Detailide vaandedeformatsioonid (0)

154
Tugevusanalüüsi alused ⎯   10. DETAILIDE VÄÄNDEDEFORMATSIOONID
10. DETAILIDE VÄÄNDEDEFORMATSIOONID
10.1. Varda väändenurk
Väändenurk  = varda ristlõike pöördenurk väänava momendi
ϕ
l
= γ
l
= γ
toimel algasendi suhtes (Joon. 10.1)
max
R
Suheline väändenurk = varda pikkusühiku kohta tulev
ϕ γ
γ max
θ = =
väändenurk
l
R
kus: ϕ    ⎯ varda väändenurk (vaba otsa või ristlõike pöördenurk), [rad];
γ     ⎯ suhteline nihkedeformatsioon mingis punktis K;
 ρ    ⎯ pumkti K polaarkoordinaat, [m];
γmax ⎯ suhteline nihkedeformatsioon ( nihkenurk ) varda pinnal (raadiusel R);
l     ⎯ väänatud varda pikkus, [m];
R   ⎯ varda raadius, [m];
θ    ⎯ varda suhteline väändenurk, [rad/m].
Väänatud ümarvarras
Ümar-ristlõike väändenurk ja väändepinge
ϕ
τ epüür
M
γ = max
R
K
R
ϕ
C
T
l
γ = 0
τmax
Väänatud nelikantvarras
Nelikant -ristlõike väändenurk ja väändepinge
b
ϕ
τh epüür
M
h
T
τh,max
ϕ
τ
τb epüür
b,max
Joonis 10.1
10.2. Ümarvarda astmeline vääne
10.2.1. Ühtlaselt väänatud ühtlane ümarvarras
Eelnevast :
Nihkepinge on võrdeline suhtelise nihkedeformatsiooniga:       τ = γ
G
( Hooke ’i
seadus nihkel )
Priit Põdra, 2004
155
Tugevusanalüüsi alused ⎯   10. DETAILIDE VÄÄNDEDEFORMATSIOONID
Ühtlase ümarvarda suurim
τ
R
T
T
G ϕ   ning  τ
R
väändepinge:
max
l
max
W
I
0
0
Eelnevatest valemitest saab seosed väändenurga ϕ ja väändemomendi T vahel (Joon.
10.2).
Ühtlaselt väänatud ühtlane ümarvarras
 
