Jaotust tähistatakse L(müü,sigma,epsilon). Sõltumatute juhuslike suuruste korrutamine tekitab lognormaalsele jaotusele lähedase jaotuse. Jaotuse kirjeldamiseks kasutatakse kolme parameetriga mudelit, epsilon on nihkeparameeter, mis määrab juhusliku suuruse minimaalväärtuse. Juhuslikuks vektoriks nim vektorit, mille komponentideks on juhuslik suurus. Liigid: pidev ja diskreetne. Olulised aspektid: vektori komponentide arv, vektori komponentide vastastikune sõltuvus/sõltumatus, jaotusseadus. Diskreetse kahekomponendilise vektori jaotus antakse kahemõõtmelise jaotustabelina või valemina , mis iga väärtuspaari jaoks fikseerib selle tõenäosuse pij=P(X=xi,Y=yj). Seejuures X võimalike väärtuste diskreetne hulk ja Y võimaike väärtuste diskreetne hulk võivad sisaldada lõpliku või loenduva hulga väärtusi ning tõenäosuste kogumi jaoks peavad kehtima omadused pij>=0 ja summa(pij)=1(normeeritus).
muutuva struktuuri indeks, püsiva struktuuri indeks muutuva struktuuri indeks, struktuurinihete, püsiva struktuuri tinglik hind, struktuurinihete indeks tööviljakus fisheri indeks, laspeyres indeks, paasche indeks test 5 vastandsündmuse tõenäosus sõltumatud statistiline tõenäosus, klassikaline tõenäosus, täielik süsteem teoreetiline tõenäosus, tinglik tõenäosus välistavad juhuslik suurus, jaotusfunktsioon pidev juhuslik suurus, jaotusseadus, jaotusfunktsioon keskväärtus diskreetne juhuslik suurus, dispersioon, integraal, mediaan, ülemine rada 19. 15, binoomjaotus, parameetrid, parameeter Test 6 pidev, diskreetne, poissoni jaotus, jaotusseadus jaotusseadus, eksponentjaotus normaaljaotus, normaaljaotus normaaljaotus negatiivne väärtus poissoni jaotus Test 7 kogum, klastervalik, kihtvalik, lihtne juhuvalik, süstemaatiline valik tõenäosuslik valikumeetod, empiiriline valik
sündmuse toimumise arvu k, siis k/n on suhteline sagedus. Juhusliku sündmuse A võimalikkust iseloomustab arv, tähistatakse seda P(A) kuulub hulka[0,1]. Kui katsel on N võrdvõimalikku tulemust, siis sündmuse A klassikaline tõenäosus on P(A)=K/N, kus K on nende tulemuste arv, mille korral sündmus A toimus. Statistiline tõenäosus iseloomustab sündmuse A suhtelist sagedust ja võrdub suhtega h(A)/N, kus h(A) on sündmuse A toimumise arv N katsest. 20. Juhusliku suuruse jaotusseadus, Selle esitusviisid; tõenäosusfunktsioon, jaotusfunktsioon(integraalne jaotusseadus) tihedusfunktsioon(diferentsiaalne jaotusseadus) PILT! Juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab täielikult juhuslikku suurust tõenäosuslikult vaatekohalt. Jaotusseadus võimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga sündmuse tõenäosust. Jaotusseaduse põhikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku
Vastandsündmus A sündmusele A Sündmus A ei ilmne kui esineb sündmus A. Sündmus A on sõltumatu sündmusest B kui tema tingimuslik on võrdne mittetingimusliku tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis Summa: Sündmus C, mis ilmneb igal juhul kui ilmneb vähemalt üks sündmustest A või B. C = A B, Korrutis: On sündmus C, mis ilmneb juhul kui ilmnevad mõlemad sündmused A ja B. C = A B , A 4. Juhusliku suuruse mõiste X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused jaotuse tõenäosuste tihedus: f(x) = lim P(x X < x+x)/ x omadused: 1. f(x) 0 on positiivne arv. 2. 3. Eksisteerib kasvõi üks väärtus (x, x+x), millele kehtib P(x X < x+x) = F(x) = f()dx - ksii). 7. Binomiaalne jaotus 1. JS nimetatakse binomiaalselt jaotuvaks (ka Bernoulli jaotus) parameetritega n ja m, kui ta võtab võimalikud väärtused 0, 1, ...
Määramisviisid: A)klassikalised (kombinatoorne, geomeetriline, statistiline) B) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunkts väärtus..) Juh. Su suurus, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Liigid: diskreetne ( võimalike väärtuste hulk lõplik/loenduv, , tingimused: mittenegatiivsus, normeeritus) ja pidev (kontiinum) Jaotusseadus- määrab täielikult juh. Su. Omadused (2 kuju: jaotusfunktsioon ja jaotustihedus) Jaotusfunkts- def tõenäosusena, et juh. Su. Väärtus ei ületa funkts argumenti x. Tingimused: monotoonsus, normeeritud. Jaotustih- jaotusfunkts tuletis Arvkarakteristikud- jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaalid, millega opereerimine lihtsam (infokadu) Keskväärtus enimkasut, iseloom.juh.su. jaotuse keskkoha/tsentri asukohta
3. Mis on mudel füüsikas? Tooge kaks näidet kursusest. Mudel on keha või nähtuse kirjeldamise lihtsustatud vahend, mis on varustatud matemaatiliste võrranditega. Mudel võimaldab kirjeldada füüsikalise obiekti antud hetkel vajalikke omadusi tõsiteaduslikult. Näiteks: ainepunkt, absoluutselt elastne keha 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. 18. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. 38. Tõestage, et isoleeritud süsteemi koguenergia on jääv, lähtudes alljärgnevast süsteemi määratlusest. 65. Kasutades alljärgnevat joonist, tuletage harmooniliselt võnkuva keha võrrand so. liikumisvõrrand ja perioodi arvutamise valem. 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant.
