kompleksi dissotsiatsiooni tõttu (cT). Viimane on väga väike võrreldes vabade Ca ioonide kontsentratsiooniga lahuses. *Peale 10,00 ml titrandi lisamist Ekvivalentpunkt Ca ioonid saavad lahusesse minna ainult tänu selle kompleksi dissotsiatsioonile. Ca kontsentratsioon peab olema võrdne vaba EDTA kontsentratsiooniga, cT. [Ca2+] = cT [CaY2-] = 0,00333 [Ca2+] = 0,0033 M Asendades saadud kontsentratsioonid kompleksi tingliku püsivuskonstandi avaldisse, saame Ekvivalentpunkt Peale ekvivalentpunkti Peale 35,00 ml titrandi lisamist Asendades need väärtused tingliku püsivuskonstandi avaldisse, saame Tiitrimist mõjutavad tegurid *pH mõju tiitrimiskõvera kujule Ca ioonide tiitrimisel EDTAga; mida suurem pH seda suurem tiitrimiskõvera hüpe; *Komplekside püsivuse mõju tiitrimiskõvera kujule , näide erinevate metallide katioonide tiitrimisest EDTA ga pH 6 juures. Mida püsivam kompleks, seda suurem tiitrimiskõvera hüpe
Valemid Küllastatud hõbe-hõbekloriidelektroodi potentsiaal katsetemperatuuril: Kinhüdroonielektroodi normaalpotentsiaal katsetemperatuuril: Lahuse pH: Kinhüdroonelektroodil toimub reaktsioon: Sellele vastav potentsiaal: Kuna , siis avaldub kinhüdroonelektroodi potentsiaal järgmiselt: Sellest avaldan pH: Mõõdetud galvaanielemendi elektromotoorjõud avaldub järgmiselt: Sellest avaldan: Asendan selle üleval olevasse pH avaldisse: Katsetulemused ja arvutused Mõõtmine kinhüdroonielektroodiga: Kinhüdroon hõbe-hõbekloriidelement elektromotoorjõud: Katsetemperatuur: Küllastatud hõbe-hõbekloriidelektroodi potentsiaal katsetemperatuuril: Kinhüdroonelektroodi normaalpotentsiaal katsetemperatuuril: Arvutatud pH: Katsevea arvutus Tegelik pH on 4,80. Minu arvutuse ja tegeliku tulemuse erinevus: Veaprotsent:
kinhüdroonelektroodi normaalpotentsiaal katsetemperatuuril kn0 = 0,699 - 0,00074 (t - 25)= 0,699V arvutatud pH pH valemi tuletuskäik Kinhüdroonelektroodil toimub reaktsioon: Sellele vastav potentsiaal: Kuna , siis avaldub kinhüdroonelektroodi potentsiaal järgmiselt: Sellest avaldan pH: Mõõdetud galvaanielemendi elektromotoorjõud avaldub järgmiselt: Sellest avaldan: Asendan selle üleval olevasse pH avaldisse: Järeldus Antud lahuse tegelik pH oli 4,0. Mina sain tulemuseks 4,24. Veaprotsent on väike ning tulemused üsna sarnased, seega loen katse õnnestunuks.
x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni 2a 4ac - b 2 avaldisse ning leiame y väärtuse või kasutame valemit y = ). 4a Parabool läbib y-telge punktis (0 ; c). Vajadusel arvutame veel lisapunkte juurde. Näide. Skitseerime ruutfunktsiooni y = x2 - 5x + 6 graafiku. Graafik avaneb ülespoole, kuna ruutliikme kordaja on positiivne (a = 1). Graafiku skitseerimiseks leiame esmalt nullkohad, st. ruutvõrrandi x2 - 5x + 6 = 0 lahendid. Viete´i teorremi põhjal saame x1= 2 ja x2 = 3
Kui üks tundmatu on leitud, on lihtne leida ka teine, sest see on avaldatud eelneva kaudu. Asendusvõtte puuduseks on asjaolu, et ühe tundmatu avaldamine ei pruugi alati lihtne olla, võivad tekkida murdarvud. 2x+y=3 5x3y=8 Kunagi ei tohi samasse avaldisse asendada! 1.) Avaldan esimesest võrrandist muutuja y. y=32x 2.) Asendan teises võrrandis muutuja y saadud avaldisega. 5x3(32x)=8 3.) Lahendan saadud ühe tundmatuga võrrandi. 5x9+6x=8 5x+6x=8+9 x=1 4.) Arvutan muutuja y väärtuse eelnevalt leitud avaldisest. Y=32*1=1 5.) Teen kontrolli. 2*1+1=2+1=3
Kõigi teiste füüsikalisite suuruste ühikuid saab suuruste ühikuid saab tuletada põhiühikutest. tuletada põhiühikutest. Dimensioonivalem Mistahes füüsikalise suuruse dimensiooni saab avaldada seitsme põhisuuruse kaudu. Vastavat avaldist nimetatakse dimensioonivalemiks. On suur hulk nn. dimensioonita suurusi, millede tegelik dimensioon on 1. Ja see 1 tuleb pannagi just vastavate tuletatud ühikute avaldisse sellele suurusele ettenähtud kohale! Niiöelda dimensioonita ehk tegelikult dimensiooniga 1 on näiteks: impulsside arv, vahelduvpinge perioodide või mehaanilise elemendi võngete arv, nurk kui mõõdetav suurus. Kasutatud Allikad: http://tera.chem.ut.ee/~ivo/metro/Room/II_vihik.pdf http://wapedia.mobi/et/SI-s%C3%BCsteem http://tehnika.eau.ee/ekokin/pages/index_files/P1_1.pdf http://meteo.physic.ut.ee/~room/JFjaMM/Kaanevalemid.pdf http://www.aabits
5) Võrrandisüsteemi lahendiks on lõikepunkti koordinaadid. Asendusvõte: 1) Valin millist muutujat avaldada (nt y) ja kumbast võrrandist. Kirjutan selle võrrandi uuesti välja. Soovitus: valida avaldamiseks see muutuja, mille kordaja on 1 või -1; 2 või -2; 4 või -4; 5 või -5; 8 või -8; 10 või -10. 2) Panen saadud y värtuse sellesse võrrandisse, millest ei avaldanud, saan x väärtuse. 3) Panen saadud x väärtuse y avaldisse ja avaldan y väärtuse. Defineerimine: Defineerimiseks nimetatakse mõistele selgituse andmist. Mõiste definitsioon annab täpse vastuse küsimusele: „Mis on?“ või „Mida nimetatakse?“. Mõistete defineerimisel kasutatakse algmõisteid. Algmõisted- mõisted, mida ei defineerita. Need on näiteks: punkt, sirge, tasand, arv, ruum, suurus. Teoreem: Teoreemiks nimetatakse lauset, mida saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil.
