Lineaarse võrrandisüsteemi (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse selle SÜSTEEMI MAATRIKSIKS Am×n = || ai j ||, kus i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG Bm×1 = (b1, . . . , bm )T, nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1). Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . . . , xn )T, siis saab süsteemi (1) esitada MAATRIKSKUJUL AX = B. (2) DEFINITSIOON 3. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid süsteemis (1) või maatriksvõrrandi (2), nimetatakse LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDIKS. MÄRKUS. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud ja võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid lahendeid nimetatakse SÜSTEEMI ÜLDLAHENDITEKS. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist
Lineaarse võrrandisüsteemi (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse selle SÜSTEEMI MAATRIKSIKS Am×n = || ai j ||, kus i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG Bm×1 = (b1, . . . , bm )T, nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1). Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . . . , xn )T, siis saab süsteemi (1) esitada MAATRIKSKUJUL AX = B. (2) DEFINITSIOON 3. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid süsteemis (1) või maatriksvõrrandi (2), nimetatakse LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDIKS. MÄRKUS. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud ja võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid lahendeid nimetatakse SÜSTEEMI ÜLDLAHENDITEKS. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist
Duaalne simpleksmeetod Lineaarse planeerimise ülesanne Lineaarse planeerimise ülesanne: n maksimiseerida cjxj j 1 n kitsendustel aij x j bi (i 1,2, , m) j 1 x j 0 ( j 1,2, n). LP ülesanne maatrikskujul. Kasutades maatrikssümboolikat ja tähistades a11 a12 a1n x1 b1 c1 a21 a22 a2 n x2 b2 c2 A , x , b , c , am1 am 2 amn xn bm cn võime lineaarse planeerimise ülesande kirjutada maatrikskujul maxcT x : Ax b, x 0.
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 B= am1 am 2 amn bm Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju Defineerime veel maatriksid x1 b1 x2 b2 x= , b= . xn bm Siis saame võrrandisüsteemi (2) esitada maatrikskujul: a11 a12 a1n x1 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1 a21 a22 a2 n x2 a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn b2 Ax = = = = b. .............. am1 am 2 amn xn am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn bm Seega on lineaarne võrrandisüsteem (2) esitatav maatrikskujul Ax = b. (3)
Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul: Olgu antud lineaarne võrrandisüsteem maatrikskujul: AX = B Avaldades sellest tundmatu X, saame: X = A-1B. Seda meetodit on eriti mugav kasutada juhul, kui mitmel erineval süsteemil on ühesugused kordajad, kuid erinevad vabaliikmed. Näide: Lahendada lineaarne võrrandisüsteem: x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2 2 x1 - x2 - 2 x3 = 2. 3x + 2 x - x = 8 1 2 3 . 1 2 3 2
n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul: Olgu antud lineaarne võrrandisüsteem maatrikskujul: AX = B Avaldades sellest tundmatu X, saame: X = A-1B. Seda meetodit on eriti mugav kasutada juhul, kui mitmel erineval süsteemil on ühesugused kordajad, kuid erinevad vabaliikmed. Näide: Lahendada lineaarne võrrandisüsteem: x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2 2 x1 - x2 - 2 x3 = 2. . 3 x + 2 x - x = 8 1 2 3 1 2 3 2