Füüsika. Töö ja energia. Energia jaotusseadus: Energia ei teki ega kao, vaid muundub ühest liigist teise või kandubühelt kehalt teisele. Mehaaniline töö: Füüsikaline suurus, mis võrdub jõu ja selle jõu mõjul keha poolt läbitud teepikkuse korrutisega. A= Fs, tööühik on 1 J. Energia: Keha võime teha tööd. Füüsikaline suurus, mis näitab, kui palju tööd võib keha antud tingimustes teha. *Kineetiline energia: Liikuvad kehad omavad. Sõltub keha massist ja keha kiirusest. *Potentsaalne energia: Vastastikmõjus olevad kehad omavad seda. Mehaanilise energia jäävuse seadus: Energia ei teki, ega kao, vaid muundub ühest liigist teise. Võimsus: Füüsikaline suurus, mis võrdub tehtud töö ja ja selle tegemiseks kulunud aja jagatisega N=A/t Võimsuse ühik on 1 W. 1 W= 1J/1s Kang: Lihtmehhanism. On tasakaalus, kui kangile mõjuvad jõud on pöördvõrdelised jõu õlgadega. Jõu õlga mõõdetakse kangi toetuspunktist kun...
avastusi. 1885 sai ta Graz'i ülikooli presidendiks. Boltzmann koos Henriette von Aigentler'iga . Avastused ja saavutused · Boltzmann on üks molekulaarkineetilise teooria rajajaid. · Üks staatilise mehaanika pioneere. · Arendas edasi Maxwelli elektromagnetväljateooriat. · Tema auks on nimetatud Boltzmanni konstant. · Töötas välja Boltzmanni printsiibi. · Maxwell-Boltzmanni jaotusseadus. · Avastused termodünaamika vallas. Boltzmanni konstant on füüsikaline konstant, mis seob omavahel aineosakese energiat ja aine temperatuuri. Tunnustused · 1885. aastal valiti Boltzmann Austria Keiserliku Teaduste Akadeemia liikmeks. · Boltzmann valiti 1888. aastal Rootsi Kuningliku Teaduste Akadeemia välisliikmeks.
Otsustamine erinevates olukordades (kindlas olukorras, riski olukorras, määramatuse tingimustes). Otsustamist normatiivses olukorras on statistiline otsustamisteooria, operatsiooni- ja süsteemianalüüs, ratsionaalse isiku kontseptsioon, mänguteooria, koalitsioonide teooria jt. Otsustamine riski olukorras Riskist räägitakse siis, kui tuleviku oodatav muutuja väärtus on juhuslik suurus, mis allub teatud kindlale tõenäosusfunktsioonile. Juhusliku suuruse jaotusseadus mitmesugusel kujul kirjeldab täielikult juhuslikku suurust väärtuste esinemise võimalikkuse seisukohalt. Sageli pole eesmärgiks juhusliku suuruse üldiste seaduspärasuste tundmaõppimine, vaid tema üksikute aspektide esiletoomine. Selleks kasutatakse mitmesuguseid arvulisi parameetreid, mida nimetatakse juhuslike suuruste arvkarakteristikuteks. Üheks tähtsamaks juhusliku suuruse asendit kirjeldavaks karakteristikuks on keskväärtus ehk matemaatiline ootus.
2) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunktsiooni väärtus...) Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Juhusliku suuruse põhiliigid: 1) diskreetne juhuslik suurus, mille võimalike väärtuste arv on lõplik või loenduv 2) pidev juhuslik suurus, võimalik väärtuste hulk on kontiinum Juhusliku suuruse omadused määrab lõplikult ära jaotusseadus, mida saab esitada: 1) jaotustihedusena, mis def jaotusfunktsiooni tuletisena 2) jaotusfunktsioonina, mis def tõenäosusena Diskreetne juhuslik suurus Tingimused: mittenagtiivsus ja normeeritus Üldtingimused jaotusfunktsioonile: monotoonsus ja normeeritus Pidev juhuslik suurus Pidev juhuslik suurus võimalike väärtuste hulk on pidev (kontiinum), nt enamik mõõtmistulemusi inseneripraktikas. Jaotusfunktsioon F(x) ja jaotustihedus f(x) on omavahel
võimalikust väärtusest. Juhuslikud suurused on kas diskreetsed või pidevad. Diskreetne juhuslik suurus X
omandab katsel ühe oma võimalikest väärtustest x1, x2, x3, ..., xn, st toimub üks järgmistest sündmustest:
X=x1, X=x2, ..., X=xn. Need sündmused kokku moodustavad täieliku sündmuste süsteemi, milles
üksiksündmuste tõenäosused on: p1=p(X=x1) jne. Summaarne tõenäosus (p=1) mingil viisil jaotub
juhusliku suuruse erinevate väärtuste vahel. Lihtsaim jaotusseadus on jaotusrida või nn jaotustabel.
Jaotushulknurk (sageduse polügoon) on graafiline kujutis jaotustabelile. Kasutades sündmuse tõenäosuse
kaudse arvutamise võtteid, on tuletatud alljärgnev tõenäosuse jaotus. Tõenäosus, et n võimalikust
sündmusest toimub m sündmust.
F2(x1; x2; t1; t2) = P((X(t1)
protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 89. Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isobaarilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 90. Lähtudes joonisest, tuletage molekulaarkineetilise teooria põhivõrrand. 91. Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim kiirus. 92. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant. 94. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. 95. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. 96. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. 97. Mis on vabadusastmed ideaalse gaasi molekulidele rakendatuna? 98. Teades ühe vabadusastme kohta tulevat energiat, andke ideaalse gaasi siseenergia valem. 99. Milline on termodünaamika I seadus? Valem ja tähiste seletused. 100
.