A3 A4 A5 A8 x1 x 2 x3 x1 x 2 x 4 x1 x3 x 4 x1 x 2 x 4 x1 x 2 x3 x3 x 4 TaDNK : f(x1, x2, x3, x4) = 2. Täielik DNK TDNK leidmine: võtan f.-ni ühtede piirkonna (koos määramatusega mida kasutati MDNK-s) kümnendnumbri ning leian kümnendnubrile vastava kahendvektori ja leian kahendvektorile vastava elementaarkonjunktsiooni ning lisan need funktsiooni TDNK avaldisse (0,1,2,5,6,7,9,13)1 ühtede piirkonna kümnenednumbrile vastav kahendvektorile vastav kümnendnumber kahendvektor elementaarkonjunktsioon 0 0000 x1 x 2 x 3 x 4 1 0001 x1 x 2 x 3 x4 2 0010 x 1 x 2 x3 x 4 5 0101 x1 x2 x 3 x4
v m Integreeritakse mõlemat poolt: bdx 2v v bx vdv = - m 3 = - + C1 m 2 2v0 v 0 2v v 2v v bx 2v v Kui x =0: = 0 + C1 C1 = 0 0 . Paneme avaldisse =- + 0 0 . 3 3 3 m 3 2mv0 v 0 Kui v=0 siis x= , mis ongi otsitav vahemaa. 3b Ülesanne nr 2. Kehale massiga 2 kg hakkab mõjuma jõud, mis on võrdeline aja ruuduga ja on jääva suunaga. Võrdetegur on 6 N/s2. Leida keha liikumise võrrand, kui algkiirus on 0,25 m/s ja see on jõu suunaline. Lahendus
-ni kõiki argumente (või nende inversioone). S.t iga elementaarkonjunktsiooni pikkus on võrdne f.-ni argumentide arvuga. Antud juhul 4-ga. Igal loogikafunktsioonil on täpselt üks TDNK. TDNK leidmise meetod: · võtan f.-ni ühtede piirkonna mingi kümnendnumbri · leian kümnendnubrile vastava kahendvektori · leian kahendvektorile vastava elementaarkonjunktsiooni · lisan elementaarkonjunktsiooni funktsiooni TDNK avaldisse · kordan eelmist nelja tegevust, kuni kõik ühtede piirkonna numbrid on läbitud ühtede piirkonna kümnenednumbrile kahendvektorile vastav kümnendnumber vastav kahendvektor elementaarkonjunktsioon 4 0100 x1 x2 x 3 x 4 5 0101 x1 x2 x 3 x4
11 1 0 1 1 10 1 0 0 0 TADNK (x1,x2,x3,x4) x´ 1 x 4 x 1 x2 x´ 4 x 2 x3 x 3 x2 x´ 3 x 4 , TDNK leidmine: Täielik DNK on DNK normaalkuju, milles iga elmentaarfunktsioon sisaldab funktsiooni kõiki argumente. Selle leidmiseks võtan kõik ühtede piirkonna kümnendnumbrid, leian neile vastavad kahendvektorid ja leian kahendvektoritele vastavad elementaarkonjunktsioonid ning lisan nad avaldisse. 1de pk. Kümnendnumbrile Kahendvektorile vastav vastav kahendvektor elementaarkonjunktsioo n 1 0001 x´ 1 x´ 2 x´ 3 x4 3 0011 x´ 1 x´ 2 x3 x4 5 0101 x´ 1 x 2 x´ 3 x4
Kolmnurga pindala on seega Vastab ülesande tingimustele. Vastus: Kolmnurga kõrgus on 5 dm ja alus 8 dm. 5. Lihtsusta avaldis 2(a - 4b)2 - (a + 4b)2. Lahendus: 2(a - 4b)2 - (a + 4b)2 = 2(a2 - 8ab + 16b2) - ( a2 + 8ab + 16b2) = 2a2 - 16ab + 32b2 - a2 - 8ab - 16b2 = = a2 - 24ab + 16b2. 6. Arvuta avaldise (m - 2n)2 - m(m - 8n) väärtus, kui m = 7,3 ja n = 0,2. Lahendus: (m - 2n)2 - m(m - 8n) = m2 - 4mn + 4n2 - m2 + 8mn = 4n2 + 4mn = 4n(n + m). Paneme avaldisse arvud asemele, saame: 4n(n + m) = 4 . 0,2(0,2 + 7,3) = 0,8 . 7,5 = 6. Vastus: Avaldise (m - 2n)2 - m(m - 8n) väärtus on 6. 7. Martin pani 2003 aasta alguses panka 18000 krooni kaheks aastaks hoiule. Pank lisab kummagi aasta lõpul juurde 12% selleks ajaks hoiul olevast summast. Kui suure summa saab Martin kätte 2004. aasta lõpul? Lahendus: Esimesel aastal lisandub Martini arvele 12% ehk 0,12 . 18000 = 2160 krooni. Aasta lõpuks on tal 18000 + 2160 = 20160 krooni.
