DME Eksamiks kordamise konspekt (2)

Tartu Ülikool - Matemaatika - Diskreetse matemaatika elemendid

5 VÄGA HEA

Tingimused

Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär.

Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause pole korraga tõene ja väär.
Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite järgi:

Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem.

Kui F on lausearvutuse valem, siis ka ⌐F on lausearvutuse valem.

Kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG),(F->G) ja (FG) on lausearvutuse valemid.
Osavalem : Kõiki antud valemi konstrueerimise käigus tekkinud valemeid nimetatakse selle valemi osavalemiteks ehk alamvalemiteks, konstrueerimise viimasel sammul kasutatud suhet aga peatehteks.
Kokkulepped sulgude kohta:

Tehete prioriteet kõrgemast madalamani on ⌐, &, V, ->, .

Vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või disjunktsioonis sooritatakse . tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda täpsustavatest sulgudest loobuda .

Valemi välimised sulud võib ära jätta
Väärtustus: Kui lausemuutuja A on tõene, siis kirjutame A=1; kui lausemuutuja A on väär, siis kirjutame A=0. Kui omistame korraga tõeväärtused mitmele lausemuutujale, siis seda tõeväärtuste komplekti nimetame väärtustuseks.
Tehete väärtuste arvutamine: lausearvutuse valemi F tõeväärtus etteantud väärtustel leitakse järgmiste reeglite abil:

Kui F = ¬G, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0.

Kui F = G & H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1.

Kui F = G V H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 või H = 1.

Kui F = G -> H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0 või H = 1.

Kui F = G H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1

või G = 0 ja H = 0.
Tõeväärtustabeli vasakus pooled on muutujate kõik väärtused. Paremas pooles on tehte tulemus kirjutatud vastava tehte veergu .
Samaselt tõene valem – lausearvutuse valemit F nimetatakse samaselt tõeseks, kui ta on igal väärtusel tõene.
Samaselt väär valem – lausearvutuse valemit F nimetatakse samaselt vääraks, kui ta on igal väärtusel väär.
Kehtestatav valem – lausearvutuse valemit F nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtusel tõene.

Iga samaselt tõene valem on kehtestatav
Kui valem ei ole kehtestatav, siis on ta samaselt väär

Samaväärsed valemid - Valemeid F ja G nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neis valemeid esinevate muutujate väärtustel.
Lausearvutuse põhisamaväärsused:

Idempotentsuse seadused

F&F≡F FvF≡F

Kommutatiivsuse omadused

F&G≡G&F FvG≡GvF

Assotsiatiivsuse seadused

(F&G)&H≡F&(G&H) (FvG)vH≡Fv(GvH)

Distributiivsuse seadused

F&(GvH)≡F&GvF&H FvG&H≡(FvG)&(FvH)