Juhuslikuk suurus- suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtus
mingist võimalikust väärtuste hulgast.
Juhusliku suuruse põhiliigid:
diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv (nt variantide nr'id)
pidev juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on pidev (nt mõõtetulemused pidevalt skaalalt)
Juhusliku suuruse omadused määrab (täielikult) tema jaotusseadus:
jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhuslik suurus väärtus ei ületa funktsiooni argumenti x: F(x) = P (X
ühes või teises piirkonnas. Seepärast kasutatakse pidevate juhuslike suuruste puhul ka jaotusfunktsiooni tuletisfunktsiooni, mida nimetatakse jaotustiheduseks: dF ( x ) f ( x) . dx Jaotustihedus näitab jaotuse tihedust punkti x ümbruses. Jaotustiheduse graafikut nimetatakse jaotuskõveraks. Jaotuskõvera näide on esitatud joonisel 4.4. Juhusliku suuruse arvkarakteristikud Jaotusseadus iseloomustab juhuslikku suurust täielikult. Teades jaotusseadust võib määrata kõik ülejäänud juhusliku suuruse karakteristikud. Kuid paljude praktiliste ülesannete lahendamiseks ei ole vaja nii täiuslikku informatsiooni. Juhusliku suuruse osaliseks kirjeldamiseks on kasutusele võetud mitmeid jaotusseadust iseloomustavaid arvkarakteristikuid Keskväärtus (matemaatiline ootus) Juhusliku suuruse keskväärtus ehk matemaatiline ootus on juhusliku suuruse tähtsaim
(temperatuuri tõstmisel lahustuvus väheneb, rõhu tõstmisel lahustuvus kasvab) gaasid lahustuvad üldiselt orgaanilistes lahustites paremini kui vees Henry-Daltoni seadus gaasi lahustuvus on võrdeline tema osarõhuga lahuse kohal. Setsenovi seadus gaaside lahustuvus väheneb lahusele elektrolüüdi lisamisel (väljasoolamine). vedeliku segunemine jaotusseadus lahustunud aine jaotub kahe tasakaalus oleva vedeliku (lahusti) vahel kindlas suhtes polaarsed ained lahustuvad paremini polaarsetes ja mittepolaarsed polaarsetes, seetõttu K >> 1 või K << 1. lahustid polaarsemast mittepolaarsemani: vesi karboksüülhape (COOH) amiid (R-COHNH2) alkohol (OH) - amiin (R-NH2) aldehüüd/ketoon (R-CO-R) ester (R-COOR) alküülhaliid (R-hal) eeter (R-O-R)
P(H4)=1/16 genereeriva funktsiooni abil. Binoomjaotus P(S/H1)=1/6 P(S/H1)=3/36 P(S/H3)= 3/6*36 Eksamiküsimusi on viis. Tudeng teab neist kolme. P(S/H4)=1/36*36 Talle esitatakse kolm küsimust. Olgu X küsimuste arv, mida tudeng neist teab. Leidke suuruse X jaotusseadus, jaotusfunktsioon F(x) analüütiliselt ja graafiliselt, jaotustihedus f(x), karakteristlik funktsioon g(w), genereeriv funktsioon G(z), keskväärtus E(X) ja dispersioon D(X) ning tabamuste arvud esimesel ja teisel viskel. Leidke standardhälve. suuruste X1 ja X2 ning X genereerivad funktsioonid,
- m v m v =m v + p m v = -m v + p p = 2m v 91. Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim kiirus. mv 2 dn m 32 - 2 kT =( ) e 4v 2 n0 dv 2kT 92. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant. 94. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. d M = -D S t dx 95. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. 96. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. 97. Mis on vabadusastmed ideaalse gaasi molekulidele rakendatuna? Vabadusaste on keha sõltumatu liikumine. Sõltumatu siis teistest liikumistest. Näitab, mitme telje suunas keha saab liikuda. Molekuli vabadusaste ideaalses gaasis on 3.