protsentkontsentratsiooni ja molaarmassi kaudu. Katseliselt leitud Tk alusel1 saab uuritava lahuse molaalsuse Cm Tk Cm = Kk (12) Teisest küljest on teada lahusti ja lahustunud aine massid või uuritava lahuse kontsentratsioon massiprotsentides. Viies need massid molaalsuse avaldisse või avaldades molaalsuse protsentkontsentratsiooni kaudu, saab leida otsitava molaarmassi M. Katse käik. Katses määratakse puhta lahusti ja uuritava aine kindla kontsentratsiooniga lahuse külmumistemperatuurid. Algul mõõdetakse puhta lahusti külmumistemperatuur. Lahustit valatakse suuremasse katseklaasi 1 kuni 1,5 cm paksuse kihina (väiksemasse katseklaasi ca 2,5 cm) ja sukeldatakse lahusesse termopaar nii, et see ulatub kindlalt vedelikku
Vt lk 180 ülevalt. Mida teeb avaldisele konstandi juurdeliitmine tehtega summa mooduliga 2? inverteerib avaldise väärtuse vastupidiseks. Milline on tulemus paaris ja paaritu arvu konstandi 1 kokkuliitmisel tehtega summa mooduliga 2? paarisarv konstante 1 juurde liites selle tehtega võib nad avaldisest lihtsalt ära jättam kuna nende summa tehtega + on 0 ja konstandi 0 liitmine ei muuda avaldise väärtust. Paarituarv puhul võib ära jätta kõik peale ühe konstant ühe, mis jääb avaldisse. Milline on tulemus paaris ja paaritu arvu muutujate x kokkuliitmisel tehtega summa mooduliga 2? Paarisarv muutujaid x juurde liites võib nad samuti lihtsalt ära jätta. Paaritu arv puhul jääb järele üks, nagu konstant 1 puhul. Milline on tulemus muutuja x ja tema inversiooni kokkuliitmisel tehtega summa mooduliga 2? tulemuseks on konstant 1 Millal võib DNKs asendada kõik disjunktsioonitehted tehetega summa mooduliga 2?
milles soojus neeldub. Rõhk- Rõhu tõstmine gaasiliste ainete osavõtul kulgevates tasakaalureaktsioonides nihutab tasakaalu suunas, kus gaasiliste ainete molekulide arv väheneb. Selles protsessis on kõik ained gaasilises olekus. Vasakul pool on kokku 4, paremal 2 mooli gaasi. Seega nihkub tasakaal paremale. Kui reaktsioonis osaleb lisaks gaasidele ka tahkeid või vedelas olekus aineid, siis ei panda neid tasakaalukonstandi avaldisse, sest tahke aine ja puhta vedeliku kontsentratsioon on püsiv suurus, mille võib viia tasakaalukonstandi sisse. Nii sisaldab järgmise reaktsiooni tasakaalukonstandi avaldis vaid CO2 osarõhku CaO(s) + CO2(g) CaCO3(s) 1 Kp = pCO2 Kasutatud mõõteseadmed, töövahendid ja kemikaalid: Töövahendid: katseklaaside komplekt Kasutatud ained: FeCl3 ja NH4SCN küllastunud lahused, tahke NH4Cl
reaktsioonide korral, kus kõik ained on vesilahustes või vedelikud. Gaasiliste ainete osavõtul kulgevate reaktsioonide korral avaldatakse tasakaalukonstant tavaliselt osarõhkude kaudu. pcC × pdD K p= p aA × p bB pA...pD – gaasiliste ainete A...D osarõhud atm. Kui reaktsioonis osaleb lisaks gaasidele ka tahkeid või vedelas olekus aineid, siis ei panda neid tasakaalukonstandi avaldisse, sest tahke aine ja puhta vedeliku kontsentratsioon on püsiv suurus, mille võib viia tasakaalukonstandi sisse. K P ja K c vahel kehtib seos: ∆n K P = K c × ( RT ) R- universaalne gaasikonstant T- absouluutne temperatuur K ∆ n - gasasiliste ühendite moolide arvu muutus reaktsioonis Mida suurem on Kc või Kp, seda enam on tasakaalusegus saadusi, st reaktsiooni tasakaal on nihutatud paremale saaduste tekke suunas.
