Tallinna Tehnika Ülikool Keemiatehnika instituut Reaktsiooni protsessid II "Viibimisaja jaotusfunktsiooni määramine" Üliõpilased: Õppejõud: Inna Kamenev Esitatud: 14.12.2005 Tallinn 2005 3. Katsemetoodika Katse E(t)-funktsiooni määramiseks viiakse läbi torureaktoris, mille sisendavas (ülemises) asub seadis, mis võimaldab impulss-iseloomuga trassiiri sisseviimist. Trassiiriks kasutatakse KOH -lahust
.., An, siis küsime tõenäosust, et
toimus i-s sündmus A1. Bayesi valem. P(Ai/B)=(P(Ai)P(B/Ai))/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2,...,n Tõestus!!!
P(AiB)=P(B)P(Ai/B). Fikseerime i ja leiame P(Ai/B)=P(AiB)/P(B)= P(Ai)P(B/Ai)/( P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An).
Erijuhul, kui n=2 saame P(Ai/B)= P(AiB)/P(B)=P(Ai)P(B/Ai)/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2.
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R maaratud funktsiooni F(x)=P(X
Järgnevalt on antud allalaadimiskiirus Telia võrgus fikseeritud mõõtepunktides (Mbit/s) Rühmitada andmed klassidesse ja arvutada jaotusfunktsiooni väärtused. Tõlgendada jaotusfunktsiooni neljandat väärtust. Allalaadimiskiirus (Mbit/s) Valimi maht 1.9 Väiksem tulemus 3.9 Suurim tulemus 4.5 Klasside arv 5 Klasside laius 5.6 6.3
Leida p.1 hinnangud nende alusel h=(99-0)/7=14,14=>14 Keskväärtus: Xk=3247/60=54,12 Dispersioon: Dx= 645,69 Standardhälve: S=Dx= 25,41 Scor= 25,62 5. Kontrollida X2-testi jargi hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on normaaljaotus kasutades punktis 4 leitud grupeeritud valimit ja võttes olulisuse niivoks a=0,05. Tabel 3 normaaljaotus järgi ; ; EMP=65,99 KR=12,59 Hüpotees ei kehti, kuna peab olema: EMP KR Tabel 4 jaotusfunktsiooni normaaljaotus: 6. Konstrueerida samas teljestikus graafikud 6.1 Empiirilise jaotuse histogramm punktis 4 grupeeritud valimile 6.2 Hupoteetilise normaaljaotuse gistogramm kooskolas punktiga 5 6.3 Hupoteetilise normaaljaotuse tihendusfunktsiooni f(x) graafik 6.4 Hupoteetilise ristkulikjaotuse tihedusfunktsiooni f(x) graafik 7. Konstrueerida samas teljestikus graafikud 7.1 Empiirilise jaotusfunktsiooni F(x) graafik 7
vahemik tõenäosus 20 0,16 40 0,16 60 0,32 80 0,08 100 0,28 5. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 5.1 empiirilise jaotuse histogrammi graafik 5.2 hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 6. Konstrueerida (samas teljestikus) järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0.10, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0.238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,13 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)]
väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks Poissoni jaotus-Diskreetse juhusliku suuruse X esinemise tõenäosus ajaühikus on Poissoni jaotuse järgi. Normaaljaotus-Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda kirjeldavad kaks parameetrit µ ja s 2. Tähistatakse N(µ, s 2). Tihedusfunktsioon-Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks,tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: 1) Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0. 2) Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega. Ühtlane jaotus-Pidev juhuslik suurus on ühtlase jaotusega, kui selle juhusliku suuruse võimalikud väärtused on mingis lõplikus vahemikus ja juhusliku suuruse jaotustihedus on konstantne
5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil?