l
M
M 
T epüür
ϕ 
              
Ümar-ristlõige
Rõngas-ristlõige
τ epüür
τ epüür
d
4
D
c =
I =
D
0
32
d
4
D
I =
1− c ;
0
( 4)
32Tl
32
ϕ =
τmin
4
GD
32Tl
ϕ =
D
τ
D
4
GD
( 4
1− c )
max
τmax
Joonis 10.2
Ühtlaselt väänatud ühtlase
Tl
ϕ =
T
… ja suhteline
θ =
ümarvarda väändenurk:
GI
väändenurk:
GI
0
0
kus: T   ⎯ ühtlaselt väänatud varda ristlõigete väändemoment, [Nm];
G   ⎯ materjali nihkemoodul, [Pa];
I0   ⎯ ristlõike polaar - inertsimoment , [m4].
10.2.2. Astmeliselt väänatud ümarvarras
Astmeline vääne = üksik-
Igat ühtlast ja ühtlase väändemomendiga
väändemomentide koostoime  ⇒
lõiku vaadeldakse kui eraldi ühtlaselt
astmeline sisejõu (T) epüür
väänatud ühtlast varrast
Varda otstevaheline väändenurk = ühtlaselt väänatud lõikude väändenurkade
summa
 kus: n   ⎯ ühtlase väände-
Astmeliselt väänatud varda
n
n
T l
ϕ = ∑ϕ =
i
∑ i i
momendiga ühtlaste
(Joon. 10.3) väändenurk:
i=1
i=1 GI 0i
vardalõikude arv.
Priit Põdra, 2004
156
Tugevusanalüüsi alused ⎯   10. DETAILIDE VÄÄNDEDEFORMATSIOONID
Astmeliselt väänatud varda mingi ristlõike B väändenurga määramiseks koostatakse
varda väändenurga ϕ  epüür ning sellelt mõõdetakse otsitav väärtus ϕB. Väändenurga
epüüri koostamiseks koostatakse esmalt sisejõu epüür:
•  väändemomendi T epüür
T =M ( +) ;    T =M M
−
   -) ;    T =M ( -) ;
koostatakse lõikemeetodiga:
1
1
2
1
2
3
4
A. Astmeliselt väänatud ühtlane varras
B. Astmeliselt väänatud astmeline varras
M
l
l
1
M3
M4
M
1
l
3
l4
2
2
l
M2
M
1
l2
l
3
M
3
4
M1
B
x
x
B
T epüür, Nm
T
T
 epüür, Nm
T
3
3
T
M3
T
2
2
M2
ϕ3 = ϕ
T1
I0 epüür, m4
T1
I01
I
ϕ epüür, rad
02
I04
ϕ
I03
2
ϕ epüür, rad
ϕ
Väändenurga
ϕ4  = ϕ
ϕ
B
ϕ
ϕ
1
suund muutub
1
ϕ
B
ϕ
2
3
Joonis 10.3
•  ühtlase varda väändenurga epüür koostatakse ühtlselt väänatud lõikude kaupa:
ƒ  ühtlasel vardal on kolm ühtlase sisejõuga T lõiku (l = l1 + l2 + l3 ning T1 =
const , T2 = const, T3 = const);
4
ƒ  arvutatakse varda ristlõike polaar- inertsimomendi väärtus: 
D
I =
 ;
0
32
ƒ  väändenurga ϕ epüüri (siirdeepüüri) väärtused murdekohtades on lõikude
väändenurkade
summad  (võttes  0-
T l
T l
T l
1 1
ϕ =
, 
2 2
ϕ = ϕ +
, 
3 3
ϕ = ϕ = ϕ +
väärtuse varda vasakusse
1
GI
2
1
GI
3
2
GI
0
0
otsa):
0
•  astmelise varda väändenurga epüür koostatakse ühtlselt väänatud ühtlaste
lõikude kaupa:
ƒ  vardal on neli ühtlase sisejõuga T ühtlast lõiku (l = l1 + l2 + l3 + l4);
ƒ  igale ristlõikele arvutatakse polaar-
4
D
inertsimomendi väärtus I
i
I =
0i  (polaar-inertsimomendi
0i
32
epüür):
ƒ  väändenurga  ϕ epüüri (siirdeepüüri) väärtused murdekohtades on lõikude
väändenurkade summad (võttes 0-väärtuse varda vasakusse otsa):
Priit Põdra, 2004
157
Tugevusanalüüsi alused ⎯   10. DETAILIDE VÄÄNDEDEFORMATSIOONID
T l
T l
T l
T l
1 1
ϕ =
;   
1 2
ϕ = ϕ +
;   
2 3
ϕ = ϕ +
;   
3 4
ϕ = ϕ = ϕ +
1
GI
2
1
GI
3
2
GI
4
3
GI
01
02
03
04
•  iga vabalt valitud ristlõike B väändenurga väärtuse saab mõõta
väändenurga epüürilt.
10.3. Sujuvalt väänatud ümarvarras
10.3.1. Ümarvarda väändenurga avaldis
PROBLEEM:
Teada on astmelise ümarvarda väändedeformatsioonid astmeliselt muutuva
väändekoormuse korral;
Vaja on arvutada ristlõigete väändenurki nii sujuvalt muutuva väändekoormuse
kui ka sujuvalt muutuva ristlõikepindala korral.
Sujuvalt muutuva väänava joonmomendiga m  koormatud ja sujuvalt muutuva
läbimõõduga D ümarvarras (Joon. 10.4):
•  vabalt valitud lõigu BC pikkus (punktid B koordinaadiga xB ja C
l
= x − x ;
koordinaadiga x
BC
C
C) avaldub otspunktide koordinaatide kaudu:
B
•  väänava koormuse toimel ristlõige B pöördub ϕB ja ristlõige C pöördub ϕC võrra
(varda kinnisristlõike suhtes);
Sujuvalt väänatud sujuv varras
Lühike lõik BC
 