Termodünaamiline ja näiline tasakaalukonstant on omavahel seotud järgmiselt: CH 3COOC2 H 5 H 2O K a = K C CH 3COOH C2 H5OH Antud süsteemis on lahuses mitteelektrolüüdid ja mitteelektrolüütide aktiivsustegurid loetakse üldjuhul võrdseks ühega. Kuna molaarse kontsentratsiooni saamiseks tuleb kõikide komponentide moolide arvud läbi jagada ühe ja sama arvuga (lahuse ruumalaga), siis võib K C' avaldisse panna antud juhul lihtsalt moolide arvud viimasest tabelist (kõik kontsentratsioonid on esimeses astmes ja lahuse ruumala taandub välja). Antud töös määrataksegi näiline tasakaalukonstant, mis on konstantne küllalt suures kontsentratsioonide piirkonnas. Selle reaktsiooni tasakaal saabub aeglaselt. Käesolevas töös kasutatakse tasakaaluoleku kiiremaks saavutamiseks katalüsaatorina HCl. Katalüsaatori kontsentratsioon on küllalt suur,
Termodünaamiline ja näiline tasakaalukonstant on omavahel seotud järgmiselt: CH 3COOC2 H5 H 2O K a = K C CH 3COOH C2H5OH Antud süsteemis on lahuses mitteelektrolüüdid ja mitteelektrolüütide aktiivsustegurid loetakse üldjuhul võrdseks ühega. Kuna molaarse kontsentratsiooni saamiseks tuleb kõikide komponentide moolide arvud läbi jagada ühe ja sama arvuga (lahuse ruumalaga), siis võib K C' avaldisse panna antud juhul lihtsalt moolide arvud viimasest tabelist (kõik kontsentratsioonid on esimeses astmes ja lahuse ruumala taandub välja). Antud töös määrataksegi näiline tasakaalukonstant, mis on konstantne küllalt suures kontsentratsioonide piirkonnas. Selle reaktsiooni tasakaal saabub aeglaselt. Käesolevas töös kasutatakse tasakaaluoleku kiiremaks saavutamiseks katalüsaatorina HCl. Katalüsaatori kontsentratsioon on küllalt suur,
ammoniaagi lagunemine lähteaineteks, milles soojus neeldub. Rõhk- Rõhu tõstmine gaasiliste ainete osavõtul kulgevates tasakaalureaktsioonides nihutab tasakaalu suunas, kus gaasiliste ainete molekulide arv väheneb. Selles protsessis on kõik ained gaasilises olekus. Vasakul pool on kokku 4, paremal 2 mooli gaasi. Seega nihkub tasakaal paremale. Kui reaktsioonis osaleb lisaks gaasidele ka tahkeid või vedelas olekus aineid, siis ei panda neid tasakaalukonstandi avaldisse, sest tahke aine ja puhta vedeliku kontsentratsioon on püsiv suurus, mille võib viia tasakaalukonstandi sisse. Nii sisaldab järgmise reaktsiooni tasakaalukonstandi avaldis vaid CO2 osarõhku CaO(s) + CO2(g) CaCO3(s) Kp = 1/ pCO2 FeCl3(aq)+3NH4SCN(aq) FE(SCN)3(aq)+3NH4Cl(aq) K 1 [ C ] c [ D ] d [ Fe( SCn) 3 ] [ NH 4 Cl ] 1 3
K C = CCH 3COOH CC2 H5OH Termodünaamiline ja näiline tasakaalukonstant on omavahel seotud järgmiselt: CH 3COOC2H 5 H 2O K a = K C CH 3COOH C2 H5OH Antud süsteemis on lahuses mitteelektrolüüdid ja mitteelektrolüütide aktiivsustegurid loetakse üldjuhul võrdseks ühega. Kuna molaarse kontsentratsiooni saamiseks tuleb kõikide komponentide moolide arvud läbi jagada ühe ja sama arvuga (lahuse ruumalaga), siis võib KC' avaldisse panna antud juhul lihtsalt moolide arvud viimasest tabelist (kõik kontsentratsioonid on esimeses astmes ja lahuse ruumala taandub välja). Antud töös määrataksegi näiline tasakaalukonstant, mis on konstantne küllalt suures kontsentratsioonide piirkonnas. Selle reaktsiooni tasakaal saabub aeglaselt. Käesolevas töös kasutatakse tasakaaluoleku kiiremaks saavutamiseks katalüsaatorina HCl. Katalüsaatori kontsentratsioon on küllalt suur,
Tasakaalukonstanti (Kc), mis on avaldatud molaarsete kontsentratsioonide kaudu, kasutatakse sageli reaktsioonide korral, kus kõik ained on vesilahustes või vedelikud. Gaasiliste ainete osavõtul kulgevate reaktsioonide korral avaldatakse tasakaalukonstant tavaliselt osarõhkude kaudu (tähis Kp). Pa .. Pd gaasiliste ainete a .. d osarõhud atm. Kui reaktsioonis osaleb lisaks gaasidele ka tahkeid või vedelas olekus aineid, siis ei panda neid tasakaalukonstandi avaldisse, sest tahke aine ja puhta vedeliku kontsentratsioon on püsiv suurus, mille võib viia tasakaalukonstandi sisse. Kp ja Kc vahel kehtib seos Kp = Kc · (RT) R universaalne gaasikonstant J mol T absoluutne temperatuur K n gaasiliste ühendite moolide arvu muutus reaktsioonis Mida suurem on Kc või Kp, seda enam on tasakaalusegus saadusi, st reaktsiooni tasakaal on nihutatud paremale saaduste tekke suunas. Le Chatelier' printsiip