Empiirilise jaotuse histogrammi graafik Normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. Eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik Ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik Kõik jaotustiheduse ja empiirilise esinemissageduse graafikud ühes teljestikus 6. Küsimus Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: a. Empiirilise jaotusfunktsiooni graafik b. Ühtlase jaotusfunktsiooni graafik parameetritega a=0 ja b=100 Empiiriline jaotusfunktsioon on teoreetilise jaotusfunktsiooni nihutamata ja mõjus hinnang. See on trepina kasvav funktsioon, astme kõrgus on . 7. Küsimus Kontrollida Kolmogorovi- Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a=0, b=100 ühtlane jaotus (eelmisel joonisel punasega). (=0,10; seega testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238)
Töös leitud esmasteks statistikuteks on vaatluste arv ehk sageduste summa 63, miinimum 4,05 cm, maksimum 14,55 cm, haare 10,5 cm, klasside arv 6, orienteeruv klassi intervall 1,75 cm (haare/klasside arv), tegelik samm 1,8 cm. 5. Jaotushistogramm, jaotusfunktsioon Jaotusfunktsioon kohal x on tõenäosus, et juhuslik suurus on väiksem sellest väärtusest x (Kiviste K 2011d). Koostan diameetri jaotushistogrammi (joonis 1.) ja empiirilise jaotusfunktsiooni (joonis 2). Selleks arvutan rühmitatud andmeil suhtelised sagedused pi=ni/N ja jaotusfunktsiooni F(x) väärtused (need saadakse osakaalude pi tõusva summeerimise teel). Histogrammil kasutasin x- teljel klassi keskmised, jaotusfunktsioonil klassi ülemisi piire. 7 Joonis 1. Diameetri jaotushistogramm Joonis 2. Diameetri jaotusfunktsioon 6. Kvantiil, täiendkvantiil
struktuuri indeks 1,07 ja struktuurinihete indeks 0,97. Milline järgmistest väidest on õige? Vali üks vastus. a. Tööviljakuse suurenemise tõttu suurenes keskmine tööviljakus 7% b. Tööviljakuse suurenemise tõttu suurenes keskmine tööviljakus 3,8% c. Tööviljakuse vähenemise tõttu vähenes keskmine tööviljakus 3% Vale Selle esituse hinded: 0/1. Question 8 Hinded: 1 Jaotustihedus on Vali üks vastus. a. integraal jaotusfunktsioonist b. jaotusfunktsiooni kõvera alla jääv pindala c. jaotusfunktsiooni tuletis Õige Selle esituse hinded: 1/1. Question 9 Hinded: 1 Kui variatsioonreas esinevad väikesed ekstremaalsed väärtused, siis Vali üks vastus. a. mood < mediaan < aritmeetiline keskmine b. aritmeetiline keskmine < mediaan < mood c. mood < aritmeetiline keskmine < mediaan Vale Selle esituse hinded: 0/1. Question 10 Hinded: 1 Erinevates ühikutes mõõdetud tunnuste varieerumist saab võrrelda, Vali üks vastus.
struktuuri indeks 1,07 ja struktuurinihete indeks 0,97. Milline järgmistest väidest on õige? Vali üks vastus. a. Tööviljakuse suurenemise tõttu suurenes keskmine tööviljakus 7% b. Tööviljakuse suurenemise tõttu suurenes keskmine tööviljakus 3,8% c. Tööviljakuse vähenemise tõttu vähenes keskmine tööviljakus 3% Vale Selle esituse hinded: 0/1. Question 8 Hinded: 1 Jaotustihedus on Vali üks vastus. a. integraal jaotusfunktsioonist b. jaotusfunktsiooni kõvera alla jääv pindala c. jaotusfunktsiooni tuletis Õige Selle esituse hinded: 1/1. Question 9 Hinded: 1 Kui variatsioonreas esinevad väikesed ekstremaalsed väärtused, siis Vali üks vastus. a. mood < mediaan < aritmeetiline keskmine b. aritmeetiline keskmine < mediaan < mood c. mood < aritmeetiline keskmine < mediaan Vale Selle esituse hinded: 0/1. Question 10 Hinded: 1 Erinevates ühikutes mõõdetud tunnuste varieerumist saab võrrelda,
5.2 Hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.4 hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. Kõik koos: 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238. Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus:
arv, kes ootavad teenindamist, kaubasaadetises esinevad vigade arv. Ühtlase jaotuse keskväärtus EX = (a + b)/2 s.o. keskväärtus on juhusliku suuruse võimalike väärtuste lõigu [a, b] keskpunkt. Dispersioon on DX = (b - a)2/12. Normaaljaotuse keskväärtus EX = µ ja dispersioon on s2. 16. Pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsioon. Pideva juhusliku suuruse korral on võimalik leida jaotusfunktsioonist tuletis. Jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks. Tihedusfunktsiooni tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0.; Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega. Tihedusfunktsioon kannab endaga kaasas kõikvõimalike intervallide tõenäosusi, intervalli (a, b) tõenäosus on võrdne pindalaga, mis jääb tihedusfunktsiooni alla selle intervalli kohale