Neelamisseadused

F&(FvG)≡F FvF&G≡F

De Morgani seadused

⌐(F&G)=⌐Fv⌐G ⌐(FvG)=⌐F&⌐G

Kahekordse eituse seadus

⌐⌐F≡F

Liikmete elimineerimise reeglid

F&T=F F&V=V FvT=T FvV=F

Implikatsiooni avaldis konjukstiooni ja disjunktsiooni kaudu

F→G≡⌐(F&G) F→G≡⌐FvG

Konjuktsiooni ja disjunktsiooni avaldis omplikatiooni kaudu

F&G=⌐(F→⌐G) FvG=⌐F→G

Ekvivalentsi avaldis teiste tehete kaudu

F↔G≡F&Gv⌐F&⌐G F↔G≡(F→G)&(G→F)
Järeldumine on olukord, kus mingi lause loetakse tõeseks, viidates mingite teiste lausete tõesusele. Järeldumine võib aset leida mitmel põhjusel.
Def. Ütleme, et valemitest F1, F2, ..., Fn järeldub valem G, kui igal neis valemeid esinevate muutujate väärtustel, millel F1, F2, ..., Fn on tõesed, on ka G tõene.
Asjaolu, et valemist F1, F2, ..., Fn järeldub valem G, tähistatakse F1, F2, ..., Fn |= G
Järeldumise kontrollimine tõeväärtustabeli abil: valime tõeväärtustabelist välja read, milles valemid F1, F2, ..., Fn on kõik tõesed, ja selgitame, kas nendes ridades on ka valem G tõene.
Teoreem .
Valemitest F1, F2, ..., Fn järeldub valem G parajasti siis, kui valem F1& F&, ...& Fn→G on samaselt tõene.
Teoreem.
Valemid F ja G on samaväärsed parajasti siis, kui valemist F järeldub valem G ja valemist G järeldub valem F.
Teoreem.
Valemid F ja G on samaväärsed parajasti siis, kui valem F↔G on samaselt tõene.
Literaal on lausemuutuja või tema eitus . Positiivne literaal on puhas lausemuutuja. Negatiivne literaal on eitusega lausemuutuja.
Täielik elementaarkonjuktsioon on literaalidest L1,L2,...,Ln koostatud valem L1&L2&...&Ln.
Täielik disjunktiivne normaalkuju – Lausearvutuse valemi F täielikuks disjunktiivseks normaalkujuks nimetatakse valemiga F samaväärset valemit, mis kujutab endast erinevate täielike elementaarkonjuktsioonide disjunktsiooni.
Täielik elementaardisjunktsioon on literaalidest L1,L2,...,Ln koostatud valem L1vL2v...vLn.
Täielik konjuktiivne normaalkuju - Lausearvutuse valemi F täielikuks konjuktiivseks normaalkujuks nimetatakse valemiga F samaväärset valemit, mis kujutab endast erinevate täielike elementaardisjunkttsioonide konjuktsiooni.
Hulgateooria alusmõisted:

Hulk on üksteisest erinevate objektide ehk hulga elementide kogum, mida vaadeldakse ühe tervikuna

Hulkade võrdsus: kahte hulka loeme võrdseks, kui nad koosnevad samadest elementidest. Elementide järjestus ega muud elementide omavahelised vahekorrad olulised ei ole.

Elemendi kuulumine hulka: kui element a kuulub hulka A, siis kirjutame a ∈ A, vastasel korral a ∉ A.

Tühi hulk ∅:hulk, milles pole ühtegi elementi
Põhilised arvuhulgad :

N –

Z – tä

Q –}

R – reaalarvude hulk

C –
Intervallid:

Lõ

Vahemik (a,b)= {x:x∈R, a

.DOC Laadi alla originaalfail 6 lk · .doc · 181 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 6 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2010-10-17 Kuupäev, millal dokument üles laeti

181 laadimist Kokku alla laetud

2 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

setroth Õppematerjali autor

Lausearvutus, hulgateooria ja mõned teoreemid

lausearvutus hulgateooria diskreetne matemaatika osavalem väärtustus samaselt tõene valem samaselt väär valem kehtestatav valem põhisamaväärsused järeldumine elementaarkonjuktsioon elementaardisjunktsioon arvuhulgad intervallid alamhulk ülemhulk hulkade ühisosa ühendi omadused

Sarnased õppematerjalid

docx

Matemaatiline maailmapilt

1. LOENG Sissejuhatus Lausearvutus: Teoreemid sõnastatakse tavaliselt kujul: ,,Kui A, siis B". Teoreemi osa A, mis on seotud sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks, ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks. Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null. Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lause: ,,Kui kolmnurga kül