lineaarsed. 2) Hargnevad (U235 reakts.). N(1): Cl2 + H2 2HCl = a) Cl2 + h Cl + Cl b) H2 + Cl HCl + H c) Cl2 + H HCl + Cl (kaks viimast korduvad) IV Temperatuuri môju reaktsiooni kiirusele. (eksponentsaalselt suureneb). van't Hoff'i reegel T tôstmisel 10o kasvab kiirus 2-4 korda. Valem: [vT2 = vT1 (T2-T1)/10]; = 3 *Et toimuks reaktsioon, peak kokkupôrke energia olema piisav sidemete nôrgendamiseks vôi purustamiseks. Arrheniuse vôrrand: [lnk=A-(Ea/RT)] Maxwell-Boltzmanni jaotusseadus: [N* = Ne-(Ea/RT)]; [lnN* = lnN-(Ea/RT)]; N üldarv; N* - aktiivsed osakesed. N* ~ k. [k = Be-(Ea/RT)] Reaktsioonienergiaskeem x-teljel reaktsiooni tee, y-teljel energia, tee keskel aktiivnevahekompleks (Ea, H, Ea'). Aktiivne vahekompleks ebapüsiv vaheolek, mille osakesed peavad läbima, et reaktsioon toimuks. V Katalüüs. (- reaktsiooni kiiruse muutmine katalüsaatori toimel). Katalüsaator aine, mis muudab reaktsiooni kiirust ning vabaneb reaktsiooni lôpus esialgsel
kontsentreeritud vasakul) või negatiivne või defineerimata. Sümmeetrilise jaotuse korral on asümmeetriakordaja 0 Ekstsess - liialdus; vahejuhtum. Stat järsakuskordaja, arv, mis kajastab juhusliku suuruse Xjaotuse erinevust normaaljaotusest. 16. Pidevad ja diskreetsed jaotused. Pidevad: 1) Normaaljaotus 2) X^2- jaotus 3) Empiiriline jaotus 4) Logaritmiline normaaljaotus 5) Gram-charlier normaaljaotus 6) Weibulli jaotusseadus 7) Eksponentjaotus 8) Gammajaotus 9) Beetajaotus 10) Studenti jaotus 11) F-jaotus Diskreetsed: 1) Binoomjaotus 2) Hüpergeomeetriline jaotus 3) Poissoni jaotus 4) Pascali jaotus 17. Mis on usaldusnivoo? Usaldusnivoo näitab tulemuse sattumise tõenäosust mingisse vahemikku. 18. Mis on usalduspiirid? usalduspiirid, usaldusvahemiku alumine ja ülemine otspunkt. Usalduspiirkond on valimi põhjal arvutatud piirkond, millesse
Lahutusvõime iseloomustab vahemiku N n N jaoks. 2. Signaalide parameetrid keskmine, k spektraalhinnangu võimet eraldada lähedalasuvaid dispersioon, jaotusseadus, korrelatsioon, sisendsignaal x(n). Märkus: AR mudeli korral peab joonspektriga. Võimsuse spektraaltihedus(vt. 2). i f olema täidetud b 0. sageduskomponente
Binoomjaotus Juhuslikku suurust X, mille võimalikeks väärtusteks on naturaalarvud 0,1,2... n ja mille vastavad tõenäosused arvutatakse Bernoulli valemiga, nim binoomjaotusega juhuslikeks suurusteks. Binoomjaot. keskväärtus EX=np , dispersioon DX=npq, standardhälve DX. Keskväärtus: Dispersioon: Poissoni jaotus Poissoni jaotus harva esinevate sündmuste jaotusseadus. Poissoni jaotust kasutame kui katseseeriate arv n st. n30 ja tõenäosus p5. m on antud arv. Poissoni jaotusega juhuslikuks suuruseks nimetame juhuslikku suurust, mille väärtuste hulgaks on täisarvud 0,1,2 .. ja m - P ( x = m) = e mille jaotus on määratud valemiga m! . Poissioni jaotusega juhuslikku suurust tähistame X~P().
Nt: hinna indeks või koguse indeks Mahuindeks – Hinnaindeks – Koondindeks – 5. Jaotusseadused Juhuslik suurus - suurus, mis katse tulemusel omandab juhuslikult ühe ja ainult ühe oma võimalikest väärtustest. Nt: Täringuviskel saadud silmade arv, loengut külastavate üliõpilaste arv Diskreetne suurus – väärtused on isoleeritud, erinevad üksteisest mingi lõpliku arvu võrra Pidev suurus - väärtused täidavad mingi vahemiku täielikult ära Jaotusseadus - Diskreetse juhusliku suuruse X jaotusseaduseks nimetatakse vastavust suuruse kõikvõimalike väärtuste xi ja nende tõenäosuste pi vahel. Jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhusliku suuruse X väärtus on väiksem-võrdne mingist reaalarvust x. Valem: F(x)=P(X<=x) Keskväärtus ehk oodatav väärtus - Kui juhusliku suuruse X väärtuse xi esinemise tõenäosus on pi , siis selle juhusliku suuruse keskväärtus ehk oodatav väärtus. Oodatav väärtus on otsustamisel kriteeriumiks
keskväärtusega, tuuleagregaadi aastakeskmine võimsus on aga võrdeline tuulekiiruse kuupkeskmise väärtusega. Seepärast on tuulegeneraatori aastakeskmine võimsus palju suurem kui nimitunnusjoone 6 põhjal leitud hetkvõimsus keskmise tuulekiiruse korral. Aastakeskmise võimsuse ning toodetava energia arvutamiseks peab olema teada tuulekiiruste jaotusseadus. Tuuleenergia tulevik Eestis Praegu on Eestis põlevkivienergia tunduvalt odavam kui tuule oma. Arvutuste järgi hakkab tuuleenergia end ära tasuma siis, kui elektri hind veel pisut tõuseb. Vello Selg TTÜ Soojustehnika Instituudist on veendunud, et tuuleenergia tasub end ära, kui tema toodangu hinnaks on 83...84 senti/kWh. Tuulefirmad on huvitatud, et nad saaksid 7 aastaga oma investeeringud tagasi. Praegu näitavad uuringud, et tasuvus on 10...14 aastat
n ruumalaühikus olevate gaasimolekulide arv 91. Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim kiirus. 92. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. Rõhk kõrgusel h + dh on p + dp. Rõhkude p ja dp vahe on võrdne ühikulise põhjapindalaga silindris kõrgusega dh sisalduva gaasi rõhuga. Rõhk langeb kõrgusega seda kiiremini, mida raskem on gaas ja mida madalam on temperatuur. 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant? n molekulide arv ruumalaühikus kõrgusel h, n0 nende arv maapinnal. Boltzmanni jaotusseadus näitab, kuidas paiknevad molekulid Maa raskusväljas kui ka igas potentsiaalses jõuväljas kõrguse järgi. 94. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. 97. Mis on vabadusastmed ideaalse gaasi molekulidele rakendatuna? Vabadusaste on keha sõltumatu liikumine. Sõltumatu siis teistest liikumistest. Vabadusastmete arv tähendab
2005 1. Tõenäosus ja tõenäosuse põhilised omadused. Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B) 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja mittesõltuvad sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis. C = F D> C =F D> F> 4. Juhuslik suurus X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused. Väärtus x ja tema tõenäosus p. F(x) juhuslikule suurusele X on tõenäosus, et X võtab väärtuse vähem kui antud arvul x. F(x) = P(Xx). P(x´ X x´´) = F(x´´) - F(x´); 0 F(x) 1; F(x1) F(x2) 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused. f(x) = lim P(xXx+x) / x; F(x) = f(x) dx x0 f(x) 0; f ( x ) dx 1 7. Binomiaalne jaotus.