Kui determinandis mingi rea iga võrdusmärgist vasakul teineteise toimub vastupäeva kui vaadata element kujutab kahe liidetava summat, all, vabaliikmed on võrdusmärgi vektori y lõpust siis laguneb paremal pool) lineaarse Segakorrutis Kolme vektori determinant kahe sama järku võrrandisüsteemi saab kirjutada segakorrutiseks nimetatakse kahe determinandi summaks, kus esimeses maatrikskujul AX = B, Teoreem vektori skalaarset korrutist determinandis koosneb vaadeldav rida (Kronecker-Capelli). Lineaarne kolmanda vektoriga esimestest liidetavatest ja teises võrrandisüsteem on lahenduv II järku jooned. Ellips Ellipsiks determinandis teistest liidetavatest; parajasti siis, kui võrrandisüsteemi nimetatakse tasandi nende ülejäänud read jäävad aga endisteks. 6
kogutoodang x1 xj xn - i = xj j Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate harude toodangut. Bilansi veerud näitavad, kuidas erinevate harude toodangut toodetakse. Tabelis kirjeldatut võib kirja panna ka maatrikskujul. Erinevate vahetarbimiste summa vektor, liidetuna lõpptarbimise vektorile, annab tulemuseks kogutoodangu vektori ehk: x11 + ... + x1n y1 x1 + = xn1 + ... + xnm yn xn Kui tootmistehnoloogia jääb samaks, siis ühe haru toodangu kogus, mida vajatakse teise haru toodangu ühiku tootmiseks jääb samaks. Tootmistehnoloogiat kirjeldavad kulukoefitsendid
cn R, et nende paigutamisel võrrandi vasakusse poolde tundmatute x 1, ..., xn asemele kehtiks võrdus a1c1 + ... + ancn = b Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetataksse lõplikust arvust lineaarset võrrandist koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1; ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm. aij - kordajad; b1,...,bm - vabaliikmed Arve c1,...,cn, mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks Lineaarne võrrandisüsteem on maatrikskujul antav võrdusega Ax = b. A = || aij|| - lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriks (süsteemi maatriks). x - maatriks x1 xn-ni üksteise alla paigutatult. b - maatriks b1 bm-ni üksteise alla paigutatult. B = ||A, b|| - maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriks (süsteemi laiendatud maatriks) 10. Gaussi meetod. Teisendatakse süsteem Ax = b uuele kujule, millel on samad lahendid ning mille lahendeid on lihtne välja lugeda. Kasutatavad teisendused:
omadused-A,B,C A=(V,P)eukleidil.siis: 1) (Q(A,B)0; 2 ) (Q(A,B)=0 kui A=B; 3) Q(A,B)=Q(B,A); 4) Q(A,B)Q(A,C)+Q(C,B) -on kolmnurga omadus. 19) Kahe vektori vektorkorrutis, selle omadused, arvutamine ja geomeetriline tähendus. Vektorite a ja b vektorkorrutist tähistatakse a × b. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise tulemuseks on kolmas vektor c = a × b.Tulemuseks on vektor, mis on risti mõlema korrutatud vektoriga. Vektorte vektorkorrutist võib esitada ka maatrikskujul: 20) Kolme vektori segakorrutis, selle omadused, arvutamine ja geomeetriline tähendus. 21) Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanooniline võrrand. 22) Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja üldvõrrand. 23) Tasandi normaalvõrrand. Punkti kauguse arvutamine tasandist. 24) Analüütilise geomeetria ülesannete lahenadmine vektorkujul. 6.13. Ruumigeomeetria ülesannete lahendusi vektorkujul, lk.215 - 218.
