavad sirge. 5.Täisnurk on sirge, mis on 90kraadi. 6.Teravnurk on nurk, mis mahub täisnurga sisse. 7.Nürinurk on nurk, mis mahub sirgnurga sisse, aga mitte täisnurga sisse. 8.Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge. 9.Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu. 10.Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. 11.Teravnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad. 12.Nürinurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk. 13.Erikülgne kolmnurk on ko...
Algarv- Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Lihtmurd- murd, mille nimetaja on lugejast suurem Liigmurd- murd, mille lugeja on nimetajast suurem või temaga sama suur Naturaalarvu tegur- iga naturaalarv, millega antud arv jagub Naturaalarvu kordne- iga naturaalarv, mis antud arvuga jagub Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist Üks protsent- üks sajandik osa Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mis on 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Nürinurk- nurk, mis on suurem kui 90kraadi ja väiksem kui 180 kraadi Täisnurk- nurk, mis on 90kraadi Kõ...
Lõikuvad sirged Sirged, millele on üks ühine punkt. Ristuvad sirged Sirged, mi,s lõikuvad 90 kraadise nurga all. Kolmnurga kõrgus Lõik, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljeni ja mis on sellega risti. Ruut Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed. Ringjoone diameeter Lõik, mis läbib kahte punkti ringjoonel ja keskpunkti. Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga. Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Laiendamine...
• kui p pole algarv, saab selle jagada mingi muu arvuga peale iseenda.
• seega ei saa me ühesuuruseid gruppi. (nt 4 jagub 2-ga. Saame 3 4x4 gruppi ja 1 4x2 gruppi!)
Fermat’ teoreemi väide võib mõnikord kehtida ka siis, kui p ei ole algarv - siis on tegu pseudoalgarvuga.
sellepärast kutsutakse 2te Fermat’ valetajaks, sest nt 2 astmel 341 jagub 341-ga, 3e puhul see aga nii pole
DEF: Carmichaeli arv on paaritu kordarv, mis rahuldab Fermat’ teoreemi väidet iga aluse korral, mis on
selle kordarvuga ühistegurita (st on pseudoalgarv kõigil neil alustel).
nt 561 = 3x11x17 ehk ta on kordarv.
Fermat’ test: võtad suva a
32. Kesknurk nurk, mille tipp asetseb ringi keskpunktis. 33. Kiirteteoreem kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis nurga ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. 34. Konstant suurus, mille väärtus vaadeldavas protsessis või mõttekäigus ei muutu. 35. Koonus keha, mille moodustab ühe oma kaateti ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk. 36. Koordinaadid arvud, mis määravad üheselt punkti asukoha tasandil. 37. Kordarv naturaalarv, mis on esitatav ühest erinevate naturaalarvude korrutisena. 38. Korrapärane hulknurk kumer hulknurk, mille kõik küljed ja sisenurgad on võrdsed. 39. Korrapärane kolmnurk võrdkülgne kolmnurk. 40. Korrapärane prisma püstprisma, mille põhi on korrapärane hulknurk. 41. Korrapärane püramiid püramiid, mille külgservad on võrdsed ja põhjaks on korrapärane hulknurk. 42. Kraad ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 43. Kuup 1
Vaatleme naturaalarvu a=p1 p2 ... pn + 1. Et a on suurem 1-st, siis peab leiduma algarv millega a jagub. Kuna oletasime, et p1 ... p2 on ainsad algarvud, siis pead leiduma selline i, 1 i n, nii et a jagub pi-ga. Ainus võimalus on pi=1, mis on vastuolus sellega, et pi > 1. 6. Kordarvud. 1) 1-st suuremat naturaalarvu, mis ei ole algarv, nimetatakse kordarvuks. 2) Aritmeetika põhiteoreem : iga kordarv on ühesel viisil esitatav algarvude korrutisena. Arvu esitamist algarvude korrutisena, nimetatakse ka algteguriteks lahutamiseks. 7. Paaris ja paaritud arvud. 1) Paarisarvud. a) Üldkuju 2n n b) Paarisarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 2n + 2k = 2(n + k) 2n 2k = 4nk 2) Paaritud arvud. a) Üldkuju 2n + 1 n
Ruuduks nim. võrdsete kölgedega ja täisnurkadega nelinurka. Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed. Võrdhaarne trapets on nelinurk, mille kaks haara on paralleelsed ja võrdsed. Täisnurkne trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90o. Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rombiks nim. nelinurka , ...