Bayes'i valem. - Arvutame sündmuse Ai tingliku tõenäosuse eeldusel, et toimub sündmus B: 6. Juhuslik suurus, - Juhuslik suurus (JS) on suurus, mis omandab katsel mingi väärtuse. Enne katse toimumist on tundmata. Üldjuhul tähistatakse X. Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus, mille väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Praktiliselt vaatleme ainult selliseid DJS, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ... või alamhulk eelnevast. DJS jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse väärtused ja nende tõenäosused: pi=P(X=xi).( esitatud valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X). kus xi tähistab diskreetse juhusliku suuruse x väärtust ja p i selle tõenäosust. Keskväärtus on juhusest sõltumatu suurus, mis paikneb väikseima ja suurima väärtuse vahel dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2=
kus R(t) – koormuse temperatuurisõltuvuse norm (t) – normeeritud temperatuurisõltuvuskomponent. 6.Koormuse matemaatiline ootus ja ruuthälve Nii võib matemaatilist ootust E[P] lugeda koormuse pikaajaliseks prognoosiks, mis vastab temperatuuri normile. Kuna matemaatiline ootus on leitav mis tahes ajahetke, ka möödunud aja kohta, siis saab seda kasutada koormuse analüüsimisel. 7.Koormuse juhuslikud komponendid Koormuse juhuslikkust kirjeldavad ruuthälve ja jaotusseadus. Rakendustes võib vaja minna veel muidki suurusi ehk koormusnäitajaid, mis kirjeldavad koormust mitme vaatenurga alt. Juhusliku komponendi matemaatiline esitus arvestab koormushälvete järelmõju (autokorrelatsiooni), mis muuhulgas on oluline koormuse lühiajalise prognoosi leidmisel. Lisaks vaadeldakse koormuse suuri hälbeid kirjeldavat piikkomponenti. Aeg-ajalt esinevad suured hälbed, mis on eriti iseloomulikud jaotusvõrgu
3) Homogeenne 1. järku dif. vôrrand ( M(x;y)dx + N(x;y)dy = 0 ) tekib situatsioon y/x y tx ja y' t'x + x lahenda ja t' asenda dt/dx, lahenda ära, saab t, lôpuks asenda 4) 1. järku lineaarne dif. vôrrand: y' + p(x)y = q(x) a) u' + p(x)u = 0 (saab u); b) uv' = q(x) (saab v); y = uv y' = u'v + uv'. 40. Eksponentsiaalse kasvu seadus ja valem. 41. Juhuslik suurus, pidev ja diskreetne juhuslik suurus. Juhusliku suuruse jaotus (jaotusseadus). Juhuslik suurus (JS) suurus, mis antud tingimustes võib omandada ühe oma võimalikest väärtustest või väärtusvahemikest. Näiteks üliõpilaste arv loengul, puu diameeter, kilude protsent räimevõrgus jne. Diskreetne JS lõplik või loenduv hulk väärtusi (täringu silmade arv, mittearvulise tunnuse kodeerimistulemused jne.) Pidev JS iga kahe väärtuse vahel võime näidata veel ühe väärtuse (puu diameeter, väljapüütud kilu kaal jne.). JS
Lõpetamisel *antakse hinnang projekti tulemuslikkusele, *fikseeritakse tehtud vead, et mitmefaasiline.Teenindajate ar, neid tulevikus mitte korrata. Hinnatakse projekti *teostuse kvaliteeti, * 8.2. Ooteaja mudelid.Formuli Mudel A- ühe kanaliga süsteemis kirjeldab järjekorra efektiivsust(tootlkkus), *tulemuslikkust(finantsnäitajad). moodustamist Poissoni jaotusseadus, teenuste osutamise aega-eksponentfunktsioon.Seda 6.5 Ajagraafikute koostamine Loendi-ja lintdiagrammtehnikad Ajagraafik tüüpi mudelit iseloomustab, et 1)kliente teenindatakse saabumise järjekorras, 2)järjekorda konverteerib tegevused ajaliseks plaaniks, mis on projekti ohjamise aluseks ning koos saabutakse juhuslikult, 3)saabumist kirjeldab Poissoni jaotusseadus, 4)iga kliendi plaani ja eelarvega on projektide juhtimise peamine töövahend
on ühe molekuli mass 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi Igale temperatuurile vastab tõenäoseim kiirus Maxwelli jaotusseaduse maksimum. Leiame selle. Leiame enne universaalkonstant
Lahustumisentalpia (Hl) soojusefekt 1 mol aine lahustumisel (lõpmata suures hulgas lahustis, p = const.): Hl = H1 + H2 , H1 > 0 lahustumisel sidemete lõhkumiseks kuluv energia, H2 < 0 lahustiga seostumisel (solvaatumisel, hüdraatumisel) vabanev energia. 2. Erineva agregaatolekuga ainete lahustuvus vedelikes Tahkete ainete lahustuvus vedelikes: tahkete ainete lahustumisel enamasti Hl > 0, Sl < 0; temperatuuri tõstmisel tahkete ainete lahustuvus enamasti kasvab. Jaotusseadus lahustunud aine jaotub kahe tasakaalus oleva vedeliku (lahusti) vahel kindlas c1 suhtes: K= , c2 K jaotustegur; c1 ja c2 aine molaarsed kontsentratsioonid ühes ja teises lahustis. Gaaside lahustuvus vedelikes: gaaside lahustumisel Hl < 0, S < 0; temperatuuri tõstmisel gaaside lahustuvus väheneb.