Matemaatika

pdf

Matemaatiline maailmapilt suuline eksam

===SUULISE OSA KÜSIMUSED JA VASTUSED=== I. Lausearvutus 1. Mis on algmõiste? Nimeta vähemalt 3 algmõistet. Mõisted, mida kasutatakse teiste mõistete defineerimiseks. Algmõisteid ise ei defineerita. Näiteks tihti peetakse algmõisteteks: punkt, sirge, tasand, ruum, hulk, arv, suurus 2. Mis on definitsioon ja milliseid reegleid peab ta täitma? Definitsioon on mõistete määratlemine lihtsamate ja tuntumate mõistete kaudu. Definitsioon peab täitma järgnevaid reegled: 1. Definitsioon peab sisaldama ainult nii palju tunnuseid, et see täpselt määraks millega tegu 2. Mõistet ennast ei tohi mõiste defineerimisel kasutada 3. Definitsioon peab võimalusel olema jaatav 4. Peab olema selge ja arusaadav 3. Mis on aksioom? Nimeta vähemalt 3 aksioomi. Põhitõde, mida peetakse vaieldamatult õigeks. Aksioomid on näiteks: 1. Igale naturaalarvukle järgneb vahetult ainult üks naturaalarv 2. Kaht erinevat punkti läbib ainult üks sirge 3. Väljaspool

Matemaatiline maailmapilt

pdf

matemaatiline mp

Kategoriseerimata

docx

Diskreetse matemaatika elemendid

Diskreetse matemaatika elemendid 2013/2014 LAUSEARVUTUS. TÕESTUSED. 1. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused. [1] o Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. o Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. o Nende nõuete põhjal kuuluvad vaadeldavate hulka ainult nii sugused laused, mis midagi väidavad, kusjuures sellel väitel on olemas ühene tõeväärtus. o . Välistatud kolmanda seaduse nõudel jäävad kõrvale kõik küsilaused ja paljud hüüdlaused, samuti kõik käsud ning mõttetud sõnaühendid. Mitte-vasturääkivuse seadus välistab mitmesugused paradoksid, näiteks „See lause siin on väär“, ja muud taolised väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord. Lausearvutuse valem. [1] Tehted o Eitus (märk ¬)

Diskreetne matemaatika

docx

Diskreetse matemaatika elemendid, eksami konspekt

Lausearvutus 1) a. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused: a.i. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. a.ii. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. a.iii. Tehteid võib teostada ükskõik milliste lausetega. a.iv. Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2) a. Eitus (märk ¬). Lause mittekehtimine. b. Konjunktsioon (märk &) tähendab seost ,,ja". c. Disjunktsioon (märk ) väljendab seost ,,või". Siin on kasutusel mittevälistav ,,või". d. Implikatsioon (märk ) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni ,,kui ..., siis ...". e. Ekvivalents (märk ) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost ,,parajasti siis, kui". f. Tehete järjekord kõrgemast madalamani ¬, &, , , . g. Def.

Diskreetse matemaatika elemendid

pdf

SML kordamisküsimustele vastused.

SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE LOOGIKASSE Kordamisküsimused (orienteeruv) Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast. Oluline on, et igale lausearvutusele saaks vastavusse seada tõeväärtuse, mis kirjeldab lause tegelikkusele vastava määra. Eeldame, et käsitlevad laused rahuldavad järgmisi tingimusi: · Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär · Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lau

Sissejuhatus matemaatilisse loogikasse

docx

Graafid ja matemaatiline loogika eksamimaterjal

MATEMAATILINE LOOGIKA 1. LAUSEARVUTUS Lausearvutuse tehted: Eitus (¬) Konjuktsioon (&) Disjunktsioon (V) Implikatsioon (->) Ekvivalents (<->) Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: o iga lausemuutuja on lausearvutuse valem o kui F on lausearvutuse valem, siis ka ¬F on lausearvutuse valem o kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG), (F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid Lausearvutuse valemi F tõeväärtus etteantud väärtustusel leitakse järgmiste reeglite abil: o 1) Kui F = ¬G, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0 o 2) Kui F = G & H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1 o 3) Kui F = G H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 või H = 1 o 4) Kui F = G H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0 või H = 1 o 5) Kui F = G H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja

Algebra I

docx

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i. Reaalarvu a ümbruseks nim suvalist vahemikku (a-,a+), kus on

Matemaatiline analüüs

Rohkem sarnaseid