xC
xB 
m  ≠ const D ≠ const
x
B
C
x
T epüür, Nm
TBC
B
C
Ühtlane T
0
I  epüür, m4
T = f(x) 
0
T epüür, Nm
Ühtlane I0
ϕ epüür, rad
ϕ
ϕ
C
B
Lineaarne ϕ
I  epüür, m4
0
I  = f(x) 
0
Ristlõike suhteline väändedeformatsioon
ϕ epüür, rad
ϕ − ϕ
C
B
dϕ
θ = lim
= ϕ (′x)
l →0
BC
x − x
dx
C
B
ϕB  ϕC 
Joonis 10.4
Priit Põdra, 2004
158
Tugevusanalüüsi alused ⎯   10. DETAILIDE VÄÄNDEDEFORMATSIOONID
•  lõigu BC väändenurk avaldub vastavate ristlõigete ϕ =ϕ −ϕ ;
väändenurkade kaudu:
BC
C
B
•  kui BC on piisavalt lühike, saab seda vaadelda kui ühtlaselt väänatud ühtlast lõiku
(muutumatu ristlõike pindala A, muutumatu sisejõu väärtus T, lineaarne väändenurgaepüür ϕ);
•  lühikese lõigu BC suhteline
ϕ
ϕ −ϕ
T
BC
C
B
θ =
BC
väändedeformatsioon:
 ja samas ka  
BC
l
x − x
BC
GI
BC
C
B
0,BC
•  lõigu BC koondudes  lõpmatult
l
= dx → 0  
ϕ −ϕ → d ;
lühikeseks 
ning 
ϕ
(ühte punkti):
BC
C
B
•  ristlõike suhtelise
väändedeformatsiooni
−
θ (
ϕ
ϕ
T x
C
B
ϕ
x)
d
= lim
= ϕ (′x)
funktsioon varda telje
 ning θ (x)
( )
l
→0
GI0 (x)
BC
x − x
dx
koordinaadi x suhtes:
C
B
•  ristlõike pöördenurga avaldis on  on suhtelise
x
väändedeformatsiooni avaldise integraal:
ϕ = ∫ dx
θ ;
0
Ümarvarda väändenurga
kus: T = f(x)  ⎯ väändemomendi
= 1
ϕ
∫ T dx
valem üldjuhul:
G I
funktsioon varda
0
telje x suhtes,
[Nm];
I0 = f(x)  ⎯ polaar-inertsimomendi funktsioon varda telje x suhtes, [m4].
10.3.2. Väänava joonmomendiga ühtlane varras
Joonkoormusega väänatud ühtlase läbimõõduga ümarvarras (Joon. 10.5):
•  ühtlase joonmomendi m = const korral on väändemomendi
T = m(l − x);
epüür lineaarne (vabas otsas T = 0, kinnituskohas Tmax = ml):
Ühtlase joonmomendiga ümarvarras
Arvutusskeem ja epüürid
m = const
x
m = const
l
Tmax = ml
T epüür, Nm
ϕ epüür, rad
Joonis 10.5
•  väändenurga
1
m ⎛
x2 ⎞
kus: C  ⎯ integreerimis-
funktsioon
ϕ =
Tdx =
lx −
+ C
∫
konstant,
GI
GI ⎜⎜
⎟⎟
2
(x-i järgi):
0
0 ⎝
⎠
[rad];
•  integreerimiskonstant arvutatakse piiritingimusest: 
 
kui x =
 
siis
 ,
0
ϕ = 0 :
Priit Põdra, 2004
159
Tugevusanalüüsi alused ⎯   10. DETAILIDE VÄÄNDEDEFORMATSIOONID
ϕ(
2
m ⎛
⎞
x = 0)
0
l ⋅ 0 −
+ C = 0
⎜⎜
   ⇒      C = 0 ;
GI
2 ⎟⎟
0 ⎝
⎠
•  varda vabas otsas (x = l) summaarse (ehk varda
2
ml
ϕ =
otstecahelise) väändenurga saab arvutada valemiga:
2GI0
10.3.3. Sujuvalt muutuva ristlõikega varras
Juhul, kui varda pikkuse ulatuses ristlõike kuju ja/või pindala muutub sujuvalt (Joon. 10.6):
•  varda ristlõikepindala muutumist kirjeldab seos A = f(x), ja seega ka ristlõike
polaarinertsimomendi väärtus muutub vastavalt I0 = f(x);
•  väändemomendi väärtus muutub oma funktsiooni järgi T = f(x).
Väänava punktmomendiga kooniline varras
Väänava joonmomendiga paraboolvarras
l
l
D = f(x)
m = const
M
x
x
B
C
D = f(x2)
T epüür, Nm
T = f(x)
T epüür, Nm
M
I
I
0 epüür, m4
0 epüür, m4
I0 = f(x4)
A = f(x8)
Joonis 10.6
Eelnevast:
Ümarvarda
1
T (x)
Juhul, kui väändemomendi
ϕ = ∫
dx
väändenurga valem:
T ja polaarinertsimomendi
G I0 (x)
I0  matemaatilised avaldised
on teada, saab selles lõigus
 (lõigu otste vahelise) väändenurga arvutada toodud valemit kasutades.
10.4. Väänatud mitteümarad vardad
10.4.1. Väänatud ühtlane nelinurkvarras. Näide
Pöördemomendiga M  konsoolsest otsast koormatud ühtlane nelikantvarras (Joon. 10.7)
on kogu ulatuses ühtlaselt väänatud väändemomendiga T, ühtlaselt väänatud varda
ja/või selle osa väänet klassikaline tugevusõpetus ei käsitle:
Priit Põdra, 2004
160
Tugevusanalüüsi alused ⎯   10. DETAILIDE VÄÄNDEDEFORMATSIOONID
Väänatud ühtlane nelikant-varras
 