Milline seos on puhta Nashi tasakaalu ja rangelt domineeritud strateegiate elimineerimise teel saadud tasakaalu vahel? Kui ükski mängija ei soovi muuta oma strateegiat, arvestades teiste osalejate strateegiavalikuid Kui rangelt domineeritud strateegiate järjestikune elimineerimine annab optimaalse lahendi, siis see lahend on ühtlasi ka mängu ainsaks Nashi tasakaaluks. 40. Mis on nullsumma mäng? Kuidas saab esitada kahe mängija nullsumma mängu maatrikskujul? Need on sellised mängud, kus mängijate võitude summa on mistahes võimalike strateegiate valikute korral 0. 41. Kirjeldada, mis on sadulpunkt nullsumma mängus ja kuidas see leitakse? Maatriksmängu sellist elementi, mis on samaaegselt minimaalne oma reas ja maksimaalne oma veerus, nimetatakse sadulpunktiks Sadulpunkt leitakse i järgi (maksimum veerus) ja miinimum j järgi (miinimum reas)
Vôimalike lahendite arv: 1) Reaalarvulised lahendid puuduvad 2) Lôpmata palju lahendeid 3) Kindel arv lahendeid (konkreetsed arvud vôi konstantidega üldlahend). Lineaarse vôrrandsüsteemi üldlahend: igale muutujale vastab konstante sisaldav avaldis, mis rahuldab süsteemi kôiki vôrrandeid. Nad vôivad olla omavahel avaldiste kaudu seotud. Lineaarse vôrrandsüsteemi erilahend: andes üldlahendi konstantidele väärtusi saab erilahendi. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Lineaarse vôrrandsüsteemi maatrikskuju: AX=B; A=(aij), i=1,...,m ja j=1,...,n. X muutujate maatriks; B vabaliikmete maatriks; A kordajate e. süsteemimaatriks. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamisest maatrikskujul. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga: elementaarteisendusi kasutades tuleb tekitada
MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken Kursuses vajalik matemaatika Lineaarne algebraliste võrrandite süsteem Olgu n tundmatuga m võrrandist koosnev süsteem a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = f 1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = f 2 ................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = f m maatrikskujul AX = F , a11 a12 ... a1n a a 22 ... a 2 n kus A = 21 , ... ... ... ... a am2 ... a mn m1 x1 f1
Fourier’ teisenduseks ja kujutust g nimetatakse Fourier’ pöördteisenduseks. Seega ( 15. Diskreetne Fourier’ teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi. *Vaatame funktsiooni f Fourier’ rea komplekskuju f(x) kus Diskreetse Fourier’ teisenduse (DFT) same, vaadates f diskreetseid väärtusi : ,kus *Diskreetseid teisendusi on mõistlik esitada maatrikskujul: = Ff Analoogiliselt Fourier’ teisendusele same defineerida diskreetse koosinusteisenduse(DCT). C(f) = Cf. Tavaliselt defineeritakse DCT teisendusmaatriksi C elemendid kujul
Seega ( Tõestus. Olgu f(x) = Leiame funktsiooni f(x) Fourier' teisendi. ( )= 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi. *Vaatame funktsiooni f Fourier' rea komplekskuju f(x) kus Diskreetse Fourier' teisenduse (DFT) same, vaadates f diskreetseid väärtusi : ,kus *Diskreetseid teisendusi on mõistlik esitada maatrikskujul: = Ff Analoogiliselt Fourier' teisendusele same defineerida diskreetse koosinusteisenduse(DCT). C(f) = Cf. Tavaliselt defineeritakse DCT teisendusmaatriksi C elemendid kujul