Temeratuur. Temperatuuri tõstmine nihutab endotermilise reaktsiooni tasakaalu paremale, eksotermilise reaktsiooni tasakaalu aga vasakule. Rõhk. Rõhu tõstmine gaasiliste ainete osavõtul kulgevates tasakaalureaktsioonides nihutab tasakaalu suunas, kus gaasiliste ainete molekulide arv väheneb. Kui reaktsioonis osaleb lisaks gaasidele ka tahkeid või vedelas olekus aineid, siis ei panda neid tasakaalukonstandi avaldisse, sest tahke aine ja puhta vedeliku kontsentratsioon on püsiv suurus, mille võib viia tasakaalukonstandi sisse. Keemilise reaktsiooni kiirus Olles kindlaks teinud kõik võimalused tasakaalu mõjutamiseks, on vajalik ka, et tasakaaluolekuni jõutaks suhteliselt lühikese ajaga, st et reaktsioonikiirus oleks maksimaalne. Reaktsioonikiirus homogeenses süsteemis näitab reageerivate ainete kontsentratsioonide muutust ajaühikus (mol⋅dm–3⋅s–1). Reageerivate ainete eripära
teineteise pöördväärtused Nii on ka sageduse mõõtühikuks sekundi pöördväärtus, mida nimetatakse hertsiks (Hz). 1Hz = 1/s. Nurkkiirus on võrdne ajaühikus sooritatava pöördenurgaga. Seda suurust tähistatakse kreeka tähega ω (omega) ja valemiks on: Kui pöördenurka mõõdetakse radiaanides ja aegasekundites, on nurkkiiruse mõõtühikuks radiaan sekundis (1 rad/s). Nurkkiirus on seotud joonkiirusega v. Paneme nurkkiiruse avaldisse (2.30 ) pöördenurga kohale selle väärtuse φ = l/r ning saame Et aga l/t kujutab endast joonkiirust v, saame See ongi seos nurkkiiruse ja joonkiiruse vahel. Peale joonkiiruse on nurkkiirus seotud ka ringliikumise sageduse ja perioodiga. Definitsiooni järgi on sagedus võrdne ajaühikus sooritatavate täisringide arvuga: Aja t jooksul sooritatud täisringide arv on siis N = ft. Et igale täisringile vastab
kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n. Horneri skeem. Polünoomi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn korral, kus a0, ..., an on arvud, tahame arvutada polünoomi kindlal x'l näiteks x0 selle saavutamiseks määrame uue konstantide rea: bn := an bn-1 := an-1 + bnx0 b0 := a0 + b1x0 siis b0 on p(x0) väärtus. See toimib nii, sest polünoomi saab kirjutada kujul p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... x(an-1 + anx) ... )) seega iteratsiooniliselt asendades bi avaldisse p(x0) = a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(an-1 + bnx0) ... )) = = a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(bn-1) ... )) = ... = a0 + x0(b1) = b0 6. Osamurdudeks jagamine. Lause tõestus. Olgu Qm(x)/Pn(x) ratsionaalfunktsioon, kusjuures Qm(x) on m-astme ja Pn(x) on n-astme polünoom ning m < n, st tegemist on lihtmurruga. Liigmurru, st (m n) korral tuleb esiteks eraldada täisosa. Selleks tuleb polünoomi Qm (x) jagada polünoomiga Pn (x) . Saame
kontsentratsioonide kaudu, kasutatakse sageli reaktsioonide korral, kus kõik ained on vesilahustes või vedelikud. Gaasiliste ainete osavõtul kulgevate reaktsioonide korral avaldatakse tasakaalukonstant tavaliselt osarõhkude kaudu (tähis Kp) pcC∗p dD K p= a b p A∗p B pA…pD- gaasiliste ainete A...D osarõhud atm. Kui reaktsioonis osaleb lisaks gaasidele ka tahkeid või vedelas olekus aineid, siis ei panda neid tasakaalukonstandi avaldisse, sest tahke aine ja puhta vedeliku kontsentratsioon on püsiv suurus, mille võib viia tasakaalukonstandi sisse. Nii sisaldab järgmise reaktsiooni tasakaalukonstandi avaldis vaid CO2 osarõhku 1 ↔ CaCO3(s) K p= CaO(s) + CO2(g) pCO 2 Kp ja KC vahel kehtib seos Kp =KC*(RT)n R– universaalne gaasikonstant J⋅mol–1⋅K–1
2 4 2 2 22 4 Trapetsi pindala avaldub ka kolme võrdse kolmnurga pindalade summana ehk 3a 2 3 3a 2 3 . 4 4 Ülesande andmete kohaselt on trapetsi pindala S, mille kaudu avaldame lühema aluse a. 3 3a 2 4S 3 4 3S 24 3 S S a2 a . 4 3 3 3 9 3 Asendame nüüd avaldisse S 3 3 . 24 3 S 24 3 3 3 24 3 3 4 3 2 3 3 a 2üh . 3 3 3 3 Pikem alus 2a 4üh Vastus . Trapetsi haarad ja lühem alus on 2 üh ja pikem alus 4 üh. 9 ÜLESANDED 1) Arvuta võrdhaarse trapetsi pindala, kui pikem alus on 44 cm ja haar 17 cm ning diagonaal 39 cm. V: 540 cm²
Kui funktsioonid ja on kujul p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... x(an-1 + anx) ... )) seega iteratsiooniliselt asendades bi Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit integreeruvad lõigul [, ] ja () 0, siis leidub konstant [, ], kus avaldisse p(x0) = a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(an-1 + bnx0) ... )) =
T T 11 0 0 0 — . . . järelikult tasub valida SUURIMAD võimalikud kontuurid, misjuhul 11 0 0 0 0 tuleb avaldisse VÄHIM arv algterme xi ehk saame minimaalseima 10 1 0 0 1 10 1 0 0 1 normaalkuju. MDNK leitud ja analüüsitud — edasi leiame samale funtsioonile MKNK x2 x4 1-de kontuuridele vastavad osaliselt määratud funktsiooni a