40-60 60 5 0,2 6 4 5 0,0111 0,0059 0,01 60-80 80 2 0,08 5 2 5 0,0071 0,0038 0,01 80-100 10 6 0,24 4 2 5 0,0031 0,0025 0,01 0 Keili Kajava 5.1 5.2 5.3 5.4 Kõik tihedused ja histogrammi jaotused ühes teljestikus 6. Empiirilise jaotusfunktsiooni graafik ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik Keili Kajava 7. Ühtlase ja empiirilise graafiku maksimaalne erinevus: (saab ka graafikult vaadata) Hüpotees vastu võetud, sest (0,2 < 0,238). Seega üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. ir 1 2 3 4 5 1.-5. 39 2 8 80 88 43,4 1578,8 6.-10
kokku 25 23 25 5.1 Empiirilise jaotuse histogramm graafik 5.2 hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. Kõik ühel graafikul 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega (a = 0, b = 100) ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,17 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)]
kokku 25 23 25 5.1 Empiirilise jaotuse histogramm graafik 5.2 hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. Kõik ühel graafikul 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega (a = 0, b = 100) ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,17 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)]
Punkthinnangud Matemaatilise statistika ülesanne Matemaatiline statistika on teadus, mis käsitleb katse- või vaatlusandmete kogumise, klassifitseerimise ja oluliste karakteristikute hindamise meetodeid. Matemaatiline statistika ülesanded: 1. Juhusliku suuruse X mõõtmise käigus on saadud sõltumatud tulemused x1, x2, ... , xn. Nende tulemuste põhjal tuleb hinnata selle juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni F(x). 2. Jaotuse parameetrite hindamine: Valimi põhjal tuleb otsustada, millised on üldkogumi jaotust iseloomustava jaotusfunktsiooni parameetrid. Näiteks normaaljaotuse korral tuleb hinnata keskväärtust ja standardhälvet (dispersiooni). 3. Statistiliste hüpoteeside kontrollimine Tunnused Katsel jälgitakse tavaliselt juhuslikke suurusi , mis väljendavad uuritava nähtuse omadusi ning avalduvad reeglina mõõtmis- või vaatlustulemustena
Empiirilise jaotuse histogrammi graafik Normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. Eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik Ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik Kõik jaotustiheduse ja empiirilise esinemissageduse graafikud ühes teljestikus 6. Konstrueerin samas teljestikus järgmised graafikud: a. Empiirilise jaotusfunktsiooni graafik b. Ühtlase jaotusfunktsiooni graafik parameetritega a=0 ja b=100 Empiiriline jaotusfunktsioon on teoreetilise jaotusfunktsiooni nihutamata ja mõjus hinnang. See on trepina kasvav funktsioon, astme kõrgus on . 7. Kontrollin Kolmogorovi- Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a=0, b=100 ühtlane jaotus (eelmisel joonisel punasega). (=0,10; seega testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238)
5.3 Hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik: 5.4 Hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik: Xxxxx xxxxx xxxx 6. Konstrueerin samas teljestikus: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafiku 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafiku 7. Kontrollin Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võtan olulisuse nivoo = 0,10; st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus:
0 0,00000 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 6 Arvutusgraafiline töö | Mihkel Heinmaa | 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 1 0,95 0,9 Empiiriline ja ühtlane jaotusfunktsioon 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 Emp 0,45 Ühtl 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0
9167 3 7 Standardhä29.46043 4 10 Mediaan 46 5 15 Haare 99 6 28 7 29 8 30 9 31 10 32 11 32 12 42 13 46 14 47 15 47 16 48 17 53 18 68 19 70 20 75 21 75 22 79 23 94 24 96 25 99 5.3) 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 10) i xi yi x-xkesk y-ykesk (x-xkesk)2 1 4.3 4.6 1.22 1.44 1.4884 2 2.8 0.7 -0.28 -2.46 0.0784 3 2.2 0.4 -0
5.2. Hüpoteesile 4.1. vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3. Hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.4. Hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik Kõik ühel graafikul 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,13 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)]
1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.4 hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. Kõik jaotustiheduse ja empiirilise esinemissageduse graafikud ühes teljestikus 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega (a = 0, b = 100) ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN0,2 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)]
4 0,01000 f(norm) 3 f(eksp) 2 0,00500 f(ühtl) 1 0 0,00000 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 6. Empiirilise jaotusfunktsiooni graafik ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Emp Ühtl 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 9 Keili Kajava 7.