lahustis, p = const.): ∆Hl = ∆H1 + ∆H2 , ∆H1 > 0 – lahustumisel sidemete lõhkumiseks kuluv energia, ∆H2 < 0 – lahustiga seostumisel (solvaatumisel, hüdraatumisel) vabanev energia. 2. Erineva agregaatolekuga ainete lahustuvus vedelikes Tahkete ainete lahustuvus vedelikes: tahkete ainete lahustumisel enamasti ∆Hl > 0, ∆Sl < 0; temperatuuri tõstmisel tahkete ainete lahustuvus enamasti kasvab. Jaotusseadus – lahustunud aine jaotub kahe tasakaalus oleva vedeliku (lahusti) vahel kindlas c1 suhtes: K= , c2 K – jaotustegur; c1 ja c2 – aine molaarsed kontsentratsioonid ühes ja teises lahustis. Gaaside lahustuvus vedelikes: gaaside lahustumisel ∆Hl < 0, ∆S < 0; temperatuuri tõstmisel gaaside lahustuvus väheneb.
protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 89. Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isobaarilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 90. Lähtudes joonisest, tuletage molekulaarkineetilise teoooria põhivõrrand. 91. Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim kiirus. 92. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant. 94. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. See on Fick'i seadus. D on difusioonikoefitsient. D on võrdne massiga, mis kantakse üle ajaühikus läbi ühikulise pinna ühikulise tiheduse gradiendi korral gradientvektori sihis. Massikradient Läbi pinnaelemendi S, pinnanormaali sihis tiheduse muutuse korral kantakse üle massimuutus M aja t jooksul. 95. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. Soojusjuhtivus
Juhuslikud suurused liigitatakse diskreetseteks ja pidevateks. Diskreetne juhuslik suurus võib katse või vaatluse tulemusena omandada lõpliku või loenduva hulga väärtusi. Näiteks: üliõpilaste arv auditooriumis, täringu viskel saadud silmade arv jne. Pidev juhuslik suurus omandab mistahes väärtusi mingist lõplikust või loenduvast vahemikust. Näiteks: mistahes seadme tööiga, auto kütusekulu 100 km. 2.2 Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduseks nimetatakse vastavust tema kõigi võimalike väärtuste x1, x2, …,xn ja nende tõenäosuste p1,p2, …,pn vahel. Jaotusseadust on võimalik esitada kas tabeli kujul jaotusreana X x1 x2 …. xn p p1 p2 …. pn Või graafiliselt jaotuspolügoonina n
L=*W , kus L keskmine aktiivsete klientide arv süsteemis, klientide saabumise keskmine sagedus, W keskmine teeninduskestus. Teoreem järeldab, et: järjekorra keskmine pikkus on võrdeline kõnealgatusnõuete sageduse ja keskmise ooteaja korrutisega. ühendatud sideliikluse intensiivsus võrdub kõnealgatusnõuete sageduse ja kõne keskmise kestuse korrutisega. 15. Poissoni protsess ja jaotusseadus; Poissoni protsessi omadused. Poissoni protsess juhuslik protsess, mille sündmuste arvu esinemise tõenäosus fikseeritud ajaintervalli kestel allub Poissoni jaotusseadusele. t i t p i ,t = e , i ! kus p tõenäosus, et ajaintervalli t kestel esineb i sündmust. Poissoni protsessi omadused:
parameetrile pühendatakse täiendavat tähelepanu ja täpsustatakse tema suurust · Leppemeetod ning projekti hindamine toimub mitmete arvutuste tulemusena · Normatiivne 4 Tõenäosuslik analüüs (ka riski analüüs). Kasutatakse, kui on teada Kõige levinumaks meetodiks elektri hinna määramisel on KULUKESKNE MEETOD. tõenäosuslik info (jaotusseadus või tõenäosuslikud näitajad) parameetri(te)kohta. Leitakse selle info Põhimõtted on lihtsad, praktikas muutuvad keerukaks. alusel majandusliku hinnangu tõenäosuslik jaotus ja Meetodid: hinnatakse variandiga seotud riski. · keskmiste kulude meetod, ATC (average total costs)
h dh p dp p V m R T m p V R T 88) Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant. 89) Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. See on Fick’i seadus. D on difusioonikoefitsient. D on võrdne massiga, mis kantakse üle ajaühikus läbi ühikulise pinna ühikulise tiheduse gradiendi korral gradientvektori sihis. Massigradient. Läbi pinnaelemendi ΔS, pinnanormaali sihis tiheduse muutuse korral kantakse üle massimuutus ΔM aja Δt jooksul. 90) Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised.