c CO = 0,01 mol/dm 3 , c H O = 0,03 mol/dm 3 . Arvutage tasakaalukontsentrat- 2 sioonid. Lahendus. Oletame, et tasakaalu saabumiseni on ära reageerinud x mooli CO, järelikult ka x mooli H 2 O. Samal ajal on tekkinud (vastavalt reaktsioonivõrrandile) x mooli CO 2 ja ka x mooli H 2 . Seega on ainete tasakaalukontsentratsioonid: [CO]= 0,01- x ; [H 2 O ] = 0,03 - x ; [CO 2 ] = [H 2 ] = x . Asetades need suurused tasakaalukonstandi avaldisse [CO 2 ] [H 2 ] K= , [CO] [H 2 O] x2 saame =1. Siit x = 0,0075. (0,01 - x)(0,03 - x) Arvutame ainete tasakaalukontsentratsioonid: [CO] = 0,01 - 0,0075 = 0,0025 mol/dm 3 ; [H 2 O] = 0,03 - 0,0075 = 0,0225 mol/dm 3 ; [CO 2 ] = [H 2 ] = 0,0075 mol/dm 3 . Näide 3. Võrrandi H 2 + I 2 2HI järgi kulgeva reaktsiooni
b) Vahemikud, kus funktsioon f(x) on positiivne ja kus see on negatiivne; c) Funktsiooni f(x) kasvamis- ja kahanemisvahemikud; d) Funktsiooni f(x) maksimumpunkt. 3) Skitseerige funktsiooni f(x) graafik vahemikus ( 0 ; ). 13. (2001) On antud funktsioon f ( x) ax 2 b ln x . 1) määrake kordajad a ja b, kui f (1) f (2) 1 . 2) Asendage punktis 1) leitud kordajate väärtused funktsiooni avaldisse ning uurige saadud funktsiooni kasvamise ja kahanemise suhtes. 14. (2002) Antud on funktsioon y x 3 3 x 2 . 1) Leidke funktsiooni tuletis. 2) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. 4) Leidke funktsiooni graafikule joonestatud puutuja tõus punktis, mille abstsiss on 3. 5) Skitseerige funktsiooni graafik
g ( x; y ) = 0 Viimane on tegelikult w'=0. -Lagrange kordaja , seega on see Lagrange kordajate meetod. 2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada ning saame ülesande lahendada. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste- Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y =
K iseloomustab elektrolüüdi tugevust. Mida väiksem on K väärtus, s.o. mida vähem on lahuses ioone molekulidega võrreldes, seda nõrgema elektrolüüdiga on tegemist. K sõltub elektrolüüdi iseloomust, temperatuurist. Erinevalt dissotsiatsiooniamäärast ei sõltu K elektrolüüdi kontsentratsioonist. Kui elektrolüüdi HA algkontsentratsioon tähistada c, siis [H+] = [A-] = c ja [HA] = (1-)c. Asendades vastavad kontsentratsioonid dissotsiatsioonikonstandi avaldisse, saame 2 K c . (13) 1 Viimane võrrand on Ostwaldi lahjendusseaduse matemaatiline avaldis. Väikestel väärtustel 1- 1 ja dissotsiatsioonimäär kasvab. K c
g ( x; y ) = 0 statsionaarsed punktid, st leiame nad võrrandisüsteemist: . Siin viimane ' võrrand on tegelikult w = 0 . 2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada. Esimest meetodit nimetatakse Lagrange kordajate meetodiks. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste. Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatkse niisugust funktsiooni y=F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F´(x)=f(x) Algfunktsioone võib olla palju sest suvalist konstanti C, ei tea.
väiksemas kontuuris on rohkem konstantseid muutujaid, mis põhjustab 00 1 0 1 Ü enamate liikmetega (ehk keerukamat) loogikaavaldist/normaalkuju. T 01 0 0 1 1 T . . . järelikult tasub valida SUURIMAD võimalikud kontuurid, misjuhul tuleb avaldisse VÄHIM arv algterme xi ehk saame minimaalseima 11 0 0 0 normaalkuju. 10 1 0 0 1 MDNK leitud ja analüüsitud — edasi leiame samale funtsioonile MKNK a ! KNK saadakse alati loogikafunktsiooni 0de piirkonnast ! teine võimalik / sobiv ik
Kaksikplokid 3 ja 4 on teksti põhjal täiesti ühesugused, sest m3 = m4 ; R3 = R4 ; r3 = r4 ; ja 5 i3 = i4 = r . Seetõttu 4 2 25 I 3 = I 4 = m 3 i3 = m3 r 2 (10.7c) 16 Asendame kõik leitud suurused süsteemi kineetilise energia avaldisse (10.2) 2 2 2 2 2 2 2 m1 2 r 2 m2 r 2 2 25m3 r 2 2 25m4 r 2 2 m5 r5 4 2 r 2 m5 4 2 r 2 Tt = + + + + + 2 4 2 2 16 2 4 16 2 2 2 r5 2 2 millest 56
võrdne jõuimpulsiga. Tähistades keha impulsi tähega , võib Newtoni teise seaduse üles kirjutada kujul . Nimelt sellisel üldisel kujul formuleeris selle seaduse ka Newton. Jõud selles avaldises kujutab endast kõigi kehale rakendatud jõudude resultantjõudu. Eelnevalt jäi jõud oma arvväärtuselt terves ajavahemikus t muutumatuks. Kui muutub jõu arvväärtus, siis tuleb jõuimpulsi avaldisse asetada jõu keskmine väärtus Fkesk selle mõjumise ajavahemikus. Teatud juhtudel võib keskmise jõu Fkesk määrata kindlaks, kui on teada selle mõjumise aeg ja kehale antud impulss. Näiteks võib jalgpalluri tugev löök vastu palli massiga 0.415 kg anda sellele kiiruse v = 30 m/s. Löögi aeg on ligikaudu võrdne 8*10 -3 s. Jõuimpulss p, mille pall sai löögi tagajärjel, on p = mv = 12.5 kg*m/s.