Jaotushulknurk (sageduse polügoon) on graafiline kujutis jaotustabelile. Kasutades sündmuse tõenäosuse
kaudse arvutamise võtteid, on tuletatud alljärgnev tõenäosuse jaotus. Tõenäosus, et n võimalikust
sündmusest toimub m sündmust.
F2(x1; x2; t1; t2) = P((X(t1)
5.1 Empiirilise jaotuse histogramm graafik 5.2 hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. Kõik ühes graafik . Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku D N kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238. Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: (graafikult, aga ka arvutades)
2 40 4 5,0725 5,3773 5 0,01326 0,00886 0,01 3 60 8 7,2550 3,6933 5 0,01454 0,00609 0,01 4 80 2 6,1275 2,5367 5 0,00904 0,00418 0,01 5 100 7 2,9250 1,7423 5 0,00319 0,00287 0,01 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega (a = 0, b = 100) ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,1 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)]
5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Mis on juhuslik suurus? Juhuslikuks suurust nimetatakse, mis sõltub juhuslikest sündmustest ja mille väärtust pole seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Juhusliku suuruse X p-kvantiiliks (ingl. k. percentile) nimetatakse niisugust väärtust p, mille korral Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon juhusliku suuruse tõenäosuse tihedus, mis avaldub jaotusfunktsiooni tuletisena. 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine
Leida tõenäosus, et kauplus sai rohkem kui kaks katkist pudelit. n=1000 p=0,003 lambda= 3 0 0,049787068 P(a) 0,42319 1 0,149361205 2 0,224041808 summa: 0,423190081 4. (5) Rahakotis on 6 münti, 2 20-sendilist ja 4 50-sendilist. Juhuslikult võeti kolm münti. Saadus raha juhuslik suurus. Leida selle keskväärtus ja dispersioon ning joonistada jaotusfunktsiooni graafik. Graa märkida ära oluliste punktide väärtused. 5. (3) Teatud automudeli läbisõit allub normaaljaotusele keskväärtusega 180000 km ja standardhälbe tõenäosus, et: a) ostetud auto läbisõit on piirides 160000 km kuni 220000km. b) ostetud auto sõidab läbi rohkem kui 250000km. c) ostetud auto ei sõida läbi rohkem kui 100000km. a) keskv. 180000 sigma 35000 x F(x) 220000 0,873451 160000 0,283855
Hüpoteetilise ristkülikjaotuse tihedus fn 10 9 8 7 6 5 Hüpoteetilise ristkülikjaotuse tihedusfn 4 3 2 1 0 6.881287966 96.21871203 7. Konstrueerida samas teljestikus graafikud 7.1 Empiirilise jaotusfunktsiooni F(x) graafik punktis 4 leitud grupeeritud valimile 7.2 Parameetritega a=0 ja b=100 hüpoteetilise ristkülikjaotuse jaotusfunktsiooni F(x) graafik 7.3 Hüpoteetilise normaaljaotuse jaotusfunktsiooni F(x) graafik kooskõlas punktiga 5 Empiirilise jaotusfunktsiooni graafik Hüpoteetilise normaaljaotuse graafik Hüpoteetilise ristkülikjaotuse jaotusfn graafik
................................................................................. 16 3.3. Ekse ................................................................................................................................... 17 3.4. Aritmeetilise keskmise standardhälve ja Atüüpi määramatus ......................................... 18 3.5. Usaldusnivoo leidmine histogrammi alusel....................................................................... 19 4. Jaotusfunktsioonid. jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontrollimine ................................................ 20 4.1. Normaaljaotus.................................................................................................................... 20 4.2. Ühtlane jaotus .................................................................................................................... 20 4.3. Kolmnurkjaotus ...............................................................................................................