Seega ( Tõestus. Olgu f(x) = Leiame funktsiooni f(x) Fourier' teisendi. ( )= 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi. *Vaatame funktsiooni f Fourier' rea komplekskuju f(x) kus Diskreetse Fourier' teisenduse (DFT) same, vaadates f diskreetseid väärtusi : ,kus *Diskreetseid teisendusi on mõistlik esitada maatrikskujul: = Ff Analoogiliselt Fourier' teisendusele same defineerida diskreetse koosinusteisenduse(DCT). C(f) = Cf. Tavaliselt defineeritakse DCT teisendusmaatriksi C elemendid kujul
t. ~A=[Aik]T. NB! ÕPI NÄIDE VIHIKUST!!! Maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui ta on regulaarne, st. |A|=detA 0 e. Nxn maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui tema astak r=n Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju, Kronecker-Capelli teoreem. Näide. Üldise korrastatud (tunmatud on võrdusmärgist vasakul teineteise all, vabaliikmed on võrdusmärgi paremal pool) lineaarse võrrandisüsteemi saab kirjutada maatrikskujul AX=B, kus võrrandisüsteemi maatriks A, tundmatute maatriks X ja vabaliikmete maatriks B. Teoreem (Kronecker-Capelli) Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi A ja laiendatud maatriksi AB astakud on võrdsed (Öeldakse ka, et süsteem on kooskõlas). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv r = r´ (see on nn. astakutingimus). Gaussi ja Gauss-Jordani meetod. Näited
liitmine. Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada treppkujule, mille abil saab otsustada süsteemi lahendavuse ja lahendite arvu üle ning leida ka kõik esialgse süsteemi lahendid. Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Andes C-le mingi väärtuse, nt C=1, siis saame süsteemi ühe lahendi, mida nim erilahendiks. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Tundmatute maatriks Ja vabaliikmete maatriks A on kordajate ehk süsteemimaatriks. AX=B X=A-1B Nt: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule. Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi
jõuda. Valikunimekiri - Meetod kasutab etteantud, üldisi kriteeriume (A kuni G eelvalikulehel), kusjuures kõige tähtsamad A ja B peavad olema igal juhul täidetud. Paariviisiline võrdlus - On suhteliselt lihtne teha, kui alternatiivide omadused on rohkem kvantitatiivsed. Hinnangud "parem kui" ja "halvem kui antakse punktidega 1 ja 0. Punktisumma määrab järjekorra Liht-punkthindamine - Esitatakse omadused maatrikskujul, millistele antakse punkthinnang (vt. "Hindamisskaalad", "Kasutatavad hindefunktsioonid"). Suurem punktisumma annab eelistuse 38. Intensiivhindamise meetodid, näited Kaalutud punkthindamine, Tehnilis-majanduslik hindamine, Hindamine koos kasulikkuse analüüsiga Kaalutud punkthindamise käik koosneb 5 sammust ("Hindamise põhimõtteline käik"). Hindamiskriteeriumide püstitamine; Hindamiskriteeriumide kaalumine; Lahenduste üksikomaduste määramine vastavuses hindamis- kriteeriumidele
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ak1 x1 + ak2 x2 + · · · + akn xn yk IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 3 mille vastavate elementide v~ ordsustamine annabki s¨ usteemi 1.1 v~orrandid. Seega LVS-i saab kompaktselt esitada maatrikskujul, maat- riksv~orrandina Ax = y. V~orrandi Ax = y lahendi all m~ oistame sellist aritmeetilist (veeru)vektorit, mille asendamisel v~ orrandisse saame (maatriks)samasuse. 3 Homogeense LVS-i omadusi 3.1 Homogeenne LVS LVS-i nimetatakse homogeenseks, kui vabaliikmed on nullid, s.t y1 = · · · = yk = 0. Homogeennne LVS on seega j¨ argmine: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0