tegelikult algarv: Pseudoalgarvud- pseudoalgarvud on sellised kordarvud, mis teatud aluse a korral võivad Fermat' teoreemi järgi ,,käituda" kui algarvud. Pseudoalgarvude probleemi võimaldab aga lahendada Fermat' teoreemi rakendamine mitmel erineval alusel a. Kui näiteks Fermat' teoreemi rakendada mingi arvu p jaoks 10 erinva aluse a baasil, on eksimisvõimalus juba väiksem, kui 0,1%. Carmichaeli arvud- Carmichaeli arv on paaritu kordarv, mis rahuldab Fermat' teoreemi väidet iga aluse korral. Carmichaeli algarvud on Fermat' teoreemi suurimaks kirstunaelaks. Selleks aga, et Carmichaeli arvude probleemist kõrvale hiilida, rakendataksegi tänapäeval põhiliselt Miller-Rabini testi, mis on Fermat' teoreemi täiendatud versioon. [26].Eukleidese algoritm. *Eukleides algoritm on nö. süsteemne ning algoritmiline viis leidmaks kahe arvu suurimat ühistegurid (gcd)
sek või m 2 . - Puht arvutuslikul teel vastavalt ruumise eralduvale saasteainete liigile. LCO 2 Liigse CO2 eemadamiseks nim min arvutuslik valem Lmin = b CO 2 - b v Lco2 - co2 - v - Kui on tegemist liigsoojus eemaldamisega siis vent kordarv arvutatakse: Qliig G= C ( t vt - t sp ) Qliig - liigsoojus C erisoojust t vt välja puhu temp t sp sissepuhu temp W liig 10 3 kg Kui on vaja niiskust eemaldada: G = dvt - dsp h Õhuvahetus arvutus kahjulike gaaside või aurude eemaldamiseks. 35 Gk L =y C pk - Csp
Iga naturaalarvu n > 1 saab esitada algarvude korrutisena (st leiduvad r ja algarvud p1 pr p1 pr ,..., nii, et n = ,..., ) ning see esitus on ühene tegurite järjekorra täpsuseni. TÕESTUS Induktsiooni baas: · Väide on õige n = 2 puhul, sest 2 on algarv. Induktsiooni samm: · Oletame, et n > 2 ja iga naturaalarvu 1 < m < n saab esitada algarvude korrutisena. · Naturaalarv n peab olema kas algarv või kordarv. · Kui n on algarv, siis pole midagi tõestada. · Kui n on kordarv, siis leidub k nii, et k | n, kusjuures 1 < k < n. · Olgu n = kl, kus l N. Siis ka 1 < l < n. · Induktsiooni eelduse põhjal avalduvad k ja l algarvude korrutisena ning järelikult ka n avaldub algarvude korrutisena. · Ühesuse näitamiseks oletame, et n saab algarvude korrutisena esitada kahel viisil: p1 p2 pr q q q n= ..
õuna, jäi esimesse korvi 2 õuna vähem kui teise. Mitu õuna oli kummaski korvis esialgu? Vastus: I 32 ja II 44 ( 76 50 = 26- jäi pärast äravõtmist järele; 26 + 2 = 28 : 2 = 14 2 = 12; 12 + 20 = 32; 76 32 = 44) 238. Kolme erineva naturaalarvu korrutis on 36. Millised on need 3 arvu, kui üks neist on algarv? Vastus: 1,3, 12 või 1, 2, 18 ( 1 ei ole algarv ega ka kordarv, algarv on siin 3 ja 2) 239. Lift jäi korruste vahele kinni. Liftis olnutest 2/3 seisid rahulikult edasi ja lootsid kiirele päästmisele. Ülejäänutest pooltele tegi see olukord nalja ja hakkasid naerma, pooltele aga tuli hirm nahavahele ja hakkasid karjuma. Mitu inimest oli liftis, kui karjuma hakkas 2 inimest. Vastus: 12 ( 2 on 1/6 ja terve on siis 12) 240. Ilma pähklita jookseb orav kiirusega 4 m/s, pähkliga aga kiirusega 2 m/s. Orav lahkus
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