jaotustabel valemiga: Geomeetrilise jaotuse nimetus tuleneb sellest, et tõenäosused moodustavad kahaneva geomeetrilise jada. Geom. jaotuse keskväärtus ja dispersioon 9. Binoomjaotus - n katsete arv k toimunud sündmuste arv p sündmuse toimumise tõenäosus q = 1 p sündmuse mittetoimumise tõenäosus Excelis [ BINOMDIST(k,n,p,0/1)] -Viimane arv 0 või 1 näitab kumulatiivsust kas täpselt P(X=k) või P(Xk) = F(k) ehk jaotusfunktsiooni väärtus, viimasel juhul 1 Binoomjaotus on enim esinev diskreetse juhusliku suuruse jaotus. Seda kasutatakse seoses kindlate tulemustega katsetega, näiteks: Kasvama minevate taimede arv; Praakdetailide arv; Garantiiperioodil üles ütlevate televiisorite arv. n ei saa olla suur Juhusliku suuruse väärtuse saavutamise tõenäosust leidmata saab teada kõige tõenäolisema sündmuse toimumiste arvu m0: Keskväärtus ja dispersioon EX=n*p DX=n*p*q 10
Diskreetse juhusliku suurused X ja Y on sõltumatud, siis suuruse X tõenäosusjaotuseks nimetatakse E(XY) = EX EY funktsiooni p(x), kus p(x) = P(X = x). See 2. Kui juhuslikud suurused X ja Y funktsioon omandab positiivseid väärtusi on sõltumatud, siis ainult nende argumentide korral, mis on D(X+Y) = DX + DY. juhusliku suuruse võimalikeks Pideva juhusliku vektori väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas jaotusfunktsiooni F(x,y) saab esitada valemina või tabeli abil, milles loetletakse tihedusfunktsiooni abil. Kui leidub niisugune juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja funktsioon f(x,y), et siis nimetatakse seda nende omandamise tõenäosused. juhuslikku vektorit pidevaks, funktsiooni Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib f(x,y) aga selle juhusliku vektori omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda tihedusfunktsiooniks
tugevuse mõttes. Determinatsioon korrelatsiooni ruut näitab, missusugse osa 1 juh.su. dispers/hajuvusest on tingitud 2. Suuruse mõjust. Stat üld eesmärk leida stohhastilise objekti kohta mingi tõenäosuslik mudel Valim koosneb valimi elementidest, N on valimi maht. Mediaani hinnang- kasvavalt järjest. Valimi keskelement (paaritu) või keskelementide poolsumma (valim on paarisarv). Põhiteoreem (Glivenko-Cantelli)- empiiriline jaotusfunkts on teoreetilise jaotusfunktsiooni nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm enimkasutatav jaotustih. Hinnang. Tulpdiagramm. Kasut üldkogumi jaotusseadusest aimu saamiseks. X2 jaotus norm.j juh.su. dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel, 1 parameeter k, pos täisarv, vabadusastemete arv. Keskv=k, disper: 2k, mood: k-2. Kui klõpm normjaotus. Kui k=2 exp.jaotus. t-jaotus - normj. Juh. Su keskväärtuse hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel. On ka k. jaotus on
ei ole ühtlane jaotus. Määrame intervalidesse sattumise teoreetilised tõenäosused. (x) 20 0,20 40 0,20 60 0,20 80 0,20 100 0,20 Analoogselt eelmise punktiga arvutame: 2 = 0,160 f = k h 1 = 5 0 (kõik parameetrid juba antud) 1 = 4 2kr = 20,90(4) = 7,779 Kuna 2 < 2kr, siis võtame hüpoteesi H0 vastu. 5. Graafikud tõin välja punktis 4. 6. Empiirilise jaotusfunktsiooni F(x) ja üthlase jaotusfunktsiooni graafikud 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Arvutame DN järgmise valemi abil: F0 ühtlase jaotuse jaotusfunktsioon x(i) punktis 1 moodustatud variatsioonirida DN = 0,2 Kuna DN < Dkr, siis võtame nullhüpoteesi vastu 8
Leida tõenäosus, et viiest sidejaoskonnast vähemalt neli saavad ajalehed õigeaegselt. (0,8352) 22. Märgi tabamise tõenäosus on 0,25. Tulistati 21 lasku. Leida tõenäoseim tabamuste arv ning vastav tõenäosus. (5 ja 0,199) 23. Kindlustusagendil on üksikkliendiga lepingu sõlmimise tõenäosus 0,4. Agent kohtus 5 kliendiga. Koostada sõlmitud lepingute arvu jaotustabel. Leida vaadeldava juhusliku suuruse keskväärtus, dispersioon ja jaotusfunktsiooni graafik. (2 ja 1,2) 24. Sõiduki remondiks kuluv aeg (tundides) allub eksponentsiaalsele jaotusele parameetriga = 0,25. Kui suur on tõenäosus, et ühe sõiduki remondiaeg on alla kuue tunni? (0,777) 25. Tehase toodangu maht allub ligikaudselt normaaljaotusele keskväärtusega 134786 eset nädalas ja standardhälbega 13000 eset nädalas. 1) Leida tõenäosus, et nädala toodang ületab 150000 eset. (0,121) 2) Leida tõenäosus, et nädala toodang on väiksem kui 100000 eset. (0,0037) 28
mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike väärtuste hulk on kontiinum Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus ei ületa funktsiooni argumenti. Jaotusfunktsioon peab rahuldama järgmisi tingimusi: monotoonsus (kui b>a, siis F(b)>F(a), normeeritus (x-lõpmatus korrral lim F(x)=0, xlõpmatus lim F(x)=1) Jaotustihedus on jaotusfunktsiooni tuletis. Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine/arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine. Juhusliku suuruse arvkarakteristikuid võib jagada: moment ja mittemomentkarakteristikud, asendi-,hajuvus- ja kujukarakteristikud, kvantiilkarakteristikud. Keskväärtus on juhusliku suuruse asendikarakteristik, mille abil iseloomustatakse juhusliku suuruse jaotuse keskkoha/tsentri asukohta
3. (3) Kauplus sai 1000 klaaspudelis olevat jooki. Tõenäosus, et vedamisel puruneb üks pudel on 0,0 Leida tõenäosus, et kauplus sai rohkem kui kaks katkist pudelit. 0 0,049787068 P(a) 0,57681 1 0,149361205 2 0,224041808 0,423190081 4. (5) Rahakotis on 6 münti, 2 20-sendilist ja 4 50-sendilist. Juhuslikult võeti kolm münti. Saadus raha juhuslik suurus. Leida selle keskväärtus ja dispersioon ning joonistada jaotusfunktsiooni graafik. Graa märkida ära oluliste punktide väärtused. 2 kahekümnelist 4 viiekümnelist x- rahasumma x1 90 20;20;50 0,066667 20;50;20 0,066667 50;20;20 0,066667 0,2 120 20;50;50 0,2 50;20;50 0,2 50;50;20 0,2 0,6 150 50;50;50 0,2
2 0,004 1 0,002 0 0 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Emp 0,4 Линейная (Ühtl) 0,3 0,2 0,1 0 0 20 40 60 80 100 7
5.2 Hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3 Hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.4 Hüpoteesile hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.5 Kõik ühes teljestikus 6. Konstrueerida samas teljestikus graafikud 6.1 Empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 Parameetritega , ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega , ühtlane jaotus (võttes , st testi statistiku D N kriitiliseks väärtuseks on ). Et hüpotees vastu võetaks peab seega hüpotees võetakse vastu. 8. Kontrollida moodustatud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi kasutades
P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai )
P( Ai / B) = =
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 ) + ... + P( An ) P( B / An )
P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai )
Erijuhul kui n=2 saame P( Ai / B) = =
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 )
i=1,2
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R määratud funktsiooni F(x)=P(X
5.1. Empiirilise jaotuse histogrammi graafik on toodud punktis 4 5.2. Hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3. Hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.4. Hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 6. Koostada samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN , kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238) F0 ühtlase jaotuse jaotusfunktsioon x(i) punktis 1 moodustatud variatsioonirida Kuna DN < Dkr, siis võtame nullhüpotees vastu 8
pidev juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on pidev (nt mõõtetulemused pidevalt skaalalt)
Juhusliku suuruse omadused määrab (täielikult) tema jaotusseadus:
jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhuslik suurus väärtus ei ületa funktsiooni argumenti x: F(x) = P (X
objekti kohta mingi tõenäosuslik mudel, sh hinnates mudeli arvparameetreid ja kontrollides erinevaid hüpoteese objekti mudeli kohta. Mediaani hinnang: - kasvavalt järjestatud valimi keskelement (kui valimi maht on paaritu arv) - kasvavalt järjestatud valimi keskelementide poolsumma (kui valimi maht on paarisarv) Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe Statistika põhiteoreem: Empiiriline jaotusfunktsioon FN(x) on teoreetilise (üldkogumi) jaotusfunktsiooni F(x) nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm: Histogramm on enimkasutatav (üldkogumi) jaotustiheduse hinnang. Histogrammi kasutatakse ettekujutuse saamiseks üldkogumi jaotusseadusest ning ta kujutab endast tulpdiagrammi, mille tulpade kõrgused näitavad vastavasse vahemikku sattumise sagedust. 2-jaotus on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel.