M
M
l
T epüür
M
     
Ruut-varda väändenurk
Ristkülik-varda väändenurk
β  ⎯ võrdetegur (sõltub
ristküliku külgede
suhtest h/b);
ϕ
ϕ
b
c =
b,h ⎯ ristlõike külgede
h
pikkused, [m];
Tl
ϕ =
h
Tlc
a   ⎯ ruutristlõike
4
ϕ =
0 141Ga
4
Gβb
küljepikkus, [m];
a
b
Joonis 10.7
•   Bernoulli  hüpotees (varda deformeerudes jäävad ristlõiked tasapinnaliseks) ei kehti;
•  väändenurga valemid on tuletatud elastsusteoorias.
h/b
1
1.2
1.5
2
3
5
10
∞
0.141
0.166
0.196
0.229
0.263
0.291
0.313
0.333
10.4.1.1. Näide: Ruutristlõikega võll
Arvutada võlli suurim lubatav koormus M  ning otste väändenurgad vedava ristlõike
suhtes lubatava koormuse mõjudes (Joon. 10.8)!
Materjal: Teras [τ] = 80 MPa; G = 70 GPa.
Tegelik konstruktsioon
Arvutusskeem ja sisejõu epüür
Vedav ratas
MA
MB
MC
Takistusmoment
500
1000
0.25M
B
0.75M
A
C
Takistusmoment
Vedav
MMotoorne moment
T epüür
Ohtlik lõik
0.75M
Ristlõike pinged
τ  epüürid
m
τmax
 50m
a =
0.25M
Joonis 10.8
Priit Põdra, 2004
161
Tugevusanalüüsi alused ⎯   10. DETAILIDE VÄÄNDEDEFORMATSIOONID
Lahenduskäik:
•  punktkoormatud võlli sisejõuepüür on astmeline;
•  lõigu AC väändemoment saadakse lõikemeetodiga: TAC = MA = 0.25M ;
•  lõigu CB väändemoment saadakse lõikemeetodiga: TCB = MB = 0.75M ;
•  võlli ohtlik lõik on CB ning
T
0.75M
lubatava koormuse saab avaldada
τ
CB
≤
 ehk 
≤ [τ ],
max
[τ]
2
208
0
a
0.
⋅ 2
208 a
tugevustingimusest:
208
0
2
a [τ ]
208
0
⋅ 05
0
2 ⋅ 80 ⋅106
millest: M ≤
= 55466Nm ≈ kNm
55
75
0
75
0
•  võlli lõik AC on ühtlane ja ühtlaselt koormatud, selle lõigu väändenurk on:
T l
25
0
⋅55⋅103 ⋅ 5
0
AC AC
ϕ =
rad
111
0
≈ 6o 3
2 ′ ;
AC
141
0
4
Ga
141
0
⋅70⋅109 ⋅ 05
0
4
•  võlli lõik CB on samuti ühtlane ja ühtlaselt koormatud, selle lõigu väändenurk
on:
T l
75
0
⋅55⋅103 ⋅1
CB CB
ϕ =
rad
668
0
≈ 38o 0
2 ′ .
CB
141
0
4
Ga
141
0
⋅70⋅109 ⋅ 05
0
4
Tugevuskontroll:
•  suurim nihkepinge selles võllis mõjub lõigu CB iga ristlõike külje keskel:
T
75
0
⋅55⋅103
CB
τ
32
9
7
⋅106 Pa