Maatriksesituses Y = Xb + u Normaalvõrrandite süsteem Parameetrite hinnangute leidmine u^ ( yi b^1 b^2 x2i b^3 x3i ... b^k xki )2 min 2 i Normaalvõrrandite süsteem maatrikskujul Peale osatuletiste nulliga võrdsustamist saadakse normaalvõrrandite YX T = b^ ( X T X ) süsteem k tundmatu b^1 , b^2 , ... , b^k jaoks y i nb^1 b^2 x2i b^3 x3i ... b^k xki XT on transponeeritud maatriks (read ja veerud vahetatud) yx i 2i b^1 x2i b^2 x22i b^3 x2i x3i ... b^k x2i xki
kui lahenduvas süsteemi tundmatud on n ja astmelisele kujule viidud maatriksi juhtelemendid on k, siis kui n = k on süsteemil ainult üks lahend k < n aga on süsteemil lõpmata palju lahendeid Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Erilahendi korral on C-le antud konkreetne arvuline väärtus. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. maatrikskuju: AX = B. võrrand, kus maatriks ise on otsitavaks. süsteemil on üks lahend, kui süsteemi maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 (detA on nullist erinev) ja võrrandeid ja tundmatuid on ühepalju (m = n). lahend avaldub: X = A-1B näiteks: Crameri valemid: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule:
· Väiksem osa tööd, põhjusi, sisendeid annab suurema osa tulu, tagajärgi või väljundeid · 20% klientidest annab 80% käibest · Eesmägiks on jaotada uuritav valdkond rühmadeks, millele igaühele kohaldatakse erinev lähenemisviis · A-rühm: suurkliendid · B-rühm: keskmised kliendid · C-rühm: väikesed kleinid · Kuna A rühm on kõige kasumlikum, siis neid koheldakse ka vastavalt · On erinevaid ABC mudeli edasiarendusi maatrikskujul Klienditeeninduse audit · Klienditeeninduse auditiga hinnatakse osutatava ettevõtte klienditeeninduse taset · Eesmärgiks on: o Kriitilise tähtsusega klienditeeninduse komponentide väljaselgitamine o Kuidas leitud komponente mõõdetakse/kontrollitakse o Ettevõttesisese infosüsteemi kvaliteedi ja võimekuse hindamine · Klienditeeninduse audit koosneb neljast staadiumist:
1 On antud maatriksi elemendid a11 = 6; a21 = 4; a32= 5; a13 = 3; a23 = 6; a12 = 10; a22 = 7; a31=-5; a33= 9. Kirjutada välja vastav maatriks. 8.2 Firma AUVI tegeleb audio- ja videotehnika müügiga. Kuu algul oli firmal on kaupa kolmes laos järgmistes kogustes: laos A 10 telerit, 15 videomakki, 9 kassettmakki ja 12 stereokombaini; laos B 20 telerit, 14 videomakki, 8 kassettmakki ja 5 stereokombaini ning laos C 16 telerit, 8 videomakki, 15 kassettmakki ja 6 stereokombaini. Esitada kaubavarud maatrikskujul, kus read tähistaksid ladusid ja veerud kaupasid. Maatriksite liitmine ja lahutamine Liita (lahutada) saab ainult samadimensionaalseid maatrikseid, s.o. maatrikseid, millel ridade arv on võrdne ja veergude arv on võrdne. Teiste sõnadega, maatriksite A ja B summa A + B ja vahe A -B on leitavad ainult juhul, kui dim A = dim B. Maatriksite liitmisel liidetakse (lahutatakse) ühel ja samal kohal olevad (samade indeksitega) maatriksite elemendid:
... ... ... ... ... a am 2 ... a mn bm m1 . (6.4) . x1 x Kui esitada muutujad x i (i = 1,...,n) maatrikskujul X= n ja vabaliikmed bj (j = 1, ...,m) b1 b maatrikskujul B = m , siis LVS (1) maatrikskuju on A X = B . Definitsioon. LVS, millel vabaliikmete veerg koosneb ainult nullidest bj = 0 (j = 1,...,m) nimetatakse homogeenseks (vt. p. 6.5) . Süsteemil (6.1) võib 29. leiduda täpselt üks lahend; 30. lahend puududa (võrrandid on vastuolulised); 31