Juhendmaterjalidena on kasutatud K.Kiviste kodulehte (Kiviste K., 2009) ja A. Kiviste raamatut (Kiviste A., 2007). Töö eesmärgiks oli antud proovitüki andmete rühmitamine ja analüüs kasutades selleks MS Exceli keskkonda ning statistilise analüüsi metoodikat ning valemeid. Töös on esitatud proovitüki üldiseloomustus, tunnuste liigid, koostatud risttabel, rühmitatud andmed enamuspuuliigi keskmise diameetri järgi, esitatud jaotushistogramm ning jaotusfunktsiooni graafik, leitud kvantiilid ja kvartiilid ning esitatud põhilised karakteristikud. 3 1. Proovitüki üldiseloomustus Proovitüki 710 kvartaliks on RO203, eralduse number on 9, kasvukohatüübiks on jõnesekapsa-mustika. Peapuuligiks on mänd, peapuuliigi vanuseks on 65 aastat. Proovitüki raadius 1 rinde puude jaoks on 25 cm, raadius 2 rinde puude jaoks on 10 cm. Reljeef on lainjas, mikroreljeef on matlik. Andmed mõõdeti 1. Juunil 2002. aastal.
3 0.0060 2 0.0040 1 0.0020 0 0.0000 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 6. Konstrueerida samas teljestikus: 6.1 Empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 Parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 1.2 1 0.8 0.6 Ühtlane jaotus F(X) Empiiriline jaotus Fn(x) 0.4 0.2 0 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes α = 0,10, st test-statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238.
15. Ideaalne gaas. Omadused: o Molekulide vahel puudub interaktsioon ( puudub molekulide omavaheline vastastikmõju ehk ei toimu vastastikkuseid põrkeid). o Molekulidel puuduvad mõõtmed. o Molekulid on pidevad korrapäratus liikumises. N2, O2, H2 on hästi kirjeldatavad normaaltingimustel ideaalse gaasina. m- on gaasi mass M- gaasi molaarmass m0- ühe molekuli mass R- universaalne gaasikonstant R = 8,31 J/kmol - moolide arv = m/M 16. Jaotusfunktsiooni mõiste. 17. Maxwelli jaotus. 18. Boltzmanni jaotus. Baromeetriline valem. 19. Molekulide keskmine kineetiline energia. Vabadusastmete arv. Ühe molekuli keskmine energia : - ühe aatomiga gaasi keskmine energia. Vabaastmete arv molekuli kiiruskomponentide arv. Koosneb 3 kulg- ja 3 pöördliikumise parameetrist, kokku on kuus vabaduseastet. Ideaalgaaside pöörlemisel ümber ükskõik, mis telje, siis ning tal on 3 vabaduse astet, mis on kõik kulgliikumise omad
settimiskõvera punktis A) H 0,125 r =k v =k = 0,0005687 = 2,2478 10 -5 m tA 80 4. Fraktsiooni suhtelise sisalduse leidmine settimiskõvera ordinaattelje lõikude pikkuste suhete järgi (lõikude pikkused toodud tabelis 3) OO1 2,3 Q= 100% = 100% = 11,9% OP 19,4 5. Jaotusfunktsiooni väärtuste leidmine a) r = r1 - r2 = 2,0105 10 -5 - 1,8353 10 -5 = 1,7517 10 -6 b) Q = Q2 - Q1 = 19,1% - 11,9% = 7,2% Q 7,2 c) F = = = 375290 r 1,7517 10 -6 6. Keskmise raadiuse leidmine r1 + r2 2,0105 10 -5 + 1,8353 10 -5 rkeskm = = = 2,1292 10 -5 2 2 Katse- ja arvutustulemused Tabel 1
0,05 0,03 0 0,03 0,02 0,06 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni mak DN=max[F0(Xi)- i/N, F0(Xi)-(i-1)/N] Et hüpotees vastu võetaks, peab DNDkr, siin on 0, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 0,05 0 0,05 0,07 0,11 0,04 0,06 0,1 0,04 0,03 0,07 0,04 0,1 0,14 0,04
graafik 5.4 hupoteesile 4.3 vastava uhtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hupoteetilise histogrammi graafik. Kõik ühel graafikul 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,1 DN=max[Femp(Xi) F0(Xi)]
annaabi.ee 