¦ x 2 y 3z 14 ¦ x 2 y 3z 14 ¦ x 2 y 3z 14 © © © Viimase võrrandisüsteemi lahendame liitmisvõttega ja saame et y = 3 ja z = 2. § 2 x y z 3 § 5 y 5z 25 § 5 y 5z 25 Asendame nüüd leitud väärtused avaldisse (1) ja saame, et x = 4. ©¨4 x y 2 z 12 © 7 y 10 z 44 ©¨ 15z 45 ¨ Vastus: Võrrandisüsteemi lahend on x = 4; y = 3 ja z = 2. II 2I 5III 7II III 4I
(uv)' dx = uv a (Newton-Leibnizi valem) b b b Seega saame avaldisse (uv )' dx = u ' v dx + uv 'dx a a a asendada: b b b uv = a u ' v dx + uv'dx a a pidades silmas, et u'dx = du ja v' dx= dv, saame mugavama kuju: b b b uv = a a v du + u dv a ja nüüd, rõhutades funktsiooni ja diferentsiaali korrutisele:
Seda tööd nimetatakse elektrivoolu tööks ja selle avaldise saab tuletada juba olemasolevate teadmiste abil. Töö on defineeritud kui liikumissuunalise jõu ja nihke korrutis. Mõjugu elektrivälja poolt laengule q jõud F ja selle jõu toimel nihkub laeng kaugusele d. Siis töö A avaldub: A = Fd. Kuna jõudu ja nihke suurust on raske mõõta, siis avaldame need hõlpsasti mõõdetavate suuruste kaudu. Selleks avaldame jõu väljatugevuse ning laengu abil: F = Eq ja paneme töö avaldisse. Saame, et A = Eqd, aga Ed =U ja q = It ning saame, et A = UIt. Pinget, voolutugevust ja aega on aga lihtne mõõta, sest vastavad mõõteriistad on olemas. Enamasti eraldub voolu töö tegemisel soojust. Eralduva soojushulga määrab Joule'i- Lenzi seadus, mille kohaselt elektrivoolu toimel juhis eralduv soojushulk Q on võrdeline voolutugevuse I ruuduga, juhi takistusega R ja voolu kestusega t : Q=I2Rt. Selle tulemuse saame, kui asendame töö avaldises pinge U korrutisega IR (Ohmi
44) x2 kus võrdetegur on esialgu tähistatud lihtsalt k abil, see tuleb meil veel leida. Selleks kirjutame jõu F avaldise (4.44) välja maapinnal punktis B. Kuna seal F = P = m g ja x = R , siis k mg = R2 kust k = mg R2 Asendame selle avaldisse (4.44), saame mgR 2 F= . x2 Põhivõrrand võtab nüüd kuju mgR 2 m x = - x2 gR 2 ehk x = - 2 (4.45)
Nüüd jagame mõlemaid pooli (v1 - v1 ) -ga ( v1 = v1 ei ole võimalik, sest sel juhul põrget ei toimu ja teine keha jääb edasi paigale [kuulikesed liiguvad teineteisega paralleelselt]) ja saame v1 arvutamiseks lihtsa võrrandi m2 (v1 + v1 ) = m1 (v1 - v1 ) . Viies otsitavaga v1 liikmed ühele poole ja kiirusega v1 liikmed teisele poole, saame kiiruseks m1 - m2 v1 = v1 . m1 + m2 Selle asendamine eespool toodud v 2 avaldisse annab tulemuseks (jätame siinkohal arvutused tegemata) 2 m1 v2 = v1 . m1 + m2 Arvutame nüüd tulemused 50 - 30 v1 = (( ) 5) m = 1,25 m/s , 50 + 30 2 50 v2 = (( ) 5 ) m = 6,25 m/s . 50 + 30 (Massiühikuid pole vaja teisendada, sest arvutamisel läheb vaja masside suhet.) Vastus: kuulikeste kiirused peale põrget on vastavalt 1,25 m/s ja 6,25 m/s. Kuna tulemused on
Kui palju vett oli kaevus algul? Vastus: 450 l ( 50 20 = 30 liitrit tegelikult minutis välja; 15 min x 30 = 450 l) 142. Kujuta ette, et on olemas väsimatu inimene, kes käib päevade ja ööde kaupa puhkamata 5 km/h. Mitu ööpäeva peaks ta kõndima, et läbida 48 miljardit millimeetrit? Vastus: 400 ( 48 miljardit mm = 48 000 000 000 mm = 48 000 000 m = = 48 000 km : 5 = 9600 h : 24 = 400 ööpäeva) 143. Paiguta sulud avaldisse 60 + 40 : 4 2 nii, et tulemus oleks a) võimalikult väike b) võimalikult suur Vastus: a) (60 + 40) : 4 2 = 23 b) 60 + 40 : ( 4 2) = 80 144. Redelil on 19 pulka. Mitmendal pulgal peaks seisma, et olla redeli keskel? Vastus: 10 145. Peeter nägi loomaaias imelikku looma, kellel oli 2 esimest jalga, 2 tagumist jalga, 2 paremat jalga ja 2 vasakut jalga. Mitu jalga oli sellel loomal kokku? Vastus: 4
hägusast väljundist, mis vastab maksimaalsele liikmesusele 1 Ymom ( F ( y )) = q F(y j ) , (30) jJ * kus J* tähistab F(y) maksimaalväärtuste alamhulka ja q on tema elementide arv. Pannes avaldise (26) avaldisse (29) saame me lõpliku valemi hägusa süsteemi väljundi arvutamiseks R U r I r Y T y = Ycog ( F ( y )) = R r =1 , (31)