külmumistemperatuuri languseks: . Osmoos on nähtus, kus solvent tungib läbi poolläbilaskva membraani kontsentreeritumasse lahusesse, kusjuures lahusti liigub madalama kontsentratsiooniga lahusest (vee puhul kõrgem veepotentsiaal) lahusesse, kus on kõrgem lahustunud aine kontsentratsioon (vee puhul madalam veepotentsiaal). Pöördosmoos on nähtus, kus lahust liigub läbi poolläbilaskva membraani lahustunud aine väiksema kontsentratsiooni suunas. 6. Jaotusseadus. Destillatsioon, ekstraktsioon ja kromatograafia. Jaotusseadus : lahustunud aine kontsentratsioonide suhe kahes tasakaalus olevas lahuses on püsiv suurus. Kromatograafia on üldmõiste mitmesuguste laboratoorsete füüsikalis-keemiliste meetodite kohta, mida kasutatakse uuritavate ainete segu komponentide lahutamiseks paljude sorptsiooni ja desorptsiooni tingimustes. Ekstraktsioon on meetod lahustunud ainete segude lahutamiseks. Lahust segatakse temas mittelahustuva teise solvendiga
lauge impulss frondi kestus: tf = 250 s impulsi kestus e. poolväärtusaeg: timp = 2500 s Volt-sekund karakteristikuks nimetatakse keskmise lahendusaja sõltuvust rakendatud pingeimpulsi amplituudist Karakteristiku katseliseks määramiseks kasutatakse impulsspinge generaatorit (IPG) Katseid alustatakse väiksemast lahenduspingest. Igal pingel tehakse suur hulk katseid ja leitakse keskmine lahendusaeg (soovi korral ka hajuvus ning jaotusseadus) Joonis 2.20 Volt-sekund karakteristik erinevate elektroodide korral Impulsitegur: , kus: Uimp on läbilööki põhjustanud impulsi suurim pinge (Umax) U50 Hz on võrgusageduslik läbilöögipinge 21. Õhu elektriline tugevus impulsspingel Õhu elektriline tugevus sõltub eelkõige välja kujust: · ühtlases väljas (Rogowsky elektroodid) o keskmiselt 30 kV/cm o kui s = 1 mm, siis 45 kV/cm o kui s = 1 m, siis 24 kV/cm · tugevalt mitteühtlases väljas
võimalikest väärtustest (varem mitte teadaolev).
Def: JS nimetame diskreetseks juhuslikuks suuruseks, kui tema väärtuste hulk on lõplik
või loenduv.
Juhuslikku suurust iseloomustab tema väärtuste hulk ja iga väärtuse tõenäosus.
Jaotustabel on iseloomustav
X 1 3 4 7 9
P(xi) p1 P3 p4 p7 p9
Def: Juhusliku suuruse tõenäosusfunktsioon (jaotusseadus) on eeskiri, mis seob
juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja nende tõenäosused pi=P(X=xi).
Tõenäosusfunktsiooni võib esitada valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna.
Def: Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks nimetame funktsiooni, mis seab väärtusele
x vastavusse tõenäosuse, et X
Temperatuuri tõstmisel vastastikune lahustuvus tavaliselt kasvab, kuni muutub piiramatuks. Kui lahustada mingit ainet süsteemis, mis koosneb kahest mittesegunevast vedelikust (nt. vesieeter), on selle aine jaotumine vedelike vahel määratud jaotusseadusega: lahustunud aine kontsentratsioonide suhe kahes tasakaalus olevas lahuses on antud temperatuuril püsiv suurus, mis ei sõltu lahustunud aine üldhulgast. Matemaatiliselt väljendub jaotusseadus: c1 K , (7) c2 kus c1 ja c2 on lahustunud aine kontsentratsioonid kummaski vedelikukihis, K jaotustegur. Mittelenduva aine lahuse küllastunud auru rõhk on alati madalam kui puhta lahusti küllastunud auru rõhk samal temperatuuril. Vastavalt Raoult'i seadusele on
võrrand on: Termodünaamika esimesest seadusest: Adiabaatilisel paisumisel langeb rõhk kiiremini kui isotermilisel, kuna rõhku alandavad kaks tegurit(temp langemine ja ruumala suurenemine), mitte üks. F) Maxwelli kiiruste jaotus Gaasi molekulide kiirustel on kõik suunad võrdväärselt esindatud. Sama ei kehti aga kiiruse suuruse kohta. Ühtesid kiirusi esineb rohkem, teisi vähem. Täpsemalt näitab seda kiiruste jaotusseadus. Selle tuletas teoreetiliselt šoti füüsik ja matemaatik James Maxwell G) Molekulide efektiivne diameeter, keskmine vaba tee pikkus ja keskmine põrgete arv ajaühikus Oma korrapäratul liikumisel põrkuvad molekulid tihti üksteisega. Seejuures lähenevad nad teineteisele teatud minimaalse kauguseni. Seda kaugust � nimetataksegi molekuli efektiivseks diameetriks Kahe järjestikuse põrke vahel molekul läbib mingi teepikkuse, mida nimetatakse
Kui lahustunud aine on mittelenduv, siis tõstab selle lisamine keemistemperatuuri. Osmoos – nähtus, kus solvent tungib läbi poolläbilaskva membraani kontsentreeritumasse lahusesse. Membraan laseb läbi vaid osasid molekule. Pöördosmoos – kui rakendatakse suuremat rõhku kui osmootne rõhk, madalamalt kontsentratsioonilt kõrgemale liikumine, liikumine puhtasse lahustisse. Kasutatakse joogivee tootmisel mereveest. 42. Jaotusseadus. Destillatsioon, ekstraktsioon ja kromatograafia. Psum=PA+PB aurufaas rikkam lenduvama komponendi osas = fakti saab kasutada puhastamiseks. Destilleerimine – segu keemine temperatuuril, kus tema aururõhk saab võrdseks välisrõhuga. Kasutatakse puhastamiseks. Solventekstraktsioon – meetod lahustunud ainete segude lahutamiseks, lahust segatakse teise, temas mittelahustuva solvendiga. Lahustunud ained jaotuvad kahe