laiendatud maatriksiks: a11 a12 ... a1n b1 a 21 a 22 ... a2n b2 ... . (6.4) ... ... ... ... a am2 ... a mn bm m1 . x1 Kui esitada muutujad x i (i = 1,...,n) maatrikskujul X= ja vabaliikmed bj (j = 1,...,m) x n - 34 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina b1 maatrikskujul B = , siis LVS (1) maatrikskuju on A X = B . b m Definitsioon
vabaliikmed on võrdsed nulliga, s.t. a1 = a2 = . . . = am = 0. Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks ja laiendatud maatriks Maatriksit nimetatakse vastavalt lineaarvõrrandisüsteemi (1) maatriksiks ja lineaarvõrrandisüsteemi (1) laiendatud maatriksiks. Võrrandisüsteemi (1) saame nüüd kirja panna ka maatrikskujul: LVS üldlahend fikseeritud reaalarvude komplekt x1 = 1 jne... LVS erilahend Fikseeritud reaalarvude komplekti x1 = 1, x2 = 2, . . . , xn = n nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi (1) lahendiks ehk erilahendiks, kui nende arvude asendamisel süsteemi (1) võrranditesse tundmatute asemele same samasused. Lahenduv LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse lahenduvaks, kui tal leidub vähemalt üks lahend
rakendusi: esitada maatrikskujul: 𝑓̂ = Ff 𝐹𝑗,𝑘 ≔ 𝑒 − 𝑛 Analoogiliselt Fourier’ teisendusele same defineerida diskreetse
maatriks. Tähistades sümboliga Aj maatriksi A j-ndat veergu, s.t saab LVSi (1) esitada järgmisel kujul: 12. Crameri valemid. Vaatleme LVSi, kus 1) võrrandite arv = tundmatute arvuga ning 2) süsteemi maatriks on regulaarne e. det 0. LVS on siis kujul (1) Kirjutame LVSi (1) maatrikskujul: (2) Olgu sellise maatriksi determinant, mis on saadud maatriksist A k-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga: Leiame selle maatriksi determinandi. Kui determinandis det k-nda veeru elementide algebralised täiendid on , , ... , siis arendades determinandi k-nda veeru elementide järgi saame: Eelduse põhjal maatriks A on regulaarne, järelikult det 0, seega maatriksil A leidub pöördmaatriks
1 𝑖𝑗𝑘 Avaldame seosest kordajad ck funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose (3) mõlemat poolt suurusega 𝜑k(x) ja *Diskreetseid teisendusi on mõistlik esitada maatrikskujul: 𝑓̂ = Ff 𝐹𝑗,𝑘 ≔ 𝑒 − 𝑛 Analoogiliselt Fourier’ teisendusele 2𝑛+1 12
B n × r sisenditemaatriks; C m × n väljunditemaatriks; D m × r otsesidemaatriks. Lahenduskäik x&1 = 10 x1 - 2 x 2 + 7 u x&1 10 - 2 x1 7 = + u x& = x + 0 x + 12u 0 x 2 12 x& 2 1 maatrikskujul 2 1 2 y1 = 0 x1 + 2 x 2 + 0u y1 = 0 2 x1 + 0u y 2 = 11x1 + 3 x 2 + 0u y 11 3 x 0 2 2 järelikult, & 10 - 2 7 X = X + U 1 0 12 10 - 2 7 0 2 0
(2.7) .. .. . . xn bm Lineaarvõrrandisüsteem (2.5) on maatrikskujul antav võrdusega A · x = b. (2.8) Teoreem 2.2 [16, 17]. Kronecker'i-Capelli teoreem. Lineaarvõrrandisüsteem (2.5), A · x = b, (2.9) on lahenduv (s.t. omab vähemalt ühte lahendit) siis ja ainult siis, kui tema maatriksi A astak võrdub laiendatud maatriksi (A b) astakuga. 2.6 Cramer'i peajuht Definitsioon 2.12
• Seame lahtritesse arvu 1, kui isikule i meeldib j, ning 0, kui ei meeldi. 152 Nagu näeme, on see, et isendile 1 ei meeldi ükski teine kolmest isendist, lihtsalt väljaloetav nii maatriksist kui jooniselt. Esitus maatriksina võimaldab uurida ka palju suuremaid ja keerulisemaid võrgus- tikke kui meie raamatu tegelaste sõpruskond. Näiteks võime maatrikskujul esitada maatriks närvirakkude võrgustikke või rakus toimuvate protsesside vaheliste seoste võrgus- tikke. Närvirakkude võrgustikud võivad olla kuni 10 miljardi neuroniga ja nii on neid päris raske geomeetriliselt ette kujutada või kirja panna, maatrikskirjeldus aitab neid siiski arvutite abil uurida. Maatriks ja vektorid
annaabi.ee 