Jõudude väärtused aga alati teada ei ole ja need tuleb lahenduse käigus leida. r Sel juhul käitutakse järgmiselt, oletatakse, et kiirendus on ühe jõu, näiteks F1 suunas (vaata joonist) ja kirjutatakse sellele vastavalt välja Newtoni II seaduse skalaarkuju. Selle saamiseks loetakse kiirenduse suund positiivseks, mis tähendab, et nii kiirendus kui ka kõik kiirendusega samasuunalised vektorid võetakse avaldisse plussmärgiga, vastassuunalised aga miinusmärgiga (matemaatika seisukohalt on tegemist vektorite projektsioonidega vektorite sihilisele koordinaatteljele, kus kiirenduse suund on võetud positiivseks suunaks). Antud näite korral saaksime F1 - F2 = m a . Kui nüüd edasise lahendamise käigus osutub, et kiirenduse väärtus tuleb positiivne, on meie oletus õige ja kiirendus on tõepoolestr meie poolt valitud suunas. Teisalt tähendab see ka seda, et F1 > F2 , s.t
Võttes kasutusele aktiivvõimsuskadude suhtelise vähenemise mõiste δP η= (3.24) QK mida võib nimetada ka aktiivvõimsuskao tundlikkuseks kompenseerimis- võimsuse suhtes e võimsuskao kompenseerimistundlikkuseks. See näitab võrgu aktiivvõimsuskao suhtelist vähenemist mingisse võrgu sõlme reaktiiv- võimsuse kompenseerimisseadme paigaldamise tulemusel. Pannes (3.24) avaldisse (3.23), saab kompenseerimisseadme paigaldamise otstarbekuse tin- gimuse kujul η QK τ Q β ≥ α K QK (3.25) ehk αK η ≥ (3.26) τQ β ehk kompenseerimisseadme ülespanek vaadeldavasse i-ndasse sõlme on ma- janduslikult õigustatud, kui võrgu võimsuskao tundlikkus selle sõlme kom-
1) Sarnased kolmnurgad silindris 3 annavad a E aC 3 = = (4.2) 2r3 r3 Võrranditest (4.1) saame a1 =2 r ja aE = 2 R (4.3) Pannes siit a E avaldisse (4.2), saame 42 2 R aC 3 = = 2r3 r3 millest 2R 2R
Vajalik seina pikkus allapoole süvendi põhja on t + t. Seina tugevuse kontrollimiseks või seina dimensioneerimiseks on vaja määrata paindemomendid. Maksimaalne paindemoment esineb kaeviku põhjast teatud sügavusel x. Paindemomendi suurus on Maksimaalne paindemoment esineb kohas, kus põikjõud on null. Põikjõud sügavusel x on Tingimusest Q = 0 saame ruutvõrrandi Selle võrrandi lahend annab sügavuse, kus tekib suurim moment. Asetades selle momendi avaldisse, leiame seinas tekkiva Mmax. Sulundseina puhul on enamasti veetase seina taga ja kaevikus erineval kõrgusel ja seina arvutusel tuleb arvestada ka veesurvet (joonis 10.42). Pinnase mahukaal allpool veetaset tuleb võtta arvestades vee üleslükke jõudu = w. Veesurve seinale suureneb kuni veetasemeni kaevikus lineaarselt sügavusega. Sügavamal on summaarne veesurve konstantne, kuna kaeviku poolt mõjub samuti lineaarselt sügavusega suurenev veesurve.
v t Joonkiirus (ringjoonel liikumise kiirus) näitab, kui pika tee läbib keha mööda ringjoont ajaühikus ( , kus v on joonkiirus (m/s), l on aja t (s) jooksul läbitud kaare pikkus (m)). Joonkiirus on suunatud piki ringjoone puutujat. Paneme nurkkiiruse avaldisse (2.30 ) pöördenurga kohale selle väärtuse = l/r ning saame (2.31) Et aga l/t kujutab endast joonkiirust v, saame 21 (2.32)
pööratavate ___ Nende argumentvektorite asendamisel avaldisse lihtsustub aga tegurite K5 = { f ( x . . . x ) _ f x̄1 x̄2 . . . x̄n = 1 x1 x2 . . . xn } # pööratav, & i
2 x tg ey = d y - - inv + inv y ...(b) 2z z Seoste 4.14 ja b põhjal avaldatakse hamba paksus väiksema ratta algringjoonel s1 (ry=r1, z=z1, x=x1, y=) ja hambavahe laius suurema ratta algringjoonel e2 (ey=e2, ry=r2, z=z2, x=x2, y=). rb Asendades saadud seosed avaldisse a ning kasutades seost 4.7 kujul r = cos (ry=r , y=)saame pärast teisendust silindriliste hammasrataste evolventülekande hambumise võrrandi, mis seob hambumisnurga , nihutustegurite summa x = x1 + x2 ja rataste hammaste arvud z1 ja z2: 2( x1 + x2 ) inv = inv + tg ...4.15 z1 + z2
annaabi.ee 