44. Lähtudes joonisest, tuletage molekulaarkineetilise teoooria põhivõrrand. 45. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. 46. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant. 47. Mis on vabadusastmed ideaalse gaasi molekulidele rakendatuna? Vabadusaste on keha sõltumatu liikumine. Sõltumatu siis teistest liikumistest. Näitab, mitme telje suunas keha saab liikuda. Molekuli vabadusaste ideaalses gaasis on 3. 48
S m v p -m v m v =m v + p m v = -m v + p p = 2m v 45. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. 46. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant. 47. Mis on vabadusastmed ideaalse gaasi molekulidele rakendatuna? Vabadusaste on keha sõltumatu liikumine. Sõltumatu siis teistest liikumistest. Näitab, mitme telje suunas keha saab liikuda. Molekuli vabadusaste ideaalses gaasis on 3. 1 Wi = kT 2 48. Teades ühe vabadusastme kohta tulevat energiat, andke ideaalse gaasi siseenergia valem. 49. Milline on termodünaamika I seadus
Henry tegur oleneb gaasist ja temp. kõrgetel rõhkudel lahustub vedelikus rohkem gaasi ja rõhu kiirel vähendamisel eraldub osa gaasi mullikestena. Gaaside lahustumine on eksotermiline ja väheneb temp. tõustes. NT. eralduvad vee soojenemisel mullid keedupoti seintel. Gaaside lahustuvus väheneb kui vees on lahustunud soolasid. Nt. kui 1 cm3 gaasist kloori, siis samas koguses küllastunud NaCl soollahuses lahustub vaid 0,3 cm3 soola. 6.5 Vedelike ja tahkete ainete lahustumine vedelikes. Jaotusseadus sarnaste omadustega vedelikud lahustuvad teineteises igas vahekorras (H2O, C2H5OH). Kui vedelikud lahustuvad teineteises piiratult, saadakse kahekihiline lahus. Nt. annavad vesi ja dietüüleeter kahe kihilise süsteemi. Antud temperatuuril on mõlemad lahused küllastunud. Tavaliselt suureneb temp
kui sündmused A ja B on teineteist välistavad. 12.On antud pideva juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni kaks väärtust: F(5)=0,4 ja F(6)=0,7. Pane kirja järgmised tõenäosused: p(x < 5)= 0,6 p(x > 5)= 0,6 p(x > 6)= 0,3 p(5 < x < 6)= 0,18 p(- < x < )= 1 13.Binoomjaotuse määravad ära järgmised parameetrid: positiivse sündmuse tõenäosus, katsete arv. Jaotusseadused - Test 6 1. Milline jaotusseadus kirjeldab diskreetset juhuslikku suurust, milline pidevat? a. binoomjaotus diskreetne b. eksponentsiaalne jaotus pidev c. normaaljaotus pidev d. Poissoni jaotus diskreetne 2. Vaatlusandmete põhjal leitud tõenäosus, et juhuslikult valitud tööealine inimene on parajasti töötu, on 9%. Tuleb leida tõenäosus, et juhuslikult valitud 50 inimese hulgas on töötuid vähem kui 5. Millist jaotusseadust tuleb kasutada
92. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. Olgu ja rõhk kõrgusel . Siit: ( ) ( ) Kuna ( ), võib elimineerida tiheduse: Eraldame muutujad ja : Kui , siis : 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Elimineerige ka gaasi universaalkonstant. Selle põhjal: kus on kontsentratsioon kõrgusel ja on kontsentratsioon kõrgusel 0. Vaatame eksponenti: ( ) 94. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. See on Fick'i seadus. Läbi pinnaelemendi , pinnanormaali sihis tiheduse muutuse korral, kantakse üle massimuutus aja jooksul
Gaasimolekuli ruutkeskmine kiirus (kiiruste ruutude keskmistamisel saadud kiiruse väärtus) avaldub kujul vr = (3 kT/m0)1/2 = (3 RT/M)1/2 , kus m0 on ühe gaasimolekuli mass ja M molaarmass. Üldisemal juhul Ek = (i/2) k T , kus i on gaasimolekuli vabadusastmete arv. Boltzmanni konstant k on universaalse gaasikonstandi ja Avogadro arvu suhe (gaasikonstant ideaalgaasi ühe molekuli kohta) k = R / NA . k = 1,38 . 10-23 J/K . Jaotusseadus näitab, millise tõenäosusega saavad teoks võrreldavad tõenäosuslikud sündmused. Maxwelli kiirusjaotus f(v) = dn / (n dv) näitab, kui suur osa (dn) kõigist ruumalaühikus sisalduvatest gaasimolekulidest (n) liigub kiirusega, mille väärtus jääb v ja v + dv vahele. Reaalgaas erineb ideaalgaasist selle poolest, et tema molekulidel on mõõtmed olemas ja molekulide vahel mõjuvad jõud. Reaalgaasi olekut kirjeldab van der Waalsi võrrand: (p + z a2/ V2) (V - z b) = z R T.
Gaasimolekuli ruutkeskmine kiirus (kiiruste ruutude keskmistamisel saadud kiiruse väärtus) avaldub kujul vr = (3 kT/m0)1/2 = (3 RT/M)1/2 , kus m0 on ühe gaasimolekuli mass ja M molaarmass. Üldisemal juhul Ek = (i/2) k T , kus i on gaasimolekuli vabadusastmete arv. Boltzmanni konstant k on universaalse gaasikonstandi ja Avogadro arvu suhe (gaasikonstant ideaalgaasi ühe molekuli kohta) k = R / NA . k = 1,38 . 10-23 J/K . Jaotusseadus näitab, millise tõenäosusega saavad teoks võrreldavad tõenäosuslikud sündmused. Maxwelli kiirusjaotus f(v) = dn / (n dv) näitab, kui suur osa (dn) kõigist ruumalaühikus sisalduvatest gaasimolekulidest (n) liigub kiirusega, mille väärtus jääb v ja v + dv vahele. Reaalgaas erineb ideaalgaasist selle poolest, et tema molekulidel on mõõtmed olemas ja molekulide vahel mõjuvad jõud. Reaalgaasi olekut kirjeldab van der Waalsi võrrand: (p + z a2/ V2) (V - z b) = z R T.
annaabi.ee 
